Google
This is a digital copy of a book thaï was prcscrvod for générations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project
to make the world's bocks discoverablc online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject
to copyright or whose légal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other maiginalia présent in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journcy from the
publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we hâve taken steps to
prcvcnt abuse by commercial parties, including placing lechnical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use thèse files for
Personal, non-commercial purposes.
+ Refrain fivm automated querying Do nol send automated queries of any sort to Google's System: If you are conducting research on machine
translation, optical character récognition or other areas where access to a laige amount of text is helpful, please contact us. We encourage the
use of public domain materials for thèse purposes and may be able to help.
+ Maintain attributionTht GoogX'S "watermark" you see on each file is essential for informingpcoplcabout this project and helping them find
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
+ Keep it légal Whatever your use, remember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is légal. Do not assume that just
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countiies. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can'l offer guidance on whether any spécifie use of
any spécifie book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps rcaders
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full icxi of ihis book on the web
at|http: //books. google .com/l
Google
A propos de ce livre
Ceci est une copie numérique d'un ouvrage conservé depuis des générations dans les rayonnages d'une bibliothèque avant d'être numérisé avec
précaution par Google dans le cadre d'un projet visant à permettre aux internautes de découvrir l'ensemble du patrimoine littéraire mondial en
ligne.
Ce livre étant relativement ancien, il n'est plus protégé par la loi sur les droits d'auteur et appartient à présent au domaine public. L'expression
"appartenir au domaine public" signifie que le livre en question n'a jamais été soumis aux droits d'auteur ou que ses droits légaux sont arrivés à
expiration. Les conditions requises pour qu'un livre tombe dans le domaine public peuvent varier d'un pays à l'autre. Les livres libres de droit sont
autant de liens avec le passé. Ils sont les témoins de la richesse de notre histoire, de notre patrimoine culturel et de la connaissance humaine et sont
trop souvent difficilement accessibles au public.
Les notes de bas de page et autres annotations en maige du texte présentes dans le volume original sont reprises dans ce fichier, comme un souvenir
du long chemin parcouru par l'ouvrage depuis la maison d'édition en passant par la bibliothèque pour finalement se retrouver entre vos mains.
Consignes d'utilisation
Google est fier de travailler en partenariat avec des bibliothèques à la numérisation des ouvrages apparienani au domaine public et de les rendre
ainsi accessibles à tous. Ces livres sont en effet la propriété de tous et de toutes et nous sommes tout simplement les gardiens de ce patrimoine.
Il s'agit toutefois d'un projet coûteux. Par conséquent et en vue de poursuivre la diffusion de ces ressources inépuisables, nous avons pris les
dispositions nécessaires afin de prévenir les éventuels abus auxquels pourraient se livrer des sites marchands tiers, notamment en instaurant des
contraintes techniques relatives aux requêtes automatisées.
Nous vous demandons également de:
+ Ne pas utiliser les fichiers à des fins commerciales Nous avons conçu le programme Google Recherche de Livres à l'usage des particuliers.
Nous vous demandons donc d'utiliser uniquement ces fichiers à des fins personnelles. Ils ne sauraient en effet être employés dans un
quelconque but commercial.
+ Ne pas procéder à des requêtes automatisées N'envoyez aucune requête automatisée quelle qu'elle soit au système Google. Si vous effectuez
des recherches concernant les logiciels de traduction, la reconnaissance optique de caractères ou tout autre domaine nécessitant de disposer
d'importantes quantités de texte, n'hésitez pas à nous contacter Nous encourageons pour la réalisation de ce type de travaux l'utilisation des
ouvrages et documents appartenant au domaine public et serions heureux de vous être utile.
+ Ne pas supprimer l'attribution Le filigrane Google contenu dans chaque fichier est indispensable pour informer les internautes de notre projet
et leur permettre d'accéder à davantage de documents par l'intermédiaire du Programme Google Recherche de Livres. Ne le supprimez en
aucun cas.
+ Rester dans la légalité Quelle que soit l'utilisation que vous comptez faire des fichiers, n'oubliez pas qu'il est de votre responsabilité de
veiller à respecter la loi. Si un ouvrage appartient au domaine public américain, n'en déduisez pas pour autant qu'il en va de même dans
les autres pays. La durée légale des droits d'auteur d'un livre varie d'un pays à l'autre. Nous ne sommes donc pas en mesure de répertorier
les ouvrages dont l'utilisation est autorisée et ceux dont elle ne l'est pas. Ne croyez pas que le simple fait d'afficher un livre sur Google
Recherche de Livres signifie que celui-ci peut être utilisé de quelque façon que ce soit dans le monde entier. La condamnation à laquelle vous
vous exposeriez en cas de violation des droits d'auteur peut être sévère.
A propos du service Google Recherche de Livres
En favorisant la recherche et l'accès à un nombre croissant de livres disponibles dans de nombreuses langues, dont le français, Google souhaite
contribuer à promouvoir la diversité culturelle grâce à Google Recherche de Livres. En effet, le Programme Google Recherche de Livres permet
aux internautes de découvrir le patrimoine littéraire mondial, tout en aidant les auteurs et les éditeurs à élargir leur public. Vous pouvez effectuer
des recherches en ligne dans le texte intégral de cet ouvrage à l'adressefhttp: //book s .google . coïrïl
»■
TKAITÉ
l»F>
FONCTI()^S ELLIPTIQI ES
l.'l l)h LLCIiS
APPLICATIONS.
t
I
I
TRAITÉ
I)KS
FONCTIONS ELLIPTIQUES
RT DE
LEURS APPLICATIONS,
Par G.-H. HALPHEN,
MKMDRE DK L'IXSTITUT.
DEUXIÈME PARTIE.
APPLICATIONS A LA MÉCANIQUE, A LA PHYSIQUE, A LA GÉODÉSIE,
A LA GÉOMÉTRIE ET AU CALCUL INTÉGRAL.
PARIS,
GAUTIIIER-VILLARS ET FILS, IMPRLMEUHS-UBRAmES
DU BUREAU DBS LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai dcB Grands- Augustins, 55.
1888
(Toas droits rôfcrrôit.)
f*
~-',r"J(;? ENGWrFRlNO I tÇRARV
'- ' -
(5^.^, /li/x»^-*-..^— .
r- ■ '
2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Déterminons trois angles ax^ ay^ az par les formules
(1) / cos ûwp H- * cos ay = Kj c '* ,
coseu: — I cosav = 77 e '"
Ces trois angles sont ceux qu'une droite a fait avec trois axes
rectangulaires x^ y^ z. Effectivement, nous pouvons conclure de
leurs expressions (i) les égalités suivantes (t. I, p. 191) :
cos' az = ■ *^ -^= >
(2) / . . pCt* — <*>a) — P w
^ » COS* oar -h cos'av = ^ — — ^— :
p(i^ — Wa) — 6'a'
cos* aa? -f- cos* oy -4- cos* az = 1.
Ce mode de représentation, qui joue un rôle dans les applica-
tions mécaniques, va donner lieu à une étude approfondie. Nous
y considérerons (Og comme étant une quelconque des trois demi-
périodes, u et V comme variables. Dans ces conditions, nous de-
vons d'abord examiner la réalité des trois angles.
La première formule (a) montre d'abord que les racines e»
doivent être réelles. Il s'agit donc de fonctions elliptiques à dis-
criminant positif. Les fonctions pii^ p(if — Wa) doivent être
réelles aussi \ les arguments t/, if sont donc ou réels ou purement
imaginaires, à des demi-périodes près (t. I. p. 89 ).
En posant, comme au Tome I (p. iqS),
(3) Ua=o'o>ae-«^-*"«,
on peut écrire l'expression (i) de cosaz sous la forme
(4) cosa<5 = Ua— z — - — •
Suivant la manière dont est choisie la demi-période (0», Uà a
toujours pour expression
et reproduit, sauf le signe qui peut différer, l'une des trois quan-
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ ROTATION DES CORPS. 3
lités U^, U'*, U''^ (t. I, p. 194), dont deux sont réelles et l'autre
purement imaginaire. Il est donc impossible que il et (^soient tous
deux réels ou tous deux purement imaginaires, ou l'un réel, Tautre
purement imaginaire. En effet, les fonctions d^ étant paires et ^
étant impaire, les trois quantités ^ " seraient, toutes trois, de
même espèce, ou réelles ou purement imaginaires; Tune, au moins,
des formes que pourrait prendre le cosinus serait donc imaginaire.
Une, au moins, des deux fonctions puj pv est donc entre e^ et e^
ou entre e^ et e|. Supposons pu compris entre e^ et e^^
Parmi les quatre intervalles ( — oo, ^3), (^3, ej), (^2, ^i), {e^ , -f-oc),
le troisième seul peut alors contenir pv. C'est ce qu'on voit par la
première formule (2). Effectivement, û pv est dans le premier in-
tervalle, alors p{v — (O3) est dans ce même intervalle, (03 étant la
demi-période purement imaginaire, nommée aussi o)'; pu — e^ est
positif, p{v — 0)3) — ^3 négatif; cos^â^ est négatif pour l'hypo-
thèse coa= (03. Si pv est dans le second intervalle, p{v — Wa) est
dans le quatrième et cos^az est négatif pour l'hypothèse Wa = Wj.
Si pv est dans le quatrième intervalle, p{v — C0|) s'y trouve aussi
et cos^az est négatif pour l'hypothèse coa = (Oj. Ces différents cas
sont donc impossibles. Au contraire, s\ pv est dans l'intervalle
(^a, ei), p(^v — toi) et p{v — CO2) sont dans le premier intervalle
et cos'a.3 est positif, inférieur à l'unité pour (i}a = (0| ou coa;
p{y — (Os) est, dans l'intervalle (ea, e^)y comme pv^ et cos^a.3 est
encore positif, inférieur à l'unité pour l'hypothèse (Oa= W3.
En. raisonnant d'une manière toute semblable et renversant
Tordre des intervalles, on verra que, s\ pu est dans l'intervalle
(ea, ei), pv est alors dans l'intervalle (^3, ^a)*
En résumé, quelle que soit la demi-période coa^ si l'on prend pu
et pv^ l'un dans l'intervalle (^3,^2)» l'autre dans l'intervalle (e2î^0>
l'angle az^ défini parla première formule (i), est réel.
Il est facile de voir comment doit être maintenant choisi G pour
la réalité des angles or, ay. Remarquons d'abord, pour les se-
condes formules (1), une forme analogue à (4); c'est la suivante :
coscw?-4- icosor ~ — GUJ — - — 7
à
4 DEUXIÈME PARTIE. — ÀPPLIGAT10Ii(S.
On voit par là que ralléralion de «»)«, au moyen de l'addition d'une
période, peut modifier seulement les signes des seconds membres.
Il sera donc permis de raisonner sur trois demi-périodes distinctes,
prises à volonté.
En désignant par (Du et (ù^, deux demi-périodes, Tune réelle,
Tautre purement imaginaire, on aura, pour u et (^, les expressions
D'après ce qui v\ent d'être reconnu pour la nature de pi/ et pr,
on voit que m' et v^ peuvent être supposés, l'un réel, l'autre pure-
ment imaginaire, comme tùu et w^, mais en ordre opposé.
Par le théorème d'addition des périodes dans la fonction (3*
(t. I, p. 182), on a
En supposant donc (Oa = co^, on aura
cosax — icosay (j{u — i'' H- <*)«*)
Les deux quantités coseM?±jfcosaj', ayant leur produit réel (2),
sont imaginaires conjuguées sous la seule condition que leur quo-
tient ait pour valeur absolue (module) l'unité. Or, à l'égard du
quotient des deux fonctions (^, au second membre, il en est bien
ainsi; car les arguments de ces fonctions sont conjugués ou con-
jugués au signe près, ce qui revient au même, puisque d est une
fonction impaire. Il reste à retenir, dans l'exposant de l'exponen-
tielle, les seuls termes réels, qui sont aYiaf^'-f- 2yi„m'. Ainsi, pour
la réalité des angles ax et ay^ on doit choisir G de telle sorte que
ait V unité pour valeur absolue.
A cause de la symétrie, cette conclusion subsiste si l'on suppose
(Oa = a)„. Si enfin on suppose Wa = Wn -|- (o^, on aura
cosax — icosay (^{u' — v'-i-'iuiu)
et la même conclusion subsiste encore.
CHAPITRE I. — FOUfULES ELUPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS.
Droites perpendiculaires.
Supposons maintenant une seconde droite 6, déterminée, en
direction, d'une manière analogue, les angles bx^ by^ bz étant
définis par des égalités analogues à (i), où G n'est pas changé,
mais où coa est remplacé par (o^.
Nous allons prouver que les droites a et* b sont perpendicu-
laires. Ce sera ici une application de la décomposition des fonc-
tions de seconde espèce en éléments simples, pour le cas d'un
pôle unique, mais double (t. I, p. 280).
Prenons la formule de décomposition, savoir :
( a-a,<ra,c^«a -'^P- =- * (a)-h (p -^ Ca, - Ca,)*(a),
Soit d'abord a^ = (Oa, «a = w^, p = X^a^ H- X^a^ = Yja -+- ^o» Ce
sera le cas signalé (t. I, p. 280) où la formule de décomposition
se réduit à un seul terme.
Désignons par ^( u) l'élément simple répondant à ces suppo-
sitions
(8) V(i4) = Ë_gt^«-^-V«.
Nous aurons
(9) ^ ^ ^ -;i ^ gtiQa-^-V" = r(u).
0^0)0(0^(0^ 0**1*
Faisons, dans la formule générale (7), une autre hypothèse :
ai = (^ — (Oû, «2 = tOfli — (;, p = Yjfli — "yip- L'élément simple ^(m)
peut s'écrire alors sous cette forme (t. I, p. 188)
^(w— a)fli-+-(«)«) ^
(^((Oqi — o>o)(ri^
= 5- e<^«-^^?^" = î ^/ j^)
6 BBUXifeMB PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous avons, en conséquence,
(10) \ (f{v — t»>a)cr(p — (Dû) <^^u
\ =-V'(w)-+-[««'-<«>p)-C(^-<«>a)H-^3-^a]V(").
Échangeons les indices a et ^, puis ajoutons la nouvelle égalité,
membre à membre, avec Tégalité (lo)^ il ne reste au second
membre que V(w). Remplaçons V(w) par son expression (9) et
nous aurons la relation suivante :
(11) j -f-o'(M-t;-+-u>a)or(M-f-(^— a)p)e^^?-^«'"]
-t- — 1-- P- e^^.-^^^« = o.
Il suffit de chasser les dénominateurs, de diviser par rf^ m rf^ç',
et de multiplier par le facteur commun g"^«***«"^P"P pour changer
Pégalité (11) en celle-ci :
!( cos bx — i cos bjr) ( cos ax-h i cos ajr)
-h {cosbx -{- £ cosby)(cosax -- * cos aj^ ) -+-2 cos a^ cos 6-5 = 0,
qui prouve la perpendicularité des deux droites a et 6 ; car elle se
réduit à
cos€ix cosbx-^ cosay (^osby -4- cosa^ cos 6^ = o.
Trièdre trireetangle.
Dans l'analyse précédente, les deux demi-périodes iOf^, cop ont
été supposées distinctes, à des périodes près. Sans cette supposi-
tion, les résultats seraient inexacts ; les raisonnements seraient
d'ailleurs sans valeur, la formule (10) devenant illusoire.
Comme il y a trois demi-périodes distinctes, on peut, par le
moyen des formules (i) représenter les angles que font avec les
CHAnTRE I. — FOUfULES KLUPTIQUE8 POUR LÀ ROTATION DES CORPS. 7
trois axes les trois arêtes d'un trièdre trirectangle. Ainsi, prenant
les formules (i), puis y changeant successivement a en b ou c^
€0a en cog ou coy, avec 7|a en r\a ouy\y, tout en conservant m, v. G,
on a une représentation des cosinus des neuf angles que font
entre eux deux systèmes d^axes rectangulaires a, 6, c, et
Xj y, «•
Quand on fait correspondre deux à deux les axes de chacun des
deux systèmes, comme a avec x^ b avec ^ et c avec z, on peut
rencontrer deux cas différents : ou bien les deux systèmes sont
congruents, c'est-à-dire qu'on peut transporter l'un d'eux de
telle sorte que les axes correspondants coïncident en position et
en sens ; ou bien cela est impossible et les deux systèmes sont
incongruents. La distinction de ces deux cas, comme on le sait,
se fait au moyen de la quantité
(i3) ^ ^ = e,
cosc^
ou d'une quelconque des huit analogues obtenues par permutation
circulaire de a, 6, c ou de x^ y^ z. Ces neuf quantités sont toutes
égales à -h I si les axes sont congruents, à — i dans le cas op-
posé. Ainsi l'unité positive ou négative e est le caractère de con-
gruence des deux systèmes d'axes.
Cherchons dans les formules (i) actuelles le caractère de con-
gruence. A cet effet, après avoir, dans la relation (lo), échangé a
et ^, comme précédemment, retranchons les deux égalités mem-
bre à membre, au lieu de les ajouter. C'est alors le terme W{u)
qui disparait et le terme suivant qui se conserve. Transformons
d'abord la quantité entre crochets : c'est une fonction doublement
périodique ordinaire de v ; exprimons-la en produit de facteurs,
ce qui est aisé, ses racines étant évidentes. Nous aurons ainsi
Ç(t; — u)p) — Ç(P — u)a) -+- tj^ — tj^
^(wa -+- (Do) (^vdiv — tOor — a)«)
8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
et il en résulte
(cosbx — icosby){cosax-h icosay) — {cos ba: -\- i cosby){cos cur — icosby)
c'a a'f
(3'( W -+- (Ua -r- (Oft ) 0'( i; -+- (Dût -t- (Oo )
= 2C^»**^*'P**** — p P^^-(T^g-^-T^fl)(tf-^-y-^-c^>g-^a)8).
Comme il a déjà été fait au tome I (p. iqS), nous supposerons,
pour la symétrie, les trois demi-périodes (o^, cog, toy liées par la
relation
Sauf la première exponentielle, le dernier membre est alors,
d'après (i), 2 cosc^, et Ton a
cosaxcosb}^ — cosbx cosay 1 r,atoB-r,pti)«
( 1 4 ) — ' ^ =6.
COS CZ l
Telle est l'expression du caractère de congruence. On sait
(t. I, p. 196) que l'exposant de e est ici un multiple impair de
— On a donc
2
Sur la décomposition d'une somme en un produit.
L'analyse actuelle nous offre, toute composée, une des innom-
brables formules particulières que l'on peut déduire des méthodes
générales de décomposition. Nous la mentionnons uniquement
en vue de l'usage qui va en être fait.
Parmi les relations qui ont lieu entre les neuf cosinus, prenons
celle-ci
\ (cos CLX-+- icosay){cosax — icoso^) = 2,
a
OÙ le signe sommatoire indique qu'on devra successivement rem-
placer a par a, 6, c. En mettant pour cosoj; ih icosay l'exprès-
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ ROTATION DES CORPS. 9
sion (i) et chassant les dénominateurs, on obtient la formule en
question
tù
et le signe sommatoire indique qu'on doit mettre successivement
^a, w?, Wy, 71a, Tip, riy pour o) et t).
Cette même formule peut encore s'écrire autrement, si l'on y
met V et v^ au lieu de v -{- u et (^ — w,
(16) VG'(t'— a))3'(Pi— 0)) a^(ucTQΫ'+»'i-»w)=:_2 0'«î!-^t-î^ (ft^JIlïl.
tù
C'est un cas particulier d'une formule plus générale que nous
allons obtenir. Prenons la fonction
(17) o(UyVfW) = ^, — — ^^ — -— >
qui, relativement à m, diffère seulement par la notation et par un
facteur constant de la fonction doublement périodique de seconde
espèce (7) envisagée dans ce Chapitre. L'élément simple corres-
pondant ^(i/) sera
9(U)= •
(18) ç(m, Vy w) = — *'(m) — [Ç(p — w) -4- Çw] *(a).
Multiplions les deux membres par cette fonction de i^j
(19) /(t') = 0'(P-.fV)c*'C«',
et l'on pourra écrire la formule ainsi
Soit A la somme (16); soit aussi S la somme obtenue en pre-
nant successivement pour iv les trois demi-périodes et multipliant
chacune des fonctions (p(i/, \p, co) parle terme correspondant de
A. On aura
(21) S =T^(^ — ^) G'Ci'i— w) o'îwe^^*'"^*'»"**^^ ç( M, P, co).
lO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Dans 'celle somme, chaque multiplicaleur de ^ a, relativement
k V et sauf un facteur indépendant de Vy la forme ci-dessus /(^).
On a donc, suivant (20),
S=-A*'(")-^*(")-
dv
Remplaçons A par le second membre (16) et nous aurons
S = ao'» -_ 0^ __î |^4> ( w) + Ç (^-^^ -+- C — ^-- j *(tt)J
ou, suivant (18),
S =-2o'« ___ o't— — (p ^w,i,,--_ j .
Si enfin nous remplaçons S et^ par leurs expressions (17, ai),
il nous vient, les dénominateurs chassés,
-lCl>)
CD
= —23' 0^ ' CI tt \ ^\U ) •
a a\ a/\ 2/
Cette formule prend un aspect plus symétrique si Ton écrit
w, Vy w au lieu de u, (^ — a, v^^
^ — ï— '
le produit, indiqué par II au second membre, s^applique aux
quatre facteurs obtenus par les diverses combinaisons des si-
gnes ±.
CompoBition des trièdres trirectangles.
Soient trois systèmes d'axes rectangulaires a, 6, c; x^^ y^^ z^\
X\j y\^ Z\. On donne les cosinus des angles que font les axes
a, 6, c avec les six autres axes, et Ton demande les cosinus des
angles que font entre eux ces six autres axes. C'est ce problème
CHAPITRE I. — FORMULES ELUPTIQUES POUR LÀ ROTATION DBS CORPS. 1 1
que, pour abréger, l'on désigne par le mot de composition des
trièdres trirectangles, problème résolu par des formules élémen-
taires de Géométrie analytique, mais qu'il s'agit de résoudre ex-
plicitement au moyen de la représentation elliptique précédente.
On supposera les cosinus exprimés, par les formules ci-dessus,
au moyen des mêmes fonctions elliptiques dans les deux cas, mais
avec des quantités Go, e/o? ^o pour les axes x^^y^^ Zq et des quan-
tités différentes G| , u^j v^ pour les axes x^j yt, z^
Pour résoudre le problème, on cherchera ici trois quantités
seulement
COS-»o^l-4- »COS-»o^l> COSZiXo-h icOSZiyof COS^iZq,
qui suffisent à déterminer les neuf cosinus. En premier lieu, les
conjuguées des deux premières s'en déduisent par les relations
i (cosjso^i-^ i<^oszoyi)(coszoXi — icos-soj'i)
^ \ ={cosziXQ-h icosziyo)(cosziXo—ico9Ziyii)=:i — cos'^iZo.
Quant aux autres cosinus, ils se déterminent aussi, sans ambi-
guïté, par la quadruple relation suivante, où i et y prennent à
volonté et séparément les valeurs àz \J — i ,
Icosaroa?! -*- i cosa?o^i -hy cos^o^i -+- ij ^osy^yx
__ (cos^orPi -4-t'coszoj/'i)(co8Zia:o-t-y cos^t^o)^
ij — cos^O'^i
Ce défaut d'ambiguïté tient à ce que , dans le cas actuel , les ca-
ractères de congruence des deux systèmes Xq^ yo^ ^o et ^o j^i, Zi
par rapport ka^ bj c coïncident, puisqu'ils dépendent seulement
des demi-périodes. Les deux systèmes ont donc entre eux le ca-
ractère -H I . Dans le cas, au contraire, où l'on aurait deux sys-
tèmes incongruents , il faudrait, au dénominateur de la for-
mule (24), remplacer ij par — ij.
Nous ne nous arrêterons pas à prouver ici la formule (24)) qui
est une conséquence facile des relations analogues à la relation de
congruence (i3).
D'après une formule élémentaire de Géométrie analytique, on a
(25) coszorTidb i cosjspyi = ^^cos azo(cosaa?i ± icosa^i).
12 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
En prenant le signe pluSj nous aurons, suivant les formules (i),
(0
La formule de sommation (22) donne donc immédiatement
Semblablement, en prenant le signe moins, on trouvera
(.7) cos^.^,- icosz,y,=- / JJtf
Semblablement aussi, cosz^XQzhicosz^yo s'obtiendra par les
mêmes formules, où il suffit de transposer les indices o et i .
Par cet échange , on retrouve les huit mêmes facteurs , mais
groupés différemment; d'après la double égalité (28), ceci con-
stitue une seule et même expression pour i — cos^^o^^i, savoir
sm z^zi (o'MoO'ç^oG'aiO'Pi)»!!
Nous allons par là arriver à l'expression de cos.So'^i* Tout d'a-
bord, en posant
(28) p — = a, p — ï~~ = ?» P i — =*' P~^^ — P'
on peut transformer l'expression du sinus au moyen de la formule
fondamentale (t. I, p. 171) et écrire
En extrayant la racine carrée, il reste à fixer le signe, qui est
déterminé, puisqu'on pourrait obtenir aussi cos^o^^i P^i* 1^ formule
cos^0'5i= ^^cosa^ocosa^j.
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ ROTATION DES CORPS. l3
Si Ton observe que les deux systèmes d'axes coïncident moyen-
nant l'hypothèse Uo=Ui^ (;o=(?,, Go=G|, et que cette hypo-
thèse rend a! et P' infinis, cos^o^t = 4- i, on voit qu'il faut con-
clure
/ X (a~p)(a'-?')-4-(a--3')(a'-?)
(.9) cos^o^i= (oc-la-KP-/)
Le problème de la composition des trièdres trirectangles se
trouve ainsi résolue.
Voici quelques transformations utiles de cos^o^^i* On a tout
d'abord
( '-^^^^^^^ = -^^a-a-)(3-.n^
Changeant les différences de fonctions p en produits de fonc-
tions d par la formule fondamentale, on obtient
il faudra, dans le produit H', prendre seulement les quatre fac-
teurs où le nombre des signes moins est impair ou pair suivant
que le signe, au premier membre, sera plus ou moins,
La troisième forme que nous allons donner à cos^o^i» dissy-
métrique par rapport aux lettres u et v^ est celle qu'on rencon-
trera dans les applications. Posons un instant
(3i) a = pa, a'=pa', ? = pb, p'=p6',
d'où résulte
(g — p^)(a^~3) _ (^(a-^b')(f(a—b')cf(a'-\-b)(ï(a''-'b) __
(a — a') (^3 — fi') " tfCa + a') s-i^a— a') a'(6 -f-6') a'(6 — 6') " '
Envisageons à part le produit
(i{a'-\-b )^ a'—b)
^(a-ha')<^{a — a')^
l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
fonction de a', doublement périodique, que nous décomposerons
en éléments simples ainsi (t. I, p. ao6) :
(i{a'-\-b)(^(a'-b)
(^ (a -h a' ) (^ (a — a')
<f(a — b)<f(a-\-b)
<3'2a
[Ç(a-ha')-+-î(a-a') — Ç(«-*-*) — î(«— ^)]-
Dans cette égalité échangeons a! et 6', puis divisons membre
à membre ; il viendra
;(a-i-a')-Hj;(a-a^)-,j;(a-4-6)-i:(a-6)
~ Ç(a4-6')-HÇ(a — 6')--Ç(a-H6)-Ç(a-6)'
Suivant la première égalité (3o), on a
COSZqZi = — I — 2 F.
Chassant le dénominateur, puis remettant, conformément aux
égalités (28 et 3i), pour a, a', 6, 6', leurs expressions - ^ *
2
Un —Ut ÇQ-h Vi Vq — Vi
9 -^ -} -^ 9 nous aurons
222
2ÇMo-H2Çai — J^^Ç
(32) COSZqZi=.
^ - Ilp-t- UtZt(Vo—Vi) _^yÇ^ Mp-t- Ut±(Vn-^V\)
Angles d'Euler.
Lies angles d'Euler, ainsi nommés parce qu'ils figurent dans les
formules données par Euler pour le changement des coordonnées
rectangulaires, sont ceux que l'intersection de deux plans, l'un des
nouvelles coordonnées, l'autre des anciennes, fait avec un des
axes situés dans un de ces plans. On en considère habituellement
deux, ceux, par exemple, qui sont formés par l'intersection des
plans ab et xy avec les axes a et x^ et c'est par ces deux angles,
avec l'angle cz, qu'on détermine les huit angles ax, ay, .... Il y
a dix-huit angles d'Euler, suivant la définition qu'on vient d'en
donner; chacun d'eux n'est déterminé qu'à un multiple près de
la demi-circonférence, quand même on suppose les sens de rota-
CHAPITEB I. — FORMULES SLLIPTIQUBS POUR LÀ ROTATION DES CORPS. l3
don bien définis, et nous le supposerons toujours, en prenant
pour positifs les sens habituels de x vers y^ de y vers -2, de z
vers Xf de a vers 6, etc. Effectivement il est impossible de pré-
ciser le sens pris pour positif sur l'intersection de deux plans
coordonnés. Toutefois, neuf de ces angles peuvent être précisés
(à des circonférences près) si l'on a précisé les neuf autres. Il
suffit de convenir que le sens positif de l'intersection de deux
plans, par exemple ab et xy^ est pris de la même manière pour
compter les angles de cette intersection avec a et avec x.
On. peut dénoter ces dix-huit angles ainsi (cz, a), (cz, x)^ . . . ,
la notation cz indiquant qu'il s'agit de l'intersection des plans
perpendiculaires à c et à z, c'est-à-dire ab el xy^ et la dernière
lettre a ou ^ indiquant l'axe à partir duquel est compté cet angle.
Il est très aisé de démontrer les formules suivantes relatives à
ces angles
(33) «*«<"» «^ = ±1 ; y tf*'i"»*J = n: je -, —•
sinc^ sincz ^
Dans ces formules, toutes les conventions précédentes sont ob-
servées, et l'arbitraire qui subsiste dans le signe de %\tlcz corres-
pond à l'indétermination des deux angles. Pour avoir les seize
autres formules, il faut avoir soin, sans changer £, de permuter
circulairement a, 6, c ou x, y y z,
A l'égard des angles doubles, l'indétermination n'est plus que
de circonférences entières, comme il apparaît dans les formules
( 34 ) e^i^cz, «) = - ^s az-H^_cos65 ^ ^^^^^^^ ^, ^ _ cos c^ -4- t cos cy ^
cos az — i cos bz cos ex — i cos cy
Les formules (i), où l'axe z est mis à part, ne font apparaître
d'expression simple que pour les angles formés par l'intersection
du plan xy et des autres plans; ces angles sont au nombre de
six. Trois d'entre eux sont immédiatement donnés par les for-
mules (i)
avec deux analogues obtenues par le changement de a en 6 ou e.
Les trois autres n'apparaissent pas d'abord; mais nous allons les
l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
trouver, et ce sont les formules de la composition des trièdres qui
les fourniront.
Dans les formules (i), supposons u = wp, ç = (o^, G = e""^»"?.
Elles donnent
cosa5 = o, cosaardr tcoso^ = I.
L'axe a coïncide avec l'axe x. Prenons maintenant les formules
relatives à l'axe 6, changeant, pour cela, a en ^ dans les for-
mules (i)^ nous avons alors, d'après (i4)î
cos bz = 0, cos bx -f- i cos by = c^Opwa-^aWp == je.
L'axe b coïncide avec l'axe y ou avec son opposé en sens, sui-
vant le signe de e = ii= i . Il en résulte que l'axe c coïncide avec
l'axe z.
Ces suppositions, que nous venons de faire pour w, s^, G,
faisons-les maintenant pour M|, v^^ Gi, et employons les for-
mules (26, 27) en y supprimant l'indice zéro. Nous aurons
cosa^-l-»ecos6z = — — -— — I I <3' >
cosa^ — it cosbz = — — — - — — I I <?' »
formules où l'on pourra permuter a, 6, c entre eux et, en même
temps, a, p, y. On en déduira trois angles d'Euler par des for-
mules telles que celle-ci
tf-I ^
( 36 ) e«'(«» «^ = e-*^««-? TT ^ — — - •
a' ?
Si l'on avait fait la supposition des valeurs particulières sur Uqj
Vq , Gq et supprimé l'indice i , on aurait trouvé de nouvelles
formes pour cosco? d~ icoscy et les similaires. Ces formes nou-
velles se ramènent immédiatement aux formes initiales (i) par la
formule de duplication de l'argument dans la fonction (^(t. I,
p. 197). Quant à la forme nouvelle de cosc^ à déduire de (3o),
elle présente de l'intérêt en ce qu'il y figure seulement des fonc-
tions p ; mais nous ne voulons pas y insister.
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ ROTATION DES CORPS. I7
Expression du produit cosa^cos6^coscz.
Si Ton prend cosa^ et ses semblables sous la forme (4), pour
les multiplier entre eux, les arguments u et v n'apparaissent plus
que par les fonctions p', comme il résulte d'une formule démon-
trée au Tome I (p. 196),
(87) cosazcosbzcoscz ^ i UÎUîUyp'MpV.
La quantité U^ reste inaltérée en valeur absolue, mais peut
changer de signe, quand on modifie (Oœ par l'addition d'une pé-
riode. Si l'on prenait, pour les trois demi-périodes, o), co', co", le
produit des trois quantités U^ serait
{ei — €t){et— ez){e^-' ex)
On peut démontrer sans diflQculté qu*on a, d'une manière gé-
nérale,
(38) UâUjUÎ = , : r,
£ étant la même quantité ± i, qui est déjà intervenue (i5). Mais,
sans faire de démonstration directe, nous pouvons l'établir indirec-
tement par la conséquence qui nous importe ici et qui est relative
à la formule (Sy). Cette formule deviendra
(39) (Cflt — *ft)(^ft — ^y)(^r — «a)cosa^ cos^^cosc^ = — T-.p'wp'p;
il j reste seulement jusqu'ici une incertitude sur le signe du se-
cond membre, puisque la formule (38) n'est pas établie.
Pour faire disparaître cette incertitude, supposons
a = (Ug -t- a', ç^ = (Ua -f- v'.
Ainsi qu'on l'a déjà vu au paragraphe précédent, si u' et v^ étaient
nuls, cosa^ et cos6^ seraient nuls, et cosc^ serait l'unité. En sup-
posant donc u' et s/ infiniment petits, on aura, pour la partie prin-
II. 2
20 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
D'après les notations {4o), la quantité £ (i5) se réduit à
ce que l'on peut, suivant (40» écrire ainsi :
(44) tz=z(—i)a-i-b-i-c+i^
Il est utile de noter ici les hypothèses par lesquelles on amène
en coïncidence les axes a, 6, c avec les axes x^ y, z dans un ordre
quelconque. Les voici, faciles à vérifier sur les formules (42, 43)^
(45) a'=o, v'=Oy G'=e *, a = o, 6 = 1:
Xy y^ z coïncident dans cet ordre avec a, 6 et ec (c'est-à-dire le
sens positif ou négatif de c suivant que e = di i) ;
LE
(46) u'—Oy i''=(o', G'=e*, 6 = 0, c = i:
x^ y^ z coïncident dans cet ordre avec 6, c, ea ;
(4^) tt'=(u, p'=o, G'=e<, a = o, c=i:
j?, j^, >2 coïncident dans cet ordre avec c, a, eè.
On doit avoir soin d'observer, dans les formules (4a, 43), que U'
est une quantité purement imaginaire et U'' le produit d'une
lit
quantité réelle par e* (t. I, p. i94)«
Après avoir calculé directement les formules relatives à la droite
a, celles qui donnent cosajs et cosaj? zt i cosoy, on peut obtenir
les autres par des changements forl simples : pour passer de a à
6, on échange co et o)' ainsi que u et v^ en observant de changer i
m
en — f, à cause de la quantité tico' — r\'(ù = -7' V^^ échange son
signe ; pour passer de 6 à c, on change co' en a)'+ o), sans changer
O), w, V '^ u' se remplace alors par u' — w.
Formules pour la composition des trièdres.
Nous allons faire les transformations analogues dans les for-
mules (26, 27) de la composition des trièdres. Pour ce but, nous
transformons d'abord l'identité (22).
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 21
Dans la formule de sommation (22), posons
i> = a)fl( H- ç^', u = a)o-+-tt', w=zts}y~{-w' (tOa -H tOg -h coy = o),
et transformons d'abord le premier membre par les calculs sui-
vants :
et, de même,
Siy dans le terme de la somme (22)
on fait ces substitutions, on trouve
produit où les facteurs séparés par un point sont, les premiers va-
riables d'un terme à l'autre, les seconds fixes.
Pour le second membre (22), le facteur rf devient
o • Le facteur d se transiorme en celui-ci :
2 2
(Ufli -h (Uq — (Uy -+- m' -+- p' — w'
= a f a)y I = tfOly s'y
e ' *
2
Permutant circulairement les lettres v^ u, w et a, p, y, on ob-
tient deux transformations analogues.
Dans le produit des trois quantités analogues, l'exponentielle
contient son exposant, — ( — v^y -|- via — tiq) = ti^v^', et ainsi des
autres. La transformation de l'égalité (22) donne donc (les accents
supprimés)
/ o'p s'y M G'p (V -I- a* a c'a w s'y t' -+- a* IV cTp p 0*01 1^
(48) \ «_}_j/_4_n; V -^ Il — w u -\- w — V w -^ V — u
I = 2 tf c'y C'a C'a •
\ 2 "^ 2 * 2 P 2
(49)
22 DEUXIÈME PARTIE. >- APPLICATIONS.
Dans la somme ^ cosazo{cosaxi 4- icosayt), qui compose
a
cosZo^Ti + ï cos^oj^i (^5), employons pour chaque terme les ex-
pressions (42, 43), avec des indices zéro et unpour distinguer les
quantités afférentes aux deux systèmes d'axes. Nous trouverons
justement la somme (48) où Vq^ m'^, u\ -f- v\ remplacent Vj w, w»,
où, de plus, a = i, ^ = 3, y = 2; cette somme est multipliée par
le facteur commun G, up; mais, en outre, les termes ont des si-
gnes différents, étant affectés des facteurs respectifs ( — i)**»"*"*!,
( — i)*o+*t, ( — i)<^o+<?i+*. Cette circonstance n'introduit aucune diffi-
culté: la somme (48) se change en la somme actuelle si l'on prend
(;==(— i)«.+«i(;;, M = (—!)*.+*.«;, iv = {—iy.+<^i+*{u\-hv\).
Observons maintenant que ao + 6o -+- ^o et «4 -f- 6| 4- c^ sont de
même parité (44)^ ^^ posons
pour conclure
COS^O^Ti -h ICOS^o^l
^ u\ -f- v\ — iiu'^ — vp; ^^
2
^ rf "'1 "^ ^1 — t^"0 -^ ^^0 ^ "1
, I X <T| 03
= — flV2Gj
La quantité conjuguée s'en déduit par le changement des si-
gnes devant ç\ et v^^ le changement de G'^ en son inverse et la
multiplication par le facteur i.
On a vu précédemment que la quantité cos^Zo^i -\- icoszQy^
permet de calculer un angle d^Euler (33). Prenons, en même
temps, l'analogue avec échange des indices o et i, et déterminons
les deux angles (ifo-^M ^i)> (^o^i j ^0) de telle sorte qu'ils se rap-
portent à un même sens de la droite z^z^. Nous avons pour cela
les deux formules (33)
(5o) {
g/(ZoZ|,Xo) =r — i ; f— .
SlD^O^l
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. a3
Le facteur réel
o^j u\ c'a m'o Cl v\ Cl p'o
ne change pas quand on échange les indices. Son produit par
l'inverse de sin^o^i ^ un signe arbitraire, comme le sinus lui-
même ; mais ce signe arbitraire sera le même pour les deux for-
mules. Soient maintenant Oq et 0| les arguments des imaginaires
G'^ et G'^ ; soient Wi et ^o les arguments du produit (^(^2^i<^3 au
numérateur du second membre (49) et du produit analogue avec
permutation des indices o et 1 .
Nous conclurons des deux formules (5o) celles-ci :
(5i)
I (ZiZqjXq)
ir
2
TU
2
X
— - + Oi -+- W| -+- Ait:,
4
7t
— 7 4-6o-h^'o+ ^*oTî,
4
avec cette condition
Ati -H Atq = un nombre pair.
(52)
Expression des angles d'Euler.
En faisant, dans la formule (49)? sur u\, i^\, G\ une quel-
conque des hypothèses particulières (45, 469 47)9 ^^ supprimant
les indices zéro, on obtient
I
n
cos az -h i cos oz = ( — 1)^-^*2- ,,.„ - — j- — ?>
C Ct — z ^1 — 0^8 > X = (— i)'*"^^^
2
2
COS^^-h (COSC^ = ( — l)*2
n.
U U' Cj m'Ci (^'C, (u
7»
H
m'-4-Xç''-+-wo)' tt'-+-Xp' — fjLU)' m' — Xp'-hïxod' a' — Xv' — jio/
C Cj Cl Cj y
2 2 2 2
COSCZ-4- JCOSa-5 =( — i)a+c-hla
I7C
UU' Cs^'Cit^'CaO)'
n
^a'-h fxo) -|-X(^ a — fjLto-f-Xt; ^ tt -huLOD— Xp' a — ji(u — Xp
C Cj ^ Cl Cj ;
2 2 2 2
X = (— l)<^+», |X = (— !)«+».
24 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
En rapprochant ces dernières formules (52) de celles (43) qui
donnent coscx + icoscy, . . ., et raisonnant comme on Ta fait à
la fin du dernier paragraphe, on obtient, sous la forme ci-après,
les six angles d'Euler.
Soient
^uf fà) fc les arguments des imaginaires 11^, n^, n^;
^a, ^by ^c les arguments des imaginaires (^3(1/'+ v^), di{u'-\- v'),
c^(w'4-i'');
0 l'argument de G';
on a
I (cz,a)= ^a-^àiz,
h -^ h'-\- b -^ c
icz, x)= --1-6-^ ^c-^ h'iz. ( = un nombre pair;
24 '
{az,b)= ^ -+-çp^-uA:7c , , ,,
(53) / ^ £7t it ^ , ,, { = un nombre pair ;
(azjx) = h- H-O-r-d;^ "h k TZy
24
(6Z, C)= - -f-06-+-i>7t,
p -+- j»'4- a -i- 6 -h c -h I
e:r 7c ^ , , ( = un nombre pair.
2 4
Expression des cosinus et des angles par les fonctions ^.
Les formules du début (1) ne comportaient aucune distinction
entre les trois demi-périodes. En nous préoccupant de la réalité
des angles, nous avons dû mettre à part la demi-période com-
plexe co" ; la symétrie a subsisté entre les demi-périodes o), o>',
l'une réelle, l'autre purement imaginaire, et cette symétrie s'offre
encore dans les formules (42 et 43) ; car, si l'on y échange w et o)',
1/ et i^, a et 6, i et — i, G' et son inverse, ces formules se repro-
duisent inaltérées.
Mais voici maintenant où chaque demi-période va jouer un
rôle spécial : l'emploi des fonctions 2r. Suivant qu'on formera
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LÀ ROTATION DBS CORPS. a5
ces fonctions avec Tune ou Tautre des quantités q ou q^
q — e , q\ = e
on aura deux groupes de formules. L'échange des périodes fera
passer de Fun à l'autre des groupes, mais non d'une formule à
une autre formule d'un même groupe. Voici ces formules, que l'on
obtient par les substitutions données au Tome I (p. 25i et 266),
pour la quantité q^
(54)
v! s?'
— = u, — = V,
f , . I St., u 3r, V
; cosa.s = , — 1)« - -^ — g-— ,
j ' ï S7ouSr,\
3r,u2r,v
- 2r j u 3r- V
^0 u Sr, V
cosoxH- icosq/ = ( — i)« G c — ^ — ^ -t
coste-H tcosô^ = ( — i)*Ge — ^- — ^^- -y
coscx -t- tcoscy = ( — iV+iGc — ë: — ë: -y
"^ ' STo u Sr2 V
. *Yïa)u,T, -ilE^i ^^^^^^
l cos ;;o ^1 -^ * cos iSo r 1 = — ^v G; c % „ ^1, gr v ^ v
Dans cette dernière formule, on a, pour abréger, omis les argu-
ments de âs) 3^2) 3^0» ce sont les mêmes que pour (^2» ^\i <^3 res-
pectivement dans (49)9 sauf remplacement de u^^ . . . par U| , ... ;
|jL, V ont même signification que dans (49)*
Si l'on veut avoir maintenant les formules analogues avec la
quantité q^^ on peut transformer les fonctions 3 directement
(t. I, p. a64), ou encore échanger a et 6, w et cj', u! et ç^', en
changeant le signe de i.
Par suite de cette opération, les indices i et 3 des fonctions 3
se conservent, les indices o et 2 s'échangent.
26 DEUXIÈME PARTIE. — ÀPPUGATIONS.
Les lettres u, v n'ont plus la même signification que dans les
dernières égalités (54), mais celles-ci
— , = u, — , = V.
2 0) 2 W
Voici, par exemple, deux formules :
3^1 V 3^30
)cos az = \^ — 1 ;*♦
v-/ . /«
(3* V 3» u
f cosaar-4- icosov = ( — i)«G c — ^ — ^ •
Dans ces dernières (55), v est réel et u purement imaginaire,
tandis que Finverse a lieu dans les formules (54)-
Expression des cosinus par des séries.
On peut, dans les formules qui précèdent, développer les fonc-
tions âr ou (^ par les divers moyens donnés au Tome I. A titre
d'exemple, nous formerons ici les développements qui sont donnés
au Chapitre XIII de ce Tome I. C'est précisément pour déve-
lopper les quantités cosc^r 4- i cosay et les analogues, que Jacobi
a trouvé les séries générales de ce Chapitre XIII, relatives aux
(onctions doublement périodiques de seconde espèce. En outre,
le même Chapitre donne, pour les logarithmes des fonctions d^
des développements qui conduisent à des expressions tout à fait
explicites des angles d'Euler eux-mêmes.
Le développement des formules (42) qui donnent cosaz, ...
se fait par les formules du Tome I, pages 43i et 45 1. Voici la
préparation du calcul pour l'une d'elles
cosa^ = ( — i)«
UU' (^iu' ta'ip'
(2 0) 1 \'
Comme v^ est purement imaginaire, il faut remplacer les lignes
trigonométriques, dans le second facteur, par des exponentielles
CHAPITRE I. — FORMULES BLUPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS.
réelles. On posera
UTZ
27
(56)
et l'on aura
1V1C
= v,
ab>
= u,
(5-)
(58)
cosaz = ( — i)«
COS^^ = ( — l)*
COSC^ = ( — l)<
A(u)A-(V)
A'(^) '
B(n)B'(\)
C(u)C(V)
C'(y) '
T
A(u) = i-^42t
cos/nu,
A'(V
B'(V
C'(V
X'(q
B'iq
Q\q
"" i-f-V« "^^^^ ^^ I -h y/» v» '
- i-hV« ^^2i^ '^ 7^:^ ""v^^
" 1-4-V» ji^ '^ I-+-7'* v« '
m
? "»?
= , + 42(-i)*I
L'angle réel II peut être quelconque, maïs la quantité réelle V
doit, pour la convergence, être comprise entre y et -• Ceci oblige
à limiter s/ entre — 2 w' et 2 w', dans l'étendue d'une double pé-
riode ; mais on peut, sans restriction, renfermer s/ dans l'étendue
d'une période entre — iJ et w' et supposer ainsi V entre ^Jq et - -. •
Le développement des formules (43)i qui donnent
cosax-*- icoso^...,
28 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
se fait au moyen des fonctions figurées au Tableau de la page 4^5
du Tome I. Voici la préparation du calcul pour l'une d'elles, sous
deux formes difi^érentes :
(- 0« -
YJmV lit
-f-e ^ * (cosûMc-j- tcoso^)
^ ["20) i'S^{u!-^s?') -^] /OU) _i_ _oV_\ i
it UU' o'îtt'o'iP' ^ J\it UU' (i^u\
(2(0 I \*
V \})
Dans chaque forme, les deux dernières fonctions ont déjà ap-
paru pour le calcul de cosaz; le premier facteur, d'après le Ta-
bleau de la page 4^5, se trouve (p. 4^*2) tel quel pour la première
forme, et sauf changement de tt et ^ en w + w et ç^ -j- w pour la
seconde. On obtient ainsi
/ cosaar-htcosay __ A"^(u, V)A^(V) _ A'^(u,Y)A(u)
] cosbx-^icosby _ B"(u,V)B^(V) _ B'^(u,V)B(u)
I (— i)*G'e " *
coscx-^icoscy C"(u,V)C(V) __ C'v(u,V)G(u)
ri!^^-*^'" €"(0) "" CUq)
A- (u, V) = -p£4yi + 1*2 î^ (V» e""" - ^^ «-"•"•) '
m-4-/i— 1 mn
(6o)
1 — V« ^^ - îî^/ I . \
C"(u,V) =- ^2^^ (^" *"'"*" V^ *""'"')'
G"(u, V) = i\^i + tangtt + at^^- '>~^ ^~ (^V" «"■•'■"- :^«- '«■'■»] ;
71, /i' = 1 , 3, 5, ... ; /n, /n' = 2, 4» ^} • • • •
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 29
Les séries doubles peuvent être remplacées par des séries sim-
ples, comme on Fa \u au Chapitre XIII du tome I, au moyen ^u
groupement des termes par rapport à l'un des indices variables
/w, m'y /i, n',
A peine est-il besoin de dire comment ces séries donnent expli-
citement les cosinus. Si Ton pose
(61) G'e ^ "^ * =e*^,
on aura, par exemple,
/ ( — O^cosoar
= X^) |ri:Vi <=osÔ'+ *2^^ [v'.cos(e'+ mu) - l;cos(e'- m u)]
(62) {
( — \)*^cosay
Pour obtenir maintenant les développements analogues au
moyen de q^ au lieu de y, il n'est pas besoin de recommencer le
calcul. Voici ce qu'on doit observer : si l'on met, dans les expres-
sions (4o), à la place de
I I I ' , I t
^7 ^ y *a> *3i» *q» -^Qj Sui S^^, *j», S^j M , V
respectivement
O)', (O, s
' ' * ' t I
Ri *Q» *a' *ÛC — I» *^> — ^V — ') *„» — Su, V, U,
cOflt et (op s'échangent ainsi que m et ^. Les droites a et 6 s'échan-
gent donc. Les exposants a, i, c (4i) se remplacent par 6 -t- r,
a, c; la quantité G^ se remplace par iC (40-
Si donc on pose
«M 'te f
(63) e«<»=U, — -, =0,
3o DEUXIÈME PARTIE. -- APPLICATIONS.
on obtient
. . B(tî)B'(U)
cosa^=(-,)a_^_^,
(64) ^-^- = (-')-^^^S^^'
A(yi)
C0SC5 = (— I)c___l--Jf,
^ (yi)
cosaar-htcosar __ B^(o, U)B'(U) _ B'^(p, U)B(p)
cos6a7-f-tcos67 _ A"(o, U)A^(U) _ A'^(o, U)A(o)
(65) { ÎJ^^.rtE"" A'(yi) " A'(yi) '
coscar-htcosc^ _ G"(o,U)C(U) _ C'^(o, U)C(p)
(__,)c+lG'c ^' *
Par l'emploi de l'un ou l'autre des systèmes (67 et Sg ou 64 et
65), on peut, comme on sait, supposer q ou q^ inférieur à
e~^= 0,04321 ....
Développement des angles d'Euler en séries.
Soit à calculer {<:z^x) conformément à la formule (53). On a
pour cela besoin de i{c^ argument de <^(a'+ (^'), c'est-à-dire
(6G) 4„=-l.logJfi^.
^ ^ ^ 2t ° (^(a — S? )
L'égalité (36) de la page 4^8 (t. I) donne ainsi
t.m'p' /i — V* \ ^^ q"^ I — V«"« .
Wc=-î-: harctanffi TTrCotu) -Ha > — ~ — r — ttz. — sinmu.
Yc
Hù
/i — V* \ v^ qm^ I —
°\i-+-V* / .^/n(i — qf^) V
m
Cet arc i(c n'est indéterminé qu'à la circonférence entière près,
non à la demi-circonférence, comme l'indiquerait la fonction
arctang, qui y figure. C'est qu'en efiet cette fonction s'y présente
comme l'argument de l'imaginaire
SIQ -^ = -. — —
= ~r(i-4-V«)sintt-Hi(i — V«)cosu)l
CHAPITRE I. — FOEMULBS ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 3l
Ainsi arctangf v«^^^^) * ^^^ cosinus du même signe que
sînil (V étant positif). De même, arctang ( — -yi tang tt] , qui va
apparaître, a son cosinus du même signe que cosH.
Voici d'abord les trois angles ^c^ tj^a, ^4, exprimés chacun de
deux manières :
wi = a, 4> 6, ... ;
(67)
.' .j
^c
■ arctang ( ^7^ cotu 1 -t- a > — 7-^-
m
Ib)
1t T)' m' v'
ICjD
(1 — y/îi) v»
I — V»'» .
sin/nu
arc tang ( rr-cot») -\-%y —-J±—--.
sin/no;
m
sin/nu
V»
m
-î-7— , arc tang
(-1)» çrf I — U»'» .
/i — U« \ V(— i)'fl^r I— U»*»
m
+6
= -^-t arctang! rr- tangu ) 4- a > -^ ^— -, — :rr —
(_,)îûr'n , ^yim .
^ sinmu
.' ,j .j
m
S
1 — U»'» .
sin/no.
m
Dans la seconde expression de i^ct le terme - provient de ce
que, en intervertissant vl et (^', on doit écrire
(66a) ^;,= _Jog[-^^.j^,-^J=-.log^;^^
sauf un multiple de la demi-circonférence. Mais, si l'on suppose
u'=(o, v' = iJ et, par conséquent, tt = tl = -> les deux fonc-
tions arctang se réduisent à zéro, ainsi que les deux séries (67);
les deux expressions {6Q^ 66 a) se réduisent à -.vjw' et — h -• V^j
» a £
quantités effectivement égales entre elles.
Le calcul des séries pour les trois angles (c5, a), {az^ 6), (ôs, c)
donne lieu à des réductions remarquables. Pour les développer
32 DBUXIËHB PÀKTIB. — APPLICATIONS.
avec clarté, nous prendrons quelques formules intermédiaires en
développant les quatre fonctions suivantes :
(68) / \ I \\ I
,, , ,> I , «'>,(«'+ l'')3'j(«'—t'')
Avec les notalions actuelles (56), les séries de la page 4^8
(t. I) donnent, pour les fonctions, les développements suivants :
/?t = '2) 4) ^1 * ■ * } /t = I; 3) 5) ....
-♦- ^ 7. — r^ rris ^/.^ sin2/nu,
,(l__y2m) V5
/'(a', p') = arc tang ( lll__ -,-1— )
V^ ûrî« I— V^« .
+ 2 ^ — -i — - — : ir: sina/iu,
, , ,, T.rïvCv' V' ^'^ 1— V*'» .
©(m , i;') = — î: h 2 > — T— î — - — : — ^TFi sinam u,
TV » / j^n(i — y*") \*«
Si l'on prend la somme /'(tt', (^') + ?'("', ^'), en réunissant les
deux séries terme à terme, on a, dans le coefficient du terme gé-
néral, la réduction suivante :
ri« nn nn l \ .JL. nn.\ nn
q^ __q^{\^- n^^ _ q^
I — q^^ I — y*'* I — q^'^ 1 — ^^
Des réductions analogues ont lieu dans les autres combinaisons
2 > — T-^ .—rrrz sin a mu
CHAPITRE 1. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 33
ci-dessous, et l'on obtient
;' /(M', !>')-+-?'( M', i>')= arctang (i^Z^-^i—)
V^ ^^ I — V*« .
^^n{\ — q^) V"*
/ I _ V \
/(a',p') — ç(m', p')= arctangf — ^ cot2U j
(69) < ^
f'{u\ v') - =)'(«', v') = arc tang (^ '-^^ -A—)
•^ ^ ' ' , V > / o y 2V* sin 2U/
— 2 > , : — T?ï sin2/iu.
Si Ton veut développer les mêmes quantités en employant y,
au lieu de </, il faut observer que c^i et d^ s'échangent. De cette
façon
s'échange avec
/(a',i^')-?("S^')
tandis que
se reproduit. Il en résulte
f{u',v') + ^'{u',v')= ^-t-arctangr^^j^ cot2tïj
i—\}^m .
— 2 > -r-^ ;rT- — i-rs ■ SID 2 m 0 ,
/(a', p')— o (w', i'') = - -4- arc tang ( — pr^ -; )
•' ' ^ TV ' / .^ ^\ 2U* sm2tï/
^'^^' V^ q'I 1 — U*» .
^ n(i — yî) U*'» '
/'(m', p') — a>'(a', (;') = - H- arc tang (^—^ -r^^\
*f \ ^ / T ^ f ^ 2 °\ 2U* S1D20/
sin2 nu.
Les nouvelles fonctions arc tang qui figurent dans les égalités (6g)
sont définies, à la circonférence près, par le calcul qui les amène,
IL 3
34 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
ainsi qu'il a été expliqué plus haut pour les analogues : ces deux
arcs ont leur cosinus du même signe que sinsU. De même, les
deux nouveaux arcs, qui figurent dans les relations (70), ont des
cosinus du même signe que sin2tl. Quant à ceux qui apparais-
sent dans la deuxième égalité (69) et dans la première égalité (70),
ils sont précisés, comme plus haut (p. 3i ) Ta été
arc
^^"g(7qrYî^'''")-
Arrivons maintenant au calcul des angles auxiliaires (p^, >pa) ^b-,
arguments des quantités imaginaires n^, 11^, 11^ (^^)* O'^ ^ d'abord
^.-/(f^)-KT'¥)
La lettre \ représente db i. Remarquons que le changement du
signe de ç^' correspond au changement de Yen son inverse. D'après
le sens précis de la fonction arc tang, on a
arc
/ t — V-» !_^^_a^ctan /'-^'^ ' \
°\ 2V-* sin2U/'~ ^\ 2 V* sin2U/
On peut donc écrire plus simplement
Une remarque semblable s'applique aux deux autres formule
que nous allons composer.
Pour ramener l'argument de II^, à l'une des combinaisons (69),
employons les formules d'addition des demi-périodes (l.I, p. 196)
ainsi (*)
(•) Le lecteur n'aura garde de confondre ici les deux acceptions de la lettre U.
€e défaut de notation n'a pu être évité.
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 35
Nous en concluons
s* (a-4-t>±'i)';o'3(w— pqzw') = e'^'^"'*'*'^ o'aCa -4- p) (T (u — v),
in
Si Ton suppose ^ purement Imaginaire, comme to' et tj', il en
résulte
f Argument de (^ (u-h vdota') c'a (a — pzp w')
= Argument de a* (a — p) 0*3(1* -f- v)j
i Argument de 0*1 (m -h t'^ w') a*! (a — pipa>')
i = -H Argument de a'i(M -f-p)3'j(a — v).
En prenant ensemble le premier et le quatrième facteur dans
rirt, on peut écrire
3* • ^3
'2 2
Si X et |JL, tous deux égaux à db i, sont de signes opposés,
appliquons le résultat (71) et nous aurons à prendre Targu-
ment de
o a3 •
Si, au contraire, X et |jl sont de même signe, c^est l'argument de
G* 03
2 2
qui s'offre naturellement. C'est donc, en une seule formule propre
aux deux cas, l'argument de
36 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
qu'il faut prendre. Considérons maintenant les deux autres fac-
teurs composant 11^ ,
Si A et [JL sont de même signe, appliquons le résultat (72); l'ar-
gument du produit sera
-TT , w'-HX(i;'-M«)') _^ W'— X(p'-f- (1)')
h argument de 0*1 ^^ 0^2 ^^ '
Jk mê JL
Si X et u. sont de signes opposés, on doit prendre
Argument de <Jt — — ■ <^i ^^
Ces deux formules se réunissent en celle-ci :
— fjt(AH-tJL)--+- argument de 0*1 ^-^^ afj ■
j^ 2 2
L'argument de 11^ se trouve donc exprimé par cette formule
unique :
?a=— KX-^fl).^
arg. de C ^-^^ 0*1 ^-^ <ff ^-^^ s'a ^-^^
° 2 2 2 2
,[_,x.„:./(ï,^')-,(f^)]
Par un calcul tout semblable, on obtient
n = (î-.)î-v[/(i^,0*.'(^.O]
Mettant maintenant les développements trouvés plus haut
CHAPITRE 1. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 87
(69, 70), nous avons les formules ci-après
/w = 2, 4> 67 • • • î /i = I, 3, 5, . . .
(-3)
(-
/ 1 __ V* I \
,)a-4-^iç = arctang ( : — )
i~Vî« .
— îT. — sin/iu
^ n(i-f-y«)
r /f — U« I \
- 4- arctang ( j- ^ — )
2 ° \ 2U sino/
1 — u»« .
smno ;
:-o*^4?a
1 +(—!)*+
4
■'] =
arc tang
;
cot
")
fn
\ =
■7C
\ 2IJ coso/
\^(— l) « q'} T— U««
>, — 7—^ «r — FT cos/m ;
= — h arctang
(«0-«[?6 ^ ^-J =arctang(^-^ -^-^j
n-l
(— 1) * 7» 1 — v»«
\^ /l(l— ÛT"
v«
cos/iu
(i-y")
= arctang ( ^ ..rcotp )
2 ^\n-çriLi* /
m
1 — O'fU*'» .
Si l'on remonte aux formules (53), on a maintenant les déve-
loppements des six angles d'Euler par le moyen des angles
'}cî ^a, ^bj développés dans les égalités (67) et cp^, cp^, «p^ dans les
égalités actuelles (73).
Formules de Cinématique.
Dans les Chapitres suivants, on fera plusieurs fois usage des
formules fondamentales de la Cinématique, relatives à la rotation
des corps solides. Nous allons les rappeler.
38 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Soient a, b, c des axes rectangulaires et p^ q, r les composantes
d^unc rotation instantanée autour d'une droite passant à leur ori-
gine. Soient a, p, y les coordonnées d'un point de l'espace et t le
temps. Par l'effet de la rotation, le point (a, p, y) se déplace et les
composantes de sa vitesse instantanée sont les suivantes :
Les sens de rotation positifs autour des axes a, b^ c sont ici sup-
posés conformes aux conventions habituelles.
Supposons maintenant trois axes rectangulaires ^,y, z^ de même
origine que a, 6, c et entraînés dans la rotation. Prenons d'abord
le point (a, 3, y) sur l'axe z à distance unité de l'origine; les éga-
lités précédentes donnent celles-ci :
/ d cos az .
= q cos cz — r cos bz,
at
, ,^ f d cos bz
(74) { — -1 = r cosaz —p cos cz,
d cos cz ,
-z =p cos bz — ^ cosa>3.
En prenant le point (a, p, y) sur les axes x ou y, on aurait des
égalités toutes semblables où z serait remplacé par x ou y. Posons,
pour abréger,
e^ = COS ax-h i cos ay, Xo = cos ax — i cos ay ;
'Jl) = cos bx ■+■ i cos by, 1)1)0 = cos bx — i cos by ;
' G = cos car -4- icoscy, Go = cosca? — « cosc^.
On déduit de ces égalités, par exemple,
^'^ /-i 1 aXo _ o «n
-■^ = yG — rc;l., -^ =yGo— rlftjo
et, par suite,
(75) JLo^-X^ =^(Xoe-XCo) — r(A,ol«»-<.l.lft>o);
mais on a, suivant (i3),
•Vo ^ — Xllbo = 2 i(cos ax cos 6^ — cos ay cos te) = a le cos c-5,
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 89
e étant le caractère zh i de congruence pour les deux systèmes
d*axes. Semblablement, par permutation circulaire,
OoA> — G*^o = 2 il cos bz.
Au lieu de Fégalité (75), on peut donc écrire
4^0 -TT — ^~Jr ~ — 2ie(^ cosôz 4- rcoscz),
OU bien, divisant par (A>&\>o== sin^a^,
I d,Xi> I cM»o . <7 cos6-3 -+- rcoscj
=- r- — =— = 11% 7—1 »
•^ ai «,l>o dt %\ïi^az
, «. ï I d\^ I c^l)l>o __ . rcoscz -h /? cosas
I <f 3 I c?3o • /> cos az -\- q cos 6^
G c?/ 80 ^^ sin*c5
Les équations (74) et ces dernières (76) sont celles que nous
voulions rappeler ici. Dans ces dernières, on peut faire apparaître
trois angles d'Euler d'après la formule (34), qui donne
d , ^ g cos bz -^ r cos cz
-7- {aZ, a?) = — £ ^ r-z »
dt sin^ az
d ,, . r cos cz -^ p cos az
5?(*^'^)=^-' iiSï^ '
d , . p cos az -^ g cos bz
dt singez
Représentation elliptique d'une rotation.
Dans la représentation elliptique des cosinus des angles que
font entre eux les axes des deux systèmes a, 6, c et se, y, z, on
peut supposer, pour les arguments u, v et la quantité G, des
fonctions arbitraires du temps. On aura ainsi une rotation quel-
conque. Nous allons chercher les expressions des composantes de
la vitesse de celte rotation. Appliquant à cette recherche les for-
mules de Cinématique qui viennent d'être rappelées, nous avons
besoin d'abord des dérivées de cos«z, etc.
La formule (9) montre déjà que la dérivée de cosa5 par rap-
port à u est le produit de cos 6^ coscs et d'un facteur indépen-
4o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
danl de w, et il n'y aurait pas de difficulté à trouver, par cette
voie, ce facteur. Mais voici un moyen plus rapide.
La formule (2) nous donne (t. I, p. 87)
dcosaz p' u p*u(ptf — €(,)
^cos az -, = — ; — r = — - — ^^--r — — -,
du p(f — Wa) — ea («a — «p)(«a — «t)
tandis que nous avons, d'autre part (Sg),
(e(x — ^^)(^a — ^y)(^y — € d) cos az cos bz cos cz = --p' up'v.
Ces deux égalités, divisées membre à membre, fournissent
celle-ci :
2iecos6>z cosc^ du ~~ p'v
^ ' / p'v ?'^ y
La symétrie, qui existe entre les demi-périodes et aussi entre
les deux arguments «, {>, permet de conclure comme il suit :
Posons
(„) ^ A'=:i^-?^'-, B'=i5-p:iî-, c'^iî-p^,
A^^X^^K-^, ir=B^^ + B4^. C'=Ci^ + C'^,
<i^ dt dt dt dt dt
et nous aurons
ddosaz
dt
~di
= (B"— C'')cos6^cosc-5,
(78) { -. = (G — A ) cosczcosa>s,
; = (A -— B )cosa>5cosfc>;î.
dt ^ '
Avant de poursuivre, remarquons que ces équations attirent l'at-
tention sur les combinaisons
A cos*a^ -T- B cos*62 h- C cos*c-s
A' cos* az -f- B' cos* hz -h C cos* cz^
CHAPITRE I. — FORMULES ELLIPTIQUES POUR LA ROTATION DES CORPS. 4'
qui doivent être indépendantes, Tune de w, l'autre de v. Effecti-
vement, d'après l'expression (2) de cos^aZf la première combi-
naison peut s'écrire ainsi :
ce qui est zéro d'après une proposition élémentaire d'Algèbre. Le
même résultat a lieu pour la seconde combinaison. On a donc
( 79 ) A' cos' az "- B' cos* bz h- G" cos* cz — q,
La comparaison des équations (78) avec les équations géné-
rales (74) niontre que les rapports respectifs de /?, ^r, r à cosa^,
cosèc, cosc^ diffèrent de A", B", C par une même quantité p, en
sorte qu'on a
(80) 7> = (A''-+- p)coso>3, <7 = (B"-!-- p)cos6z, r= (G'-t- p)cosc^.
Cette quantité p a une signification bien simple ; c'est la com-
posante de la rotation sur l'axe z ; car, d'après (79), on a
(81) p =/? cosa>5 4- y cos6>5 -r- rcoscw.
Il s'agit de trouver p. Pour ce but, prenons l'une quelconque
des équations (76), la première par exemple. Son premier mem-
bre s'obtient immédiatement par la différentiation logarithmique
dans l'expression (i) de Jlo et Jl>o •
1 diX> I d'X)^ 1 dG
X '5/ Xi dt ~~ G ~dr
(Si) { 4--^[Ç(M-Hi'— Wa) — Ç(m — ^' — Wa)]
-^ [Ç(P H- a — Wa) — ^{v — u — toa)].
Son second membre, d'après (81), peut s'écrire
sm
cos az . / A cos*a.5 \
= — lizl p ; 1
*az \ I — cos* as/
/f'î DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
D'après l'expression (2) de cos^az et celle (77) de A', on a
A'cos^az _ «s p'u pu — «« P(^ — ^ol) — ^a
i — cos*az ~ 1 pu — eg^ p{ç — Wa) — eoi p{v — Wa) — pu
__ iz p'u
~ 1 p{v — {jiaL) — pu
Cette fonction de v^ décomposée en éléments simples, prend la
forme (t. I, p. i38)
Le même calcul étant répété avec échange de u et v^ on ob-
tient
Ce sont justement les deux derniers termes du second membre
(S'a) qui sont ici mis en évidence, de sorte qu'il reste
, o« , \ dG . ^ du ^ dv
(le là l'inconnue p
. oi\ . / i dG ^ du ^ dv\
par où, avec les formules (80), le problème proposé se trouve ré-
solu.
CHAPITRE II. — LES MOUYEMBNTS A LA POINSOT. 43
CHAPITRE IL
LES MOUVEMENTS A LA POINSOT (•)
Mouvements à la Poinsot. — Rotalion d'un corps qui n'est soumis à aucune
force. — Éléments géométriques du mouvement à la Poinsot. — Représentation
des mouvements à la Poinsot par des fonctions elliptiques. -- Distinction des
divers cas relativement à la base. — Sur la période du mouvement. — Déter-
mination des éléments géométriques et des éléments elliptiques les uns par les
autres. — Équations de Therpolbodie. — Angle sous-tendu par un arc complet
de rherpolhodie. — Points d'inflexion de l'herpolhodie. — Diverses formes de
Therpolhodie. — Développements en séries pour les divers cléments d'un mou-
vement à la Poinsot. — Résumé de la représentation d'un mouvement à la
Poinsot par des séries. — Cas particuliers. — Composition d'un mouvement h
la Poinsot avec une rotation uniforme autour de la perpendiculaire au plan
roulant. — Définition des mouvements à la Poinsot concordants. — Relations
entre les éléments variables de deux mouvements concordants. — Sur un cas
particulier de la concordance. — Herpolbodies fermées et berpolbodics algé-
briques.
Mouvements à la Poinsot.
Nous appellerons moui^ement à la Poinsot une rotalion con-
tinue dont, à chaque instant, les composantes sur trois axes fixes
sont dans des rapports constants avec les coordonnées d'un point
mobile dans Tespace, mais invariable dans la figure en rotation.
Comment cette définition se rattache immédiatement à celle qu'a
donnée Poinsot pour la rotation des corps solides qui ne sont
soumis à aucune force, c'est ce qu'on va d'abord faire voir.
( ' ) Auteurs à consulter : Poissot, Théorie nouvelle de la rotation des corps
(Journal de Math., i" série, t. XVI; i85i). — Jacobi, Sur la rotation d'un corps
(Journal de Crelle, t. XXXIX, iS'ig, et Œuvres complètes, t. II). — Somovf,
Journal de Crelle, t. XLII. — Brill, Annali di Afatematica, série II, t. III. —
SiACci, Memorie délia Societa italiana délie Scienze, série III, t. III. — Hermite,
Sur quelques applications des fonctions elliptiques. Paris, Gautbier-Villars;
i885. — WiLHELM Hess, Das Rollen einer Flâche zweiten Grades auf einer in-
'variabeln Ebene. Tbèse, Munich: 1880.
44 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Quant à la manière dont celte définition ramène aussitôt l'étude
de ces mouvements aux matières du Chapitre précédent, c'est ce
qu'on exposera un peu plus loin.
Rotation d'un corps solide qui n'est soumis à aucune force.
Soient —, ^, — les moments d'inertie du corps solide autour
de ses trois axes principaux, axes «, 6, c; soient /?, q^ r les com-
posantes, prises sur ces axes, de la rolation instantanée, changée
de sens. Les équations différentielles du mouvement, connues de-
puis Euler, sont les suivantes :
\ dr / I ■ I \
c2 dl ''" [TT^^T^)^^'
Les sens de rotation sont supposés ici les mêmes que dans le
Chapitre I (p. 38). Les lettres/?, q^ r, d'après la convention faite,
peuvent être considérées comme les composantes de la rotation
relative de l'espace par rapport au corps supposé fixe. Si l'on sup-
pose trouvées ces composantes en fonction du temps, pour avoir
ensuite les cosinus des angles que a, 6, c font avec une droite z
arbitraire, fixe dans l'espace, on emploiera les équations (I, y^). Ce
sont des équations différentielles et linéaires. Il est clair que l'on
peut prendre, pour les trois cosinus, trois quantités proportion-
nelles à celles qui forment un système quelconque de solutions;
par ce moyen, en effet, on choisit la droite z dans l'espace. Or la
comparaison des équations actuelles (i) et des équations dont
nous venons de parler (I, j4) fournit le système de solutions sui-
vant :
, . a^ co^az h^cosbz c^ coscz
(2) ^ ~ — = const.
p q r
La rotation relative de l'espace par rapport à un corps solide
qui n'est soumis à aucune force extérieure est donc un mouvement
COAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POL^SOT. 4^
à la Poinsot, tel qu'il vient d'être défini. Effectivement, a^, b^^ c'^
sont des constantes, et les trois cosinus sont les coordonnées, par
rapport aux axes «, 6, c, d'un point fixe dans le système d'axes
La proposition inverse n'est pas exacte sans restriction * un
mouvement à la Poinsot n'est pas toujours la rotation relative de
l'espace par rapport à un corps solide qui n'est soumis à aucune
force. En effet, les moments d'inertie, non seulement sont positifs,
mais encore soumis à une condition d'inégalité très connue, con-
sistant en ce que les trois quantités, telles que -^ -+- 7^ j' soient
positives. En d'autres termes, a^, b'-^ &^ sont les carrés des axes
d'un ellipsoïde, et cet ellipsoïde est soumis encore à des restric-
tions, sans quoi il ne pourrait être ellipsoïde d'inertie.
Éléments géométriques da mouvement à la Poinsot.
Dans l'étude des mouvements à la Poinsot, nous continuerons
à figurer par les égalités (2) la proportionnalité des cosinus aux
composantes de la rotation; mais il sera entendu que a^, b^^ c^ se-
ront des quantités réelles quelconques, positives ou négatives.
Toutefois, l'une au moins pourra être censée positive; car il suffil
de changer le sens de l'axe z pour changer les signes de ces quan-
tités. Ainsi a^, 6^, c^ seront les carrés des axes d'une surface du
second degré à centre et réelle, ayant pour équation
Cette surface, qui est fixe dans le mouvement considéré, sera
dite la base du mouvement à la Poinsot, et nous allons reconnaître
son rôle.
Deux intégrales immédiates des équations (i) font connaître que
les deux quantités
p* g* r«
m 1 ma ^^^^
a« 6« c«
a* 6* c*
sont constantes. En désignant par h et n deux longueurs, on
46 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
pourra poser
-h
7'
1
1
P^
1
"6*
-+-
r:r
I
a^
/*>A*
Si, en outre, on prend Iroîs longueurs a\ b\ d proportionnelles
à /?, q, r,
a' // c'
on aura, au lieu des égalités précédentes, celles-ci :
a^ ^2 £!! -
a^ "^ '6* "^ c» "■ '*
( a> "■" ^* c* ~ A» '
dont la première nous apprend que a', b\ d sont les coordonnées
d'un point variable sur la base du mouvement, et la seconde que
le plan tangent de la base en ce point est à une distance constante h
du centre de la base.
Les équations (2, 3, 4) nous donnent ensuite
ha' , hb' hd
(j) cosa^=— r-, cos6;; = -7—> cosc-s = — r->
^ ' a' o* c*
et font voir que Taxe z est constamment perpendiculaire à ce plan
tangent.
Voici donc la conclusion :
Si un plan roule sur une surface du second degré en restant à
une distance fixe du centre, et avec une vitesse de rotation con-
stamment proportionnelle à la distance du centre au point de con-
tact, sa rotation constitue, de la manière la plus générale, un mou-
vement à la Poinsot.
Représentation des mouvements à la Poinsot
par des fonctions elliptiques.
Les formules du Chapitre I nous offrent immédiatement la
représentation des mouvements à la Poinsot. Si l'on suppose, en
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 4?
effet, l'un des arguments w, i^ constant, Tautre variant proportion-
nellement au temps; si, en outre, on prend pour G une exponen-
tielle dont Texposant soit une fonction linéaire du temps, alors les
quantités p. A", B", G" (I, 84, 77) sont des constantes, et (1, 80)
/?, q, r ont, avec cosa:;, cos bz^ cosc2 respectivement, des rap-
ports constants.
Soit un mouvement à la Poinsot ainsi représenté, cherchons
l'expression elliptique des constantes géométriques.
En premier lieu, nous avons (I, 81)
(6) p =pcosa^ -f- q cosos -1- rcoscz = — ( — r-+--7-r -+-—):= -.
Les rapports de/>, q^ r aux trois cosinus sont les suivants :
p _ a^ q _ b^ r c'
cosa^ nh cos6z nh cosc^ ~ nh
Ges rapports doivent reproduire (I, 80) les quantités A"4- p, 13"+ 0,
G'-h p. On a donc
/z> h^ r^
Ainsi se trouvent exprimées sans difficulté les quantités - * —7»
—7t -T > seuls éléments géométriques que l'homogénéité permette
de déterminer. Voici les expressions explicites obtenues en rem-
plaçant A", B", C" par leurs expressions actuelles. La constante -.-
sera représentée par - •
(6)
' dt n*
^ = i!l^(X + Ç.); G^ke-^ir'-'^')\
_ ith
n n
fit fit ^ tejx p'ç;
(-)
nh
2/1
P
V —
«a
b^
^-A»
iz[i
pV
nh
2.n
P
V —
*P
c'
— h^
itii
p'p
nh 2/1 pp — Cy
48 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous supposerons, comme dans les développements formés au
Chapitre I, u à partie variable réelle, en sorte que [jl soil une lon-
gueur réelle comme /i, el tout à fait arbitraire.
Il s'agit maintenant de trouver inversement les éléments elHp-
tiques, étant donnés -, —7» —r^ — r •
^ n nn nh nh
Multipliant trois à trois ou deux à deux les équations (7) membre
à membre, on obtient
'1 \n ) i
(8)
- (?)■<«,-
?^)'
Ces équations déterminent, en fonction des données et de l'ar-
bitraire-» les trois racines ea, ep, e^ (dont la somme est nulle),
ainsi que jx' et p\\ L'argument v est ainsi défini, à une période
près. U reste encore à déterminer l'argument variable u en fonc-
tion des éléments géométriques variables du mouvement.
Tirons d'abord une conséquence des équations (8), savoir
avec deux similaires. Multipliant membre à membre les trois pa-
reilles égalités et tenant compte de la première (8), on conclut
(^) ^^OL— e^){e^-' e^(ey— Col)
.^2 /l'A' i
Cette équation, rapprochée de cette autre, trouvée précédem-
ment (I, 39),
cos az cos bz cos cz (CoL — ^a^^^S"" ^y)(^y — ^a) = — l^'^^ '
CHAPITRE II. — LES MOUVBMEÏfTS A LA POINSOT. ^9
donne
(II) , ,, cosazcosbz coscz = - l — ] p u.
On a, (l'autre part (I, 2, et t. I, p. 87),
(pu—eaL){pi^ — eai)
cos* az = -f ', T^
et, par conséquent, d'après (8) et (9),
('^) J^. ^«^'«^ = [^) (^a- pa),
avec deux similaires. Par ces égalités (11) cl (12) se trouve déter-
miné l'argument u à des périodes près.
Il y a cependant une observation à faire encore sur la détermi-
nation des arguments ?/, ç. Dans la formule (12) apparaît le carré
seulement de cos^a^jCn sorte que le choix de u par cette formule
et la précédente (11) n'assure pas de trouver, pour les trois
cosinus de az, bz^ cz, les mômes valeurs que par les for-
mules (I, i) primitives, mais seulement les mêmes valeurs au
signe près. D'ailleurs, quand les signes de deux cosinus sont fixés,
la formule (11) assure le signe du troisième en conformité avec
les formules primitives. D'après ce qu'on a vu au Chapitre 1
(p. 19), on change à volonté les signes d'un des cosinus en ajou-
tant k u -\- {^ une période 210, et le signe d'un autre cosinus en
ajoutant encore k u -{- i> une période 20)', Donc, en résumé, u
et V sont déterminés chacun à des périodes près, mais leur somme
à une double période près. Sur ce point de détail, on gagnera en
précision et en clarté si l'on fixe les indices a, p, y, et c'est ce que
nous allons faire en nous conformant au choix déjà fait dans le
Chapitre I (p. 19).
Distinction des divers cas relativement à la base.
Nous supposons, comme au Chapitre I (p. 19), a^:^ i, jî .- 3,
-"^ = 2. L'argument i' est purement imaginaire, à une demi-période
réelle près, en sorte que p^f est entre €2 et ej.
IL 4
5o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La distinction des cas est fondée sur le signe de la quantité
(6, 10)
i^Y-^'P^ V- i i ^ï^ '^ (a«-^^t)(6«— c«)(c»-a«)
En supposant d^abord données les formules elliptiques, pre-
nons la seconde expression de cette quantité. Si Ton a égard auiL
grandeurs et aux signes des dénominateurs (7), à savoir
pi' — Cs > pp — c, > o > pp — Cl,
on reconnaît que :
I** Si — r-^ ^ > o, li en resuite
c* > 6» > A« > a* ;
2® Si — r^ ^ <r o, il en résulte
Par la troisième expression de it^hp'v^ on voit que son signe,
le même que celui de (a^ — b^){b^ — c^){c^ — a^)y est bien,
comme on vient de le trouver, plus dans le premier cas, moins
dans le second.
Si l'on se place au point de vue opposé, supposant donnée la
figure géométrique, on devra dénommer b^ le carré moyen des
demi-axes 5 cela étant, le carré h^ de la distance du plan roulant
au centre est compris entre b^ et l'un des carrés des demi-axes ex-
trêmes; c'est ce dernier qu'on désignera par a^, La distinction des
deux cas dépend ensuite du signe de (a^ — b^){b^ — c^) (c^ — a^).
Il y correspond une distinction géométrique dont nous allons
dire un mot.
On appelle polhodie le lieu du point de contact du plan rou-
lant, sur la base. C'est une courbe du quatrième degré, formée
de deux anneaux ou roues symétriques par rapport au centre, et
il suffit de considérer une de ces roues qui a, elle-même, pour
axe de symétrie ou essieu un axe de la surface base.
Dans le premier cas, c^^ b^^ h'^> a'^y b^ et c^, supérieurs
à h^, sont positifs, a^ peut être positif ou négatif. La base est un
ellipsoïde ou un hyperboloïde à une nappe. Si c'est un ellipsoïde.
CHAPITRB II. — LES MOUVEXENTS À LÀ POINSOT. 5l
la distance du centre au plan roulant est moindre que le demi-axe
moyen, et la polhodie a pour essieu le petit axe. Si c'est un hyper-
boloïde, la polhodie a pour essieu Taxe non transverse ; elle ne
traverse pas l'ellipse de gorge.
Dans le second cas, c^<C 6^< A^<^a*'*, la base peut être ellip-
soïde, hyperboloïde à une nappe ou hyperboloïde à deux nappes.
Si c'est un ellipsoïde, la polhodie a pour essieu le grand axe ; si
c'est un hyperboloïde à une nappe, la polhodie a pour essieu le
grand axe de l'ellipse de gorge. Au cas de l'hyperboloïde à deux
nappes, l'essieu est nécessairement l'axe transverse.
En résumé, le choix des indices a=i,p = 3,Y=2a pour
effet d'affecter la lettre b à l'axe moyen et la lettre a à l'axe qui
est l'essieu de la polhodie. Dans ce qui va suivre, nous nous con-
formerons à ce choix des indices.
Sur la période du mouvement.
Prenons les formules (42) du Chapitre 1, en y supposant l'argu-
ment réel 1/' variable. Sa variation est proportionnelle au temps;
nous pouvons, d'ailleurs, sans restriction, la borner dans l'étendue
d'une période, de zéro à 210. Nous pouvons aussi supposer -r
compris entre zéro et — r-- Dans ces conditions, — t-> (iiv\ d^v^
sont des quantités positives, d^v est positif ou négatif en même
temps que — -. — • De même, (^2 "'? <^3 w' sont toujours positifs, du^
va de zéro à zéro en passant par des valeurs positives et d^ u! a le
même signe que (10 — u').
Pendant que u! varie de zéro à 2o>, cosbz va de zéro à zéro en
passant par des valeurs toutes de même signe que ( — 1)*, cosa^
conserve toujours le signe de ( — i)** et cosc-s prend d'abord des
valeurs, soit de même signe que ( — i)^, soit de signe opposé, sui-
vant la grandeur de v'^ puis devient nul pour w'= 10 et prend en-
suile des valeurs de signes opposés. La droite ;;, partant du plan
perpendiculaire à b, exécule ainsi une demi-révolution autour de
Taxe a et se trouve, à la fin, dans une position symétrique, par rap-
port à cet axe, de celle qu'elle occupait d'abord.
5a DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Pour la suite du mouvement, il faut faire repasser vl par les
mêmes valeurs, mais Sa est augmenté d'une unité; donc (1,4')
les quantités ( — i)* et ( — i)*^ changent leurs signes et Taxe z re-
passe par des positions symétriques des précédentes par rapport
à l'axe a. Quand l'argument u s'est augmenté de 4^? la position
initiale de l'axe z est reprise. Ainsi 4^ est la période du mouve-
ment de l'axe s. La période de temps est 4w-* Bien entendu, le
mouvement des autres axes x^y^ dont il sera parlé plus loin, n'est
pas périodique.
Pour préciser les arguments w et i' de la manière la plus com-
plète, c'est-à-dire à une double période près, la considération de
cosaz et co%bz suffit donc. Ayant pris les mêmes notations qu'au
Chapitre l®"" (I, 4o) et supposant v! compris entre zéro et 210, -r
compris entre zéro et -V-> on voit que toujours cosac a le signe
de ( — 1)^, et Q,o%bz le signe de ( — 1)*.
Détermination des éléments géométriques et des éléments
elliptiques les uns par les autres.
La première question à résoudre est celle-ci : Etant données les
demi-périodes (o^, (op, toy, la quantité G, les arguments w, *' et le
rapport constant !-=:--, déterminer les éléments géométriques
du mouvement à la Poinsot, défini par les formules, et la position
de la figure mobile qui correspond à l'argument u.
Pour résoudre cette question, prenons une longueur à volonté /i,
positive ou négative, et par les formules ((), -j), déterminons A,
a^, t-, C-. Nous avons ainsi la surface base du mouvement; soient
a^ b^ c ses axes dans des sens ad libitum. Par rapport à ces axes,
la situation actuelle des axes mobiles ^, j% z est donnée par les
formules (I, i). Le diamètre conjugué des plans perpendiculaires
il z est Taxe de la rotation instantanée, et cette rotation est entiè-
rement déterminée par ce fait que sa projection sur :; est- (p. 47)'
La deuxième question à résoudre est inverse : Etant donnés les
nombres (~)M~)'(~)''es axes a, bj c en direction, la posi-
CHAPITRE II. — LES MOUYEMENTS A LA POINSOT. 53
lion actuelle des axes mobiles x^ r, z et la projection p de la ro-
tation instantanée sur z^ trouver les formules elliptiques. Pour
résoudre cette question, rappelons-nous que h=.nç. Choisissons
donc les lettres «, 6, c, de telle sorte que p soit compris entre
( - J et ( - j > ce qui sera toujours possible, sans quoi les données
seraient incompatibles avec un mouvement à la Poinsot. Prenons
ad libitum - et déterminons par les formules (8,9, 11, la) les
racines e^ e^^ ^3, puis les arguments u et v^ tous deux à des pé-
riodes près, par exemple et provisoirement, u — w' entre zéro et 2 cj ^
— : — entre zéro et — :-• De cette manière les formules (1,42) don-
nent, pour cosa;;, cosbz^ des quantités ayant les mêmes signes
respectivement que ( — 1 Y et ( — 1 )*. Mais ces cosinus sont donnés,
et ont, par conséquent, des signes connus. On devra donc prendre
( — i)** et ( — i)* des mêmes signes respectifs que les cosinus donnés
cosaj, cosbz. Par là, si Ton a déjà choisi les deux périodes cj^
wp, qui doivent différer de w et 10' par des périodes seulement, on
détermine 5^ H- ^^ et Su + s^^ c'est-à-dire la somme {u'\- v) à une
double période près. Quant aux demi-périodes lOa» ^bj elles doi-
vent satisfaire à la condition que ( — 1 )«+*+<?+< reproduise le carac-
tère de congruence dz i des axes donnés, c'est-à-dire( — i^a+^^+i =:£.
On pourra, par exemple, prendre
tO, = (0, (jig ~ £w'
'»
et ajouter à l'un des arguments provisoires u el v\di période iiù' si
cosa>3 est positif, et la période 2 10 si cosbz est positif.
L'argument v étant fixé, la formule (6) donne le coefficient X.
La grandeur actuelle de G est donnée par l'une des quantités
cosaxilz ecoso^, et, puisque u est choisi, on en déduit la quan-
tité Ar.
Équations de llierpoUiodie.
Si Ton considère le mouvement relatif de la base par rapport au
plan roulant, qu'on envisage ainsi la surface comme roulant sur
ce plan supposé fixe, le lieu du point de contact est, dans ce plan,
une courbe, généralement transcendante, nommée herpolhodie.
54 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
A ce point de vue, les axes x^y^ z sont censés fixes et les axes
a, 6, \c mobiles. Nous envisagerons alors les axes x^ y comme
ayant leur origine dans le plan, au pied de la perpendiculaire
menée du centre. Soient, par rapport à ces axes, x^, y^ les coor-
données du point de contact, point qui engendre rherpolhodie, et
dont les coordonnées sont a\ b\ d par rapport aux axes a, 6, c.
Nous avons
^i-*- (Xi = 2a'(cosaa7-+- icoso^),
ce qu'on peut écrire, d'après (5),
— _- — cosa2(cosajr h- i coso^),
car la somme Scosaz(cosû:x-h ^cosa^) est nulle. Substituant,
T
pour — 7 — et ses semblables, les expressions (7), nous obtenons
(i3) Xi-^ lyx = — - y — cos az {cos ax -\- icosay).
Écrivant le produit cosax;(cosaj:-|- icosûy^) sous la forme
suivante (I, i)
-^ cos az ( cos ax -+- / cos ay )
nous avons une fonction doublement périodique de seconde espèce
(t. I, Chap.VlI), dont la décomposition, par rapport à ?/, se fait, au
moyen de l'élément simple -4: — - — 1 et donne le résultat suivant:
Observons d'abord que la somme des trois quantités c^^coge"^**»
est nulle (t. I, p. 194)- H ^^ résulte que, en transportant cette ex-
pression dans la formule (i3), on voit disparaître la dérivée de
l'élément simple. D'autre part, on a
1 'X
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 55
L'élément simple, dans la somme (i3), est donc multiplié parp'^
et par la somme
Ceci n^esl autre que la décomposition en éléments simples de la
fonction —y quia les trois racines simples coa, avec les résidus
= — , et devient nulle avec i^. Il reste donc la formule bien simple
Comme d'ailleurs le changement de ç^ en — ç^ et de G en ^ équi-
vaut, dans les formules initiales (I, i), au changement de i en — i,
on a en même temps
/ex . . I Cf(u — V)
d'où, multipliant membre à membre, on obtient le carré du rayon
vecteur sous la forme
(i6) ar} -4-^î = fi« ^ ^2uJç = I^*(P^-P").
Pour mettre les formules (i4)i (i5) sous forme explicitement
réelle, supposons d'abord w = to'-j- m', r = a> 4- ç^' ; il vient ainsi
c'est-à-dire, en supposant tO|^ = o et co», = o dans l'expression de G^
(I,4i),
(.7) ^. + ,^.=._.eKG^^^A__2.
Mais, d'après la marche suivie pour parvenir à a:i-\-iyiy on re-
connaît que cette formule est générale, quels que soient u et i\ On
a de même
(18) :,,.,,j.^^^,^^^__—^.
La quantité fixe pr est comprise entre e2et Ci , tandis que la quan-
56 DEUXIÈME PARTIE. — APPUCATIONS.
tilé variable pw oscille entre e^ et ^2- Le carré du rayon vecteur (16)
passe périodiquement par la suite des valeurs comprises entre le
minimum Y'^{pv — ^2) ^^ le maximum Y-'iP^ — ^3)1 obtenus tous
deux au passage de u par une demi-période. Soit w une de ces
demi-périodes ; si l'on donne à u Tune ou l'autre des valeurs w ih //,
on obtient une seule et même valeur de x^^-\- y^^.
L'angle polaire y^ se déduit de la relation
î/y _ ^1 -^ t>i _ Pî ^("-^^) .
d'où l'on conclut (6)
ou encore (t. I, p. i38)
(19a) -/'- = »- --• — ^^
du (X 2* pp — pu
Cette dérivée, elle aussi, prend une seule et même valeur, si
l'on y met, pour 11^ Tune ou l'autre des quantités G> ± u". On con-
clut de là que l'herpoUiodie a pour axe de symétrie chacun des
rayons vecteurs maxima et chacun des rayons vecteurs minima.
Elle se reproduit ainsi périodiquement, quant à la grandeur et au
temps, par arcs successifs. Un arc complet est décrit pendant que
u varie dans l'étendue d'une période ato ; il est compris, par
exemple, entre deux rayons vecteurs minima successifs. L'arc qui
répond à une période du mouvement de l'axe z est double.
Angle sous-tendu par un arc complet de llierpolhodie.
L'expression (i4) de x^ + iy^ fait voir que, par l'addition de
2 0) à l'argument u, x^ -\- iy^ se reproduit multiplié par
/ ^ iZh \
e \ |A /.
L'angle sous-tendu par un arc complet de l'herpolhodie est donc
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 67
(i>-|- -{r^v — wÇç'), sauf un multiple de 2:1. Celte indéter-
mînation est nécessaire et résulte elle-même de l'indétermination
de V. Pour la faire disparaître, recourons à l'intégration dans la
formule (19). Soit y^ l'angle compris entre un rayon maximum et
le rajon minimum voisin, obtenus en faisant varier successive-
ment 1/ depuis (25^ -j- i)c»)'H-2 5|4C»)jusqu'à(25^-j- i)c»)'4-(2 5«-i- i)a>.
Si l'on fait aller u jusqu'à (25^ -|- i)to'4- (25^ 4- 2)(i>, on aura
Tangle 2'^o sous-tendu par Tare complet. Ainsi, d'après (19),
0
t?j = {l5u-T- l)w'-l-25„(i>— V= {1S',^ — 25^-+- l)(o'-r- (25a— 25», — l)w— v' ,
W . . 0)'
upposons, ce qui est permis, -r compris entre r et H — ;-
Nous aurons alors (t. I, p. 201)
I Ç(w'h- Vi)du' = 2r^{Vl H- (o) — (25'|, -4-2 5;, -J-i)*::,
0
,Î11
(JO)
Ç(m'-t- v^)du' = 2T,(Pi -h (o) — (25'^ -7 25'», -T- i)i~:
27o = - 2 ( F- - ;^' ) O) H- -^ ; — 25^7:
= — 2( h-, ÇPJWH . 25^71,
V (X t / l
formule où l'on suppose essentiellement
(a.) --.-< . <j.
Dans un paragraphe précédent, il a été dit que le mouvement
à la Poinsot n'est pas périodique par rapport aux axes x^ y» Dans
ce mouvement, le rayon vecteur de riierpolhodie reprend, à la fin
58 DEUXIÈME PARTIE. — - APPLICATIONS.
d'une période, la position qu'il avait au début de celte période.
Il est dès lors visible que la rotation relative 4Xo est produite par
le mouvement des axes x^ y. Ainsi, dans le mouvement à la Poin-
sot, les axes x^ y tournent périodiquement autour de l'axe z d'un
angle qui est, en valeur absolue, 4Xo' ^ "^ multiple près de la cir-
conférence.
Nous aurons tout à l'heure, en étudiant la forme de l'herpol-
hodie, à employer les valeurs de -~ aux sommets de la courbe.
La comparaison des égalités (19a, 7) nous donne à cet égard
les résultats suivants
\du/i |iA' \duj% \kh \du)i \Lh
où ( ^ - ) désigne la valeur de -^ pour pu = Cr- La première de
ces quantités, celle d'indice i, ne joue aucun rôle ici; les deux
autres sont relatives aux sommets.
Points d'inflexion de llierpolliodie.
Soit posé, pour abréger,
^i-+-*ri = X, a:, — i>, = Y,
les accents servant à dénoter les dérivées prises par rapport à u.
Le signe de T décide le sens de la convexité en chaque point ;
l'évanouissement de T correspond aux points d'inflexion. Pour
calculer T, considérons les deux fonctions
—il h ' ^/ \
A/ — 77-" leu 0'(W — V) y
Ye |A = ~-f. -1 -e^"",
dont chacune satisfait à l'équation difl^érentielle (t. T, p. 235)
CHAPITRE II. — LES MOUYEMENTS A LA POINSOT. 5g
Soit, pour abréger, ^
(23) — =- m,
on aura, en substiluant dans Téquation diiTérentielle,
X'= 2miX'-^{ipu-^pv -{- /n*)X,
Y" = — amt Y'-+- (2p w 4- p(> -4- m*) Y,
X' Y' I /X' Y'\
(a4) T = — 2/n^ Y "^ ^7^^''""^''^ "^ '^"Mx "~ Y/'
D^autre part,
X' . I p'u — pV
X 2 pa — pv
Y' . I p'w-hpV
-rr = — mi H 9
Y 2 pu — pv
x; Y' ^ I p-»u _ / ._ i pv y
X Y 4 (pw— po)» \ 2 pu—pv)
p* W -4- p (> p M H- p* t» — V ^j H- ''li P't'
"" pw — p^'
X' Y' . pV .É^y
-rp- — ^ = 2/ni î^ =21-/^'
X Y pu — pv au
X' Y' X' Y'
En substituant y "y ^^ Y — T ^^^^ '^ second membre (24) et
réduisant au dénominateur commun, on voit disparaître, dans le
numérateur, le carré depw. Ce numérateur devient linéaire en
pu; une seule valeur de pw le fait évanouir. 11 s'agit de recon-
naître si cette valeur de p e^ est comprise, comme il convient, entre 62
et ej. A cet effet, on prendra les valeurs de T pour pu = 62 et pour
pu = ^3, et l'on examinera si ces valeurs ont un même signe ou
des signes opposés. Quand on prend ainsi, pour e/, une demi-
période, p'u est nul et Ton a
X' ___Y' _ .dx
\ ~ \ "^ du
en sorte que, pour u = coa, il vient (24)
m
(25)
6o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Les tr^is quantités telles que T» s'expriment fort élégamment,
au moyen des axes de la base, par le calcul suivant (8, 23)
_^ (^,1 -_ A»)(a« — A*) — (6« — A»)(c« — A»)]
_ g«6«c« / I I i\ aa« A»
~ H>A> \a» 6* l^J ~^ ~^ [JL>
_ a8 6«c« / I 1 _L\ , ^
D'autre part, d'après les égalités (22) et (aS), on a
(X« fl \du/u = tù^ \du/u=(ù^
Nous tirons donc de (2$) le résultat suivant:
26,
(dy\ a%b^c^ / i i i \
*^ \du/oL fJt'^^ \«' ^* cV
Revenant à Ta, nous concluons, avec l'aide des égalités (22),
T,=
T - - '-^y^ ( '-- ' -L\
aî^^c» / I _ j i\
' \x^h^ \b'*- c2 aV'
^~ ' IJL3A3 Vo* â2 6V '
C'est T2 et T3 qui serviront a l'examen des cas où les points d'in-
flexion existent.
Jîien que cela ne soit pas nécessaire, nous ajoutons ici le calcul
complet de T, dont le résultat est très élégant. En écrivant T sous
la forme
T=T'-4-
pu — p^
on déterminera aisément T' et T" au moyen des suppositions
pu = Coi, qui donnent pour T les valeurs connues Ta. Soit mainte-
nant R2=a:^4-J'î le carré du rayon vecteur de l'herpolhodie ;
c'est, à un facteur constant près (16), le dénominateur pu — pt'.
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 6j
En chassant ce dénominateur, puis revenant à la variable tj au
lieu de u, on trouve Gnalement
dt cU^ dt dt^
Ainsi, le carré du rayon vecteur d'un point d'inflexion, quand
il existe, a pour expression
I I I
âJ "^ i» "^ ^ (a«— A«)(^*— A«)(c»— A»)
I I I '2 h*
«ï "^ 6« "^ ^ ~" «
Rappelons encore, d'après (i6, 8), que les carrés des rayons
vecteurs maxima et minima sont respectivement
Diverses formes de rherpolhodie.
C'est uniquement dans le cas où b'^ et c- sont de signes oppo-
sés que -J^ ne conserve pas un signe invariable tout le long de la
courbe, comme on le voit par les égalités (22). Ce cas se présente
seulement si l'on a (p. 5o)
En ce cas, il est visible que T2 et T3 ont tous deux le signe de t.
Suivant que yo a le signe de (7^) ou le signe opposé, la
courbe présente la forme représentée par la/ig. i ou la Jlg^. j,
offrant, si on la prolonge, une boucle dont le point double est sur
les rayons minima ou maxima.
Ces deux cas peuvent se présenter. Supposons, en effet,
^ ^. — ^ infiniment petit positif, de sorte que ^-7- soit infiniment
62 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
petit négatif (t. I, p. 43). Les expressions (7) de b^ et c*, étant
écrites ainsi
6* = u* /w ( m H . — )
\ atpp — 63/
c* z= u} m { m '^ ; — )
m =: — 9
donnent lieu à l'observation suivante. Les deux quantités
j
I p V \ p V
2«pi» — «3 'Ài pv — et
sont négatives : la première infiniment petite, la seconde infini-
ment grande. Si l'on donne donc à m une valeur positive quel-
Fig. I. Fig 2.
conque, b^ sera effectivement positif et c^ négatif. D'autre part,
l'expression (20) de yo devient
I TT
Xo= mta H — ; [t) (o) — 10') — a)(7) — t)')] = mto •
On peut donc prendre à volonté m positif de manière à assigner à
y© un signe arbitraire, tandis que (^) = '^^ 71 (26) est une
quantité positive.
Ainsi, les deux cas représentés par \esjig. 1 et 2 s'offrent effec-
tivement quand la base est un hyperboloïde à une nappe et que
l'essieu de la polhodie est le grand axe de l'ellipse de gorge.
Ces deux cas exceptés, l'herpolhodle affecte nécessairement
une des formes représentées par \cs Jîg, 3 et 4» suivant qu'elle a
ou non des points d'inflexion (*).
(') Les formes représentées par \csfig. i, 2, 3, 4 se modifient profondément,
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 63
Au cas de Thyperboloïde à une nappe, où Ton doit avoir
c» > 6» > /t« > o > a»,
si l'on fait a^= — a'^, on reconnaît que — ejx'A'Tj a le signe
fig. 3. Fig. 4.
moins, tandis que — ejx'/i'Ta a le signe de ^ j ti» Ainsi,
quand la base est un hyperboloïde à une nappe
I» r,î Ç«
a
'« ^ 6« o« ~ '
et que l'essieu de la polhodie est Taxe non transverse, la condi-
tion pour l'existence des points d'inflexion est
Au cas de l'hyperboloïde à deux nappes, b^ et c^ doivent être
négatifs; soient 6*= — 6'^, c^ = — c'^ et 6'^-<c'2.Les deux quan-
tités — ejx' A'Tj et — £[x'/i'T2 ont, la première, toujours le signe
plus; la seconde, le signe de -j -i — 75 — pj- Ainsi, quand la base
est un hyperboloïde à deux nappes
11 _- !ii _ ?! - .
aï 1,'t c'» " '
quant à l'apparence, si l'angle /a sittcint une ou plusieurs circonférences. La
courbe fait alors une ou plusieurs circonvolutions entre deux sommets consécutifs.
Cet angle /, peut acquérir une valeur quelconque, comme on vient de le voir et
comme on le reconnaîtra aussi plus loin au moyen de son développement en
série (37). La courbe peut se fermer, ce qui arrive lorsque x„ est commensurable
3VCC 1».
64 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
la condition pour Texistence des points d^inflexion est
~.-?i-î5ï<o (6'«<c'.).
Au cas de rdlipsoïde, si Ton diC^>b^>h^> a^, les deux quan-
tités — ejx'/i^Ts et — e(x3A3T2 sont toutes deux négatives; mais,
si Ton a c^ < 6^ <^ A^ <C «^, la première est négative ; la seconde a
le même signe que — j — t^- Donc, quand la base est un
ellipsoïde et que la polhodie a pour essieu le petit axe, Therpolbodie
n'a pas de points d'intlexion ; si la polhodie a pour essieu le grand
axe, la condition pour Texistence des points d'inflexion (c étant le
demi-petit axe) est
c
' ' * >^
On a rappelé (p. 45) que, dans un ellipsoïde d'inertie, cette
quantité —^ — ■ ^ est, au contraire, toujours négative. Ainsi,
rherpolhodie qui répond au mouvement d'un corps solide en l'ab-
sence de toute force extérieure, celle que Poinsot a considérée
seule, n'a jamais de point d'inflexion (*).
Développements en séries pour les divers éléments
d'un mouvement à la Poinsot.
Les développements en séries qui ont été formes dans le Cha-
pitre I s'appliquent aux mouvements à la Poinsot, pourvu qu'on
y suppose les angles 0 et U variant proportionnellement au temps.
Nous avons à y joindre les développements propres à représenter
les éléments nouveaux, axes de la surface base, éléments de l'hcr-
polhodie, puis à mettre tous ces développements sous les formes
extérieures les mieux appropriées à Tobjet considéré.
Nous considérerons tout d'abord l'angle yo-
(•) L'étude des points d'inflexion de rherpolhodie a été faite, pour la première
fois, par M. W. Hess dans la thèse citée au début do ce Chapitre. Le fait que
cette courbe, dans le cas du mouvement des corps, n'a jamais de point d'inflexion
ofl're cette particularité historique que Poinsot, dans une des planches jointes à
son célèbre Mémoire, représente l'herpolhodie comme une courbe sinueuse. Ce fait
a été trouvé aussi par M. de Sparre {Comptes rendus de i8Si); luais la priorité
appartient à M. lless.
CHAPITRE II. — LES aiOUVEllE:<ITS A LA POINSOT. 65
Employant les mêmes notatioDS qu'au Chapitre! (p. 19, 2^, 29),
nous avons (t. I, p. 42^)
m
(^7) \ """ o .-i-Vî""^Zu ,_^//» V^i" } m = a, 4, 6, ..
m
= HH-air— , >^ ^' ...Sin/no.
Supposant f'' entre — tu' et tu', c'est-à-dire V entre y/^ et /=>
tl entre et -> nous concluons, d'après la formule (20), le dé-
A
veloppement de yoH-e-co. C'est j)récisément ce développe-
ra
ment (27).
Au Chapitre I, on a désigné par B l'argument de la quantité
G'. D'après la composition de G' en fonction de G (I, 4') et
la nature actuelle (6) de G, on voit que 0 est une fonction linéaire
de u'. Soit arg. de G'= 6 = 9| + 60 ~
Soit tj/ l'argument de l'imaginaire (3'2(w'+ ^'). La formule (17)
nous donne
car l'angle y^ est l'argument de j:, + /j',, et, de plus, on doit s'en
souvenir, les arguments de U, U', C sont o, 7? 7*
L'argument <!^ de (^2 {u'-\- i^') se calcule par la formule (89) du
Tome I, p. 428, comme il a été fait au Chapitre I (p. 3i) pour
les analogues ^aj ^^» ^c -
m m
U/ —. — = 2 > = - — :r- sin m u
(•28) V / ;
m m
= UO-t-2^ ''
De là se conclut l'angle y. Donnant à u! les deux valeurs o et
II. ' 5
(29)
66 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
(t), par conséquent à U les valeurs 0,-9 on conclut, par différence,
l'angle y© exprimé ainsi
C'est Tangle y©? bien nettement caractérisé par une signification
géométrique, qu'il convient d'introduire dans les formules, et Ton
écrira l'expression de y sous la forme
Dans cette formule, ç est un angle arbitraire dont le change-
ment se rapporte au changement qu'on peut faire sur la direction
des axes x,y. Il diffère de 0| par l'angle -• L'angle 8', qui figure
dans les formules (62) du Chapitre I, n'est autre que
.' ^ _ „ ..'-.f
6'=o-t-yo- =oH — y o« = 0 -+- -- ■+- -^ — •
Pour développer les coordonnées x^^j^ d'un point de Ther-
polhodie, d'après la formule (17), on emploiera les développe-
ments du Tome I, Chap. XIII (p. 4^2).
On trouve ainsi
71=1,3,5, •..; m = 2, 4> 6, ....
La présence du terme — -UO dans les formules (28, 29) pro-
vient de l'échange des périodes, qui amène la quantité
ITZUV 'XI
T = UO.
eu tti (ùOi 2b)(0 X
On retrouvera ce même terme quand, appliquant les formules
du Chapitre I pour cos ax + i cos ûy et les analogues, on pas-
sera des développements (I, 5g) composés avec q aux développe-
ments (I, 65), composés avec Çt.
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 67
Pour développer les carrés des axes d'après les égalités (7), on
aura recours à la décomposition
(3o) ^^-^ =Ç(«'-HWa) — Çi> — T^a-
D'après les développements de la foncîtion J^ (t. I, p. 4^5 et
426) se souvenant que ç>=(i> + ç'', sauf des périodes qui ne
jouent ici aucun rôle, on trouve
L 10 J loLa I — V« ^I— ^m V'" J
(3i)
m m
"m
Ç((>-hw') ■ >) h= 7 — r- —
m
/7t = 2, 4» 6} ....
Pour avoir les développements où figure y « , au lieu deq^on écrira
(1) (U (0 (O
Ç(p-4-a)) i 7j = Ç/ î : -+-7) = Çp' ^- »,
O) (I) (OU)'
_, fx ^^ fi.// / X t/( (>'-+- 10') if TZ\ TiO)' -
o)^ ' 0) a)\2/o)
Les développements de la fonction 2^, ceux mêmes que nous
venons d'employer, donnent ainsi par l'échange des périodes
m
sin /no,
« ( Ç p ^ ) «= - H r >, „. su
^^ ' w 'J (o aa> (o Jad i — qi
(Sa)/ 2Î
L^ 'w 'Ja)2W ° o) Jtad I — q'^
m m
•fv/ /x ')*' /1 *^ 27:iV*(— 1)*9
2 7:1 V* ( — i)* q\ .
68 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Au moyen de ces séries (3i) ou (82) on formera, d'après les
formules (7,3o), les développements des carrés des axes.
Résumé de la représentation d*un mouvement à la Poinsot
par des séries.
Nous allons réunir les développemenls précédemment obtenus,
en y faisant disparaître toute trace des notations elliptiques, de
sorte que cet ensemble soit facilement intelligible pour un lecteur
étranger à la théorie des fonctions elliptiques.
Nous prendrons
comme des données.
Les données sont : 1° trois nombres K, V, y, le premier K
quelconque, et
2^ Une longueur positive ou négative /.
En fonction de ces données, voici les développements des
constantes géométriques :
A, distance du plan tangent au centre de la surface base (dis-
tance affectée d'un signe), a^, b'^, c^, carrés des axes de la sur-
face base :
(33) ]K('^-iW--i=^*-y ^^—i-Zl
\A* / 21-hV* ^ i-^qP
— V*/»
qP \ip
71 = I, 3, 5, ... ; p= i, 'i,*3,
Au lieu de ces développements, on peut en prendre d'autres où
figure, au lieu de q, un autre nombre q^, également positif et
moindre que l'unité, savoir
7r«
(34) log-i
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 69
en sorte que log — et log- ont tt^ pour produit. Dans ces nou-
veaux développements apparaît, au lieu de V, un angle V, savoir
(35) o = -
Voici ces développements :
iog^
.lKlogi.(g-.)=-427^.«i"^«'"
i K log i. (î; - . ) = - I tang 0 - a^ j:^!^^^ sin a/>o;
En choisissant, des deux nombres q, ^i, le plus petit, on est
assuré que ce nombre est inférieur à e~'^= o,o43 —
Voici maintenant le développement de l'angle yo, compris,
dans l'herpolhodie, entre un rayon vecteur minimum et le rayon
vecteur maximum voisin (27),
m
(37)
0 1
m
1
loff —
— V— ^-^-—sinmu;
1 Jhd I — q*{*
m = 2.. 4> 6, ....
Nous arrivons maintenant aux développements des éléments
variables du mouvement. La variable indépendante qui sert à les
figurer est un angle tt proportionnel au temps. Les lignes trigo-
nométriques de cet angle paraissent dans les développements où
Ton emploie q. Dans les développements où l'on emploie y 1 , les
lignes trigonométriques disparaissent, et la variable U est repré-
sentée par la quantité U ci-après
TU
,1 «1 '
log- log —
70 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Il suffira, comme on Texpliquera plus loin, de faire varier U
entre — - et -; de celle manière U sera compris entre \fq\ et -r=:-
Les axes de coordonnées liés avec la surface base sont dé-
nommés a, 6, c ; ils coïncident avec les axes de symétrie dont les
carrés sont désignés par a^, 6^, c'^\ ils ont des sens positifs arbi-
traires. Les axes de coordonnées liés avec le plan roulant sont
dénommés x^yy z\ le dernier z est perpendiculaire à ce plan, les
deux autres lui sont parallèles. Leur direction dépend d'un angle
constant et arbitraire cp. Dans les formules apparaît un angle 0',
qui varie proportionnellement au temps, à savoir
(39) 6'=cp^^^.
Les sens positifs des axes x^ y, z sont arbitraires et on laisse
subsister dans les formules trois unités positives ou négatives
( — O**» ( — 0*> ( — 0*^* ^^ caractère e de congruence des deux
systèmes d'axes est
(4o) £ = (_l)a-»-6-t-c-i-l.
Voici d'abord les cosinus des angles de l'axe z avec a, 6, c
(I, 57 et 64), représentés par les combinaisons de neuf séries
développées dans le Chapitre I (I, 58), et qu'il est inutile de
reproduire ici :
. . A(u)A'(V) B(»)B'(U)
(-i)acosa^= A-(^) =-^ B-(^0 '
un J r~i^*co86^ - ^(")B^(V) _ A(p)A-(U)
(4i) ^(~i) ^o^bz^—^^^^ Â'T?Ô"'
^ . C(u)C'(V) C(D)G'(U)
Les cosinus des angles des axes x ^ly avec a, &, c sont donnés
par les combinaisons cosa^ + iQ,osay et les analogues. Chacune
de ces combinaisons est développée de deux manières avec q et
de deux manières avec q\ ; les séries employées se trouvent au
CHAPITRE II. — LES MOUYEMENTS A LA P0IN80T. 71
Chapitre I (I, 60) :
(--i)«(cosaa?-t- £cosay)er-^^'
^ K''{n,\)\'(\) ^ A'^(u, V)A(u)
(4a) { ^'(^> ~ ^"(^^
2fU0 atUD
_ it B'^(ti,U)B^(U)_ it B'^(ti,U)B(p)
""" B'(^t) "^ B'(^0
Il est Inutile de transcrire ici les expressions analogues de
cosbx -^ icosby^ coscx -\- icoscy^ qu'on trouve au Chapitre I
(I, Sg et 65), et où l'on doit mettre e'^', e ^ '^au lieu de
Hu't^ in fj'n'v' lit
Ce " "*■ * , G'e *^' ^" .
A ce dernier groupe de formules sadjoint naturellement celle
qui donne les coordonnées^!, y^ d'un point de l'herpolhodie (29)
= ^-y(-i)~*~? ' (V'»e"''''H-V-"e-""'')
(43) ' '^* ^
31 UT)
log-
n ^ I, 3, 5, . . .; m = 2, 4i^»'-"
Le dernier groupe de formules est celui qui donne directement
certains angles, déterminés à un multiple près de la circonférence
entière ou de la demi-circonférence suivant les cas. Dans ces for-
mules apparaît le caractère e de congruence des axes (io). C'est
d'abord l'angle 'y^, angle polaire dans l'herpolhodie (28)
m
(— <7)« I— V»'» .
(44)
V^C A/ V (—7} I — ^
;n
au© v? (— 7t ' I— u»'« .
puis les angles d'Euler (es, ^), (a>s, œ), (bz, x), dans les expres-
4
sions desquels (I, 53 et 67) 0 + ^^4^ sera remplacé par 0' — 7;
72 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
enfin les angles (c3, a), (as, />), {bz, c) donnés sans modification
par les formules (l. 5!^ et ^3).
Tous les développements où figurent, avec y, les lignes trigo-
nométriques de U, permettent de faire varier tl arbitrairement. Ils
font apparaître aussi les modifications très simples que subissent
les diverses quantités quand on change U en U -f- it. Par exemple,
cosa3 se reproduit sans changement; cosbz^ coscz se repro-
duisent changés de signe; X\-\-iy% se reproduit multiplié par
e^'Xo; y^ se reproduit augmenté de 2yo, etc. En un mot, ces déve-
loppements représentent le mouvement dans toute la suite des
temps, mais ils mettent aussi en évidence sa quasi-périodicité. Au
contraire, les développements où figure, avec q^^ la quantité U,
doivent être envisagés pour des valeurs limitées de tl; mais la
quasi-périodicité du mouvement laisse ce défaut sans consé-
quence.
Cas particuliers.
Poinsot, dans son Mémoire célèbre, s'est arrêté spécialement
sur les cas particuliers qui n'exigent pas l^ emploi des trans-
cendantes elliptiques (*). Nous retrouverons ici ces cas en sup-
posant les fonctions elliptiques dégénérées, en supposant donc
y = o ou bien q^ = o.
L'hypothèse q=^o entraîne b''=c^ (33). La surface base est
de révolution; l'herpolhodîe est un cercle décrit d'un mouvement
uniforme.
L'hypothèse q^= o entraîne />-= h^ (36). C'est le cas où l'une
des positions du point de contact du plan roulant est au sommet
de l'axe moyen sur la surface base. Il faut alors prendre partout
les formules où figure </, et y réduire cette quantité à zéro. La
quantité q est l'unité; log- est infiniment petit, Klog— estune
quantité finie. La formule (37) montre que ^o est infini. Toute
périodicité disparaît ; l'herpolhodie fait une infinité de circonvo-
lutions autour de la projection du centre sur le plan tangent; ce
point est asymptotique.
On voit par là que, dans les cas où, sans être nulle, q^ est une
(») Journal de Math., i^ série, t. XVI, p. 298.
CHAPITRE 11. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 78
quantité très petite, le mouvement de l'axe z est à longue période.
Les formules où figure q sont peu propres à Tétude du mouve-
ment; celles, au contraire, où figure qi y sont parfaitement ap-
propriées.
Composition d'un mouvement à la Poinsot avec une rotation
uniforme autour de la perpendiculaire au plan roulant.
A la première inspection des formules fondamentales (I, i) du
Chapitre I, on a reconnu que le changement de la quantité G
équivaut à une rotation autour de Taxe z. Si l'on remplace, en
effet, G par Ge*'^^ en supposant les axes a, 6, c immobiles, ceci
revient à faire tourner le système x^ y^ z autour de z d'un angle
égal à — i^.
Dans le mouvement à la Poinsot, la quantité G est une expo-
nentielle dont l'exposant est du premier degré par rapport au
temps; si l'on change dans cet exposant le coefficient du terme
variable, sans modifier en rien les autres données elliptiques, on
obtient un autre mouvement à la Poinsot qui diffère du premier
par une rotation uniforme autour de Taxe z. Ainsi le résultat de
la composition d'un mouvement à la Poinsot avec une telle rota-
tion est un autre mouvement à la Poinsot.
La partie variable, dans l'exposant de l'exponentielle G, est (6)
Soient donc considérés deux mouvements, définis l'un et l'autre
par les mêmes formules, sauf changement de G; si l'on distingue
par les indices o, i les quantités afférentes à ces deux mouve-
ments Mo, M|, on aura (7)
. al — hl _ bl — hj _ cl—hl _ n^ho
^^^^ a\^h\ " b\ — h\ " c\ — h\ ~ TiiA,'
et le mouvement M| résulte de la composition du mouvement M©
avec une rotation uniforme autour de z, de vitesse e ( — ^ -]
dans le sens direct.
74 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Ces faits apparaissent tout aussi nettement dans les développe-
ments du dernier paragraphe ; on y voit que les deux mouvements
sont définis Tun et l'autre par les mêmes formules, sauf change-
ment de la seule constante K. Au point de vue de la Cinématique,
tout aussi bien que pour les formules, cette constante K peut être
changée sans que le mouvement soit profondément altéré.
C'est pour cette raison que nous n'avons pas rangé, dans le pa-
ragraphe précédent, au nombre des cas particuliers, ceux qui sont
caractérisés par des valeurs particulières de la constante K. Il y a
cependant lieu, au point de vue géométrique, de signaler ceux où
— K est choisie égale à la valeur de l'une des séries (33). Si, par
exemple, on a
~ I— V* ~ ^2d 1 — ^»'* V»« '
il en résulte rt- = o. La surface base est aplatie, se réduit à une
simple conique. En ce cas, on a nécessairement c^> i^> A^. Cette
conique est une ellipse et le point de contact du plan roulant la
décrit tout entière. Si — K est égal à la seconde série (33), la
courbe est une hyperbole dont a est le demi-axe transverse, et le
point de contact du plan roulant décrit sur cette courbe un arc
limité : cet arc, en effet, contient seulement les points où la tan-
gente de la courbe est à une distance du centre inférieure à A. Si
enfin — K est égal à la troisième série (33), la courbe est une
ellipse \ mais le point de contact du plan roulant décrit sur la
courbe un arc limité.
Ces cas particuliers sont plus simples au point de vue géomé-
trique que le cas général, surtout si l'on envisage le plan comme
fixe, la base comme mobile. On voit alors une ellipse ou une hy-
perbole, de centre fixe, rouler sur un plan. Ce mouvement, com-
biné avec une rotation du plan autour de la perpendiculaire menée
du centre fixe, peut donner une idée nette du mouvement le
plus général.
On vient de considérer simultanément deux mouvements à la
Poinsot, dont les éléments sont liés par trois relations (45). Ceci
conduit à une généralisation naturelle dont nous allons parler.
CHAPITRE H. — LES MOUVEMENTS À LA POINSOT. 76
Définition des mouvements à la Poinsot concordants.
Soient dcuxmouveaients à la Poinsot, que l'on considère simul-
tanément. Nous les dirons concordants si les fonctions elliptiques
qui y correspondent ont un même invariant absolu et si , en outre, les
deux mouvements sont isochrones, ont une même période de temps.
La concordance, ainsi définie, s'exprime par deux relations
entre les éléments des deux mouvements. Nous allons trouver ces
relations.
Rappelons-nous qu'un mouvement à la Poinsot est défini par
quatre nombres (^)', {^\ (^)', '^ (p. Sa).
Nous distinguerons les deux mouvements par les indices o et i,
affectant toutes les lettres relatives à l'un ou à l'autre.
Dans les formules relatives à chacun d'eux, figurent deux con-
stantes entièrement arbitraires, [jlo, [JI|, qui sont des constantes
d'homogénéité. Nous en pouvons disposer de telle sorte que, pour
les fonctions elliptiques, l'invariant étant unique, les racines ei,
^2, ^3 soient, de part et d'autre, les mêmes. Ainsi, la coïncidence
de l'invariant absolu est exprimée si l'on dit que l'on peut choisir
[1© et [X| de telle sorte, que les trois dilTérences analogues à celle-ci,
rra. {al-hl){bl-hl) (a\-^h\){b\-^h\)
^^ ^ V-IH HLÎAJ
soient égales entre elles. En effet, d'après les formules (8), ces
différences sont, toutes trois, égales k pv^ — pv^.
D'autre part, la période du temps est, en valeur absolue, 4^ —
pour l'un des mouvements, 4^0— pour l'autre (p. 5a). L'isochro-
nisme exige donc l'égalité des rapports — > — en valeur absolue.
Dans les différences (46)» on peut donc remplacer [jlJ, [jl, par /ij,
/ij. Dès lors, la concordance est exprimée si l*on dit que les
trois différences analogues à celle-ci,
sont égales entre elles.
•;6 DEUXIÈME PARTIE. -- APPLICATIONS.
Au point de vue de la Cinématique, on peut prendre ces rela-
tions pour définition de la concordance.
Relations entre les éléments variables de deux mouTements
concordants.
Considérant deux mouvements concordants, on doit chercher
les relations qui existent entre les positions des deux figures mo-
hiles, prises en un même instant quelconque. Dans la solution
de cette question^ il entre une constante nouvelle : on peut sup-
poser, en effet, que Tune des figures occupe une quelconque de
ses positions en un instant initial, où l'autre figure occupe une
position déterminée. Cette supposition faite, la correspondance
entre les positions des deux figures se trouve complètement
établie.
Les deux figures mobiles sont les deux systèmes d'axes Xo, j'o? -2©;
^M y\i ^\' Nous supposerons, dans la notation, un seul système
d'axes fixes a, 6, c, comme si les deux surfaces bases avaient les
mêmes plans de symétrie.
Les différentielles des arguments variables rfwo, du\ sont res-
pectivement — dt^ — dt (6). Elles sont donc égales entre elles, en
valeur absolue, comme i-^, i^. La somme Wa =t Uk est donc con-
stante. Il est d'ailleurs indifférent de supposer constante soit la
somme, soit la différence; car les formules fondamentales (I, i)
restent inaltérées si Ton change w, i% G en — «/, — ç', — G. Pour la
symétrie, nous supposerons la somme constante, et nous poserons
(48) { ni no ''
Uo-f- Ui = V.
La relation entre les éléments elliptiques variables des deux
mouvements est ainsi trouvée. C'est à l'addition des arguments
dans les fonctions elliptiques qu'il faut maintenant demander les
relations entre les éléments géométriques.
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS A LA POINSOT. 77
Pour Ce but, on devra considérer les quantités suivantes :
x» p Mo = — n„\hi 2: (aj — 65) (a J — cj) cos« azo ,
-*pui = — j~-^i:(a* — b\)(a]—c\)cos*azi,
(49) \ ' '
-3
0 '*0
2
P'mj = -__ -.(af— b\) (^f — cj) (c} — a\)cosazi cos^^i cosc^i.
71 j /ij
Ces quantités ont efTcctivcnient la signification elliptique que la
notation leur attribue, comme on voit par les formules (ii, 12).
Ceci posé pour deux mouvements concordants, il existe deux
constantes T^p^, '^^p'^t donnant lieu aux deux relations (t. 1,
p. 3o)
-r^ p Mo -4- T» p V __ 'z^p'itj-h-:^ p'i>
"z^puçf — i^pv 'Z^puo — T'pp'
Ces deux relations ne sont pas indépendantes; les deux con-
stantes T^j)^, t'jdV ne sont pas toutes deux arbitraires. Cette cir-
constance, on va le voir, constitue un avantage, et nous allons,
pour préciser entièrement, envisager encore d'autres relations.
Considérons Tangle que font entre eux les deux axes mobiles
Zq, Zf Son cosinus est donné par une formule du Chapitre I
(I, 32) sous la forme suivante, où nous écrivons p au lieu de
Wo -f- «I (48) :
aÎMo + aî;^,— 2^ ;
(Sa) cos^o-Si =
^e-^^^-^K
(v^o-H ^'1 )
Par le théorème d'addition des fonctions Ç (t. I, p. i38), on a
(53) Çmo -t- Çwi — ît'=
' -a V 1 i ^ 2 pWo — pii\
Le second membre peut être exprimé, par le moyen des quan-
78 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
tités (49)? comme il suit. Posons, suivant l'égalité (12),
. ^(a;-5;)(a;-o;)
(54) "•''•
f — ^^-^ ryxr -cessas, =z*Çpui—pUo),
en observant que cette quantité variable A ne change pas par le
changement des lettres a, 6, c ; puis
„ I rfaii — ^»?,)(6?, — c?,)c?, — a2)
N = — — — — -' , .. — cosa^o cosbzo cosc^Sq
A L nihi
(5o) \ -h — ■ .. , , — ^cosa^i coso^i cosc^i
n]h\
= 1 X ^B^"" J^
2 pUo p Ml
Désignons encore par A et B les deux constantes
(56)
L'égalité (52) nous fournit la relation
(57) A(cosa^ocosa5i -h cosbzo cos^^i-+- cosc^o cosc^i)-+- aN-t- B= o.
En difierentiant, nous allons avoir une nouvelle relation conte-
nant la seule constante A.
Pour faire cette difiiérentiation, on a d'abord (48, 54)
d'où résulte, d'après (53, 55)
dt =^-
On a, d'autre part (i, 3, 5),
Jcosa^o ^11 — cl ,
-jl = 7— ^ COSt>^oCOSC-So»
dt no ho
CHAPITRE II. — LES MOUVEMENTS À LÀ POINSOT. 79
et ainsi des autres analogues. L'égalilé (67) donne donc, par dif-
férentiation,
(58)
2(
cos ùzq cosczq cosa^]
/.î ^j
^0 — ^0
CUSC/^O ^USC^wQ CU5a^]
H *_ , ^ cos6^i cosc^i cosa-3o) -h 2A = o.
Après avoir établi ces formules, envisageons la question im-
portante de déterminer les positions correspondantes des deux
figures mobiles dans deux mouvements concordants.
Ce qui justifie l'emploi des relations surabondantes (5o, 5i, 67,
58), c'est la nécessité de fixer les signes des cosinus. On pourrait
assurément y parvenir en suivant la variation de ces cosinus : on
devrait, à cet effet, se rappeler seulement que cosa^ conserve un
signe invariable, tandis que cosfr^ change son signe quand l'ar-
gument u passe par une période, et cos cz quand cet argument
passe par une demi-période. Mais, sauf des cas particuliers relati-
vement à l'argument v, on ne pourrait ainsi tirer aucune con-
clusion.
Si l'on suppose connues les constantes T^jjt', t'pV, A, B, on
peut déterminer entièrement les cosinus de azi, bzi, cZi corres-
pondant à des cosinus donnés pour azo^ bz^, czq, Efl'ectivement,
la relation (5i) donne T^pwi, par conséquent A (54) et les carrés
des cosinus. La relation (5o) donne T^p'wi et, par conséquent,
N (55); puis l'une ou l'autre des relations (67, 58) permet de fixer
les signes des cosinus eux-mêmes.
Il n'y a d'ailleurs aucun embarras pour choisir les constantes
t'/)(', T'pV, A, B si l'on veut composer un exemple. Ayant pris,
en effet, deux mouvements à la Poinsot dont les données satisfas-
sent aux relations de concordance (47)j ^^ peut choisir à volonté,
dans ces deux mouvements, les axes ^o et z^ pour correspondants.
Les valeurs de A et N, pour cette position, se trouvent détermi-
nées; par la relation (58), on en conclut A, puis B par la rela-
tion (57) et, par les relations (5i, 5o), t^jjç^, T^pV.
On le voit donc, si l'on définit deux mouvements à la Poinsot
concordants par la position des deux figures mobiles en un même
instant, les constantes A, B, t^jjç^, -z^p'v peuvent être envisagées
comme des données ; de plus, pour chaque position ultérieure
8o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
d'un des axes, Zq^ par exemple, celle de l'autre axe z^ est déter-
minée complètement par des formules explicites.
Sur un cas particulier de la concordance.
Le cas particulier suivant doit être signalé surtout à cause de
l'application qui en sera faite dans le Chapitre suivant: c'est celui
où les deux arguments variables Uq-^ Ui ont pour somme une pé-
riode. Ici les cosinus de bzo et bz^ changent ensemble leurs si-
gnes, et de même ceux de czq et czt. Cette circonstance est mise
en évidence dans l'égalité (54), où A est nul. Si l'on tient compte
de la convention d'après laquelle b^ est le carré du demi-axe
moyen, c'est-à-dire 6' compris entre a^ et c^, on aura, en ne
considérant que des radicaux réels et positifs,
I 1 î!_ji_!î îLf cosa-5o = £ — — ^ — ■ — cosazi ,
/io'*o Flihi
fio/io /Il Al
s', s", s'" pourront indifféremment être pris séparément égaux à
± I, sous la condition toutefois e'c"e"' = -f- i, exigée par les rela-
tions (49)'
Herpolhodies fermées et herpolhodies algébriques.
Si l'angle y o est commensurable avec la circonférence, l'herpol-
hodie est une courbe fermée. On obtient ce cas, en prenant con-
venablement K dans la formule (3^).
Si, en même temps, on prend aussi U = yo, l'herpolhodie est une
courbe algébrique. L'expression (i4)de x -{- iy est alors, en effet,
une de ces fonctions (t. I, p. 224), qui sont des racines de poly-
nômes entiers en j3w et p' u, en sorte que .(a: -f- iy)'^ et (x — îy)"^
s'expriment algébriquement tous deux au moyen de pu. C'est un
sujet sur lequel on reviendra, à propos des lignes géodésiques.
CHAPITRE lir. — ROTATION D*UN CORPS GRAVE DE RÉYOLUTIOfC. 8]
CHAPITRE III.
ROTATION D'UN CORPS GRAVE DE REVOLUTION, SUSPENDU PAR UN
POINT DE SON AXE («) — LA COURBE ÉLASTIQUE GAUCHE.
ÉqualioDs dilféreatiellcs. — laversioa. — Calcul de cosAZ ± i cosBZ. — Calcul de
cosCX di f cosGY. — Expressions ellipliques des constantes mécaniques. — Cas
particulier où Tellipsoïde d'inertie est une sphère. — Expression des éléments
elliptiques par les constantes mécaniques. — Décomposition de la rotation. —
Étude du théorème de Jacobi. — Relations entre les deux mouvements com-
posants. — Les éléments du mouvement composé, déduits des mouvements
composants. — Propriétés particulières des mouvements composants dans le
bas où Tellipsoïde d'inertie est une sphère. — Les constantes des mouvements
composants , déduites de celles du mouvement composé. — Sur un cas parti-
calier. — Mouvement de l'axe du corps grave. — Mouvement relatif de la verti-
cale par rapport au corps. — Le moyen mouvement du plan vertical mesuré dans
rherpolhodie. — Le mouvement du plan vertical mesuré dans l'herpolhodie. —
Expression des composantes de la rotation. — Expressions des constantes au
moyen du mouvement initial. — Mouvement pendulaire : rotation du plan ver-
tical. — Réaction de la tige du pendule. — Digression sur un cas de l'équation
de Lamé. — Sur une distinction entre le pendule à tige et le pendule à fil. —
Représentation du mouvement par des séries : moyen mouvement. — Mouve-
ment du plan vertical. — Développement des constantes. — La courbe élastique
gauche.
Équations différentielles.
Par corps de résolution, on entend ici un solide dont rellip-
soïde central d'inertie est de révolution. On suppose fixé un point
de Taxe de révolution; le corps, animé d*un mouvement initial
quelconque, est abandonné à Taction de la seule pesanteur. Le
(*) Auteurs à consulter : Lagrajcge, Mécanique analytique, 3' édition, publiée
par M. J. Bertrand, t. II, p. 333. — Tissot, Thèse de Mécanique {Journal de
Math., i~ série, t. XVII). — Jacobi, Œuvres complètes^ t. II. — Hermite, Sur
quelques applications des fonctions elliptiques. — Darboux, Cours de Méca-
nique de M, Despeyrous, t. II. Paris, Hermann ; i886. — Puisecx, Note sur le mou-
vement d'un point matériel pesant sur une sphère {Journal de Math,, i'* série,.
t. VII).
IL 6
82 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
problème qui consiste à trouver le mouvement de ce corps a été
ramené aux quadratures elliptiques par Lagrange.
Soient A, B, C les axes rectangulaires, fixes dans le corps, ayant
leur origine au point de suspension, et le dernier C, passant par
le centre de gravité. Soient aussi r: le poids du corps, et c l'or-
donnée du centre de gravité, comptée suivant Taxe C; soit enfin Z
un axe fixe et vertical, dirigé dans le sens de la pesanteur. Les
moments de la pesanteur par rapport aux axes A et B sont respec-
tivement — TcccosBZ et -i-TtccosAZ. Par rapport à l'axe C, le
moment est nul, puisque cet axe contient le centre de gravité. Fai-
sant, un instant, abstraction de ce fait que le corps est de révolu-
tion, dénotant par P, Q, R les moments d'inertie et par p, y, r les
composantes de la rotation instantanée autour de A, B, C, par t
le temps, on aurait les équations différentielles
P^ =(Q — R)^r-7rccosBZ,
Q^ =(R — P)r/?H-7cccosAZ,
Le corps élant de révolution, les deux moments d'inertie P et Q
sont égaux entre eux, quel que soit le point de suspension sur
l'axe du corps. La dernière équation montre donc que r est une
constante.
Écrivant, pour abréger,
(0 P = r' ir = iP»
on a les équations différentielles
(^)
= ("-') /iD-ipcosAZ.
dq
'dt
En y joignant les équations cinématiques (I, 74)? o^ />, y, r doi-
vent être changés de signe pour représenter les composantes de la
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉYOLUTION. 83
rotation relative de l'espace par rapport au corps,
(3) — -r =<7cosAZ — />cosBZ,
(4 ) — — = r cos BZ — q cos GZ,
cl*
(5) — -1 — =jDCOsGZ — rcosAZ,
on parvient, comme il suit, à Tintégration.
Multipliant respectivement par p eX. q aux deux membres dans
les équations (2) et ajoutant, on obtient, suivant (3),
dp dq X f. rfcosCZ
et, par conséquent,
(6) />«-*- ^«= P(cosGZ -4- y).
Multipliant respectivement par cosAZ et cosBZ dans les équa-
tions (2), par/? et q dans les équations (4, 5) et ajoutant, on ob-
tient encore, suivant (3),
d . K^t , r»^x <icosGZ
-5-(/?cosAZ -t- q cosBZ) = — a — -^ — ,
d'où résulte
(7) jD cos AZ -h <7 cos BZ = 0 — acosGZ.
D'après l'identité
(/>cosAZ-f-[cosBZ)«4-(<7cosAZ— jDcosBZ)«=(/?«-*-^2)(cos«AZ-+-cos»BZ)
et la relation
cos» AZ H- cos» BZ H- cos» GZ = i ,
les équations (3, 6, 7) donnent maintenant
(8) /l£^£?y=p(i — cos»GZ)(cosGZ-t-Y)-(o-acosGZ)».
On voit par là que cosCZ est une fonction elliptique du temps l.
84 DJZUXIÈME PARTIE. — APPLICATIOlfS.
Inversion •
Désignant par t une constante d'homogénéité, posons
4
(9) cosCZ= -^^«(p — jdm).
La constante p doit être choisie de telle sorte que le polynôme en
pu^ transformé du polynôme (8), manque du second terme et les
invariants elliptiques doivent être pris de telle sorte que le poly-
nôme reproduise p'^w, à un facteur constant près.
On sera ainsi conduit à une identité de la forme suivante
\ H-4(pa-f-pai-+-pa,)(j)a — v)« = p'«M,
où chaque facteur {pu — pa) correspond à l'un des facteurs li-
néaires de la première partie du polynôme (8), tandis que
(pu — v)2 correspond à (0 — acosCZ)^.
Faisant successivement w = a et u = ai dans Tégalité (10), on
conclut
( 2/pa-hpai-4-pa,(pa — v) = p'a,
(11) J ,
f «/pa-4-pai-4-paj(pai — v) = p'ai,
d*où résulte
i(pa^pa,-^pa,)=(^l—-^j;
donc (t. I, p. 3o)
a^^±z{a-h ai).
Il était permis de choisir ad libitum les signes dans (i i); car les
signes de a, ai sont arbitraires. Celui de aa est arbitraire aussi.
Nous supposerons donc
(12) a -i- «i-h «1^3 o,
à quoi il faut ajouter, pourv, cette expression qui reste inaltérée
par réchange des indices
^ ' P « — P CCl
CHIPITBB III. — ROTATION D^UN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 85
Les deux relations (12, i3) suffisent à assurer Texacûtude de Ti-
dentité (10). Pour le vérifier, prenons les deux fonctions
/a =i(pu — pa)(pu — pai)(pu'-'pat),
•^ L pa — pai^*^ ^J L*^ pa^pai'^ ^J
Le premier facteur de /i i/, par construction, a les racines a et ai .
Comme la somme de ses racines doit faire une période, la troi-
sième racine est ^3. De même, le second facteur a les racines
— a, — flj , — a2' On en conclut immédiatement Tégalité
yw=/j M, c'est-à-dire Tidentité (10).
Pour identifier le polynôme (10) avec le transformé du poly-
nôme (8), établissons Tégalité deux à deux des racines des bi-
nômes du premier degré correspondant; posons ainsi
4
(i4)
4
— I = pt^p — p^i),
->|^Hp-v).
Nous avons de la sorte
I — cosCZ = ^ T*(pw — pa),
i -¥- cosCZ = — ^ 'c*(pM — pai),
(i5) { ^
•f -T- cosCZ = — 7T 'c*(pM — paj),
$— acosCZ= -7r'f*(P" — ^)-
Il faudra poser, en outre,
(.6) ^^Tp-g-p'a.^
t, pa — pai
moyennant quoi le polynôme (8) reproduit le polynôme (10) raul-
86 DEUXIËME PARTIE. — APPLICATIONS.
tiplié par le fadeur ^07- > et Ton a
/c?cosCZ\» 4«T« „
Mais, suivant (9),
rfcosCZ 4t5 , du
On a donc
Des deux premières égalités (i4) se conclut
(.8) p^pa+pa.^ t? = ^'(P«.-P«).
et l'expression (9) de cosCZ devient
/ X r^r, ap// — pa — pai
(19) COsCZm-i- i i î.
^ pa — p ai
On en tire
, pai — pa c^(a — ax)^{a-\- ax)^^u
I^„ pa — pu (^^ai(f(u — a)o'(a-f-a)
I — COSCZ = — 2 ^ -— = — 2 — .^. ^^ r— 5-^ •
P«i — P^ ^(O' — ai)3^(a-i-ai)o^a
Calcul de cosAZ i!= i cosBZ.
Des relations (4, 5) on tire
-i-(cosAZ -^ (cosBZ) = i{p ■+- t^)cosCZ — t>(cos AZ-h icosBZ)
et des équations (3, «j)
(cosAZ — icosBZ)(/?-h iq) =z^ — acosCZ -h i — -z •
Éliminant /?-|-/gr et remplaçant cos^AZ+cos^BZ par i — cos^CZ,
CHÂPITRB lU. — BOTàTION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 87
Doas concluons
-• Ti [log(cosAZ-f-icosBZ) — ^log(i — cos«CZ)]-f-r
^ _ cosCZ(5 — acosCZ)
" I — cos« CZ
Décomposant, par rapport à cosCZ, le second membre en frac-
tions simples, on lui donne la forme
, . 0 — a 0 H- a
(a2) a
2(1 — cosGZ) 2(1 -h cosGZ)
£n faisant dans la dernière égalité (i5) successivement u^=a
et {/ = ezi, puis remplaçant v par son expression (i3), on obtient
des expressions elliptiques de o qp a, savoir
3 p a — p a,
p pa — pax
En y substituant, au lieu de a, l'expression (i6), nous obte-
nons
Cl, d'après les expressions (i5) de i ip cosCZ,
I — cosGZ i pu — pa' n- cosCZ i pw — pai
Substituons aussi, dans (22), au lieu de a, Texpression (16),
remplaçons ^dt par du et nous avons, au lieu de l'égalité (ai),
celle-ci
::7-[log(cosAZ-HicosBZ) — |log(i — cos«CZ)]
p'a-'-p'ai I p'a i p'ai
= 1 — 1 — •
pa — pai a pu — pa 1 pu — pai
88 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
L'intégration se fera parle moyen des formules (l. I, p. i38)
pu — pa
= — Ç(t/ -4- a)-i- Ç(m — a) -f-aÇa,
(24) * — ^— ' — =— !;(w H- ai) -+-!;(?£ — ai) -f-aÇai,
' pu — pai
p'a — n'ai v/ \ r ^
pa — pui 1/ ■•
qui transforment le second membre en celui-ci
2Ç(a-i- ai) — Ça — Çai
-}[!;(«/ — a)-+- îCt/ — ai ) — !;(a-4- a)— !;(a -f- ai)l.
D'autre part, les formules (ao) donnent par difTérentiation
( - -r- log(i — cos*CZ)
(25) I 2 du ^^ ^
( =î[ï(w — a)-^î;(w — ai)-4-!;(w-+-a)-4-|;(a-f-ai) — 4Ça].
11 nous vient donc
-7- Iog(cosAZ-h icosBZ)-î
= aî;(a-hai) — Ça-^ Çai H-Î(w — a)-hî(w — ai) — aÇa;
puis, en intégrant et donnant à la constante arbitraire une forme
convenable E,
ÎcosAZ -h icosBZ
_ •lEo'aa'ai o'(w — a)3'(M — ai) [«Ç(rt+«i)-Ç«-Çrti-Yl".
~~ a'(a — ai)a'(a -H ai) o'*a
La quantité conjuguée s'obtient immédiatement par cette con-
sidération que le produit doit donner i — cos^CZ :
ÎcosAZ — icosBZ
_ 23'ao'aia'(MH- a)3'(a-f-ai) -[iClrt-Hrtii-Çrt-Çfli-YjM^
~ E3'(a — a|)3'(a-hai)a'*a
Calcul de cosCX zh i cosCY.
Soient
C = cosCX -f- 1 cosCY,
Go = cos GX — I cos CY,
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRATE DE RÉVOLUTION. 8g
on a, par les éléments de Cinématique (I, 76) (on suppose les
axes congruents, donc e = -}- i , et Ton change les signes de p^ q
par la même raison qu'au début du Chapitre),
Co— r-^ — 3 — r^ = 2i(z>cosAZ-i- q cosBZ).
ai dt '^ ' '
Divisant par CS© = * — cos^CZ et remplaçant le second mem-
bre d'après (7), on obtient
. \ d. ^ 0 — acosCZ 0 — a 8 -4- a
lidt ^©0 " 1 — cos»CZ 2(1 — cosCZ) 2(i-i-cosCZ)
De là, d'après les égalités (17, 28, 24),
j 5i ^""H
^'' p'a p'ai
3o pu — P« pu — poi
J =z 7.X^a — 2Çai-+-î(M — a)
^ -t-ï(w-^«i) — Xt{u-\-a) — Ç(a — ai).
Ajoutant la dérivée logarithmique (20) de i — cos*CZ = 38o et
divisant par 2, nous avons ainsi
^ logG = Ça — ïai -1- ;(// — a) -f- ;( w -4- a,) — 2 Ça.
L'intégration donne maintenant, si l'on met sous une forme
convenable la constante arbitraire E|,
/ \ r-v • i-iv 2E1 S'a s'a! 3'(a — a)(3'(MH- ai) ,• • .
( 29 ) COS ex -t- I COS CY = î— ' ^ v^,,, C«Ca-Ca.'«.
3^( a — ai ) 3^(a -1- aj } T* M
avec la quantité conjuguée
( 3o) cosCX - .-cosCY = ^/^ f ^» ^('j.-^ ^)^('^ -1^) ^-(Ça-Ca.)-
E, 3'(a — ai)3'(a-4-a,)3'«a
Expressions elliptiques des constantes mécaniques.
Les données comprennent cinq constantes a, p, y, o, r, dont
les quatre premières ont reçu des expressions elliptiques, que nous
90 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
allons récapituler d'après les égalités ci-dessus (i4, i6, i3),
_ T p'ai — p'a
a = -r .y
i pui — pa
(3i)
g _ T pai-\-pa
i pui — pa'
Py = 2'c*(2pa2 — pa — pai) = 2T*[2p(aH- ai) — pa — pai].
Au lieu des quatre constantes a, p, y, o apparaissent, dans les
formules, les arguments «, a, qui, avec les invariants des fonc-
tions elliptiques, constituent quatre constantes équivalentes. La
constante d'homogénéité t est ad libitum.
Il s'agit de reconnaître la nature des fonctions elliptiques, c'est-
à-dire le signe de leur discriminant, celle des arguments a, at et
de l'argument variable w.
Le polynôme (8) doit nécessairement être positif pour des va-
leurs de cosCZ comprises entre deux limites entre lesquelles oscil-
lera ce cosinus; mais ce polynôme est négatif pour cosCZ=iiz i.
Les deux limites sont donc comprises entre — i et -f- 1 , et ce sont
deux racines du polynôme. Les racines sont donc réelles et le dis-
criminant est positif. La troisième racine est inférieure à — i ou
supérieure à -h i, suivant que p est positif ou négatif.
D'après la relation (9), pu décroît quand cosCZ croît si ^ est
positif, ou croît avec cosCZ si ^ est négatif. La troisième racine du
polynôme correspond donc toujours à pw = e,; les deux autres
correspondent [aux valeurs et et e^ de pu. Donc l'argument w, di-
minué d'un multiple impair de la demi-période purement imagi-
naire w', est réel.
D'autre part, pa et pat correspondent à cosCZ = z!=i. L'un
d'eux est entre e^ et e<, l'autre entre — oc et ^3. Les fonctions p'a,
p'ai sont purement imaginaires, et les arguments sont l'un pure-
ment imaginaire, l'autre purement imaginaire sauf une demi-pé-
riode réelle to, le tout, bien entendu, sauf des périodes.
Si l'on prend effectivement de cette manière les arguments a
et a<, on voit, par les formules (3i), que a, S, p, y seront réels.
On peut donc prendre arbitrairement les invariants des fonctions
elliptiques et les arguments a et a^, ces derniers sous les formes
qu'on vient de dire 5 les formules représenteront un cas du pro-
CHAPITRE III. — ROTATION d'uX CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 91
bième mécanique proposé. La cinquième constante r est arbitraire
aussi, mais astreinte à une condition d'inégalité. En effet, les mo-
ments d'inertie P et R doivent satisfaire à la condition P > j R.
On devra donc toujours prendre, suivant l'égalité (i),
a 2
Cas particulier où l'ellipsoïde d'inertie est une sphère.
La supposition de la forme sphérique pour l'ellipsoïde d'inertie
ne particularise pas le corps, mais le point de suspension. Sur
Taxe d'un corps de révolution, il y a toujours, en effet, un point
pour lequel les moments d'inertie sont égaux dans tous les sens.
Cette même supposition altère d'une manière peu profonde le
mouvement que nous étudions. Par les formules (26) et (26 a), on
voit, en effet, que si l'on change seulement r sans altérer les autres
constantes, ceci revient simplement à multiplier cosAZ -f- < cosBZ
par un facteur de la forme e'*" : c'est donc simplement composer
le mouvement avec une rotation uniforme autour de l'axe C. On
peut donc réduire le mouvement à l'ensemble d'une telle rotation
et à un mouvement particulier pour lequel r ait une valeur à vo-
lonté, par exemple r = a, et cette hypothèse , d'après la rela-
tion (i), correspond àR = P, c'est-à-dire à l'égalité des moments
d'inertie autour du point de suspension.
Ce cas particulier, signalé par M. Darboux, donne lieu à plu-
sieurs belles propriétés, que nous mentionnerons en leur lieu. En
voici une qui s'offre tout d'abord. L'expression (3i)de a peut s'é-
crire ainsi (t. I, p. i38) :
a = 2^ [;(a -+- ai)— Ça — Ça,].
Si l'on suppose r = a, l'exposant de l'exponentielle, dans l'ex-
pression (26) décos AZ -f- tcosBZ, devient (î^a -f- î^a<)w. De cette
manière, l'expression de cosAZ -f- rcosBZ se déduit de celle de
cosCX-f- icosCY par le seul changement de a< en — «i, sans
parler de l'échange insignifiant des constantes Ë, E4. Ce change-
ment ne modifie point cosCZ. Il en résulte, pour ce cas parlicu-
9^ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
lier, celte conséquence cinématique : Le mouvement relatif de
V espace par rapport au corps coïncide avec le mouvement d'un
corps grave suspendu par un point de son axe.
Pour ce second mouvement, les constantes analogues à a, o, p, y
sont aisées à trouver. On voit, par les formules (3i), que a. S, ^
se changent en — 8, — a, p, quand on change a^ en — a^. Pour
la nouvelle constante ^ qui remplace y, on aura (3i)
i(Pr-PY) = 4p(a-ai)-4p(a-f-«i)
~ \P«— P«i / \P« — P«i/"~ "c*
Ainsi, pour le second mouvement, voici les constantes :
(32) a' = -$, 8'= -a, p'=p, y'=Y-^
P
On vérifiera aisément que ces changements, apportés dans le
polynôme (8), laissent ce polynôme inaltéré.
Expressions des éléments elliptiques par les constantes
mécaniques.
En vertu du théorème d^addition
p(a-+-ai)-hpa-+-pa, = - ( î^ î-— ) ,
4\P«i — P«/
on a, d'après (3i),
(33) p(a-+-a,)-i-pa-+-|>a, = — -— ;
il en résulte (3i)
,,,, ( 'C*(pai-+-P«)= — i(pY-Ha«),
( '^'(p«i — p«) = î P;
ces égalités font connaître pa^ et pa. On a d'ailleurs, par les
égalités (3i), les valeurs correspondantes de la fonction p' déjà
trouvées plus haut,
/icx 3 > .?(ô-a) , , .p(o-»-tt)
(35) T5pa = ti- — j T'pai=ii-^^ — ; •
4 4
CHAPITRB III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. qS
Nous aurons plus loin à faire usage des fonctions p etp' pour les
deux arguments suivants
(36) vi= — (en- «1)1 VQ=:a — au
dont le premier' n'est autre que aa* Pour celui-ci, on a d'abord la
relation (33) qui donne la fonction p, puis celle-ci, qui donne p',
Il en résulte
(37)
apVt — p'ui — p'a p'ai — p'a
— ^^^— ^^— — ^^^-^^^^-^^— *"•" ^— — ^— ^— ^^-^ •
ipvi — pai — pa pai — pa
\ z^pvi = -i-* ,
Pour l'argument Tq, on a les formules
4 \pai-^pa J
^p'vo — p'ui-^p'a __ p'ax-^p'a
ajJt'o — |>«i — P« ~~ |>ai — pa
et l'on en conclut
(38)
x»pVo = - i[8'-ô(pY-ha») — ap].
Voici des combinaisons qui seront utilisées plus loin :
(39) 4T«(pPi— pPo)=8«— a«,
(40) r(apVi— opVu) = 2(pPi— pi'o)[T5*— •c*(apt'i-4-pt'o)]'
Décomposition de la rotation.
Dans la composition des trièdres (p. 10), supposons
(40 w, = — «o = «,
et mettons A, B, C au lieu de Xi^y^^^'z^] X, Y, Z au lieu de
g4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
jCoî^o ^0* Oiï a d'abord (I, 28, 29) (la quantité désignée, en cet
endroit, par a étant infinie),
apM — p — P —z —
cosCZ = = =—
Vû — t'i t'o ■+- ^l
p — z p — - —
Si l'on suppose, comme il vient d'être dit,
Pi = — («-i-«i), Vq = a — ai
d'où résulte
(42)
on obtient
pa — pai
ce qui est justement la formule (19).
Prenons maintenant l'égalité (I, 26) de la composition des Iriè-
dres. Elle donne ici
cosAZ-h icosBZ = — - — -— a* ^ — 3* ( u-^-^ ) a*! an 1
(i^u^Vo(aVx 2 2\ 2/\ 2/
= — r :^ ^ s'a s'a! 3'(f4 — ai) o'(a — a)-
3'*a3'(a— ai)a'(aH-ai) * ^ *^ ^ '^
Elle coïncide avec notre formule actuelle (26) si l'on pose
(43) Gi = EeL " *• ^ • T J .
11 n'est pas nécessaire de vérifier la coïncidence des formules
donnant, de part et d'autre, la quantité conjuguée, puisque, de
part et d'autre, on a, pour le produit des conjuguées, les quan-
tités I — cos^ CZ, déjà reconnues identiques.
Dans la composition des trièdres, la quantité cos CX + i cos CY
se déduit de cos AZ -h « cos BZ par l'échange des indices sur
G, a, V. Pour échanger w, et i/o? V\ et i^o, il faut ici changer u et
«en — w et — a.
On aura donc
CHAPITRE III. — ROTATION D*UN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. g5
C'est justement notre formule (29), pourvu qu'on prenne
(44) G. = E.e"="-^-'".
La rotation du corps grave se trouve décomposée en deux
autres. Les arguments Ui^Uoj égaux à + 2/, dans ces rotations
composantes, sont proportionnels au temps. De plus, les deux
quantités G|,Go sont des exponentielles du premier degré en
Wi, I/o. Les deux rotations composantes sont donc des mouve-
ments à la Poinsot. Nous sommes donc en possession de ce théo-
rème, trouvé par Jacobi : Le mouvement d^un corps grave de
révolution, suspendu par un point de son axe^ se décompose
en deux mouvements à la Poinsot.
L'étude approfondie de cette décomposition va maintenant nous
occuper.
Étude du théorème de Jacobi. — Relations entre les deux
mouvements composants.
Les deux mouvements à la Poinsot sont concordants (p. ^5).
Entre les huit éléments de deux mouvements concordants, il
existe deux relations, en sorte que leur ensemble dépend de six
constantes. Ici il n'en existe que cinq. Il j a donc encore une
relation de plus entre les deux mouvements composants. C'est
cette relation que nous allons rechercher tout d'abord.
Il suffit pour l'obtenir d'éliminer a entre les deux relations
(39, 4o)* En effet, ces deux égalités contiennent seulement des
éléments immédiats des deux mouvements composants et la quan-
tité 8. Mais cette dernière, nous allons le reconnaître, est aussi un
de ces éléments immédiats.
Dans l'exponentielle Gq, le coefficient de Wo = — u est 'C^a^ — "C^a.
Relativement au mouvement composant, ce coefficient doit être
(II, 6)
— c.t'o — te — = — l^Vo-h iz .
Effectivement, la quantité t est ici la même qu'au Chapitre II
(p. 76) et l'on a (II, 48)
{^ = — 1^ = T.
/Il /Iq
g6 DEUXIÈME PARTIE* — ÀPPUCATIONS.
La double expression de Go donne donc Tégalilé
Çai — Ça = — ÇPo -+- « -- -
OU bien
(45) x^it^o-^-Çai— îa)="--°•
Les arguments Tq, at, — a ayant zéro pour somme^ on a
Çt'o-i-ï»!-
_ ip'a, -^p'a_
a pai — pa
a X
Par conséquent,
(45a)
8 = -asJc),
relation bien remarquable entre deux éléments fondamentaux du
mouvement composé et de l'un des mouvements composants.
Par un calcul tout semblable, on obtient -^* Dans Texponen-
tîelle G|, le coefficient de Ut = u est
ir
aÇfa-hai) — Ça — Çai •
Il doit être, relativement au mouvement composant,
. hi . hi i
[Il Fil X
Comme on a a 4- ai = — i^i , il en résulte
x(ÇPi-f-;a, -+-î;a)= M ^-^ — '*)•
Mais on a
„ „ „ I p'ai — p'a I lOL
apat— |>a ax
U en résulte donc
(46) a — ar = — ae— •
n,
(*) Ici, et dans toute la suite, nous supprimons l'indice o pour les éléments
du premier mouvement.
CHAPITBB III. — ROTATION D'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 97
Venons maintenant à la recherche de la relation entre les deux
mouvements composants. Nous devons, avons-nous dit, éliminer
a entre les équations (89, ^o), ce qui donne
Pour abréger Técriture, posons (*)
(6«-/t«)(cî-/i«)
z-rz = a'>
Pour la symétrie, mettons encore une lettre h au lieu de -»
n
L'expression (II, 8) de "^ j3('o pourra s'écrire sous la forme
D'après la condition de concordance (II, 47)» chacune des
quantités analogues à a^, b*-*, c'^, pour le second mouvement com-
posant, diffère de sa correspondante par une même quantité. Si
l'on pose
(49) T^lpi^o— J>i'l) — X,
les quantités analogues à a^, b^, c-, pour le second mouvement,
sont respectivement a^ 4- a, b^ -f- A, c- -\- A.
l/expression (II, 8) dcT'pVo, savoir
i
,50) ..'-:4-»=-.s ,^„„
(*) Le lecteur ne confondra pas les arguments a, «,, employés précédemment
et qui n'apparaîtront plus, avec les axes a, a, des surfnces du second degré.
II. 7
98 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
peut s'écrire sous la forme suivante
(Si) xȣi*=26abc
i
el, de même,
T»^ = ih 2 v/(a«-HX)(b«-i-X)(c*-HX).
Dans la relation (47)j substituons à T^pt^oi "^P^n "'p'^'o?
T^pV| les expressions (48, 49? 5o, 5i), et mettons aussi, au lieu
de 8, sa valeur (45«), c'est-à-dire
0 = — 2Eh.
Le facteur d'homogénéité t disparaît et il reste
( (a«-hX){b»-HX)(c«-hX)(h«-4-X)
/ 52 ) !
( =[abch-i-i(a«-i-b*H-c«-hh«)X-i-X»]*.
C'est la relation demandée; car il n'y paraît plus que des éléments
des deux mouvements composants. Mais le calcul peut être poussé
beaucoup plus loin et fournir explicitement les éléments du second
mouvement.
Tout d'abord, l'équation (62) offre une réduction notable par
la disparition des termes en X*, en X' et du terme indépendant de
'k. Après suppression du facteur X, elle se réduit au premier degrr
(53) dX-h4e = o,
avec ces expressions des coefficients, symétriques en a, b, c, h^
d = la^— 2 2a*b«-h 8abch,
e = abchSa«— Sa^b^c*.
Nous allons maintenant, dans ces coefficients, mettre de nou-
veau en évidence a*, 6*, c^, A, /?, en faisant apparaître les fonc-
tions symétriques suivantes de a, 6, c :
"=(-S)(-S)('-rO
CHAPITRE III. — BOTATIOIV D*UN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 99
Par la comparaison des égalités (5o, 3 1), nous avons déjà
abc= ( — ) 53t h= -;
nous avons aussi
«•=ay(-r:)(-s). -ar-
Il en résulte
2a»b»c»=(^y (55 + 5,53);
par conséquent,
e==(^j *3(*|-i-l — A-3— *l)-
Si Ton prend le polynôme
?(0 = S'— *i;*-^-*î;--*3,
on a
e=(^')%,T(.).
Mais les racines de tp(^) sont connues; ce sont les quantités
I — Tz; donc
(D3a) 6 — T-j- : •
De la même manière, on obtient
d = ( - j (5| — 4*1 53 -^ 853 — Vl5j-hl).
Si Ton pose
les coefficients de celle équation, d'après les racines, sont
V — — ......
n«6«c»
^» - /.v
*' = /i«
100 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Mais la comparaison de ^($) et îp(i — $) donne
Il en résulte
si — 4*1*3-^-853— 2^1 -M = 5j' ■î*'i*'3H-4*'3.
^~ «^^^
Des expressions de d, e, on conclut
n^k^}^ ^ki ^-<«J
D'après l'expression (53)de)v, la quantité analogue à G-, pour
le second mouvement, est la suivante
= dL ^^' d-^ej,
c'est-à-dire
>
0<
égalité où ù désigne la racine carrée, prise avec un signe arbi-
traire, du numérateur de d,
Posons encore, pour abréger,
I a^b^'ha^c^—bic^= A,
(56) < 6*c*-h^*a*--aîc* = B,
11 y a trois égalités analogues à (54). Multipliant deux d'entre
elles membre à membre et divisant par la troisième, puis ex-
trayant la racine carrée, on obtient les trois équations suivantes
. \Ha\ — h]) ^ nt(bi^-h'j) ^ CHc^-JiJ) _ njh^ ABC
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 101
Ainsi est résolue la question proposée : les trois relations (67)
sont celles qui existent entre les éléments des deux mouvements ;
la double relation de concordance s'y trouve comprise.
Les éléments du mouvement composé, déduits des mouvements
composants.
Il s'agit de calculer a, p, v^ o, /• en fonction des éléments des
deux mouvements composants.
Pour obtenir a, nous calculerons d'abord la quantité suivante -
On trouve facilement.
En extrayant la racine carrée, on en conclut
D'après les relations (89, 49) et l'expression {.i^)(i) de 0, on voit que
cette racine carrée est précisément ±\ol. Mais a peut être calculé
sans ambiguïté par l'égalité (4o)* H reste donc à décider si l'ex-
pression (58) fournit 7 a ou — ^a.
Pour ce but, observons l'expression de t^j/ti. C'est (II, 8), à
cause de — = T,
ni '
OU, d'après (5o, 07),
, VBC
Faisons, pour simplifier la vérification, la supposition az=o,
La quantité û se réduit à riz i^c*, soit û = t'b^c^. Alors p'^'t de-
vient e'p'i'o» La quantité A s'évanouit et l'égalité (4o) donne
102 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
eiir
a = £'o. Mais régalilé (58) fournil pour*/ \-\ la val
— s'- =£s'- (45 «). L'expression (58) est donc celle de y sa. Con-
séquemment, nous avons
(59) a = -^[2a»6»c«— (««^»-+-^^*c«~-cîa«)/*«J.
Pour calculer p, des équations (38) nous tirerons
el, en remplaçant o,':*^j3i'o, '^^p'^o P^r leurs expressions (45^, i^
et 5o),
On reconnaît, au second membre, le numérateur (mj) de a, de
sorte qu'il reste
(^> ?=-^-
Pour le calcul de Yi prenons cette combinaison des équations
(38 et 39)
et concluons
(61) /
Enfin et r sont connus par les équations déjà données (i-K/
et 46)
(62) 0 = — 2£ — » r = ia-hÊ---
^ /i ' /ïi
CHAPITRE III. — ROTATION D*UN CORPS 6RAYB DE RÉTOLUTION. Io3
Un dernier calcul reste à faire pour exprimer explicitemenl
rélémenl variable cosCZ = cos z^Zt en fonction des éléments va-
riables du premier mouvement composant/
Des équations (57) on tire
Mais, suivant une identité facile à vérifier, on a
en sorte que les équations (67) conduisent à celles-ci
/g3\ "1 ^1 ^1 ^1 _. ^1 ^1 _ "
^ ^ C*(a«— 6«) A«(6«— c*) BHc»— a«) ABC'
Considérons maintenant les deux égalités (II, 1 2 )
tH^a — J)«^)= ^î^i cos«azo,
^^^^ j •/ X (aî-6î)(«î-cî) ,
x«(ca— pMi) = — i ^^^^^^^ î-cos«a5,.
Les deux premiers membres sont égaux entre eux, puisque Uo
et i/| diffèrent seulement par le signe. Le rapport constant des
deux cosinus, exprimé par le moyen des égalités (63), devient
carré parfait. Extrayant les racines carrées et faisant ea = =b i , on
en déduit
cosazt
Sa
cos azo il
De même les rapports des cosinus de bzi et bzo^ de cZi et czo
seront e^rr» tc^^ les lettres e désignant ±: i . Il en résulte
= 7: ( 6a A cos* azo -h 5^ B cos* bzo -t- s^ G cos* czq ).
u
Cette expression de cos>S| Zq doit reproduire celle (9) de cos CZ,
/
^
cosCZ = |('c*p — T'pa).
I04 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
D'après l'expression (60) de p, on en déduit
Mettons, au second membre, pour les carrés des cosinus, les
expressions (64), telles que
cos*azo = z^(ea—p u) — , — -jr
*^ (a* — 6')(a*— c')
et prenons, aux deux membres, les termes en ^^pu; il reste
_._ £ V^ ÊoA
ou bien
On reconnaît sans peine que cette identité a lieu si les trois s
sont égaux à -h i et non autrement. Ainsi nous avons
/ cosa^i _ cos^^i _ cosc.5| _ 1
] A cos a Zq ~~ B cos6zo "~ G cos czq ~" H
(65) <
Nous avons vu (p. 91) que les constantes sont astreintes à une
restriction unique; - doit être supérieur à -• D'après (62), celte
condition exige que a et s— soient de même signe, ou bien (09)
que les deux quantités
(60; ^ -12, 2a2^2c2 — (a«^»-i-^»c«-+-c*a«)A«
/<! n
aient un même signe. Cette restriction est la seule qui soit ici
imposée; elle servira à fixer le signe de Û si Ton s'est donné celui
de^.
n,
Il existe ici plusieurs indéterminations qui sont sans influence
sur le mouvement composé.
CHAPITRE III. — ROTATION d'lN CORPS GHAVE DE RÉVOLUTION. lo5
En premier lieu, a, 6, r, /«, n restant inaltérés, changeons 0
en — U et — en ^-^ ce qui est conforme à la condition (Gi)).
«i /Il » • -^
Le second mouvement n'est pas changé ; les sens seuls des axes
y sont modifiés : l'axe z^ a changé de sens. C'est donc aussi des
changements de sens dans les axes A, B, C, fixes dans le corps
grave, que Ton doit ainsi trouver. Effectivement, c'est ce qu'on
aperçoit dans les formules du début, comme on va le recon-
naître.
D'après les formules (Sg, Go, Ci2 et 65), le changement des
signes de û et de — entraîne le même changement pour a, p, r
et cosCZ, tandis que ^y et o restent inaltérés (Gi et 62). Remar-
quons que les deux systèmes d'axes A, B, C et X, Y, Z sont sup-
posés congruents. Avec le sens de C, il faut donc aussi changer
celui d'un autre axe, B par exemple. On doit donc changer en
même temps les signes des composantes /y, r, prises sur ces axes.
Ces changements de signe apportés à cosCZ, cosBZ, a, p, r, y,
tandis que cosAZ, />, ^y, 3 restent inaltérés, laissent subsister
toutes les équations du début.
Si, par exemple, on veut que l'axe C soit dirigé positivement
du point de suspension au centre de gravité, que ^ soit positif par
conséquent (i), on devra prendre Q négativement.
En second lieu, la quantité z^=z±\ n'a d'influence que sur la
comparaison des mouvements composants avec les axes a, h, r,
lesquels n*ont pas de rôle dans le mouvement composé. Il esl
donc clair a priori qu'on pourra prendre, à volonté, l'une ou
l'autre détermination de s. Effectivement, si l'on change à la fois
les sifi^nes de s, de - et de -^ sans modifier les valeurs absolues,
^ Il rix
toutes les constantes du mouvement composant reslent inaltérées;
seuls les sens des deux mouvements composés sont, à la fois, ren-
versés. Si l'on changeait seulement le signe de s, ce changement
équivaudrait à celui du sens d'un axe dans chaque système, par
exemple le changement du sens des axes A et X avec un change-
ment des sens de rotation.
On voit par là que l'on ne restreindrait nullement la généralité
en supposant à û et s les signes que l'on voudrait.
En résumé, voici la proposition finale :
loG DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Deux mouK^emcnts à la Poinsot caractérisés par les con-
a* ù^ c* h a^ b^ c^ ht
si an tes — i > — r > -^ > - pour l un, - ! > — i > -r > •— pour l autre, étant
/t* n^ n* n' nj //f nf Wj '
liés par les relations (5-, 65) et s^ effectuant autour de deux
surfaces du second de^rré dont les axes coïncident en position
rt en sens, a^ A, c respectivement avec a^^ b^^ c^\
Le mouvement relatif des axes X| , l'i , Zx {axes mobiles du se-
cond mouvement) par rapport aux axes x, r, z (axes mobiles
du premier mouvement) est celui dUin corps grave de révolution
suspendu par un point de son axe, IJaxe z est dirigé suivant
la pesanteur, Vaxe r, est raxe du corps grave.
f^es constantes a, ^i, y^ 5, /• du mouvement du corps grave
sont données par les égalités (.k), Oo, 6i, 62).
Propriétés particulières des mouvements composants dans le cas
où l'ellipsoïde d'inertie est une sphère.
Ce cas, dont îl a éU; question déjà (p. 91), est caractérisé par
la relation /•= a, d'où (G2, 09)
D'après cette valeur de — » on conclut de (57)
/if Al /il \ilnh ai/iAL2
On vérifiera aisément rîdenlilo
AS -^ ( rt* — /*»)iu: -h a^il^ .-: o,
d'après laquelle la relation précédente et ses analogues, de-
>iennent
a^ b^ r^ nh
(iCs dernières, comparées aux relations (65), donnent
a* co^oz ~~ b^cosbz c* cas es ~ nh
CHAPITRE m. — ROTATION D'iN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. lO;
SI Ton se rappelle maintenant que r— - est la composante de
la rotation dans le premier mouvement à la Poinsot, prise sur
Taxe a, on conclut que, à chaque instant, dans les deux mou cé-
ments composants^ les rotations sont égales et contraires. Cette
belle propriété, découverte par M. Darboux, a servi à ce géomètre
de point de départ pour exposer la théorie dont nous nous
occupons.
I<e8 constantes des mouvements composants, déduites de celles
du mouvement composé.
Nous avons à résoudre le problème inverse, qui consiste à
trouver les éléments des deux mouvements à la Poinsot en fonc-
h h
lion de a, p, y, S, /*• Déjà les deux quantités — > — sont données
par les égalités (62). Cherchons maintenant les quantités, telles que
(^l — hl a\ — h\
En appliquant les relations caractéristiques (II, 8) des deux
mouvements composants, on a
/loAo ^^ ^ ^ '^"' TT'
/Il/il ^ ' iLl
D'après l'expression (9) de cosCZ, les racines ^a correspon-
dent aux racines Ça ^u polynôme (8)
(68) F(t)=P(i~$*)(î + ï)-(o-at)«
suivant la formule
Si Ton pose
?«= ^-^H? — ^a)-
on aura
I08 UEUXlfeME PARTIE. — APPLICATIONS.
OU bien, suivant (i8, 3^, 38)
4/ ^Y-t-««-5'\ 4/.. Pt\
Subsliluant enfin à p'v^ et j^Vi, dans (6^), leurs expressions
(3^, 38), on peut conclure ainsi :
Soient Zoi, z^^ Zy les racines de l'équation
les constantes du premier mouvement à la Poinsot sont données
par les formules
S/ïï__/TÎ /|î A* Ai c* fff 1
noho fhho »" /îoAo * »[ ^ ^' J
i /to I ^
-- = so ;
soient ^^, 2^, ;?y les racines de l'équation
"[-K-^)]-
les constantes du second mouvement à la Poinsot sont données
par les formules
■ /,ï ^l ht Aî Aî «î c«
(69)
( ;;;=-("4-)-
11 est entendu que, pour les racines des deux équations, les
indices a, p, y appartiennent, de part et d'autre, à des racines
se correspondant suivant la condition
oî~a*
Le dernier membre (68) se déduit du dernier membre (69) par
le changement de a, p, y, 3 en — 0, ,8, y H ^ — , — a, résultat
conforme aux propriétés du mouvement (p. 92). Au cas r= at,
CHAPITRE 111. — ROTATION DL'N CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. IO9
les expressions de — > — î- s'échaDgent si Ton échange a et — o,
comme, en effet, on devait s'y attendre.
Sur un cas particulier.
On doit signaler à Inattention les cas où a = ii= o, où, par con-
séquent, ± 1 est racine du polynôme (8). Ces cas appartiennent à
deux espèces différentes, suivant que cette racine ± i est une de
celles qu'atteint cosCZ ou ne Test pas. La distinction de ces deux
espèces se fait immédiatement, comme on va voir.
Nous pouvons, sans restreindre la généralité, supposer^ positif.
Supposons a = — o; le polynôme (8), qui devient
P(i-$'){$ + V)-o'(n-$)S
atteint la racine — i en croissant ou en décroissant, suivant que
V — I est positif ou négatif. Étant positif pour Ç = — oo et négatif
pour Ç =-i-oc, il a, dans le premier cas Y> ^» ""^ racine infé-
rieure et une autre supérieure à — i ; dans le second cas, y <[ i ;
s'il était tout à fait quelconque, il pourrait avoir ou bien deux ra-
cines inférieures à — i, ou des racines supérieures à — i , ou nulle
autre racine. Mais il est astreint à cette condition de devenir positif
pour des valeurs de $ comprises entre — i et -h i j il a donc deux
racines supérieures à — i, inférieures à-j-i. Ainsi, dans le cas
Y> I, la racine — i est une des valeurs extrêmes de cosCZ; dans
le cas Y< ') elle ne l'est pas. Le cas limite y= i , où la racine est
double, doit être rangé avec le cas y > i •
Supposons maintenant a= o, le polynôme (8) est alors
On doit remarquer que y est nécessairement supérieur à — i,
comme le montre l'égalité (6) du début. Le polynôme atteint donc
la racine i en décroissant. Il a alors deux autres racines de part et
d^autre de — i . La racine -}- 1 est une des valeurs extrêmes de
cosCZ. Elle ne peut être double si toutefois on laisse de côté le cas
singulier, dénué d'intérêt, où, l'axe du corps restant vertical, le
MO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
corps lui-même tourne autour de cet axe d'un mouvement uni-
forme.
En résumé, nous pouvons distinguer trois cas particuliers répon-
dant à rhypothèse a = di o :
r* a = — 5, V <; i , cas où cosGZ n^atteint pas la valeur — i :
l'axe du corps ne passe pas sur la verticale;
2° a = — 0, Y> I , cas où cosCZ atteint la valeur — i : Taxe du
corps passe périodiquement sur la verticale, le centre de gravité
au-dessus du point de suspension;
3° a = 0, où cosCZ atteint la valeur 4- i : l'axe du corps passe
périodiquement sur la verticale, le centre de gravité au-dessous
du point de suspension.
Dans l'hypothèse limite y = i appartenant au second cas, la ra-
cine — I est double et les fonctions elliptiques dégénèrent.
Il s'agit maintenant de distinguer ces cas au point de vue de la
nature qu'aflTectenl, pour chacun d'eux, les mouvements compo-
sants. On doit se souvenir que nous avons supposé ^ positif, par
conséquent (6o) Q négatif. Si Ton faisait la supposition inverse, les
signes de o et de y devraient être intervertis pour la distinction
des divers cas.
On a déjà vu (89, 49) que la différence (a- — S-) est égale à 4 a,
en sorte que tous ces cas sont caractérisés ensemble par la condi-
tion 6 = o (53) ou par Tune des conditions telles que a- = o ou
A^ — a-i = o(53a).
A l'égard de la condition h- — a'- = o, observons tout de suite
qu'elle se rapporte au cas où les fonctions elliptiques dégénèrent,
comme on le sait parla théorie des mouvements à la Poinsot (p. 7a),
délaissant de côté ce cas, examinons ceux où l'un des axes a est nul.
Pour le premier mouvement à la Poinsot, où l'axe a est nul,
nous avons ici ce cas particulier dont il a déjà été parlé (p. 74)» et
où la surface du second degré, aplatie, se réduit à une ellipse ou
à une hyperbole.
L'hypothèse a^ = o réduit ù à s' b^c^(t' =±i)^ comme on Ta
déjà vu (p. loi), et donne a = s'o. Le signe de s' doit être pris de
telle sorte que û soit négatif. Donc, au cas de Thyperbolc, on a
£' = -I- I ; c'est donc le troisième cas ci-dessus, a = o. Au con-
traire, pour l'ellipse, on aura £'= — i, ce sera le premier ou le se-
cond cas ci-dessus, a = — 5.
CHAPITRE III. — ROTATION dY'N CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. I I I
D'autre part, les égalités (jj, 65) deviennent
a*— h* b^^h^ ci — hi ■" ' nh '
cosa^o cos^Jo cosrc,,
Nous reportant à la théorie générale des mouvements à la Poinsol
(p. 73, 80), envisageons le mouvement auxiliaire défini par les
égalités
ai—h*" bi—h* " r*— A* ~ nh '
C'OSrti' vo9>bz' cos cz'
cos aZj i'oabz^j ro*^cz.%
qui, on le sait, diffère seulement du premier mouvement |)ar
une rotation uniforme autour de l'axe -3'. Supposons, en outre,
n' iii
Nous avons ici trois mouvements à la Poinsot M, M,, M'. Les
deux mouvements M| et M' ont pour base commune une seule el
même surface du second degré. La comparaison des cosinus de a:;i ,
bzi^ cZi et de az'y bz\ cz' montre dès lors que ces deux mouve-
ments sont symétriques Tun de Tautrc, soit par rapport à un plan
principal si s'=-f- 1, soit par rapport à un axe principal si s'.t^ — i .
Ces deux modes de symétrie peuvent être ramenés à un seul si, au
lieu d'une figure, on considère sa symétrique par rapport au centre,
ce qui revient d'ailleurs à changer le signe de s', à ne plus as-
treindre p, par conséquent, à être toujours positif. Si Ton prend,
par exemple, dans les deux cas, la symétrie par rapport au plan,
^ sera positif dans le cas de l'ellipse, négatif dans le cas de l'hy-
perbole.
Ainsi, les cas particuliers du mouvement d'un corps grave <le
révolution suspendu par un point de son axe et pour lesquels zt i
est racine du polynôme (8) en cosCZ, s'obtiennent tous de la ma-
nière suivante : Considérez un système d^axes X, Y, Z animé
d^un mouvement à la Poinsot autour d^une ellipse ou dUine
hyperbole, et son image X|, Y,, Z| par rapport au plan de la
courbe.
Par rapport à X, Y, Z, le mouvement relatif de X|, Y,, Z,,
112 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
composé avec une rotation uniforme arbitraire autour de '^L^^
est celui d'un corps grave dans l'un quelconque des cas par-
ticuliers envisagés y l'axe Tj étant dirigé dans le sens de la
pesanteur et l'axe Z, étant l'axe du corps dirigé du point de
suspension vers le centre de gravité si la base est une hyperbole,
ou en sens inverse si la base est une ellipse.
Au cas de Thyperbole, Taxe Z passe périodiquement dans le
plan de cette courbe*, par conséquent Z| et Z coïncident périodi-
quement. Au cas de l'ellipse, cette circonstance se présente seu-
lement si la distance du plan tangent au centre est comprise entre
les longueurs des demi-axes (p. 74)- C'est là ce qui distingue les
deux premiers cas ci-dessus (a = — 0, y <[ 1 ou y > i), comme on
le vérifiera aisément par le moyen des expressions de ^ et Py
(Go, 61).
Mouvement de Taxe du corps grave.
Pour se faire une idée du mouvement qui anime Taxe du corps
grave, on peut considérer, en premier lieu, son mouvement dans
le plan vertical qui le contient et, en second lieu, la rotation de
ce plan vertical.
Le mouvement dans Je plan vertical est fort simple. Laissons de
côté les cas particuliers dont on vient de parler, ceux où cosCZ
acquiert les valeurs 1 ou — i, et qui exigent, pour un des argu-
ments a, a», une demi-période. Ces cas omis, on voit par la for-
mule (19) que Taxe du corps a, dans le plan vertical, un mouve-
ment périodique, au cours duquel son angle avec la verticale croît
alternativement et décroît dans un intervalle compris entre zéro et
la demi-circonférence. Pour préciser, nous supposerons la direc-
tion positive de Taxe du corps prise du point de suspension vers le
centre de gravité; ^ sera positif (1) et, d'après (3i), pa^ supérieure
pa. Par conséquent, le minimum de cosCZ correspond k pu = Cij
le maximum h pu = e^. L'angle formé par les deux droites, diri-
gées toutes deux dans leurs sens positifs, est ainsi minimum pour
pu = ^3, maximum pour pu-=^ e^*
Soit ^ l'angle que le plan vertical mobile fait avec l'axe fixe X.
On a
rosCX -f- f cosCY
c^''^ =
cosCX — I cosGY
CHAPITRB III.—- ROTATION d'uN CORPS GRAVE DB RÉVOLUTION. Il3
et, par conséquent (27),
d'^ 0 — a cos CZ
(70)
dt I — ces* CZ
Par cette égalité, on reconnaît Texistencc de deux cas fort dis-
tincts au point de vue de la manière dont varie F angle ^. Dans
Tun de ces cas, cet angle ^ varie toujours dans un même sens :
c'est ce qui arrive si - n'est pas une des valeurs que puisse acqué-
0
rir cosCZ. L'autre cas est inverse : si - est compris dans le champ
des valeurs de cosCZ, l'angle ^ ne varie pas toujours dans un
même sens et le plan vertical mobile a un mouvement oscilla-
toire. Mais cette oscillation se conserve-t-elle dans le mouvement
moyen, ou bien, tout en se reproduisant périodiquement, laisse-
t-elle subsister un mouvement de rotation périodiquement pro-
gressif? C'est pour répondre à cette question que nous allons exa-
miner l'expression de -^ en fonction elliptique du temps. Quant
aux conditions d'existence de ce mouvement oscillatoire, il suffit
d'envisager le polynôme (8) pour les reconnaître sous la forme
(71) '-7l>^» P(Y-^-I)>o•
^b-l)
En vue de la discussion que nous avons à faire, examinons d'a-
bord les limites entre lesquelles varie la quantité A ^ -. (to^a — Yi a)
quand a est purement imaginaire.
Supposons, pour fixer les idées, - compris entre zéro et . >
et soit a = — ia'. On a
dX dX
(7a) ^_=^e^ = ,,pa^...
Quand a' croît de zéro à . > pa croît constamment depuis — co
jusqu'à e^, La dérivée (72) croît constamment aussi depuis — 00
jusqu'à isiCz -{-fï» Mais cette valeur finale est négative, comme on
peut le prouver facilement par les moyens employés au Tome I,
IL 8
Il4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
chap. IX, p. 3i5, comme on le reconnaît aussi par le dévelop-
pement
a>(fa)C3H-T,) = — a-»^^^^ (/i = i, 3, 5, ...),
établi au Tome I, p. 4o4 ! car tous les termes du second membre
sont négatifs, q étant réel et positif quand le discriminant est posi-
tif. On trouve, au même endroit, la preuve que 0)62 -h 7, est, au
contraire, positif, ce que nous invoquerons tout à l'heure.
De ces observations résulte que la dérivée (72) est toujours né-
gative; A est donc une fonction décroissante. Son maximum est
la valeur initiale 4-00 répondant à a = o; son minimum, corres-
pondant à a = — a> , est -. ( — wr/ 4- r, w') = ; •
Ainsi, avec Thypothcse — . < . <; o, on a A > -•
Nous n'avons pas besoin de considérer d'autres valeurs de a ;
mais, si l'on désirait le faire, la réponse serait immédiaite; car
ajouter à a une période, c'est altérer A en y ajoutant un multiple
de T.\ changer le signe de a, c'est aussi changer celui de A.
Supposant toujours - compris enlrc r et zéro, prenons la
quantité A' déduite de A par le changement de - en — -; — • Ce
9
nouvel argument étant compris entre zéro et -t> A' sera inférieur
à ^ et — A' sera supérieur à ^» Donc A — A' est supérieur à ir.
Ainsi
> r < -. < o.
I . .. TT l < *
I
(7'^) -[(oÇa — u>;(rt-hta')-hT,tu'] > ?:; i
(74) 7 (w;« — Tr.«)> ^;
Si l'on remplace wÇ(a -f- a>') par
u>î(a — (I)') -i- ar/to = to;(a — 10') -h ar.tu' — tr,
puis qu'on change a en — a, on obtient
(75) - [(uÇa — wÇ(aH- w')-î-T,c.i'] <o;
a (I)'
o < -T < -.
I . ^ ri
(76)
-.(wïa — r^a)<— -; \
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. Il5
Formons deux inégalités analogues, mais relatives à un argu-
ment ^1, tel que ai — co soit purement imaginaire. Supposons
-^.— compris entre r et zéro, et soit A| = .(lù^ai — tiai).
• • »
Posons «1 = 0) — ia\ ; nous aurons
Supposons—^ variant de zéro à r; pat varie, toujours dans
un même sens, de Ci à Ct^ et la dérivée (77), d'après une re-
marque précédente, est toujours négative. La fonction a donc
pour minimum sa valeur finale, et Ton a Ai > •
De là se déduisent, tout comme les inégalités ci-dessus, les
suivantes :
(78) -7«ai-r,«i)>- -y ]
> .- < : < O.
. I [Il
(79) — -.[wïai — wî(ai-4-to')-hT,w'J>— -, I
(80) — ^(wjai — r,ai)< ^-j 1
>
(81) :[a)Çai — coÇ(ai-h to')-HT,aj'] < o. \
> o< ._ < -^.
l i
Les suppositions qu'on vient de faire sur a et a^ sont permises
dans le problème actuel et ne restreignent en rien la généralité.
Nous avons, en effet, renfermé chacun de ces arguments dans Tin-
lervalle d'une période^ de plus, la nature supposée des arguments
a, a% est conforme à la convention déjà faite pax>pa^ c'est-
à-dire P > o.
L'égalité (28) nous donne la dérivée de i/ sous la première
forme
M \ p'a I p'ai
au i pu — pa i pu — pax
Les dénominateurs pu — pa, pu — pax sont, le premier positif,
le second négatif. Si donc - p' a et -p' a^ sont de même signe, le
signe de ^ est certainement invariable. Cette circonstance se pré-
1 l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
sente quand -: et -^. — sont de signes opposés, les arguments
étant tous deux renfermés dans les limites ci-dessus. C'est ce qui
se voit immédiatement au Tome I, p. 4^* Nous avons à examiner
maintenant les cas où, au contraire, - et -^-^ — sont de même
signe. Prenons la dérivée (8a) pour u = w', mais en nous servant
de la seconde forme (28)
(83) ii^=2(i:a ^^a,)^^{u-a)
-hÇ(a-+-ai) — Ç(a-ha)— Ç(a — a,),
qui nous donne
Comme - et — Î-. — sont de même signe, nous devons consi-
dérer simultanément, soit les inégalités (78, 79), soit les inéga-
lités (75, 81), dont l'addition membre à membre amène la consé-
quence suivante, applicable aussi au cas où le signe de -j-^ reste
invariable :
La quantité (-t^) a le signe opposé à celui de -•
Considérons maintenant l'angle 2'^0) accroissement de ^ cor-
respondant à un accroissement d'une période pour ;/. Supposons
u — co' réel, ce qui n'entraîne aucune restriction, et désignant
u — w' par w', nous avons, d'après (83),
[ Ç ( m' -4- to' — a ) -+- Ç( a ^- to' -h a, )
r
;(M'-r- a>'-4- a) — ;(«'-+- o)'~ a,)] £/a'.
Les intégrales complètes, au second membre, se calculent
comme il a été expliqué au Tome 1 (p. 201). Les coefficients de i
dans oj' — a, (o'-hai, w'-f-a, w' — a^ sont tous entre zéro et — - ;
pour chaque intégrale, l'entier analogue à celui qui est désigné par
CHAPITRE III. — ROTATION D^UN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. II 7
m à Tendroit cité est donc zéro, et nous obtenons
(85) 4;,= J[(Ça-ÇaOco-T)(a-aO].
Prenons les inégalités (74, 78) ou les inégalités (76, 80) et
ajoutons-les membre à membre, pour conclure encore que tj^o ^ 1^
signe opposé à celui de -. •
Comme le second membre (8a) a une même valeur pour deux
valeurs de u également distantes et de part et d^autre d*une demi-
période, l'accroissement ^0 correspond à un accroissement d^une
demi-période pour c/. Cet angle ^0 1 ^n conclusion finale, a toujours le
même signe que i-f-) > et ce signe est précisément celui de
Nous pouvons, de plus, conclure de notre analyse que i^Q ne
saurait être nul, sauf le cas où, à la fois, coîja — r^a et coJ^ai — r^a^
atteindraient tous deux leurs valeurs limites ± -y où, par consé-
quent, a et ai seraient tous deux des demi-périodes. Dans ce cas,
dt
tout à fait exceptionnel, fia et p^a^ sont nuls et ~ est nul
aussi (82).
Le mouvement du plan vertical, que nous avions en vue, donne
lieu à cette conclusion : Le moyen mouvement du plan vertical
contenant Vaxe du corps n'est jamais nul (sauf dans le cas par-
ticulier où ce plan est absolument immobile); la rotation moyenne
a lieu dans un sens constant, qui est aussi celui dans lequel ce
plan tourne effectivement au moment oit Vaxe du corps fait
avec la verticale l'angle minimum. Cet angle, moindre qu'une
demi-circonférence, est, rappelons-le, compris entre les deux
droites dirigées, la première du point de suspension au centre de
gravité, la seconde dans le sens de la pesanteur.
La constante a est exprimée ainsi (3i)
a = -. ,
i pai — pa
son signe peut être quelconque quand ^r- et ^—A sont de même
J 1 8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
signe. Mais, dans le cas opposé, le signe de a est contraire à celui
de tL_, contraire, par conséquent, à celui ^^ ^77^ = "7^ ('7) ^"
moment où CZ est minimum.
C'est donc un caractère du mouvement oscillatoire que la rota-
tion r (du même signe que a) y soit toujours de sens opposé à
celui delà rotation moyenne du plan vertical, tandis que, dans le
mouvement non oscillatoire, r peut avoir un sens quelconque. Au
reste, cette circonstance est évidente aussi dans l'expression (70)
de —• Soient, en effet, Oo le minimum, 6| le maximum de CZ, et,
par suite, cosÔq^ cosOi. Si le mouvement est oscillatoire, les deux
valeurs correspondantes de -^ doivent être de signe opposé^ donc
doit avoir le même signe que t^; donc a doit avoir le signe op-
posé.
Le fait remarquable que \-t^) a toujours le même signe que
w- peut encore être prouvé par Tanalj'se suivante.
Soit (' un argument tel que a ou «i, c'est-à-dire pour lequel j>i*
soit réel, ainsi que ^ ; considérons la fonction
Supposons, en outre, ^—r- de même signe que Ca — pvy dont le
if
signe est invariable, puisque pv est limité dans un des intervalles
( — 00 , 63) ou (^2, Ci), Ainsi / est une quantité positive. Nous
voulons étudier sa variation. Prenons sa dérivée par rapport à pi' :
(86) ^ = 4-^=-^— i 6/.+ -i^),
^—T-icoL—pv)
If
( a, ?. ï = ', a. 3.
CHAPITRE III.— ROTATION d'uN CORPS GRATE DE RÉVOLUTION!. IIQ
Les racines pr de ce polynôme du second degré correspondent
aux arguments r, qui sont les moitiés de (o^ (t. I, p. 5i). Ces
racines sont imaginaires si ^a est la racine moyenne, si Cai=e2'
En ce cas, la dérivée (86) est toujours négative, la fonction y tou-
jours décroissante. Que Ton suppose donc pi^ variant, comme pa,
de — 00 à é»3, ou, comme p^i , de r^ à ei , y décroît constamment
dans les deux cas, de -4-oo à zéro. On voit nettement que l'on peut,
pour chaque valeur de pa, choisir d'une seule manière p^i, de
sorte que la quantité
(
prenne telle valeur que Ton voudra au-dessous de /(a) jusqu'à
— QO.
Supposons maintenant ^a= ^3- Le polynôme (87) a deux ra-
cines réelles, correspondant aux moitiés de; l'argument (o'.
L'une de ces racines est dans l'intervalle ( — 00, C3), l'autre dans
rinter\'alle (^2, r^). En ce cas, /(a) varie de -f-00 à -|- 00 en pas-
sant par un minimum, qui est (t. 1, p. 54),
2 W^i— ^3 -4- /e, — «3 ) ;
y(ai) varie de zéro à zéro en passant par un maximum, qui est
(ibid.)
2(v/c,— ^3— V^e,— e,).
Donc (-r^) a pour minimum 4v/^2 — ^3^ c'est-à-dire une
<|uantité positive quand on a supposé ^ de même signe que
^3 — P^î c'est-à-dire positif. C'est ce qu'on voulait établir.
On remarquera, de plus, que (^) n'est jamais nul, saufsi
/»j = <?,, sous réserve, bien entendu, de ce cas singulier signalé
plus haut où le plan vertical est immobile. Le cas ^,= ^3 n'offre
aucun intérêt : c'est celui où l'axe du corps reste immobile dans
la position verticale, et où le corps tourne autour de cet axe d'un
mouvement uniforme.
l'iO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Mouvement relatif de la verticale par rapport au corps.
Comme le précédent, ce mouvement peut être caractérisé par celui
de la verticale dans le plan qui la contient avec Taxe, et gar le mou-
vement relatif de ce plan autour de Taxe du corps. Le mouvement
de la verticale, caractérisé par la variation de l'angle CZ, est le
mtlme que celui de Taxe dans le plan vertical. Quant à la rotation
de plan autour de Taxe du corps, elle est caractérisée par Faiigle
ç, que fait ce plan avec Taxe A, et Ton a (26)
cosAZ-4- icosBZ
cosAZ — icosBZ
ffS — __ cosCZ(5 — gcosCZ) _ (r — a)cos»CZ-h ScosCZ — r
(88) ^^ - r-h i_cos»GZ "" i-cos»CZ
Ici il y a deux valeurs de la variable qui font évanouir ^ et, sui-
vant le nature de ces valeurs, cette dérivée peut être effectivement
deux fois, une fois ou n'être jamais nulle. Ainsi, dans ce mouve-
ment relatif, la rotation du plan peut être oscillatoire dans deux
sens différents pendant rinlervalle d'une demi-période.
Ces caractères, qui rendent le mouvement actuel différent de
celui qu'on a examiné précédemment, disparaissent si l'on sup-
pose r=a. Nous savons déjà (p. 92) que, pour ce cas particu-
lier, le mouvement relatif a même définition que le mouvement
absolu. Il y a seulement lieu de remarquer que les deux mouve-
ments ne peuvent jamais être tous deux à la fois oscillatoires. On
a reconnu, en effet, la condition 8^^ a^ (^i) comme nécessaire
pour que le premier mouvement soit oscillatoire. Le second cor-
respond à l'échange de 8^ et a^ • il exige donc, pour être oscilla-
toire, la condition opposée 8^ <^ ol^. Quant au cas 8^ = a^, examiné
déjà, il ne s'y présente pas d'oscillation.
Le mouvement relatif du plan vertical par rapport au corps se
compose, comme on Ta vu, de ce mouvement même envisagé pour
une valeur arbitraire de /', et d'une rotation uniforme. Il est aisé
par là de concevoir comment, en prenant à volonté celte der-
nière rotation, on peut faire disparaître ou faire naître les oscilla-
tions, et il n'est pas nécessaire de s'y arrêter davantage.
CBAPITRB III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 131
Le moyen mouvement du plan vertical mesuré
dans llierpolhodie.
Reprenons la formule (85) qui donne le moyen mouvement ^q.
Tenant compte de ce que Vq=^ a — a^ (36) et employant la for-
mule (45) qui donne - ? nous avons
<j/0 = - / OjÇç^o — T, Po -H 16 - W j .
Comparant avec la formule (II, 20) qui donne Tangle '^0 d^ns
rherpolhodie relative au premier mouvement composant, nous
reconnaissons de suite que ^0 est égal à — y 0 ou à — y q ± tz
suivant la grandeur du coefficient de i dans Tq* Cette coïncidence
peut être expliquée par la nature même du sujet. Prenons, en
effet, dans les mouvements à la Poinsot composants, deux po-
sitions des figures, distantes d'une période de Fargument. Pour
Tune et l'autre de ces positions, le plan des axes Zq^ z^ a la même
situation ; mais les axes Xq, y^ ont tourné, quand on passe de
l'une à l'autre, d'un angle ay© en valeur absolue (p. 58). Dans
le mouvement relatif du plan ZqZ^ par rapport à ces axes, mou-
vement qui est celui du corps grave, le plan a donc tourné, en
sens inverse, de l'angle ayo, à un multiple près de la circonfé-
rence.
A peine est-il besoin d'ajouter que le moyen mouvement re-
latif du plan vertical par rapport au corps a la même relation
avec l'angle analogue à y©, mais se rapportant au second mouve-
ment à la Poinsot composant.
Ces relations entre le mouvement du corps grave et les herpol-
hodies peuvent être précisées bien davantage par l'analyse qui va
suivre.
Le mouvement du plan vertical mesuré dans Hierpclhodie.
L'expression (29) de cosCX -{- e cosCY est celle d'une fonction
doublement périodique de seconde espèce, qui se décompose en
122 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
éléments simples par la formule suivante (t. I, p. 280)
C'a (J'ai (f^u du\^ o'^a — ai)^u J
Remplaçons // par — Wo(4i), ci — a^ par Cq et î^^i — ^^ par
son expression (4^)} puis désignons par F une constante, et nous
aurons
cosCX + tcosCY = F^ \=^("o + ^'o) ^-(ç...a ±) ,J .
Cette fonction, dont la dérivée ligure ici prise par rapport à w^,
n'est autre, sauf un facteur constant, que l'expression de Xi h- l'yt
(II, i4) relative à un point quelconque de l'herpolhodie pour le
premier mouvement à la Poinsot. Le rapport — -^ = tang^ est
donc égal ^-J--' Par conséquent, la rotation du plan vertical
contenant Vaxe du corps est constamment égale à la rotation
de la tangente dans Vherpolhodie relative au premier mouve-
ment à la Poinsot composant.
Celte proposition éclaire d'un jour nouveau toute cette théorie :
on voit d'abord que le mouvement oscillatoire du plan vertical
correspond aux points d'inflexion de l'herpolhodie, et, en second
lieu, que l'angle ^0 est précisément égal, en valeur absolue, à yo,-
quand, dans l'herpolhodie, l'angle y varie toujours dans un même
sens 5 au contraire, si l'angle y varie avec oscillation, ^j^o diffère de
yo par une demi-circonférence. Enfin le fait si remarquable que
la rotation moyenne ^0 est toujours de même sens que la rotation
effective au moment où l'angle CZ est minimum, ce fait se re-
trouve ici tout naturellement. En effet, le minimum de CZ
(m = w') correspond au maximum du rajon vecteur dans l'herpol-
hodie, et, d'après la forme de cette courbe, il est évident que la
rotation périodique de la tangente s'effectue toujours dans le sens
même 011 celte tangente tourne effectivement quand son point de
contact passe en un sommet où le rayon vecteur est maximum.
A peine est-il besoin d'ajouter que, pour le cas où l'ellipsoïde
d'inertie est une sphère, la même relation a lieu entre le mouve-
ment relatif du plan vertical par rapport au corps et la rotation de
la tangente dans l'herpolhodie du second mouvement à la Poinsot.
CHAPITRE III. ^ ROTATION D*CN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 19.3
Expression des composantes de la rotation.
Dans les calculs du début, nous avons éliminé, sans les calcu-
ler, les composantes />, q de la rotation. On peut calculer p -f- iq
par Tune ou l'autre des équations (p. 86) entre lesquelles on a
éliminé cette quantité. Il est visible ainsi que p + iq est une fonc-
tion doublement périodique, de seconde espèce, a^ant mêmes
multiplicateurs que cosAZ-f- ecosBZ. Mais, après celte observa-
lion, on obtient /> + iq par un autre moyen plus simple.
En employant pour a la même expression qu'a la page 91, on
obtient, sous la forme suivante, l'expression de cosAZ -f- 1 cosBZ,
analogueàcellequel'on vient d'employer pour cos ex 4- tcosCY :
/
— - ( X — /• I «
(cosAZ H- icosBZ)*» "^
rfa Lpai — pa (^{a-hai)^u J
Les équations (2) donnent, d'autre part,
^(£jtiL> = |(a - r)(/) -+- ly) -^ î ^'?(<^ûsAZ -4- i cosBZ)
ou, sous une autre forme (17),
(a- r)«
De la comparaison résulte
l3 K (^(U — a — (II) krt4-!;«, -t-^'rt-r)|//
P -ir W — -— -, -■ ^L T J
' ^ 1 pax — pa ^(a -h ai)^u
et, de même,
t3 I ^i II -^ a -^ at) -l^a + T^Ot-i-ll r)\tt
p — iq = L ^_ ' c I- ^ J >
sans aucune constante à délerniiner dans l'intrgration, puisque la
forme ainsi trouvée est bien celle d'une fonction ayant les multi-
plicateurs connus d'avance. Sans que nous voulions y insister, on
ne manquera pas d'observer que les composantes de la rotation
124 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
sont proportionnelles aux coordonnées du point correspondant
sur Vherpolhodie du second mouvement composant. De même,
dans le mouvement relatif de Tespace par rapport au corps grave,
les composantes de la rotation sont proportionnelles aux coor-
données du point correspondant sur Therpolliodie du premier
mouvement composant.
Expression des constantes au moyen du mouvement initial.
Pour compléter les notions que nous venons d'exposer, nous
allons dire quelques mots des conditions expérimentales qui per-
mettent de réaliser les divers cas du mouvement. On sait qu'il
existe, à cet effet, un appareil imaginé par M. Gruey, et composé
d'un tore monté sur un axe autour duquel le tore peut recevoir un
mouvement de rotation. L'axe du tore est suspendu au moyen
d'une suspension à la Cardan. Nous appellerons son extrémité la
pointe de l'appareil.
Nous supposerons le tore animé de la rotation r autour de son
axe quand on vient à suspendre cet axe ; on donne à cet axe une
inclinaison arbitraire sur la verticale, inclinaison qui peut être
supérieure à 90" (auquel cas l'appareil a la pointe en Vair) et
on l'abandonne en imprimant à la pointe une vitesse arbitraire «',
perpendiculaire à l'axe.
L'impulsion, par laquelle est communiquée cette vitesse, est
supposée donnée perpendiculairement à l'axe pour tous les points
du corps. On peut la concevoir comme une rotation dont l'axe est
normal à l'axe de l'appareil. Les composantes de cette rotation
sur les axes A, B du corps sont les valeurs initiales de /?, q \ la
rotation r est la constante désignée jusqu'à présent par cette
lettre. La constante a s'en déduit (i) ; la valeur initiale de l'angle
(VL est connue, enfin p est une donnée relative à l'appareil. Nous
avons à trouver par là y et S.
Prenons pour unité la longueur de l'axe. Les composantes de la
vitesse w de la pointe sur A, B, C sont alors q^ — />, o. On a donc (6)
(89) «'« = p(cosGZ-4-Y);
de là l'expression de py
CHAPITRE III. — ROTATION D^L'N CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 125
D'autre part, d'après les égalités (7, 70), nous avons
p cos AZ -+- q cos BZ = -^ sin* CZ = 8 — a cos GZ,
d'où résulte
0 = ot cos CZ -h /> cos AZ -+- q cos BZ,
ce qui détermine 0.
Pour préciser complètement, on peul choisir la position initiale
des axes et supposer B coïncidant avec Y, en position et en sens.
L'axe C du tore est alors situé dans le plan XZ et l'on peut sup-
poser positive sa projection sur X. Comme les deux systèmes
d'axes doivent être congruents, le sens de l'axe A est alors fixé. 11
est situé dans le plan XZ, et Ton a
AZ = CZ -+- - ) cos AZ = — sin CZ,
'2
ce sinus étant positif.
Il est plus commode de considérer, au lieu de p, </, les compo-
santes de w sur les axes fixes X, Y, Z*, ces composantes sont
w^=ycosCZ, ^^y = — Pi ^^z = — ysinCZ.
L'expression de S devient ainsi
0 = a cos GZ ■+- IV y sin GZ.
Nous pouvons enfin supposer l'axe Y pris dans le sens de la
composante Wyy en sorte que v^y soit positif. La rotation actuelle
du plan vertical contenant l'axe est également positive. La con-
stante a, qui a le signe de r, est positive ou négative, suivant le
sens de la rotation du tore autour de son axe.
Les données relatives à l'expérience que l'on veut faire sont,
comme on voit, tout à fait claires et sont traduites par les nombres
a, iv, Wy et par l'angle CZ. On peut s'en servir aisément pour étu-
dier le mouvement du corps.
Cherchons, par exemple, les conditions du mouvement oscilla-
toire. Soit d'abord a> o. La première inégalité (71) se réduit à
5 < a, c'est-à-dire
(90) iv_^-<alang}GZ.
126 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Quant à la seconde inégalité (71), on a
P(v-;)-
iv*H- - (Vy sinCZ,
quantité positive. La condition (90) est donc la seule pour le cas
où la rotation du tore autour de son axe est du même sens que celle
du plan vertical autour de la verticale.
Soit, en second lieu, a <C o. On trouve immédiatement que Wy
doit être inférieur aux deux quantités
p sin GZ
Comme Wy est inférieur à iv, cette condition sera remplie en par-
ticulier si w est moindre que les mêmes quantités, c^est-à-dire si
Ton a
(91) -acotiCZ>ti^>^''"^^^.
— a
Ces conditions exigent celle-ci :
a» > 2? singez.
11 est à remarquer que les conditions (91) sont nécessaires si l'on
suppose (Vj = (v, c'est-à-dire si la vitesse w est horizontale, si donc
on prend pour Tinstant initial celui où la pointe est, soit au plus
haut, soit au plus bas. Mais, comme a est négatif, on peut être cer-
tain que, les conditions (91) étant remplies, la pointe sera au plus
bas. C'est ce qui résulte de l'observation faite précédemment (p. 1 1 8)
sur le signe de a dans le cas du mouvement oscillatoire.
Mouvement pendulaire : rotation du plan vertical.
Un pendule conique est un corps grave de révolution suspendu
par un point de son axe et dont on suppose négligeables les di-
mensions dans les sens perpendiculaires à cet axe. Il est donc ca-
ractérisé par la supposition que le moment d'inertie K autour de
cet axe est nul. Cette supposition se traduit dans les formules par
a= o (i).
On doit remarquer que l'hypothèse a = o convient également
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRATE DE RÉVOLUTION. I27
au cas d'un corps grave de révolution quelconque, pourvu qu^on
suppose r = o (i). Ainsi un corps de révolution prend le mouve-
ment pendulaire quand la rotation constante autour de son axe
n'existe point.
A l'égard des mouvements à la Poinsot composants, l'hypothèse
a=:o donne (09)
. . 2 I I I
Telle est la supposition qu'on doit faire sur le premier mouve-
ment à la Poinsot pour obtenir le mouvement pendulaire.
La formule relative aux points d'inflexion dans l'herpolhodie
(p. 61) montre que ^ -^ a pour numérateur une constanic. Par
la formule (70), on voit aussi que -.J- a pour numérateur une
constante, en sorte que la rotation du plan vertical contenant le
pendule se fait toujours dans un même sens; mais, en outre, la
rotation moyenne ^0? celle qui correspond à une demi-période,
est comprise entre deux limites fixes : c'est ce que nous allons
établir.
Des deux arguments a, a^, un seul est arbitraire; car, en vertu
de la condition a = o, on a(3i)
(93) p'ai = p'a.
Posons ûfi = w -{'ia\j en sorte que a\ soit une variable réelle,
et formons la dérivée de •% par rapport à a\. D'après (gS), nous
avons
j)*ai dui = p'a da
et, par suite (85),
Remplaçons p'^ par 6p^ — ^^2, et- nous obtiendrons
(94) ^^^^^^ ;i^ = — [to(6papai-Hi^,)-h6Tj(pa-hpai)].
poi — pa aa^
128 BBUXIÈMB PARTIE. — APPLICATIONS.
Avec les arguments a, at satisfaisant à la relation (gS), il en existe
un troisième a2, donnant aussi
p'a = p'ai = p'atj
et Ton a (t. I, p. 1 14)
( pa-Hpa,-f-pa, = o,
(qS) < .
{ papai = p«a,— t/Ti-
Soit posé pa2 = ^, l'égalité (94) devient
pax — pa aa^
Les trois arguments a, ^i, a^ ont pour somme une période. Le
premier, a, est purement imaginaire; le second, ai, est de la forme
w -f- ici\j avec a\ réel; le troisième, «2, est de cette même forme,
et, si l'on fait varier pat depuis ei jusqu'à ^2, pa2 varie en sens
inverse depuis ^2 jusqu'à e|.
Le poljnôme tox^ — t,j: — ji ff2^ étudié au Tome 1 (p. 3i5), est
négatif pour les valeurs extrêmes x = ^2 » J^ = ^i . Il est donc né-
gatif pour toutes les valeurs intermédiaires, c'est-à-dire ici toujours
négatif. Quant au coefficient de la dérivée, au premier membre, il
est négatif^ car pat — pa et p"a sont positifs. Donc -^ est tou-
jours positif. La fonction ^0 est donc croissante, comprise, par
conséquent, entre ses deux valeurs extrêmes. Supposons a\ al-
lant de zéro ù — • Les valeurs extrêmes correspondantes sont, pour
if
a, ai et ^q, les suivantes (85)
ai=o, e/i=aj, a= — to' «Lq = -
2
Ainsi, quand -^-. — est positif, on a
(96) ^<'^a<^.
eu'
De même, si l'on supposait a\ allant de zéro à : » on trouve-
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVB DE RÉVOLUTION. laQ
rait que ^o est compris entre et — tt. Ce cas ne diffère pas au
fond du précédent; on peut même en faire abstraction si Ton sup-
pose T pris à volonté, positif ou négatif.
Les deux limites (96) entre lesquelles ^j^o reste toujours renfermé
montrent la généralité d^un phénomène reconnu d'abord par l'ob-
servation et dont nous allons parler.
Quand cos CZ ne passe pas par zéro y c'est-à-dire quand le
pendule ne traverse pas le plan horizontal de suspension, la pro-
jection de la trajectoire de son extrémité sur un plan horizontal
présente une suite de sommets, en chacun desquels le ra^on vec-
teur issu du pied de la verticale est successivement maximum
et minimum, en même temps que l'angle CZ lui-même.
Si ^0 était égal à -» la courbe serait un ovale avec deux axes de
symétrie. Comme ^0 n'est pas égal à -9 l'apparence est celle d'un
ovale décrit par le point et tournant lui-même. Mais, comme ^0
est supérieur à - > l'ovale semble tourner toujours dans le sens
même où ^extrémité du pendule, en projection, décrit cet
ovale. En outre, comme <j^o est inférieur à tt, le moyen mouve-
ment de l'ovale est toujours moindre que le moyen mouve-
ment du point sur cette courbe. La première de ces proposi-
tions a été démontrée, pour la première fois, par Puiseux, en
1842.
Réaction de la tige du pendule.
Si l'on avait traité directement le problème du pendule, on
aurait considéré le mouvement de l'extrémité comme celui d'un
point pesant, astreint à rester sur une sphère. En désignant par
X, Y, Z les coordonnées de ce point, par N la réaction normale à
la sphère, ou réaction de la tige ; par g l'accélération de la pesan-
teur, on eût posé les équations suivantes (supposant la longueur
du pendule égale à l'unité)
(97) rf^ = '^x. IF^^^^ SF^^^-^^-
Calculons N par la dernière équation, en observant que g est
II. 9
l3o DEUXIEME PARTIE. — APPLICATIONS.
justement la valeur que prend ici la constante 7 ^ (i) , et que
Z coïncide avec cosCZ(i9), la longueur de pendule étant prise
pour unilé :
(98) J^^pa^-^pa-^pu^_pa,-^^pu^ du = .dL
pa^—pa pai — pa
Nous avons donc (97)
du^ 1^ Vpai— pa ^ ^ ^ )
Suivant (qS), on a
(p ai — p a)« = ^î — 3 p« ûfj ;
comme, de plus, 1^' u = i2p^ii — ^2, il vient
^Z = - -^ — (4p*w — P*«î)
et enfin
(99) N = 3x«(2pa— pa,).
Nous envisagerons un peu plus loin les conséquences méca-
niques.
Digression sur un cas de Féquation de Lamé.
Les coordonnées X, Y du dernier paragraphe ne sont autres que
cosGX cl cusCY, en sorte que les deux fonctions cosCX±z./cosCY
vérifient toutes deux l'équalion diflerentielle linéaire déduite de
(97» 99 )
Nous avons déjà parlé (t. ï, p. 'j»35) d'une équation analogue
d*z
-^-,=(2pu^pv)z.
Toutes deux sont comprises dans la forme commune
(100) ^, = n(n-hi)(pu-i-^-cLJz,
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. l3l
OÙ a est une constante quelconque et n un enlier positif. Connue
sous le nom adéquation de Lamé, cette équation sera, en son lieu,
l'objet d'une étude spéciale. Le cas n = i est celui que nous avons
rencontré au Tome I; le cas n = 2 se rencontre ici avec sa solu-
tion, qu'on peut présenter ainsi ; La constante a étant écrite sous
la forme — p^a, soient a et a^ deux arguments différents de
a^ et satisfaisant à la condition
(101) p'a = p'ai = p'aj,
on a, pour V inconnue z, dans Inéquation (100) a{>ec n =:^ 2,
z = G— ^^ — ^ — e(^«-^«i'w
Cette fonction z a deux déterminations distinctes, en sorte
qu'elle fournit la solution complète : effectivement a et a^ peu-
vent y être échangés.
La solution devient explicite si Ton forme l'équation du second
degré dont les deux racines sont pa^ ctpa. Soit désigne pa^ par
— a ; cette équation est la suivante
ou bien
(io3) 55 — a{ -f- «î - i ^5 = o.
4
Ainsi, au cas n = 2, l'équation (100) de Lamé a pour solu-
tion la fonction z (102), dans laquelle a et a^ sont choisis par
la condition quepaetpa^ soient les racines de Inéquation (io3)
et que p'a et p'a^ aient un même signe.
Voici maintenant une autre manière de présenter cette solution.
En posant ai — a = (^, on écrira, au lieu de (102),
X étant une constante qu'il faut trouver. C'est la forme même
qui s'est offerte en un paragraphe précédent (page 122), pour
cosCX-f- icosCY.
]32 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Pour obtenir ç^, nous avons d'abord (loi)
pp -4- pai -h pa = ( - ^—^ ^— ) = ( — ^ ) •
\'ipai^ paj \pai — pa/
En remplaçant pui -f- pa et pUt — pa par la somme et la diffé-
rence des racines de l'équation (io3) et, en outre, p"a2 par
— 4 ot' -<- 5^2 a — gsj on obtient
On a ensuite a par le calcul suivant (t. I, p. i38)
v/ \ V V I p'(a — ai)-+-p'a
2 p(a — cti) — pa
__ £ p'(a'—ai)—'p'ai __ p'(q — aQ-t-p'q — p'ai _ __ pV
2p(a — ai) — pai :ip{a^a^) — pa — pai apc — a'
(106) ^= '^'^
app — a
L'équation de Lamé (100), au cas n= 2, se résout par la
fonction (io4), où ç est un argument déterminé par l'égalité
(io5), puis X par l'égalité (106).
Sur une distinction entre le pendule à tige et le pendule à fll.
Revenons à la réaction N (99), que nous avons appelée réac-
tion de la tige du pendule. Si le pendule est formé par un poids
suspendu à un fil, N changé de signe est la tension de ce fil. Le
poids ne reste sur la sphère que si le fil est efl'ectivement tendu :
si donc N est une quantité négative, il en est toujours ainsi aux
points les plus bas de la course ; car ces points correspondent au
maximum de Z, c'est-à-dire à jjw = ^3 : comme e^ est négatif et
moindre que e^y minimum de pa,, 2^3 est a fortiori moindre
que pa^ et N est négatif. Mais il peut en être autrement aux
points les plus hauts si €2 est positif. En ce cas, le mouvement du
pendule, s'il est suspendu par un fil, ne suivra pas les lois mar-
quées par les formules. En effet, au moment où la tension devient
CHAPITRE III. — ROTATION D'uN CORPS GRAYB DE RÉVOLUTION. l33
nulle, le poids commence à tomber comme s*il était libre, et son
mouvement suit dès lors une autre loi.
Cette distinction physique entre les mouvements pour lesquels
N change de signe et ceux où N conserve un signe invariable cor-
respond aussi à une distinction géométrique entre les trajectoires
de Fextrémité du pendule. En effet, d'après Téquation (7), on a
, dY ^ dX ^
c'est l'intégrale des aires ; puis on conclut de (97)
d\ d^X dX d^Y
dt dt^ dt dt^
= 8N.
Par conséquent, lorsque la réaction devient nulle, le plan oscu-
lateur de la trajectoire est vertical ou, en d'autres termes, la pro-
jection horizontale de la trajectoire présente une inflexion.
La condition pour que cette circonstance ait lieu effectivement,
c'est que N soit positif quand pu = 62', c'est donc (99)
(107) pa,< 2ej.
Lorsque cette condition est remplie, ^(98) passe aussi du posi-
tif au négatif. En effet, pa^ devant être supérieur à €2^ l'inéga-
lité (107) exige que €2 soit positif; par conséquent, — ^ pa2 est
négatif, moindre donc que 62- De plus, — ^p(i2 étant, d'après
(107), supérieur à — ^2, est, par cela même, supérieur à
e^; car —^2=^3-4-^1.
Ainsi, dans le cas qui nous occupe, les points les plus hauts
sont au-dessus du plan horizontal de suspension. Les points les
plus bas, en tous les cas, sont au-dessous de ce plan; car
pa2 4-2^3, moindre que e^ — ^2, est toujours négatif. Il est donc
possible de caractériser la condition (107) par les éléments du
mouvement, relatifs à une position de l'extrémité du pendule au-
dessus de l'horizon de suspension.
Le carré de la vitesse , que l'on peut tirer aussi des équa-
tions (97) par l'intégrale des forces vives, nous est fourni par
l'égalité (89)
«;«=4T«(pa, — pu),
l34 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
tandis que la hauteur H =: — Z, au-dessus de Thorizon de suspen-
sion, est
pai-^pa p ^^ ' ^ ^ g *^
De là résulte
wi — ^H = 3x*(pa2 — ipu) = — N.
Par conséquent, si Vextrémité du pendule est abandonnée à
V action de la pesanteur à une hauteur H au-dessus du point
de suspension et avec une vitesse dont le carré soit moindre
que ^H, la courbe décrite par la projection horizontale de
cette extrémité présente des points d^ inflexion.
Représentation du mouvement par des séries;
moyen mouvement.
Occupons-nous d'abord du moyen mouvement du plan vertical
contenant l'axe et calculons, à cet effet, les séries qui représentent
les deux angles auxiliaires ci-après
(108) ,
Pour le premier ^J/'j,, nous avons à faire usage des séries mêmes
qui ont été employées au Chapitre II, p. 65. En posant donc
T^a\
a,= a)H-ai, Ai = e *«»> , n, = ;,
2U>
on a immédiatement
m
m
Il est bon d'adjoindre au premier de ces développemenls une
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉTOLUTION. l35
autre forme qui mette en évidence le cas particulier «i = ±:(i)',
savoir
i d,' = i - V -il- iziAi!!!
lTc(<l'| -4-Ci>')
20)
L'argument «i, comme Targument v du Chapitre II, est égal à
(0 augmenté d'une imaginaire pure, en sorte qu'on a pris là les
séries mêmes des pages 65, 67, en mettant «i au lieu de v. Pour
calculer tj^'J,, on mettra a au lieu de v — w. On obtiendra de la
sorte les développements ci-après
- — ira
A = «««, tt= ;,
2U)
I I -+- A« ^ q"^ I — A*'"
I .„_ I I -+- A' ^ q'^ I-
^W j\ /«
m m
2 ^ I — ^'» A''« \ Vî' /
m m
•1 Ad. i—q'^ A*"* ^ ^^ /
= — I ( 7 cota -H > — ^ ' ^ sin ma ) •
D'après la formule (85), nous avons
Les angles auxiliaires ^'^^ Yo servent aussi à calculer le moyen
mouvement cpo apparent du plan vertical par rapport au corps. Ef-
fectivement, la formule (88) peut s'écrire
^? __ ^ cosCZ — a
de ~ 1 — cos' GZ '
et l'on a déjà observé que le changement de 5, a en — a, — 8
équivaut au changement de ai en — «,. Soit donc t^ le temps qui
correspond à la demi-période de l'argument; on aura
l36 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Mouvement du plan vertical.
Pour développer en série le mouvement angulaire du plan ver-
tical, nous prendrons encore deux angles auxiliaires ^', Y •
i I M , .
\ Tdû ""^^ -+-!!;("-« )-tC("-+-«)-
Afin de développer et d'intégrer commodément ces formules, il
est opportun de mettre sous la forme ci-après les séries (3i, 33)
du Tome I (p. 4^5, 426). Soient
B = e^^, C = €»«»>,
on a, d'après les séries citées,
;(6~c)-!;(6-4-c)-+-^c
= 7:77, arctang
2;(6 — c-4-(u') — Ç(6-i-c-*-u)')H — 5 c
Il faut remarquer que, dans la première, on peut écrire aussi,
au lieu du premier terme, cet autre qui lui est égal,
- -jj I arctang r
On doit se souvenir aussi que w, w' constituent un système arbi-
traire de demi-périodes primitives. On pourra donc, dans ces for-
mules, remplacer w par w' et w' par — o).
CHAPITRE III. — ROTATION D^UN COUPS GRAVE DE RÉVOLUTION. iSj
Prenons le premier membre (i ii) en y faisant
b = u'-\- u}f c =: a\f a = w' -4- a', «i = w -4- ai .
Ce premier membre devient
Ç(ï«'-4- îù — a\-\- co') — Ç( w'-4- (0 -4- ai -h w') H- ~ ai
271
= Ç(a — ai-4-2cu) — Ç(a-4-ai)H a'j
= Ç(m — ai) — Ç( w -♦- ai) -4- -5 ai ;
d'où résulte (108, 109) que la série (i 1 1) représente
i \ du 0) /
Prenons la série (1 10), en supposant
6 = w'h-(o, c = a'i -h scu', e=±i.
Le premier membre (i 10) devient
Ç(w'-Mo — ai — eo)') — Ç(a'-f-a) -\- a\ 4- sto') H -{a\-\-zu)')
= Ç(a — ai)H-'2r, — (i -4- e)T/— j;(it -H ai) -4- (i — e)T)'H ^(ai -4-eto')
= Ç( a — a, ) — Ç( w -4- «1 ) H cii . - •
La série (1 10) représente donc ainsi
2 /dY __ yo-4-j£7r
i \ du o)
Dans le premier membre (iii), après avoir remplacé w et w'
par (I)' et — w, posons
ô = u\ c = ai -t- tu' ;
ce premier membre devient
Ç(m' — ai — eu' — (u) — Ç(a'-4- ai -4-u)'— eu) h r(«i -ho)')
= Ç(ï« — ai)— Ç(w-4-ai) — 2T)'-f-27) H f-(ai -4- o)')
= Ç(i«— a,)- Ç(a-hai)-h _i ai -4- 7-3 •
(1) iu>u>
l38 DEUXIÈHE PARTIE. — APPLICATIONS.
Le second membre (i 1 1), moyennant l'échange des périodes, re-
présente alors (109)
i \ du o) /
Enfin, dans le premier membre (110), après avoir encore échangé
les périodes, prenons
6 ~ w'zb 0), c — a\ -h tu',
et la série (i 10) représentera encore la même quantité (i 12).
Ces divers modes de développement sont ici considérés à la fois
pour mettre en évidence les cas particuliers, comme on Ta d(*jà
observé à propos de i/^^ if^.
De même, pour développer -^ ? nous obtenons les résultats ci-
après :
Supposons b = u\ c = a] la série (i 1 1) représente
i \du u) /
Supposons h = u\ c = « -h eci)', s = d- 1 ; la série (110) repré-
sente
i \ du 0)
Enfin, après avoir changé les périodes, si l'on suppose dans la
série (i 10) 6 = w', c =: ^ -h w', cette série représente
i \ du tu
c'est aussi la même quantité que représente la série (1 1 1), si, ^près
l'échange des périodes, on suppose b=: ii'zriit)^ c=: a -{- w'.
Passant de ces développements à leurs intégrales et posant
u= — = -i^ -S L=e««-, U=U/âl7=c »« .
•10) au) ^ ^
CHAPITRE 111. — ROTATION D^UN CORPS GRAYE DE RÉVOLUTION. 1 Sg
on obtient les séries ci-après, qui correspondent, par ordre, aux
séries ci-dessus :
m
^ ' ' sinmu
?"' ) AV
'm
m
= ( — ^ -+- 1 1 u -h arc tang ( -t-^ tangu ) -h 2 > , ^ — =^ — rr
(_,)î<7m i — A"*'» .
' ' ^^ — sin m u
m
_.(y.-a.)_„V (-?.)' L-U'%i„„,,.
m
11
tang 1 Tm tangûi ) -4- 2 > — ,' — rr, sinmai :
m
•y= — ï-^u-*- 2 > — — -^ sinmu
^ r ^m(i — ^'«) A"*
/2^; \ /A'«-f-i \ v» 7'" I— A'«'« .
— sinmu
m
u -¥- arc tang ( j- tangû ) -f- 2 > 2_L. — rr
m
m
— — ^u-hû-+-2 > -^: — \n^ — m sin/wû.
m = 2, 4, 6, ....
Dans ces deux groupes de formules, on peut préciser les fonc-
tions arc tang en les supposant réduites à zéro en même temps que
leurs arguments. Dans la dernière formule, il est explicitement
supposé que -r est compris entre r et -r» c'est-à-dire û entre
^ et - > sans quoi le second terme + û devrait être remplacé par
a -4- Arit, l'entier k choisi de telle sorte que û -\- kn soit dans Tin-
tervalle ^et-- On se rend aisément compte de ces.circon-
22 ^
stances en envisageant la valeur particulière zéro de Targument
variable H.
l4o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Le mouvement angulaire du plan vertical contenant Taxe du
corps nous est connu par la formule (83)
Le mouvement angulaire apparent de ce même plan par rapport
au corps est connu par la formule analogue
Les angles <j>', Y sont exprimés en fonction du temps si l'on
suppose U dans un rapport constant et arbitraire avec le temps t.
On se rappelle, d'autre part, que r est aussi une constante quel-
conque, en sorte qu'on en peut dire autant de (a — r). Désignons
par a' cette constante et énonçons le résultat suivant :
Soient prises à volonté les constantes ^, A, Aj, sous les condi-
tions
t
soit a' une constante quelconque, U un angle variable propor-
tionnel au temps. Si l'on détermine des angles variables <}^', Y P^^
les séries ci-dessus, et que Ton prenne
les angles A et ç représenteront le mouvement angulaire du plan
vertical contenant l'axe d'un corps grave de révolution suspendu
par un point de cet axe, '!^ est le mouvement angulaire dans l'es-
pace, cp le mouvement angulaire relatif par rapport au corps.
Développement des constantes.
Il reste à exprimer en fonction de q^ A, A|, a' les constantes
qui se sont offertes dès l'abord, a, p, y. S, r. Sans insister sur ces
nouvelles formules, que l'on peut beaucoup varier, donnons seule-
CHAPITRE III. — ROTATION D^UN CORPS GRATB DE RÉTOLUTION. l4l
ment les suivantes à vérifier aisément d'après les égalités (3i), et
où figure le rapport constant - •
^ ■kXiJ \dlogX dlogXi/'
'' '^n\tj [(«/"ogA)» (rfIogA,)«J'
88 =_ i /hv r '^^'o ^ ^f. 1
r = OL — a'.
Considérons encore deux autres angles auxiliaires constants
<|/y = i[(o;(ai— a) — T)(ai— a)].
Leurs développements se déduisent de ceux de ^'^ par le chan-
gement de A^ en A| A ou -^ :
^ ""al -h A} A» ^^ *^ I — </'" AfA'«
/n
>og- .-^}
1? = ' A'- a; _ y, ,.= g'" A»'" -A»
ir a A'-hAf ^^ '' i — y'» AyA»
m
ûi — a
^1
— j-2^— ^sinm(ûi-a).
lOff— , y, 2
Nous omettons, pour abréger, les développements de ^1 où
figurerait, au lieu de A| A, l'un quelconque des produits de A|,
A'^, A', par A, A', A''. De même, pour <j^'J on pourrait écrire neuf
séries où figureraient les quotients de A| , A', , A'^ par A, A', A".
Les formules (3i) qui donnent a et o peuvent s'écrire ainsi :
a = 2Tt[Çai-*- l^a— Ç(ai-4- a)],
0 = 2xt[Çai— Ça — î(ai — a)].
\!\2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La constante t est égale au rapport de u' au temps; c'est donc
-^- -• On en déduit
La courbe élastique gauche.
La courbe élastique gauclic dont nous allons parler est la figure
d'équilibre d'un ressort naturellement cylindrique et de 1res petite
section, subissant l'action de forces extérieures quelconques ap-
pliquées seulement à ses extrémités.
M. Rirchhoff a montré (*) que la découverte de cette courbe
dépend de l'intégration des mêmes équations que la découverte
du mouvement d'un corps grave autour d'un point fixe. La forme
de la section du ressort joue ici le même rôle que, dans l'autre
problème, la nature de l'ellipsoïde d'inertie. Au corps grave de
révolution suspendu par un point de son axe correspond le res-
sort à section circulaire. Ainsi, d'après la belle proposition de
M. Rirchhoff, nous allons pouvoir trouver ici la courbe élastique
gauche pour un ressort à section circulaire. Nous n'emploierons
pas le théorème de M. Rirchhoff, nous prendrons les équations
différentielles de la courbe telles qu'elles étaient connues aupa-
ravant, et nous ferons voir la concordance des résultats avec ceux
qui sont relatifs au mouvement du corps grave.
Les équations différentielles (2) sont les suivantes, où x, y^ z
sont les coordonnées d'un point de la courbe; la variable indé-
pendante est l'arc de cette courbe; a, p, S sont des constantes :
x'y" — x^y = ùz' — a.
(') Vorlesungen iiber mathematische Physik, p. 421.
(") Voyez Lagbangë, Mécanique analytique ; édition de M. J. Bertrand, t. I,
p. 4oi. — H ERMITE, Sur quelques applications des fonctions elliptiques, — Les
lignes qui suivent sont textuellement empruntées à ce dernier ouvrage (p. gS).
CHAPITRE III. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. 1^3
c< Observons, en premier lieu, que, si on les ajoute après les
avoir muhipliées respectivement, d'abord par x\ y^ z\ puis par
af ^y^ ;:", on obtient
l{x' af -^ y y^ -^ z z") -^ {^{af y - xf) - %z' = o,
n Or la première de ces relations donne, par la difTérentiation,
-i^x'x'-^yy-^ z'z") -f- {?{x^y — xy) — «V = o;
nous avons donc, par comparaison avec la première,
x' x" -4- y y -\-z'z''=o,
résultat conforme à Thypothèse que Taxe est pris pour variable
indépendante et qui est traduite par la relation
a7'J-f.y2-h^'2= I.
» Les deux équations peuvent* donc être écrites ainsi
\?(xy-x'y)^?.-%z',
i^{xy-x''y)--^-^oiz\
» Nous en déduisons
\ni^y-xy)z''-{xy-x^y)z'] = oz^;
mais le premier membre, étant écrit ainsi
in(y^''-y^')^-^i-^'---^')ri
se réduit à
de sorte que nous avons
\H^x'-^ry) = z\
puis, par Tintégralion, en désignant par y uns constante arbi-
traire,
l44 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
» Nous remplaçons le système des équations à întégrer par
celui-ci
Voici maintenant où va apparaître l'identité de ce problème
avec celui qui nous a occupés dans le présent Chapitre.
Posons
X = T.p, J'=ô^> z'=cosGZ, a?' = — cosBZ) y=cosAZ.
Les trois angles AZ, BZ, CZ sont ceux qu'une droite Z fait
avec trois axes rectangulaires, comme il résulte de la troisième
équation différentielle.
On a d'abord
/>' = — iPcosBZ, ^'=^pcosAZ;
puis les trois équations différentielles qui subsistent deviennent,
par ordre,
/>s-4.^î = 3(cosCZ-f-Y),
q cos AZ — p cos BZ = ( cos GZ )',
p cos AZ -h q cos BZ = 8 — a cos CZ.
Ce sont là précisément les équations du mouvement du corps
grave, numérotées (a), (6), (3), (7), et prises dans le cas
particulier r=a. Ainsi est vérifié le théorème de M. Kir-
chhoff.
L'intégration est faite par les formules établies précédemment.
L'argument u varie ici proportionnellement à l'arc de la courbe,
qui remplace le temps. On aura encore, pour obtenir 5, à inté-
grer cosCZ (19), ce qui donne
^ = — — -H const.
P«i — pa
Quant à X el y, d'après (3i) et suivant l'expression de/? zh iq
CHAPITBB 111. — ROTATION d'uN CORPS GRAVE DE RÉVOLUTION. l45
(p. isS), on a
X -k- ly = -^ e^^^"**^«i **.
X — ty =
.^i ?lîL±.fL±_?iie-(i:a-Hi:a.)«.
"zEipUi — pa) a'(a-Hai)a'w
Cette Courbe, on le voit, est tracée sur un cylindre dont la
section droite est une herpolhodle ; elle se compose d'une série
d^arcs égaux dont les points homologues sont situés sur une
hélice.
11. lO
l46 DEUXIÈME PARTIE. — APPUGATIONS.
CHAPITRE IV.
MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI,
EN L'ABSENCE DE FORCE ACCÉLÉRATRICE (•).
Équations différentielles. — Réduction du problème à une intégrale elliptique.
— Expression des constantes par des fonctions elliptiques. — Expression des
variables par des fonctions elliptiques. — Rotation du corps solide. — Trans-
lation du corps solide. — Notions générales sur le mouvement du corps solide.
— Enumération des constantes ; homogénéité. — Expressions des élémeots
elliptiques en fonction des données. — Sur un cas particulier. — Discussion
des formules. — Décomposition de la rotation. — Détermination des con-
stantes par celles des mouvements composants. — Détermination des mouve-
ments composants au moyen du mouvement composé. — Cas où le corps
solide est de révolution. — Sur une propriété du mouvement, relative à Thcr-
polhodie.
Équations différentielles.
Le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, en
l'absence de toute force accdlëralrice, est défini par un système
d'équations différentielles à six inconnues établi pour la première
fois par M. Kirchhoff.
Dans ces équations, la variable indépendante, qui est le temps,
ne figure pas explicitement; on a, de plus, trois intégrales immé-
diates et Ton connaît le dernier multiplicateur. Les principes du
Calcul intégral nous enseignent donc que la connaissance d^une
seule intégrale nouvelle conduit à la solution complète.
On connaît celle nouvelle intégrale dans trois cas particuliers ;
l'un d'eux conduit à des quadratures elliptiques. C'est de ce cas
que nous nous occuperons ici. On verra plus loin la définition
précise de ce cas, malaisé à définir en langage ordinaire, à cause
du peu de connaissance que nous possédons sur certains élé-
(') Auteurs à consulter : Kibciiuoff, Vorlesungen iiber mathematische Physik :
Mechanik (p. 2.36 à 2^17 ). — Clebsch, Ueber die Bewegung eines Kôrpers in
eincr Fliissigheit {Mathematische Annalen, t. III, p. a38).
i
CHàP. IV. — MOUViaUHT D*UN CORPS SOLIDE DAMS UN UQUIDB INDÉFINI. i47
ments du problème. Averlissons seulement que le cas où le so-
lide est homogène et de révolution est un cas plus spécial, con-
tenu dans celui que nous envisagerons. Ce cas particulier a été
signalé par M. KirchhofT.
Voici les variables que, d^habitude, dans ces problèmes on
prend pour inconnues.
On considère, dans Tespace, trois axes rectangulaires mobiles,
lesquels sont fixes dans le corps. Les composantes de la vitesse
de l'origine de ces axes, prises sur ces axes eux-mêmes, sont
trois des inconnues U, V, W. En second lieu, les composantes de
la rotation instantanée du corps autour de cette origine mobile,
prises sur ces mêmes axes, sont les trois autres inconnues P, Q, R.
Au lieu de ces six variables, Clebsch en a emplové d'autres,
dont nous ferons usage. La force vive T du corps et du liquide^
pris ensemble, est une forme quadratique, c'esl-à-dire un poly-
nôme homogène et du second degré, composé avec les six variables
U, V, W, P, Q, R. Les dérivées partielles de cette forme quadra-
tique sont six fonctions linéaires de ces mêmes variables. Ce sont
elles que Clebsch prend pour inconnues ; nous les désignerons,
comme Clebsch, par les lettres X|, x^j Xz ] yi^y-i^yz •
dT dT dT
^ dT dT
Les formes quadratiques ont la propriété suivante, bien facile
à démontrer : soit T une telle forme et soit z^, z^t ... un système
de variables avec lesquelles elle est composée. Prenons pour nou-
veau système de variables Z|, Z2, . . . , en posant
•7 ^T -i
00 aura inversement
ÔT .
Z\ = -^j- » A = 1 , 2, . . . ,
En observant cette propriété si simple et si remarquable, Clebsch
transforme immédiatement les équations du problème actuel. Ces
équations ont absolument la même forme extérieure que celles
du mouvement d'un corps solide dans le vide. La force vive seule
l48 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
a une expression différente. II y en a trois de chacun des deux
types suivants (*) :
de dlj " d\ ^ d\\ '
dt dP d\ aW âq ^ dR
Avec les variables de Clebsch, ces équations s'écriront ainsi :
dri r)T ()T
— j— — Xi - - — ■ — J"3 - — )
dt d>'3 Oy^
dvx àT dT ÔT dT
Clebsch change tous les signes dans les seconds membres; c^est
un détail sans importance, mais auquel il faut cependant avoir
égard. Ce changement équivaut à celui des signes de P, Q, R.
C'est donc un changement dans le sens convenu pour les rota-
tions autour des axes. Nous conserverons la forme employée par
Clebsch, sans changer la convention habituelle pour les sens de
rotation ; alors P, Q, R, données par les égalités
sont les composantes de la rotation du corps changées de signes,
ou, ce qui revient au même, les composantes de la rotation rela-
tive de l'espace autour du corps.
Voici donc les équations que nous envisagerons avec Clebsch :
dry _ ÔT ÔT
j dx, àT dT
dt ôy:^ àyi
dxz __ i)T dT
dt -""'Oy, ^»^,'
dyx _ àT i)T àT dT
,„ . dy^ àT OT OT <>T
^^ ' ' dt -=^^ Ox, -^' Ox] -^y^ -Oy] -y-^dV, '
dy^ _ OT OT OT OT
(») Voyez l'ouvrage de M. Kirchhoff, cité précédemment.
CHAP. IV. — MOUVEMENT D^UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l49
Les trois intégrales, communes à tous les cas, sont les sui-
vantes :
(4) 2T = const. = /,
(5) a?} -ha:| -f-ir| = const. = /w,
(6) Ti^i -h Xtfi -h x^yz = const. = n.
Le cas particulier, dont nous nous occuperons, est celui dans
lequel, par un choix convenable des axes, on peut réduire l'ex-
pression de la force vive à la forme spéciale suivante :
Quand le corps est homogène et de révolution, les coefficients
q et q' sont nuls. En signalant ce cas plus général (7), Clebsch
se contente de dire que l'intégration se fait d'une manière toute
semblable à celle qu'a employée M. Kirchhoff pour le cas plus
particulier où le corps est de révolution. Nous allons faire cette
intégration, ramener ainsi le problème à des quadratures ellip-
tiques ^ après quoi, effectuant l'inversion, nous exprimerons
toutes les inconnues en fonction explicite du temps.
Réduction du problème à une intégrale elliptique.
Le second membre de la dernière équation (3) se réduit à
zéro, en sorte que j^j est une constante. C'est là l'intégrale nou-
velle que l'on possède en ce cas.
L'intégrale (6) et la troisième équation (2) nous donnent
(8) I dx,
A cause de l'identité
(xij^i -har,^,)' -*-(^îJ^i —^1^1)* =(37? -+-^|)(rî -î-ri)»
nous concluons de (8)
t50 DBUXifen PAETIE. >- ÀPPLICATIOm.
En second lieu, Tintég^ale (5) donne
(lo) x] -^ xl = m — xl
et l'intégrale (4), au moyen des équations (8), (g),
(i i) y\ H-7Î = ^-^"(mi — hxi — xl ,
avec ces notations abrégées
' pm ■+■ iqn -+■ r'yl — /
mi = —, y
. . P—P
\ P — P''
Les expressions (lo) et (ii) étant substituées au second meni'
bre de (9), il en résulte
(i3)
(dx \*
—1\ =r(/)' — /))(?7ii — Aj?s — T})(m— arj)— r«(n— ^,ar,)«.
Comme >'., est une constante, nous avons ici une équation dif-
férentielle 011 les variables sont séparées; le temps, par consé-
quent, exprimé par une quadrature elliptique.
Expression des constances par des fonctioiis eUiptiques.
L'inversion, dans l'égalité (i3), se fera par le procédé général
développé au Tome I (p. 118). Considérant les deux invariants S
et 5 du polynôme (i3) et introduisant, en outre, un facteur d'ho-
mogénéité arbitraire p, on prendra, pour invariants des fonctions
elliptiques,
on déterminera un argument r constant (t. I, 54, p. lao), et Ton
posera
f 3^3 = — ^ A -h p 5,
(14) ^, I p'u — p'v
[ 2 pu — pv
GHàP. IV. — MOUVBXElfT d'uN CORPS SOLIDE DAIfS UN LIQUIDE UfDÉFIlfl. l5l
moyennant quoi on obtiendra
(i6) rfa = ^^r(p' — p)dt.
L'argument 1/ varie proportionnellement au temps.
Par ce moyen l'inversion est effectuée, les invariants et l'argu-
ment auxiliaire p sont exprimés en fonction des constantes don-
nées. On -sait déjà, par les applications précédentes, que Texpres-
sion inverse des constantes au moyen des fonctions elliptiques est
nécessaire et s'obtient plus aisément par des moyens directs,
comme nous allons le faire.
La fonction ^ (i4) ^ cette autre expression (t. I, p. i38)
(17) ^ = î;(a-+-i^)— Ça — Çp.
Soit a un argument quelconque, que nous mettons au lieu de i/,
en écrivant
(18) Za = Ç(a -+- p) — Ça — Çp.
La différence (3 — 5^), considérée comme fonction de w, a les
pôles simples w = — v etw = o avec les résidus =tz i , les racines
i/ = a et 11= — a — v\ elle se représente donc par le produit
U est clair que tout binôme Xa-I-A s'exprime, d'après (i4),
sous la forme p(« — ^a), l'argument a étant convenablement
choisi. En désignant donc par a, 6, a,, 6, certains arguments, on
aura
(21) a?|-H Aa^t— mi= ^^{z — Za^) {z — Zb^).
l52 DEUXIÈME PARTIE. — ÀPPLIGATlOlfS.
Nous aurons alors, suivant (i5),
I - [pw - p(u H- r)? - ^ (^'- yj'^
on a posé, pour abréger,
s/r{p'-p)
Pour préciser, nous supposons la quantité ^^{p' — p) prise
avec une même détermination dans les égalités (i6) et (aS).
Le second membre (22) peut être décomposé en deux facteurs
^ et ^1, savoir
(^4)
I 4»^ = pu - p(u -^ V) 4- ^^, (^.r3 - yj
Si l'on substituait à - (x^ j une expression telle que z — 5^,
on aurait là, pour ^ et ^1, des décompositions en éléments sim-
ples, mettant en évidence la nature de ces fonctions. Chacune
d'elles a les doubles pôles u = o ei u = — v, chacune d'elles peut
se dixomposer sous la forme
^ V , / 1 / ( ^ _^_ p _^ V -i- 0 -f- ai^ = o).
Les huit arguments racines a, p, v, 0 de Tune et l'autre fonc-
tion 4>, ^i reproduisent, dans un certain ordre, a, è, «i, 6«,
— (« H- r), — (6 + p'), — (a,H-r), — (/>, 4-(^). C'est ce qui
résulte de l'identité (22).
La quantité Ç(w 4- ^) — s'/ reste inaltérée quand on change u
en — (w-f-r), tandis qu'alors p(u-\- i') — pu se reproduit
changée de signe. Dans ce changcmenl, ^ et ^1 s'échangent
donc. Si donc le numérateur de ^ contient le facteur rf(w — a),
celui de ^t contient le facteur complémentaire rf(i/ H- a + i»).
Ainsi le numérateur de ^ contient un des facteurs du numérateur
de chacune des quatre différences telles que [z — 5^) ; le numé-
CHÀP. IV. — MOUV£M£NT D*UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l53
râleur de ^4 contient les fadeurs complémentaires. Il n'y a d'ail-
leurs jusqu'ici aucune distinction entre deux fadeurs complé-
mentaires, et nous pouvons prendre à volonté les facteurs du nu-
mérateur de ^, sans restreindre la généralité. On aura donc,
en tenant compte de ce que lim(w^^) = i pour w = o,
__ (^*v <^(u — a) ^(u — ai)<^(u-\- b-\- v)'^(U'^- bi -h p)
~~ a'aa'ai cr(6-l- i^)a'(6i -f- ç')3'*w 3'*(a-i- i^)
(a5) '
1 _ a'*i^o'(a — 6)a'(M — 6i)a'(a -h a-t- i^) 3'('M-h ai H- p)
( * ~" (fb^bi a'(a-h p)3'(ai -h v)(ï^u :f^{u-hv)
Mais, dans ces fonctions, la somme des racines doit être égale
à la somme des pôles; les arguments a, ai, 6, b^ doivent donc
vérifier la condition
(26; a + ai = 6-+- 6|.
Une autre condition est encore imposée d'après les égalités
(24). Les deux fonctions ^ et 4>| doivent toutes deux avoir
(u-hvy
pour partie principale, au pôle u= — v, D*après les expressions
(a5), ceci fournit une équation unique
. _^ o'(a-i- p)o'(ai -+- 1^) 3*6 0*^1 _
^ ^' ^ (^{b-hv) 3'(6i-+- v) ^acfai """"'•
Ces deux conditions (26) et (27) sont suffisantes pour que ^
et 4>4 se décomposent en éléments simples sous la forme (24),
donnent lieu, par conséquent, à une identité telle que l'identité
(22). Ce sont donc les seules conditions imposées à des argu-
ments, d'ailleurs arbitraires, a, «i, 6, 6|, r, pour qu'ils puissent
servir à exprimer les constantes de notre problème.
Avant de poursuivre, il est bon de s'arrêter un instant sur les
deux conditions (26), (27). La première est satisfaite si l'on
prend
iai = c -h a', a = c — a',
bi=c-hb\ b=c-b\
l54 DBUXIÈMB PARTIE. — APPLICATIONS.
en sorte que a', 6', c sont trois arguments arbitraires. Soit main-
tenant
(29) i' = ip — c;
la relation (27) devient
(^7^) a'( tv — h') c3'(cv -f. 6yâ^"(^^^') a'(c + a') " ~''
elle peut se traduire par Tégalité harmonique
qui donne p(V en fonction de pa', p&', pc.
Voici une conséquence qui va intervenir tout à l'heure. Consi-
dérons la somme (^a H- ^* -h ^«j 4-^*^). C'est le coefficient du
terme en z^ dans le polynôme en 5, transformé de/(j:8). Cette
somme est donc nulle (t. I, p. hq)* Ainsi, comme conséquence,
des relations (a6) et (a^), on a
(3l) Za-^ Zb-\r Za^-^- Zt,^—0.
Revenons maintenant aux égalités (20) et (21) pour en déduire
les expressions des cocfficienls en fonction des arguments intro-
duits. Remplaçant x^ par l'expression (i4)> nous aurons, d'après
l'égalité (20),
( 32 )
d'où résulte
\ ^Za-^\h-\-yJn\, p^û = {A — y/m,
' ' il /—
Nous aurons de niémc, d'après (21),
^3-+- î-^ — y/l^'H-zw! = ^{z — 2^1 ) = { /* H- p-z — v/| A« -h m'j,
^3-^-î ^ -^ v^i A« -f- mi = p(5 — >s/,,) = iA-hp5 4-v/|A»
//Il
»
(34)
( i ^ ^ — p(-ai -1-^61), 2yl/l-'-+-/ni = p(^a, — -56,).
GHàP. IV. — M0UYE9KNT d'UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l55
Les deirx expressions (33) et (34) de ^h concordent, comme il
résuhe de l'égaltté (3i).
Il est bien entendu que, dans les égalités (33), (34), on ne
doit attacher aucun sens particulier à Tune ou Tautre des deux
déterminations prises pour un des radicaux, y//7i par exemple,
qui peut aussi bien être positif que négatif.
Décomposant en éléments simples (t. I, p. 228) la fonction ^
donnée sous la forme (aS), on y trouve, pour le coefficient de
Pélément !^i/, Texpression
Mais, d'après (5i4), ce coefficient doit être -• On a donc
r
(35) 5 = p[;(6 -+- P) -h ;(^i H- p) - Ça - Ça, - aÇp].
La considération analogue de la fonction ^1 donnerait aussi
pour s cette autre expression
(35a) s = -- p[li{a -h i>) -t- Ç(a, -+- i^) — Ç6 - Ç6i - aÇv],
qui coïncide avec la précédente suivant la relation (3i).
En faisant u = a dans l'expression (24) de ^ et u = b dans
celle de ^1, et observant que, d'après (32), il y correspond
jTj = d: 0w j nous avons
syfm = ip'^\pb -\-pa — p{a-\-v) — p(6-l- p)],
(^)
sn
— =|pt[p^,_pa.^p(a-h(;) — p(6-t-p)].
Expression des variables par des fonctions elliptiques.
Pour la suite de notre calcul, nous aurons à décomposer en
éléments simples la fonction
' x\ — m.
faisons d'abord cette décomposition.
l46 DEUXIÈME PARTIE. — ÀPPUGATIONS.
CHAPITRE IV.
MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI,
EN L'ABSENCE DE FORCE ACCÉLÉRATRICE (»).
Équations différentielles. ~ Réduction du problème à une intégrale elliptique.
— Expression des constantes par des fonctions elliptiques. — Expression des
variables par des fonctions elliptiques. — Rotation du corps solide. — Trans-
lation du corps solide. — Notions générales sur le mouvement du corps solide.
— Enumération des constantes ; homogénéité. — Expressions des éléments
elliptiques en fonction des données. — Sur un cas particulier. — Discussion
des formules. — Décomposition de la rotation. — Détermination des con-
stantes par celles des mouvements composants. — Détermination des mouve-
ments composants au moyen du mouvement composé. — Cas où le corps
solide est de révolution. — Sur une propriété du mouvement, relative à Ther-
polhodie.
Équations différentielles.
Le mouvement d^un corps solide dans un liquide indéfini, en
Tabsence de toute force accélératrice, est défini par un système
d'équations différentielles à six inconnues établi pour la première
fois par M. Kirchhoff.
Dans ces équations, la variable indépendante, qui est le temps,
ne figure pas explicitement; on a, de plus, trois intégrales immé-
diates et Ton connaît le dernier multiplicateur. Les principes du
Calcul intégral nous enseignent donc que la connaissance d'une
seule intégrale nouvelle conduit à la solution complète.
On connaît cette nouvelle intégrale dans trois cas particuliers ;
Tun d'eux conduit à des quadratures elliptiques. C'est de ce cas
que nous nous occuperons ici. On verra plus loin la définition
précise de ce cas, malaisé à définir en langage ordinaire, à cause
du peu de connaissance que nous possédons sur certains élé-
(») Auteurs à consulter : KiBcsnopp, Vorlesungen ûber mathematische Physik :
Mechanik (p. 236 à 2/j7). — Clebscii, Ueber die Bewegung eines Korpers in
einer FlUssigkeit {Mathematische Annalen, t. III, p. 238).
CHAP. IV. — MOUVOttlIT D*UN CORPS SOLIDE DAMS ON UQUIDB INDÉFIlfl. if^y
ments du problème. Averlissons seulement que le cas où le so-
lide est homogène et de révolution est un cas plus spécial, con-
tenu dans celui que nous envisagerons. Ce cas particulier a été
signalé par M. KirchhofT.
Voici les variables que, d'habitude, dans ces problèmes on
prend pour inconnues.
On considère, dans l'espace, trois axes rectangulaires mobiles,
lesquels sont fixes dans le corps. Les composantes de la vitesse
de l'origine de ces axes, prises sur ces axes eux-mêmes, sont
trois des inconnues U, V, W. En second lieu, les composantes de
la rotation instantanée du corps autour de cette origine mobile,
prises sur ces mêmes axes, sont les trois autres inconnues P, Q, R.
Au lieu de ces six variables, Clebsch en a employé d'autres,
dont nous ferons usage. La force vive T du corps et du liquide^
pris ensemble, est une forme quadratique, c'est-à-dire un poly-
nôme homogène et du second degré, composé avec les six variables
U, V, W, P, Q, R. Les dérivées partielles de cette forme quadra-
tique sont six fonctions linéaires de ces mêmes variables. Ce sont
elles que Clebsch prend pour inconnues ; nous les désignerons,
comme Clebsch, par les lettres a:,, ^Tj, x^ î J'iîJKaj^'a •
dT dT dT
«rr àT dT
Les formes quadratiques ont la propriété suivante, bien facile
à démontrer : soit T une telle forme et soit Zi, z^^ ... un système
de variables avec lesquelles elle est composée. Prenons pour nou-
veau système de variables Z|, Z2, . . . , en posant
7 _ ^T :i --
^X — "7~ » '^ — I » 2> • • • >
on aura inversement
En observant cette propriété si simple et si remarquable, Clebsch
transforme immédiatement les équations du problème actuel. Ces
équations ont absolument la même forme extérieure que celles
du mouvement d'un corps solide dans le vide. La force vive seule
l48 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
a une expression différente. Il y en a trois de chacun des deux,
types suivants (*) :
dt dv^" ày ^ aw '
dt aP dS aW <^Q ^ dK
Avec les variables de Clebsch, ces équations s'écriront ainsi :
dt &y^ ô/i
dyx _ dT dT dT dT
Clebsch change tous les signes dans les seconds membres^ c'est
un détail sans importance, mais auquel il faut cependant avoir
égard. Ce changement équivaut à celui des signes de P, Q, R.
C'est donc un changement dans le sens convenu pour les rota-
tions autour des axes. Nous conserverons la forme employée par
Clebsch, sans changer la convention habituelle pour les sens de
rotation ; alors P, Q, R, données par les égalités
(0 p=^, q=4ï:, r=4l,
sont les composantes de la rotation du corps changées de signes,
ou, ce qui revient au même, les composantes de la rotation rela-
tive de l'espace autour du corps.
Voici donc les équations que nous envisagerons avec Clebsch :
dx^ _ dT dT
. dx^ ôT dl
^ ^ ^ dt ây3 àyi
dxi _ àT^ _ àT
dt -^'ày, ""'ôy,'
dyi _ dT âT rJT f)T
dyi à'V OT ÔT f)T
^^^ ^ -dt =^* Ox, -^' dx\ ^^' Ty\ ^y^dV, '
dy^ dT ôT dT ôT
"rfT ^'^'^ "~''*^ -^^'^ "-^^ ^/
(•) Voyez l'ouvrage de M. Kirchhoff, cité précédemment.
CHAP. lY. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. I^g
Les trois intégrales, communes à tous les cas, sont les sui-
vantes :
(4) 2T = const. = /,
(5) a?f -ha:| -f-rrj = const. = m,
(6) XtjTi -h a:j7, -h a?37j = const. = n.
Le cas particulieri dont nous nous occuperons, est celui dans
lequel, par un choix convenable des axes, on peut réduire l'ex-
pression de la force vive à la forme spéciale suivante :
. . T = |/>(a:î-+-a7|)-+-|/>'a7j-h^(xij^i-ha?,j^,)
Quand le corps est homogène et de révolution, les coefficients
q et q' sont nuls. En signalant ce cas plus général (7), Clebsch
se contente de dire que l'intégration se fait d'une manière toute
semblable à celle qu'a employée M. KirchhofT pour le cas plus
particulier où le corps est de révolution. Nous allons faire cette
intégration, ramener ainsi le problème à des quadratures ellip-
tiques ^ après quoi, effectuant l'inversion, nous exprimerons
toutes les inconnues en fonction explicite du temps.
Réduction du problème à une intégrale elliptique.
Le second membre de la dernière équation (3) se réduit à
zéro, en sorte que j^j est une constante. C'est là l'intégrale nou-
velle que l'on possède en ce cas.
L'intégrale (6) et la troisième équation (2) nous donnent
1 ^1/1 -i- ^t^î = /i — 373^3,
(8) I dx,
A cause de l'identité
(xij^, -h Xijr^y -4- {xty^ —^1^1)» = (x\ -hxl)(yl -+- /|),
nous concluons de (8)
^^^ 7^\dr) -^('*-^«^«)' = (^î-+-^i)W-+--^i)-
t5o DEUXIÈMB PAKTIE. — APPLICàTIOKS.
En second lieu, Pintéçrale (5) donne
(lo) x\ -h xl = m — xl
et l'intégrale (4), au moyen des équations (8), (9),
(i i) y\ -Hji = ^-^ (mi — hXi — xl ,
avec ces notations abrégées
/ pm -+- 2^/1 -t- r'yl — /
I ^^ ~ ;:; — 7? '
Les expressions (10) et (1 1) étant substituées au second mem-
bre de (9), il en résulte
(l3) ("^) ='•(/>' — />)(^l — ^^8 — ^î)(/W—^î)—'^(/l—r8^3)'.
Comme ^'3 est une constante, nous avons ici une équation dif-
férentielle où les variables sont séparées; le temps, par consé-
quent, exprimé par une quadrature elliptique.
Expression des ccmstanies par des fonctioiis eUiptiques.
L'inversion, dans l'égalité (i3), se fera par le procédé général
développé au Tome I (p. 1 18). Considérant les deux invariants S
et S du polynôme (i3) et introduisant, en outre, un facteur d'ho-
mogénéité arbitraire p, on prendra, pour invariants des fonctions
elliptiques,
on déterminera un argument (^ constant (t. I, 54, p. 120), et Ton
posera
lxz= — \h-^pz,
(i-i) < • -. i P'" — P'^
^ " 1 pu — pv '
GHàP. IV. — MOUVBHBIVT D^Ulf CORPS SOLIDE DAlfS UN LIQUIDE INDÉFINI. l5l
moyennant quoi on obtiendra
(5) \ ^•^^^*)~ /'•(/>' — /'K'^i— ^-^3— ^DC'^ — a?|) — r«(/i— ^,07,)»
dxi I— — ; dx^
(i6) du^ ^^r{p' — p) dt.
L^argument u varie proportionnellement au temps.
Par ce moyen l'inversion est effectuée, les invariants et l'argu-
ment auxiliaire v sont exprimés en fonction des constantes don-
nées. On -sait déjà, par les applications précédentes, que l'expres-
sion inverse des constantes au moyen des fonctions elliptiques est
nécessaire et s'obtient plus aisément par des moyens directs,
comme nous allons le faire.
La fonction z{i^) a cette autre expression (t. I, p. i38)
(17) ^ = Ç(aH-p)— Cm — C(^.
Soit a un argument quelconque, que nous mettons au lieu de £/,
en écrivant
(i8) ^a = C(a-f-p) — Ça — Çi^.
La différence (3 — 5^), considérée comme fonction de «, a les
pôles simples m = — v etM = o avec les résidus ± i , les racines
w = a et w = — a — v\ elle se représente donc par le produit
__^v^{u — a)3'(a + a-h i»)
Il est clair que tout binôme ^^34- A s'exprime, d'après (i4))
sous la forme p(^ — .s^), l'argument a étant convenablement
choisi. En désignant donc par a, 6, ai, bi certains arguments, on
aura
(20) ^J — /n= p*(z— -Sa)(« — -56),
(ai) x\-\-hxi—mx= p^{s — Za,){z — Zb^).
l52 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous aurons alors, suivant (i5),
(^2)
J -[pW-pCw-Hi^')?- ^(^»~7,) •
on a posé, pour abréger,
(23) s=iry3
s/r{p'^p)
Pour préciser, nous supposons la quantité \/r(p' — p) prise
avec une même détermination dans les égalités (16) et (23).
Le second membre (22) peut être décomposé en deux facteurs
^ et ^«, savoir
(24)
I 4>i = pM-p(w-f-r)-f- ^^^^^3-^j
Si Ton substituait à - f ^3 j une expression telle que z — s^,
on aurait là, pour ^ et ^1, des décompositions en éléments sim-
ples, mettant en évidence la nature de ces fonctions. Chacune
d'elles a les doubles pôles «/ = o et w = — r, chacune d'elles peut
se décomposer sous la forme
Les huit arguments racines a, ^, v, 0 de Tune et l'autre fonc-
tion ^, ^1 reproduisent, dans un certain ordre, a, 6, ai, 6«,
— (rt-f-i^), — (è + i^), — (ûT, -f- ^), — (h^-h^')' C'est ce qui
résulte de Tidentité (22).
La quantité Ç(w -h ^) — ^a reste inaltérée quand on change u
en — (w4-<')î tandis qu'alors j)(w + r)— pw se reproduit
changée de signe. Dans ce changement, <ï> el ^« s'échangent
donc. Si donc le numérateur de ^ contient le facteur <i(u — a),
celui de ^i contient le facteur complémentaire rf(w H- a 4- i').
Ainsi le numérateur de ^ contient un des facteurs du numérateur
de chacune des quatre différences telles que [z — 5^) : le numé-
CHAP. IV. — MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l53
râleur de ^^ contient les fadeurs complémentaires. Il n'y a d'ail-
leurs jusqu'ici aucune distinction entre deux facteurs complé-
mentaires, et nous pouvons prendre à volonté les facteurs du nu-
mérateur de ^, sans restreindre la généralité. On aura donc,
en tenant compte de ce que \im{u^^) = i pour m = o,
(a5)
~~ Ca (J'ai cr(6H- i'')a'(6i -f- i^)3'*a 3'*(m-+- i')
. __ <f*v(^{u — b)!^{u — bi)^(u-h a-\- v)^(u-hai-r- y)
* ~ ^b(^bi ^{a-h v):^(ai -h v) i^^u ^^(^u-h v)
Mais, dans ces fonctions, la somme des racines doit être égale
à la somme des pôles; les arguments a, ai, b, b^ doivent donc
vérifier la condition
(26; a -f- ai = ô-h 6|.
Une autre condition est encore imposée d'après les égalités
(24). Les deux fonctions 4> et ^1 doivent toutes deux avoir
( w -h t' )*
pour partie principale, au pôle w= — i>. D'après les expressions
(:i5), ceci fournit une équation unique
. ^. a'(a -H p)a'(ai -H p) 3^6 0*^1 __
Ces deux conditions (26) et (27) sont suffisantes pour que ^
et ^« se décomposent en éléments simples sous la forme (24),
donnent lieu, par conséquent, à une identité telle que Tidentité
(22). Ce sont donc les seules conditions imposées à des argu-
ments, d'ailleurs arbitraires, or, flr«, 6, 6|, ç», pour qu'ils puissent
servir à exprimer les constantes de notre problème.
Avant de. poursuivre, il est bon de s'arrêter un instant sur les
deux conditions (26), (27). La première est satisfaite si l'on
prend
( ai = c -+- a', a = c — a'.
(•28)
^ \ b,=c^b\ b= c — b\
l54 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
en sorte que a', fr', c sont trois arguments arbitraires. Soit main-
tenant
(29) Vz:zW — C\
la relation (27) devient
elle peut se traduire par Tégalité harmonique
qui donne pw en fonction de pa', p6', pc.
Voici une conséquence qui va intervenir tout à l'heure. Consi-
dérons la somme {za -\- Zb -^^ Za -\-Zh)» C'est le coefïîcient du
terme en 3' dans le polynôme en s, transformé de/(x3). Cette
somme est donc nulle (t. I, p. hq)* Ainsi, comme conséquence,
des relations (26) et (27), on a
(3l) -5a -+- -36 -+- -aj H- -5^1 =0.
Revenons maintenant aux égalités (20) et (21) pour en déduire
les expressions des coefficienls en fonction des arguments intro-
duits. Remplaçant x^ par l'expression (i4)> nous aurons, d'après
l'égalité (20),
(3:^) ; j
( Ti-\- ^ni = ^{z — Zb)— — -^h-^pz-Jr ^ni\
d'où résulte
^ ' il /—
Nous aurons de même, d'après (21),
3^3-+-} A — v/{A«-H/Wl = 0{Z -- 3^, ) = 1 A -h p^ — \JY^^ -*- '^l»
a^3 -H J /i-f-y/AA^-h/Wi = p(-3 — -5a,) = 1^-4- p5-+-v/{ A*H- /^i,
CHAP. IV. — MOUYISBirr D*ON CORPS SOLIDB DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l55
Les deux expressions (33) et (34) de ^h concordent, comme il
résnhe de régalité (3i).
Il est bien entendu que, dans les égalités (33), (34)^ on ne
doit attacher aucun sens particulier à Tune ou Tautre des deux
déterminations prises pour un des radicaux, y/m par exemple,
qui peut aussi bien être positif que négatif.
Décomposant en éléments simples (t. I, p. 228) la fonction ^
donnée sous la forme (^5), on y trouve, pour le coefficient de
l'élément Çw, Texpression
— Ça — Çaj -h Ç(6-H p)h- Ç(6i -+-p) — 2Cp.
Mais, d'après (^4)) c^ coefficient doit être -• On a donc
(35) , = p[ Ç(6 H- O -H C(6i -*- i.) - Ca - Cat - aÇi^].
La considération analogue de la fonction ^1 donnerait aussi
pour s cette autre expression
(35a) , = - p[Ç(a + p) ^ Ç(a, _h p) - C6 - C^ - aÇy],
qui coïncide avec la précédente suivant la relation (3i).
En faisant u = a dans l'expression (24) de ^ et m= 6 dans
celle de 4>i, et observant que, d'après (32), il y correspond
jTj = ± y/m, nous avons
pb — p(b -h v) = -1 ( /m H ),
?' \ 73/
S)/m^ \p^[pb-\-pa — p{a-^v) — p{b-^v%
(36)
sn
-. = |pî[p6 — pa -f- p(a + p) — p(6 -H i')].
Expression des variables par des fonctions elliptiques.
Pour la suite de noire calcul, nous aurons à décomposer en
éléments simples la fonction
faisons d'abord cette décomposition.
l56 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Celte fonction, d'après (i4) et (20), a les pôles a, — («+ ^)7
by — (6 H- i^), dont il nous faut chercher les résidus. Un tel résidu
est la valeur prise par
ff(x\ — ni) dxz %p pu — p{u-¥-v)
du du
au pôle considéré. Les pôles sont, tous quatre, des racines de ^
ou de 4>|, comme on le voit d'après les égalités (aS). Parles rela-
tions (24)5 on voit donc que les résidus sont ± — > suivant qu'il
s'agit de racines de ^ ou de ^|. On a donc
o(u)= L[^(u — a)-ht:{u-\-b-hv) — t:{u—b) — t:{u-ha-hv)-hD]
avec une constante D, qu'il faut encore trouver. Pour ce but, ob-
servons que l'hvpothèse u = o rend x inGni (i4) et donne ainsi
ç(o)= I. Donc
(3;) _ç«^;(.^.)^ç._,„-..).D = i;.
Mettons, au second membre, pour 25, la somme des deux expres-
sions (35) et (35a), et nous obtiendrons
(37a) D = j;(6,-f- i^)^- ;6,- ï(«iH- ^) - 2:«i.
En multipliant «p(w) par iry^dt et observant les relations (16),
(28), nous avons
irrz{yzX:^ — n) ^^
x\ — m
= x[^{u — a) -^'X.iu -{- b -^ v) ^ X,{u — b) — X,{u -^ a -Jt- v)-^h]du.
Considérons, en second lieu, la demi-différenlielle de log(j:J — m).
D'après (10), (19) et (20), elle donne lieu à la relation
X\ dxi -+- X\ dxx
x\ -H x\
CHAP. IV. — MOUVBHENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 167
En combinant ces deux égalités, nous avons la suivante, donl nous
allons avoir besoin :
(
Xi dxx -4- x%dxi — irXi{n — x^y^ ) dt
(38) ' x\-¥x\
[ = [Ç(a-^a -H v) -f-C( a — 6) - Çw - a" -^ ^)— i D| du.
Arrivons maintenant à la première intégration que nous avons à
effectuer. Pour ce but, formons, d'après les équations différen-
tielles (2), la quantité
clx\ dx\
= (ar} -h J7|) -r x^ix^- ^- a^s ,— )
En mettant, pourT, son expression (7) et utilisant l'intégrale (6),
nous avons
(39)
) xl-hxl i;^ ^^ -^ x\-\-x\ J
i \p ^ I x\-^x\
On a ici posé, pour abréger,
(io)
13 = ^-^
ry^ is
D'après les égalités (38) et (Sg), nous concluons
r/log(xi-h ix%)
__ Xi dxi -+■ Xi dxf H- ï ( T, dxi — Xidx\)
et, en remplaçant z par son expression en éléments simples,
-+-2;(a-f-a-+-i^)-i-;(a — 6) — Ça — Ç(a-i-p).
l58 DBUXlftM« PARTIE. — APPUGÀTIONS.
Par une intégration, nous avons maintenant
Xi -h
égalité où K désigne une constante arbitraire, et qu'il sera préfé-
rable d'écrire ainsi, en modifiant la constante,
pour en déduire ensuite x^ — ix^* A cet effet, on divisera par
l'expression (4») la quantité x'] -\- x\ = m — xl^ exprimée par
les égalités (19), (20). On aura ainsi
(42) X, lor,- eL^(«-+-0 J C(ÔH-i;)3'acj'aa'(a + f') ^
Cette intégration faite, nous trouverons maintenant les deux
autres inconnues^!, y-i sans intégration, par le calcul suivant,
où interviennent les relations (8)
(371 ± ixt)(yi z^ iyi) = x^y^ -+- x^y^ ±1 i{xtyx — ^s^i)
, i dxi
D'après (i4)> ('6) et (a3), ceci peut s'écrire encore
(xi zb ixt)(yi ip tj-j) = ^ -;— [p" - P(" -^ ^') =t ^ f 3:3 — ^ H .
Par conséquent, suivant les relations (24),
(43)
j ix, ^ ix,)(y, - iy,) = - ^' *„
\ (a:i-t>,)(r,-t-i>î) = -i-^'<l>.
Employant les expressions (20) de <ï> et ^,, nous trouvons
maintenant ces nouvelles formules, analogues à (4i) et (4») :
(4i)
CHAP. IV. — MOUTBMXNT O^CHf CORPS SOUDE DANS UN UQUIDE INDÉFINI. 169
On retrouve bien, en les multipliant membre à membre, l'expres-
sion (i 1) dey] -hyly comme il résulte des relations (21) et (23).
Rotation du corps solide.
Ici, comme au Chapitre III, nous désignerons par X, Y, Z les
axes fixes dans Tespace et par A, B, C les axes fixes dans le corps.
Les trois dérivées -7 — sont les composantes de la rotation in-
stantanée relative de l'espace par rapport au corps (i). D'après
la théorie de la rotation, on a donc, en considérant la rotation re-
lative de Taxe Z(I, 74)
-7- cos AZ = -r— cosGZ r — cosBZ,
dt dyx àyi
avec deux équations analogues obtenues par permutation circu-
laire des lettres A, B, C. Les coefficients -r— sont maintenant des
fonctions connues du temps t, en sorte que ces équations sont dilTé-
rentielles, linéaires, sans second membre. Les inconnues sont les
trois cosinus. L'intégration générale comporte trois arbitraires,
dont une seulement est déterminée par la condition que la somme
des carrés des cosinus soit l'unité. Maison peut à volonté fixer les
deux autres en choisissant arbitrairement la direction de l'axe Z,
Comparant alors les équations actuelles aux équations (2), on
voit qu'il existe une solution où les inconnues sont proportion-
nelles à Xiy :r„ Xi, On peut donc prendre, d'après (33, 19),
cosAZ _ cosBZ _^ cosCZ __ i _ 1 _7. (^a^b^{a-^ v)^(b-\- v)
Xi "~ xt ~" xz ~* ^ ~ 9{^a — ^b)~ 9 <^v(i(a^b)^{a-\'b-^v)
D'après les égalités (i4) 33, 4^9 4^)9 nous concluons
(46) cosGZ= 2i_3lffLZlf^,
**a — ^b
! cosAZ-t- 1 cosBZ
1 [s'a J <f{a^ b)^{a-i- b-^ç)^u^(u-hv) '
j cosAZ — icosBZ
f ^r ^" ^.r.l^ 3-6 3r(a -h p) 3-(^ -h 6 -4- i^) g'C^ - g) (jP-l) "
(45)
__ af (ïu ^^1^ iïb :^{a -h i>)^(u-h b -h v)^(u — a
~ Ê|_?(w"-i-^ J <^{^ — b) ^{a -h b -h ç) ^ u ^{u -^ V
f
l60 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Soient maintenant
S = cos ex -H i cos CY,
Go = cos ex — icosCY.
Appliquons Téquation cinématique (I, 76), en supposant les deux
systèmes d^axes congruents et remplaçant les composantes de la
rotation par leurs expressions (i) et les cosinus de AZ, BZ, CZ par
les quantités proportionnelles (45) j?i, x^^ ^3. Nous avons ainsi
dZ i^ dB^
dt Co ~3r
= — ii v/m
= — ii v/ïn (
Xx
-H Xf
àyi
G
x\
■+-^iy\
0-
x\
-^xl
Par conséquent,
I d<^ I ^Go
Pour décomposer en éléments simples le dernier terme, on a
ici un calcul analogue à celui qui concernait précédemment 'f{u).
Les résidus ont pour expression
— s yjni
Xi
X3
n
ri
dx3
=
— S J m
P
Xi
n
?
^Av
u —
■p(a-t- ç
■)]
et il Taut y substituer, à la place de u, successivement a et
— (ft + ç»), racines de 4>, puis b et — (a 4- c), racines de <ï>,.
Pour le premier et le quatrième pôle, 0:3 est égal à y/m ; pour le
deuxième et le troisième, x^ est égal à — y/m ; c'est ce qu'on voit
par les équations (32). Les résidus sont donc successivement
— I, 4-1, — I, 4-1. En outre, la fonction s'évanouit pour ^3
infini, c'est-à-dire pour u = o. Donc
n
p xl — m
= C(a -h a -t- p) -4- Ç( a + 6 -t- 1;) — ^ a — a) — Ç(a — 6) — D|,
(48) D, = Ça -H Çô H- Ç(a -+- i^) h- Ç(6 -t- i^).
fSo)
GUAP. IV. — MOUVEMENT d'u.X CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l6l
Si Ton pose aussi, pour abréger,
(49) T = ^— ^^-•
^J'i
CD aura, par intégration,
^^o^- = — ( — -H Di ) tt-h log — 4- j- -' -4- consl.
D*autre pari, le produit 33o est égal à celui des deux facteurs
cosAZdz I cosBZ. Prenant pour ces derniers leurs expressions
(4;), on a
, ^^ , 3'( // H- a H- i^) 3'( 1/ — b)^(u ^fj-^v) ^(u — a)
Ioj;Sc;o = lop — — — — i -^ consl.
De là résulte logS^, et enfin G et Go comme il suit, en écri-
vant convenablement la constante d^intégration,
COsG\ -f- ICOSGY = îàEi i-r-r, , ^ ; -€ ^P ' ^
\ E| a'(a — b)<ï{a-r- b -h v)^u^{u -^ v)
E, désigne, comme précédemment E, une constante arbitraire.
On sait (p. 1 1) que la connaissance de cosCZ, cosAZdz «cosBZ,
ces ex ± i cosCY détermine entièrement et sans ambiguïté la po-
sition relative des deux systèmes d^axes, quand on connaît le ca-
ractère de congruence. Ici nous avons supposé les axes congruents.
La rotation du corps est donc actuellement déterminée.
Translation du corps solide.
Il faut maintenant trouver, en fonction du temps ou de Targu-
ment proportionnel «, les coordonnées X, Y, Z de Torigine des
axes fixes dans le corps. Les deux premières coordonnées sont don-
nées explicitement en fonction des quantités précédentes; la troi-
H. n
102 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
sième exige une intégratîoD. Pour les deux premières (*), on a
les formules
X = —"(fi cosAY -f-j^, cosBY -i-^sCosGY),
y m
Y = — (ji cosAX-h/j cosBX-t-^t cosGX),
yrn
(1*011 nous conclurons [I, i3; t=i et éq. (45) de ce Chap.]
(X-t-iY)(cosCX— icosGY;
_ ' rji(cosBZ -r- icosAZ cosCZ) 1
" i/m L -+-/!(— cosAZ-+-icosBZ cosCZ) — iyi(i — cos*CZ)J
ou bien, d'après (45),
( X -H « Y ) ( cos ex - i cos CY|)
ou encore, suivant les relations (8),
(X+ eY)(cosCX- icosCY)= -^ f-L^ ^ -^ ^Y-^a-Js)], *
à quoi il faudra joindre Téquation conjuguée pour avoir X et Y.
Remplaçant -^ par son expression elliptique, nous avons
I(Xri=iY)(cosCX=picosCY)
Le facteur cosCX ip «cosCY est une fonction doublement pé-
riodique de seconde espèce, tandis que le second membre est dou>
blement périodique. Donc X ±: iX est doublement périodique de
seconde espèce. Les deux quantités conjuguées cosCX qp * cosCY
ontdesmultiplicateurs réciproques, puisque leur|)roduit i — cos^CZ
est doublement périodique. Donc X + i\ a les mêmes multiplica-
teurs que cosCX -♦- « cosCY. Nous allons décomposer X + i\ en
(») KiRcHHOFP, Vorlesungen ûber mat/iematische Physik, p. a^o. Au lieu de
X, Y, Z, la notation, dans cet Ouvrage, est a, ^, 7.
CHAP. IV. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉHNI. l63
élëments simples. L^élément simple type se déduit de la forme (5o)
de cosCX + icosCY; c'est
Les pôles de X + îY sont w = o et w = — (^ ; ce sont des pôles
simples, attendu qu'ils sont doubles au second membre (5 1) et
simples dans le facteur cosCX — «cosCY. Leur résidu est ± " •■->
* sm
coefficient de pu et p{u-^ v) au second membre (5i), divisé par
le résidu de cosCX — t cosCY. Il n'y a pas d'autres pôles, comme
on va voir.
Observons les valeurs du second membre (5i) pour les valeurs
de u ci-après : a, — (a + r), 6, — (6 -j- v). Pour les deux pre-
mières, on a 0:3= y/m; pour les deux autres, Xz = — y/m (32).
Par conséquent, pour les deuxpremières, y/m ~ — se confond
avec Xti ; pour les dernières, avec — (x^ ]• D'autre
part, suivant les égalités (24? ^5), -7(^3 ) est alors égal à
± [p u — p (m4- r)] , le signe plus convenant 'du = aelu = — (6 H- i');
le signe moins, k u = b et u= — (a 4- ^).
Il en résulte, pour la quantité entre crochets, dans (5i), les va-
leurs suivantes :
a = a,
w = — (a-4- v),
u •=■ b.
DM — n(a-f-i^)zp — (xj 1 = 1 r / M
On voit par là que le second membre (5i) s'évanouit pour «= a
et 1/ = 6 quand on prend le signe supérieur; pour w = — {a-^ v)
et 1/ = — {b -\- v) quand on prend le signe inférieur. Il en est tout
de même pour cosCX ip i cosCY. 11 s'ensuit que X ± îY n'a que
f64 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
les pôles u = o et u = — ç. La décomposition en éléments simples
est donc la suivante :
(52) l
*PV3
1
_ (^(a — b)^v r (i{u — a — b^v) ^{u — a — b) "1
"" ^a<ib \_(^{a-^v)^{b-\-v)'^ii~~ <^a(^b^{U'k-v)\
On remarquera que les seconds membres, dans ces deux égalités,
se déduisent l'un de l'autre par le changement du signe, accom-
pagné du changement de a et 6 en — (a H- v)^ — (6 -f- i'). C'est
ce dont on se rend aisément compte par les expressions de
cosCX ± « cosCY et celles des constantes.
La coordonnée Z de l'origine des axes mobiles exige une qua-
drature; elle est donnée par la formule
^ = UcosAZ4-VcosBZh-WcosCZ.
at
Par des transformations successives, cette formule devient
//7 1
"* y m
= -j=[(p' — p)3Pl-\-{q'—q)yiXi-\-pm-\-qn\
y m
i
= -^[(p'-p){^z-^lhy-^pm-\-qn^^h^p'-p)],
y m
[pm -^qn^ V« ^^(P' — P)]
du iryz p ^m
sp(p' —P)
iryz /
m
[pa -i- p( w -h p) -h pi^].
CHAP. lY. — aiOUVBMBlilT D*lI1f CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l6o
En intégrant et figurant par 8 et 0| les deux constantes, nous
avons
(53) Z -t- const. =8^-f-§ip[Ç(M-4-p)-HÇM— wpp];
(54)
iry^ ^/m is ^ m
Nous avons, on le voit, résolu le problème qui consiste à déter-
miner explicitement, en fonction du temps, la position du solide.
Notions générales sur le mouvement du corps solide.
Indépendamment de toute discussion approfondie sur les for-
mules que Ton vient d^établir, on peut se faire une idée sommaire
du mouvement que ces formules représentent.
Soit Q le rapport de l'accroissement du temps à celui de
(55) 0= , = -. — , ^ = 0 — h constante.
Nous supposerons réelle la constante arbitraire p. L^argument u
ou, du moins, sa partie variable prend des valeurs soit réelles,
soit purement imaginaires, suivant que B est lui-même ou réel ou
purement imaginaire, suivant donc que (/>' — p) est positif ou né-
gatif (r est positif, car la force vive T est nécessairement repré-
sentée par une /orme positive).
Comme les invariants sont réels, il y a une période déterminée
À w, de même espèce, réelle ou imaginaire, que les valeurs de l'ac-
croissement de u'jïl y correspond une période de temps /©= •
r
Considérons d'abord le mouvement angulaire de l'axe C ou
axe du corps. Le cosinus de l'angle CZ (46) est une fonction
doublement périodique, dont une période intervient seulement.
L'angle CZ reprend donc la même valeur à la fin de chaque pé-
riode de temps.
]66 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Considérons maintenant l'angle ^ que le plan des axes C et Z
fait avec l'axe X. Cet angle est donné par la formule
. . , cos ex -+- i cos CY
cosGX — t cos G Y
On voit par là qu'à chaque période de temps l'angle ^ se repro-
duit, augmenté d'une constante ^o» ^^ telle sorte que les fonc-
tions doublement périodiques de seconde espèce cosGX ± i cosCY
admettent les multiplicateurs e^'+o correspondant à la pé-
riode 2W.
Ces deux angles GZ et ^ définissent complètement le mouve-
ment angulaire de l'axe C du corps. C'est un mouvement varié,
mais qui coïncide périodiquement avec une rotation uniforme,
de vitesse —? autour de l'axe Z.
Envisageons actuellement le mouvement de l'origine des axes
mobiles ou centre du corps, La coordonnée Z est représentée par
une fonction (53) qui se reproduit, à chaque période de temps,
augmentée d'une constante Z©. Les deux quantités X=biY(52)
se reproduisent, multipliées chacune par une constante; mais,
comme on l'a vu, ces fonctions ont les mêmes multiplicateurs res-
pectivement que cosCX liz f cosCY, c'est-à-dire e^*+«. Le mou-
vement du centre est varié, mais coïncide périodiquement avec un
mouvement hélicoïdal uniforme, dont Taxe est Z et dans lequel
au temps Iq correspond une progression Zq, parallèle à l'axe, et
une rotation ^q autour de cet axe.
En réunissant les circonstances relatives au mouvement angu-
laire de l'axe et au mouvement du centre, concluons que le mou-
vement de l'axe lui-même coïncide périodiquement avec un
mouvement hélicoïdal uniforme, ou mieux, se compose de ce
mouvement et d'un mouvement périodique.
Considérons enfin l'angle cp que le plan des axes C et Z fait avec
l'axe A du corps. Cet angle est donné par la formule
.. rosAZ -4- icosBZ
e'*?= •
cosAZ — (cosBZ
Les deux fonctions cosAZ db / cosBZ ne sont pas, suivant l'ac-
ception ordinaire, doublement périodiques de seconde espèce,
GHAP. IV. — MOUTEMEIfT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 167
sauf si l'exposant ^ est un nombre entier. Mais, dans tous les cas,
elles ont la propriété de se reproduire, à chaque période, multi-
pliées par des facteurs constants. L'angle <p se reproduit donc
augmenté d'une constante ©o- Cette circonstance, jointe aux pré-
cédentes, permet de tirer la conclusion suivante :
Le mouvement du solide se compose : i° d^un mouvement hé-
licoïdal uniforme autour de l'axe Z; a® d'une rotation uni-
forme (k vitesse y) ciutour de l'axe du corps; 3** d^un mouve-
ment périodique (à période t^),
Énumération des constantes. Homogénéité.
Dans la suite des calculs qu'on vient de parcourir, il importe de
ne pas perdre de vue les constantes primitives et leur liaison avec
celles qu'on a été conduit à mettre en leur place.
Les constantes données sont au nombre de dix, savoir: i"* les
six coefïicients de l'expression (7) de la force vive/>, />', q^ q\ r, /•';
a" les quatre constantes d'intégration /, m, n^y^ (4? 5, 6).
Dans nos formules, on voit figurer implicitement les deux inva-
riants des fonctions elliptiques et explicitement les trois argu-
ments constants i^, a, b. Les arguments ax et bx peuvent être omis
comme déterminés par les précédents. Ce sont donc là cinq con-
stantes.
La constante d'homogénéité p peut être omise comme entière-
ment arbitraire, ou bien l'on peut encore observer que les fonc-
tions elliptiques interviennent, dans toutes les formules, avec le
facteur p de manière à respecter l'homogénéité : toutes les combi-
naisons qui s'offrent sont, à ce point de vue, du degré zéro, p et
chaque argument étant censés du degré i.
Avec ces cinq constantes elliptiques, les formules présentent
cinq autres constantes que nous devons distinguer, savoir : a, y,
Nous allons reconnaître que ce second système de dix constantes
détermine complètement et sans ambiguïté le premier.
En premier lieu, au moyen des cinq constantes elliptiques, on
détermine m, — et les constantes auxiliaires mi,'/i, 5, par les for-
l68 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
mules (33y 34? 36), que nous transcrivons ici :
(56)
5 /m = |pJ[p6-+-pa — p(a-+-p) — p(6-f-p;].
sn
L^exposant ^, qui figure dans les formules (47)? 6St déterminé
par les quantités précédentes, puisqu'on a (4o)
(57) 3 = -A.
Les constantes auxiliaires mi, A, s sont liées aux constantes
primitives par les relations (12, 23)
/ pm. -h a y TiH- r^y\ — /
^^ — 7. "7? »
P—P
(58) { ^=^^^..^3,
>Jr{p'-p)
Quant aux constantes que nous avons distinguées dans les for-
mules, elles s'expriment ainsi (4o, 49? ^4,. 55) :
/• L 4X3 J '^ 8 %s
qsJlîx
6 = — î^— = -i-
^^^^ 1 )/r{p'—p) '^.rs'
0 = -L [;?/n -f- <7n — rë A* (/>'—/>)],
Nous venons de reconnaître que, par les constantes elliptiques,
sont déterminés y^, — > mi, A, 5. Maintenant, au moyen de 8,,
CHàP. IV. — MOUVEMENT o'UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 169
sont déterminés ^3 et, par conséquent, n. Au moyen de 6 et y sont
ensuite déterminés r et q^ puis q^ par la relation
(60) h = iry^{q'-q)^^:
/•' au moyen de a, p et // au moyen de s et de 5, enfin / au moyen
de m|.
Il est donc établi que la connaissance complète du mouvement
du corps entraîne aussi la connaissance des constantes qui figu-
rent dans les équations difTérèntielles et les intégrales.
Il n'en serait pas de même si l'on connaissait seulement la ro-
tation du corps, non sa translation. Et d'abord^ il est évident que
la connaissance de la rotation ne peut entraîner celle d'aucune
longueur. La rotation ne peut déterminer donc que des combinai-
sons de degré zéro entre les constantes, ce qui en réduit le nombre
d'une unité. En outre, 3 et ô| n'interviennent pas dans les for-
mules de rotation. La rotation dépend donc seulement de sept
constantes, et c'est ce qu'en efiet on reconnaîtra plus loin.
Il est aisé de trouver, à ce point de vue, les degrés des diverses
constantes. Par rapport à l'unité de longueur, la force vive est
homogène et du degré 2, les vitesses U, V, W sont du degré i, les
vitesses de rotation P, Q, R sont du degré zéro. Il en résulte, pour
j?,, Xa, X3, le degré i; pourj,, ^^2,^3^ le degré 2; pour />,/>', le
degré zéro ; y, q' ^ le degré — 1 ; r, /', lé degré — 2.
Les degrés des autres constantes en résultent, savoir :
{61) ( ^' "^' ^' '"'' ^'' Vi *'' ^^' ^' ^'' ^' "'"' '^'
( 2, !>., J, i, I, I, 1,1,1,0, I, I, o.
Si les arguments elliptiques sont considérés comme de simples
nombres, p est une longueur.
Expression des éléments elliptiques en fonction des données.
Pour avoir plus de symétrie dans les formules, nous emploie-
rons, au lieu de /?î, mi, /?, A, les notations suivantes :
(62) 7A=v,, —=', /m ^ ,a, l/iA^-H/ni = |i,.
4 J^3 V 4
170 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Ces quantités, ainsi que 5, sont toutes des longueurs. Par leur
emploi, le polynôme (i3) s'écrit ainsi
Si, pour faire disparaître le second terme, on pose x^ =zy — V| ,
ce polynôme devient
0'« -+- 2V,^ H- vf — fJl} ) (7« -- 2V,^ 4- Vf — ÎJ.Î) -h 5«(/— V — Vi)«,
et doit (t. I, p. 119) être identique à cet autre
De la comparaison se tirent immédiatement
( 2p«Jll'= Vi(uî— (X») — 5«(V-|-Vi)
et cette combinaison, qui servira plus loin,
(63 a) pH lapU' - /Tt) = i(avî -^ jx« -h [xf - 5»)»
_(vî-(x«)(vî-|xî)~5«(v-*-v0'.
Par le théorème d'addition (t. I, p. 3o) on a
■* ' ' 4\P« — pi'/
donc, d'après (33) et (63),
(64) çi^[pa~hp{a-+-v)\ = H6(vi -^ ;x)« — av} — jx»— ji|-h5«|
= l [(2v, -i- 5|x) (2v, -u. jx) -+- 5« — îxf] ;
nous avons ensuite, d'après (36),
(64 a) pi[pa—p{a-^ç)] = 5(.x— v;.
Par ces deux dernières relations sont connus pa et j)(a -f- r).
D'après les mêmes égalités (33) et (63), nous avons de même, en
changeant les signes devante et [jl,
(65) 1 P'[^^"^^'^^-^^)l=6[(a''i-5[^)(2v,-(x)-f-5î-:xî],
CBAP. IV. — MOUVBMElfT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. I71
De ces relations (64) et (65) se concluent les suivantes :
p*[pa -+- p(a -h v) -—^pv]
= (v, -h fji)« — î (2v} -+- ^î -+- |xî — 5«) = -J(.'^* — l^î -^- ** -+- 4vi i-i),
p*[p6-+-p(6-+-p) — apt'] = } [fJi'— [AÎ -+-5* — 4v,|x].
Par le théorème d^additlon^ on a
__ p'a — pV _ — p'(a-i-p) — pV __ p'a -f- p' (a H- 1') __ p'a — p'(a-i-v) — ip'v
pa — pv" p(a-f-p) — pp "" pa — p(aH-p) "~ pa-hp(a-f- w) — app
a-5« =
(67)
Remplaçant pza par [x -f- v, (33), on conclura, au moyen de
(63) et (64 a),
p«[p'a-+-p'(a -+-(»)] = 25(îi — v)([i-h vi),
Semblablement, nous aurons
p»[p'6-+-p'(6-+-P)]= 25(v H-|x)(vi— |X),
p»[p'6 — p'(6-+-p)]=— 5«(|Jl-t-v)— |x(fl«— JaJ) — 4V,|1(V,— [X).
Des calculs analogues donnent les fonctions p et p' d'arguments
ai, 6|, «1 -i- r, 6| + i\ Voici les formules pour les fonctions p :
(66) ; P'fP*»~"P(^» "^^)l = *(^»"^^''i "^'')-
p«[pai — p(ai-+-p)] = 5([Xi— 2v, — v),
Nous aurons tout à l'heure besoin de connaître aussi les fonctions
p et j)' pour les deux arguments — (a H- 6 -h t') et {a — 6), que
nous désignerons par (^0 et (^, ,
JLe calcul n'offre aucune difficulté parle moyen des formules pré-
cédentes, mais il contient des réductions remarquables. On trouve
d'abord, dans ce calcul, les résultats suivants :
p p'(b-^ y) — p'a __ I 5v p p'(a -+- v)~-p'b _ 1 5v
2 p(^-hp) — pa '' ^ '^ l'-' 2 p(aH-p) — p^ ~ ' 51 (JL '
p p^q-f-p^^ = «14-15 Ê pïa-f-i^)-f-p^(6 4-p) ^ _ i ,
2 pa — pb r* î » 2 p(a-f- p) — p(^-i- 1')
1^2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
On a ensuite
Sur un cas particulier.
Les formules de la rotation se simplifient d'une manière remar-
quable dans le cas particulier où Targument constant v est sup-
posé nul, et nous allons nous arrêter un instant à ce cas.
Par la théorie générale de l'inversion, on sait déjà (t. I, p. i33)
que c'est ici le cas où le polynôme (i3) se réduit au troisième de-
gré, où l'on a, par conséquent,
D'après l'intégrale (5), (m — xl) est une quantité positive; le
polynôme (i3) prend donc des valeurs positives pour des valeurs
de x^ comprises entre \/met — \/m, tandis que, pourjr3 = zby''//?,
il est négatif. Ce polynôme a donc trois racines réelles. Le dis-
criminant est donc positif.
L'hypothèse ç = o rend infinie la fonction ^(17). Mais, si l'on
prend la différence de deux pareilles fonctions, d'arguments dif-
férents, on a
iim -= = lim -^^^ ^ ^^^ ^— =po— pa.
M^O
La formule (46cr), qui donne cosCZ, se réduit à celle-ci
cosCZ = -^ — j-^— ,
pa — pO
toute semblable à celle (111, 19) qu'on a rencontrée dans le mou-
vement d'un corps grave de révolution. Les deux formules coïnci-
dent entre elles si Ton remplace les arguments actuels 6 et a par
± ai el zt a.
En cherchant ainsi les formules de ce cas particulier comme
limites des formules propres au cas général, il faut d'abord faire
CHàP. IY. — MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE OAKS UN LIQUIDE INDÉFINI. 178
en sorte que la relation entre le temps et Targument variable u
soit composée en termes finis. Supposant/?' — p infiniment petit
du second ordre, il faudra donc supposer p infiniment grand du
premier ordre (55).
La quantité s est ici infiniment grande du premier ordre (58);
nii et h sont infiniment grands du second ordre, ainsi que Vf el
(Xi (62). En outre, jjL| a même partie principale que dzav,, sui-
vant le signe choisi devant le radical y/j A* -h mj. Disons que la
partie principale de [Ji| est aevi (e = ih 1).
Dans les formules (63), les parties principales des seconds mem-
bres sont alors 2Vj -+- [JiJ ou 6v^ pour la première et V| [jl^ ou 4v'î
pour la seconde. Il faut en conclure que - a pour partie principale
— V, et que v est infiniment petit du premier ordre.
Les formules (64, 65) donnent, pour pa et p6, des expressions
finies, à cause des termes 4'^î — [J^n ^O"^ les parties principales
se détruisent dans les seconds membres. Ainsi la formule qui
donne cosCZ a un sens bien déterminé dans ce cas limite.
Quant aux arguments ax et 6,, on voit par les formules (66)
que l'un d'eux est nul; c'est 6|, si [J«.| = 2V| ; c'est, au contraire,
^1, si [X| = — 2V|. Celui des deux qui n'est pas nul est égal à
±: (a — 6), comme il résulte de la relation générale (26) entre les
quatre arguments. Enfin, la relation harmonique (3o) est satis-
faite par la coïncidence de trois éléments.
Examinons maintenant la limite des formules (5o), qui donnent
cosCX ±: I cosCY. En y remplaçant D, et y par leurs expressions
(48, 49)î on a, pour limite de ces formules,
005 ex -r- « cos CY = 2 El — V; — ; — —^, , , ^ e'-tÇ«-^<^J« e-7 ^^ '',
COsCX— «C0SCY= — =T- -37 7-r37 ^, , ^ ^(Ca 4-2:6: u cq^fmit^
Si, au lieu de b et a, on met a\ et — «, ces formules diffèrent des
similaires, obtenues au Chapitre III (ill, 29, 3o), par le seul fac-
teur c=w/«/f.
La limite des formules (47) se trouve d'une manière un peu
plus compliquée. Il faut, pour l'obtenir, connaître les deux pre-
174 DEUXIÈMB PARTIE. — APPLICATIONS.
mîers termes du développement de ÎJv'. Pour les avoir facilement,
prenons la formule (33)
2p p
En supposant v infiniment petit, elle donne
p
On a de même, par une autre des formules (33),
-y- =t'(p6 — pa)-h...,
en sorte qu'on peut écrire
— Çi'= — -f- ^-r 1-
p p po — pa
De là résulte (4o)
Q^ I hs(g'—q) s /— , , ^ph-^pa
4 pry^ P'^^j ^'pb — pa
p P^'^jL ^'pb — pa -^^^ ^y
la lettre /désignant, pour abréger, la quantité réelle entre cro-
chets.
£
on a
p r „ tP
D'autre part, en mettant — — pour la partie principale de v,
/=o L ^" J '
où il faut observer que - est une quantité finie.
CHAP. IV. — MOUVEHENT D*UN CORPS SOUDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 176
Si Ton tient compte de Texpression (3") donnée pour D, on
obtient ainsi la limite des formules (47)*
oos AZ -H .• cos BZ = a E e' ''' ' '^" ^^ ^^ ^/" + «) ^(" -/) ^<i:*-C«)« ,</«,
r-os AZ - .• cos BZ = - ^ e- '^' ' '=" ^^/l' ^(^^b) ^(u-a) ,::,_ç,,„ ,y,
E a'(a — b) ^{a -r- b) a*» u
Si l'on y met encore a^ et — a au lieu de 6 et a, on a encore
ici des formules très semblables aux similaires obtenues dans le
Chapitre III (III, 26, 26a). Mais, dans les équations actuelles, la
première exponentielle constitue cependant une différence bien
notable. Cette exponentielle disparaît quand on suppose q =^ g'
dans l'expression (7) de la force vive. L'hypothèse q=^q* est une
de celles que l'on peut faire, en effet, et elle répond à un cas im-
portant, comme nous le dirons plus loin; mais il n'y a pas lieu de
la faire en même temps que la supposition /? = /?' dont nous nous
occupons actuellement. En effet, ces hypothèses, faites à la fois,
ont pour conséquence de réduire au second degré le polynôme (1 3)
et de faire dégénérer les fonctions elliptiques.
C'est donc seulement à Tégard des formules qui donnent cosCZ
cl cosAXdz ïcosAY que le rapprochement avec les formules du
Chapitre III a de l'intérêt. On conclut de ce rapprochement que,
pour le cas/?= />', la rotation de l'axe du corps et celle de l'axe
d'un solide pesant de révolution, dans le vide, diffèrent seulement
par une rotation uniforme (de vitesse yy/m).
Discussion des formules.
La discussion que nous allons faire a pour but de préciser la
nature des constantes figurant dans les formules, en distinguant
les divers cas qui peuvent se présenter.
Dans tous les cas, la constante m est positive et la variable x^
ne peut acquérir que des valeurs comprises entre — y/m et -|- y/m ;
c'est ce qui résulte de l'intégrale (5). D'autre part, la même va-
riable Xi doit prendre des valeurs qui rendent positif le polynôme
Y{xz) (i3), tandis que les valeurs di y/m rendent ce polynôme
négatif. Il y a donc toujours^ entre y/m et — y/m, au moins deux
176 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
racines réelles de F, et c'est entre ces deux racines qu'oscille la
variable x^-
Nous distinguerons trois cas principaux, suivant les signes de
(/>' — p) et du discriminant.
I. // — />>o.
D'après l'égalité (11), les valeurs que prend x^ rendent négatif
le polynôme {x\-{- hx^ — m,). La constante r est, en effet, posi-
tive comme coefficient d'un carré dans Ja forme quadratique posi-
tive T (force vive). Il en est donc ici de ce polynôme comme de
(^x\ — m) : ses racines sont réelles et comprennent les deux ra-
cines de F entre lesquelles oscille a:.,.
Le coefficient de j:J, dans F, est ici positif. Le polynôme F est
négatif pour les valeurs de x^ égales aux racines de {x\ — m) el
de {x\ -I- hx^ — nii). Donc F a encore deux racines réelles com-
prenant entre elles les quatre racines des polynômes du second
degré. Soient wc', x"^ x'"^ x'^ les racines de F; on aura ainsi
( ^ A — vf^-H '»h ; ( i A -f- v/iA*-+-//i, )
Les quatre racines de F étant réelles, le discriminant est positif
et r est réel (t. I, p. ia3); en outre (t. I, p. 129), u -{ co' va-
rie d'un multiple impair à un multiple pair de la demi-période
réelle quand x^ varie de x'" à x". La relation précise entre t et 11
doit s'écrire
(69) ar--to'-^H-f/,
de manière que l'origine des temps corresponde k x^^^ af.
Les arguments a et 6 correspondent aux racines de {x\ — m)\
l'une est entre x' et x", l'autre entre x'" et j?'^. Ces arguments ont
donc (t. I, p. lag) les formes suivantes, si Ton suppose y/m pris
positivement dans la formule (3a),
(70) a= 1- la', b= r-hi-\-ib\
CHAP. IT. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. I77
OU o' et fr^ sont réels. De même, pour «i et 6|,
(71) ai= h ia\f bi = hto-f-tô"..
Suivant (28) et (29), on aura
c = hic, a = i — i ,
2 2
V , ,, Jf\ — h"
W = H h IC , 0=1 — i .
2 2
En prenant arbitrairement les deux arguments purement imagi-
naires a' y b'j dont les fonctions p seront réelles, puis c -\ — pure-
ment imaginaire et arbitraire, on aura, par la relation harmo-
nique (3o), pw conjugué de pc; d*oii résulte, pour fv, la forme
- -h ic", celle de c étant f- ic"» De là résultent ût, 6, «i , 6, , ^^
sous les formes ci-dessus.
Les caractères que nous venons de mettre en évidence ne se
reproduiront dans aucun autre cas; aussi peut-on conclure ainsi :
Prenant des /onctions elliptiques à discriminant positif, s? réel,
w, rt, 6, «1, 6| sous les formes (69), (70), (71), avec les con-
stantes oij '^purement imaginaires et 6, 3, ô| réelles, on aura,
par les formules trouvées précédemment, la représentation du
mouvement dans l'un quelconque des cas ou p' — p est positif.
II. />' — p<C^j A>o.
Le polynôme F, dans ce cas encore, a quatre racines réelles.
Supposons ces racines dénommées, comme tout à l'heure, x^, ^r",
j/", ;r" et rangées ainsi par ordre de grandeur, mais dans l'ordre, à
volonté, croissant ou décroissant. La variable x^ reste comprise
entre deux des racines extrêmes, que nous supposons être x"^
eix'^. Les deux quantités ± y/m sont l'une au delà de x'^j l'autre
soit entre x" et x"', soit en deçà de x'. De là deux cas fort distincts.
Dans le premier de ces cas, le binôme (m — xl) est négatif quand
jr, est compris dans l'intervalle (x'j:/'), intervalle où F est positif.
G>mme (/>' — p) est aussi négatif, il faut que (/?i| — hx^ — xj)
H. 12
17^^ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
soît positif dans cet intervalle, sans quoi le polynôme (i3) F ne
pourrait être positif. De là résulte que les racines du trinôme
(jcl-{-hXi — nii) sont réelles et comprises, l'une entre af et a:"',
Fautre en deçà de x'.
Dans le second cas, au contraire, celui où les deux quantités
d= \^m comprennent entre elles les quatre racines de F, les racines
du trinôme (Xj-f-A^a — /W|) peuvent être imaginaires. Si elles
sont réelles, elles sont toutes deux, soit entre a/^ et j:'", soit au delà
de jr'^, soit en deçà de a/.
Nous allons facilement reconnaître comment on peut choisir les
arguments a, 6, «i, 6| pour que les formules correspondent à un
quelconque.de ces cas. 11 suffît, à cet effet, de se reporter à la dis-
cussion qui a été faite dans le tome I (p. 127 à 129).
En premier lieu, v est réel et u est de l'une ou l'autre des deux
formes
l - '- + 'p-
(7a) «= . 7=0,
OÙ ô' est réel.
Premier cas. — Vune des deux quantités ± \Jm est dans Vin-
ten^alle {x", x'^^). — En ce cas, l'un des arguments a, b est réel,
l'autre égal à ± co', plus une quantité réelle ; il en est tout de même
pour t7| et 6|. Sans restreindre la généralité, on peut supposer
a-lr- ai = 6-f-6| réel. Alors les arguments auxiliaires (28, 29) w
et c sont réels; a' et b' sont l'un réel, l'autre réel dz a>'. On obtient
donc les formules propres à ce cas, en prenant les termes de la
proportion harmonique (3o), de telle sorte que pw, pc et pa'
ou pb' soient supérieurs à et et le quatrième compris entre ^2
et ^3. L'argument variable a Vune des formes (72); les con^
slantes a, y sont réelles.
Deuxième cas. — Les deux quantités ± y/m comprennent
entre elles les quatre racines du polynôme F. — Les trois
arguments a, 6, v sont alors réels. Les arguments a^ et b^ sont
des imaginaires quelconques sî les racines de {x\'\-liXz — /Wi)
sont imaginaires ; ils sont tous deux réels ou tous deux réels
± Cl)', si les racines de ce trinôme sont réelles.
Il s'agit de trouver, de la manière la plus générale, les argu-
CHAP. IV. — MOUVBIKNT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. I 79
ments a, b^ a^^ b^^ v pour satisfaire ainsi aux conditions (26, 27).
Posons, à cet effet,
w'q — !( c»' — r — a'-+- 6') = J( c-f-a— ^),
u\ =:-J(— u'-f-c — a'-f-^') = 1(— r-i-a — b),
' ^ ' v^=L(—w — c-^a'-\-b')^\{—v — a — b),
\ r'i = J( IV-+-C 4-a'-+-^') = 1( v-^ai-Jfbx).
Il en résulte
«; ^ r'^j = — (c — ^' ), w', H- v\ =C'\-b\
Uq — v\ =— (c-i-a'), //'i — v'o = c — a\
m'o -h *''i = ^^ -^ b\ u\ -h Vq = — (w — ù').
Le rapport (^yci) conserve donc la même forme avec les argu-
ments Uqj u\, i^Qj i^', remplaçant respectivement (v, c, a', 6', et
Ton a, entre les fonctions j), la relation analogue à (3o),
Puisque û, 6, v sont réels, u'^, u\j v'^ sont réels aussi. On devra
donc prendre pu^^ P^\t P^o réels et supérieurs à ^i, quelconques
d'ailleurs. Le quatrième terme pi'\ en résulte. Il est réel. Les
arguments at et &« sont alors déterminés par les deux égalités
ai — bi = b — a, ai -h bi = 'àv'^ — v.
Si pv\ est supérieure ei, v\ est réel; «i et 6| sont réels aussi. Si
pv\ est entre 62 et et ou inférieur à 63, r', est purement imaginaire
ou purement imaginaire à une demi-période réelle près; alors a^
et — 6| sont imaginaires conjugués; sipr', est entre e^ et e2, i^', est
réel sauf une demi-période imaginaire, et ai, b^ sont réels ± to'.
Les trois particularités, relatives aux racines de
et signalées plus haut, se retrouvent nettement : on obtient tes
formules propres au cas envisagé en supposant a, b, aiy bt, v
déterminés par les arguments auxiliaires u^^ //',, v'^^ v\ (73)
dont les trois premiers sont réels et le quatrième déterminé par
la relation (74)- Les constantes 6, 0, 0| sont purement imagi-
naireSy a et y réels ; u a la forme {j'i)*
l8o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
III. />' — /? <0, A<0.
Le discriminant étant négatif, le polynôme F a seulement deux
racines réelles x\ oi\ comprises entre les deux quantités ± yjni.
Le trinôme {x\-^ hx^ — m^) a ses racines ou imaginaires, ou
réelles et ne comprenant pas x' et x" dans leur intervalle.
On obtient les constantes propres à ce cas par les mêmes for-
mules que dans le dernier cas; il faut supposer pw^, j3w'^,jjç'Jj supé-
rieurs àej : suivant que pç'',, déterminé par l'égalité (74)» est supé-
rieur ou inférieur à eo, les racines du trinôme [x\-^hx^ — //ii)
sont réelles ou imaginaires.
Décomposition de la rotation.
Dans les formules (47, 5o, 46), changeons les notations comme
il suit :
/ u = — Uq^ V = Ui -i- «0,
6 = - \{vo-^Vi-^ Mo-i- Wi), a = — l{vo — Vi -+■ Mo-+- a,),
Ces formules s'écrivent alors ainsi :
(5*
cosAZ -f- ecosBZ — — ^ — - — I 1
cosAZ — «cosBZ = — 77— 3 -: — - — -: — I 1
cosCX-4-«cosCY= - — ^^^^ ^ TT
cosCX-tcosGY = -^ ^ ^"^ ^ V TT«'"''~''°~
Go ^ Uo ^Vq (^ Ui ^Vi JLl. à
aÇwo-l-aCwi — ^C
'A
Wl
—
^1
-h
Uo
-4-
^0
•À
Wo
1
^'o
Zh
Wl
-b
i'i
'À
Mo
—
^0
-4-
Wl
-h
^'l
in 1^0== ^'i
^ î 2-^ 2
GHAP. IT. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l8l
On reconnaît là les formules (I, 26, 27, 82) de la composition des
trièdres ; les lettres X, Y, Z remplacent Xq^ ^©j Zq et A, B, C
remplacent ^1,^0 ^1- ^^ plus, dans la composition des trièdres,
les deux systèmes d'axes sont congruents ; ici il en est de même
pour X, Y, Z et A, B, C.
On est donc en droit de conclure (p. 11) que la figure com-
posée des six axes X, Y, Z, A, B, C coïncide entièrement avec
celle qui est composée de deux systèmes d'axes définis, comme
il a été dit dans la composition des trièdres, par rapport à un
troisième système a, é, c au moyen des arguments Wo? ^o "m ^'\
et des quantités Gq, Gi, telles que nous les donnent les formules
du Chapitre I. Ces formules représentent deux mouvements Mo,
M|, pour lesquels les éléments variables sont les arguments 2/07 ^i*
L'argument Uq varie proportionnellement au temps.
La quantité G© (76) est une exponentielle du premier degré
par rapport à Uq. Donc Mo est un mouvement à la Poinsot. Il
n'est réel toutefois que si le discriminant est positif, la variation
de I/o réelle et si Vq est purement imaginaire à un multiple impair
près de co. Ces conditions sont satisfaites effectivement dans un
cas, le premier de ceux qui ont été discutés plus haut, celui où
(/>' — p) est positif. Dans le cas opposé, la décomposition n'est
point réelle, et c'est un fait bien digne de remarque, quoique
sans intérêt cinématique, que la décomposition d'un mouvement
effectif en deux mouvements imaginaires.
Nous avons donc à étudier la décomposition dans le seul cas
/>' — P^o, Quand la constante ^ est nulle, le second mouvement
composant est encore un mouvement à la Poinsot. Mais, en gé-
néral, décomposons Gi en deux facteurs, dont l'un soit une
exponentielle du premier degré. En ne prenant que ce dernier
facteur, nous aurions pour M{ un mouvement à la Poinsot, dans
lequel les axes Xi, Yi, Z|, différents de A, B, C, seraient les axes
mobiles, liés au plan roulant. Pour faire coïncider X|, Y|, Z|
avec A, B, C, il suffira ensuite de faire tourner les premiers au-
tour de Z| d'un angle ^j tel que e'+ soit égal au facteur négligé.
Nous pouvons donc décomposer la rotation actuelle en deux
mouvements â la Poinsot, en y joignant une rotation variée, mais
effectuée toujours autour d'une même droite. Cette décomposi-
tion, qui nous offre un théorème analogue à celui de Jacobi sur
1^2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
la rotation d'un corps grave (p. 95), va être examinée en détail.
Les éléments du premier mouvement Mq sont entièrement dé-
terminés par les formules (70). Quant au second mouvement à la
Poinsot, que nous appellerons M, , nous avons à choisir, pour
lui, la quantité G'^, exponentielle du premier degré en ^/^, et nous
poserons
en désignant par x une quantité arbitraire.
La rotation ^ est alors définie par Tégalité
P «-X— y
d'où, en différentiant,
'■^ = ?[!:(«+«')-!:«-!:'']-+-
a — X — 5
du ^^ -• p
ou bien (69 et 46)
'dï ~~ 7Ô 2 ' «Ô
Ainsi la vitesse de cette rotation est de la forme
4^ = McosZ,Z-+-N,
dt
et les deux constantes M, N ont pour expression
M = - j^ {Za—Zh),
Il est manifeste que les deux mouvements Mo, M', concordants
(p. 75 ) sont d'ailleurs tout à fait arbitraires. Étant donnés, ils
déterminent les arguments a, 6, v elles constantes y, x -h 5. Si l'on
prenait arbitrairement M et N, les constantes P et a — x — s se
trouveraient par là déterminées. Mais ^ est liée aux autres cod-
CBàP. lY. — MOUVEMENT D*UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l83
stantes; de plus, on peul prendre N nul. On a donc la proposition
suivante :
Par rapport à des axes fixes a, 6, c (axes de symétrie de deux
ellipsoïdes ou hyperboloïdes), deux systèmes d'axes X, Y, Z et
X4,Y«,Z| sont animés de deux mouvements concordants^/ la
Poinsot. Un autre système A, B, C, ou l'axe C coïncide avec
Z|, est animé autour de Z| d'une rotation dont la vitesse
instantanée est
d'I
dl *
Si la constante M est convenablement choisie, le mouvement
relatif de A, B, C par rapport à X, Y, Z nest autre que la
rotation R d'un solide dans un liquide, dans le cas où, la force
vive ayant la forme (7) envisagée ici, // — p est positif.
Nous devons traiter maintenant les deux questions suivantes :
I** Trouver les constantes de la rotation R, c'est-à-dire les coef-
ficients de la force vive, etc., en supposant les deux mouvements
composants donnés ;
2° Inversement, trouver les mouvements composants, élant
données les constantes de la rotation R.
La solution de ces deux questions doit, bien entendu, être en-
tièrement dégagée des fonctions elliptiques.
Détermination des constantes par celles des mouvements
composants.
Dans ce premier problème, les données sont deux mouvements
à la Poinsot concordants Mo, M'^.
Ces deux mouvements sont définis séparément et la correspon-
dance entre eux est établie, comme il a été expliqué au Chapitre II
(p. 79), au moyen d'une position donnée pour les deux systèmes
d'axes Xq, Yq, Zq et X| , Y| , Z| .
Les notations relatives à ces deux mouvements seront ici les
mêmes qu'au Chapitre II (p. 76 à 79).
La quantité t, constante arbitraire d'homogénéité, est liée à la
l84 DEUXIÈaiE PARTIE. — APPLICATIONS.
quantité analogue p, qui a été employée ici. On a
dui __ __ ^w _ p . _ p
Tout d'abord les deux constantes A et B (II, 56) fournissent
immédiatement deux de nos inconnues. On a, en effet (33)
A=ê[î(a-^i^)-Ç«-î(^-i-«')-+-î^^] = ^(^a— 5^,) =
^~m
Pour continuer la recherche, employons les formules (63) à
(68), qui donnent p^p^, P'p'^> p^P^oj ... en fonction des cinq
constantes jjl, [X| , v, V| , 5, dont nous reproduisons, à l'égard des
quatre premières, la signification (62)
7^* = ^iî rr=^> /^i=fA, l/7^«*-+-'^î = î^i
I n
4 J3
(79) ^^ ~" 7(A' — aB«) + 2(!2T«pPi -f-T«pp).
Ce sont seulement les rapports de ces inconnues à 6 qui pourront
être déterminés; deux d'entre eux viennent d'être trouvés, savoir :
(78) -î = iA. ^ = iB.
Des équations (63), (68) on tire
\l\ h- |JL' — 2VÎ = !Hp*(2pPi -hpc),
par conséquent
{^î _ '
4
Prenant ensuite les deux combinaisons suivantes
P {SJ^'V^ -+- 2V,pV) = {pV — JiVi){\k\ — {!«),
p(v,pVi-+-i5p'p) =(pi' — pi'iXv-hV,)^,
on en conclut
(80) < ^
I BTÎpV, -+- ^ T'pV = 2(T«pi^ — T«pi^,)n -f-^M^,
équation dont la première donne ^> puis la seconde r»
CHAP. IV. — MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. l85
Ainsi, déjà sont déterminés sans ambiguïté les rapports de
yfm^hx^ 5, — à ô et celui de W| à6*«
Considérons maintenant les deux exponentielles Go et G^ qui
achèvent de caractériser les mouvements composants. Elles ont,
comme on sait (II, 6), les expressions suivantes
Gq = A'o tf > G j = A'i c »
où X*09 ^'i sont des constantes arbitraires, qui n^ont à jouer aucun
rôle. En mettant, pour w© et U\ leurs expressions (76) — u et
u -^ V y on voit que le coefficient de a, dans Texponentielle Gq, est
. h
i
ho y \ I ' h^ \
fJlo T \ /lo /
tandis que, dans l'exponentielle G'^ , ce coefficient est
-("J;-^^"')=-K'''m'^'^''')=
c'est ce qui résulte de l'égalité (II, 48)
/Il /ij
D'autre part, d'après (yS) et suivant l'expression (48) de D|, ce
coefficient, dans Go, doit être
- ( J -^ î- i>i) = - ^ j J -^ ^ K« -^ C^ -^ ;(« -^ ^) -^ C(6 -^ i')] ( ;
tandis que, d'après (76) et suivant l'expression (87) de D, le coef-
ficient analogue, dans G'|, doit avoir pour expression
^"-{-D = lJ^-f- ![;/.- !:a+Ç(^-4-.)-Ç(a-^.)]j.
Nous avons donc les deux équations suivantes :
j86 deuxième partie. — applications.
D'après (70), les arguments a, b -{- {^ et i^o ont zéro pour somme,
et aussi les arguments b, a-\-v^ Tq. Par le théorème d'addition
des fonctions l^ (t. I, p. i38), on a donc, suivant (67),
Nous avons, par conséquent,
6 2 6fji /lo
De même, en considérant 6, — a, i'i, dont la somme est nulle,
et t -h v^, — (a -h r), t'i, dont la somme est nulle également (70),
on a
9- p6 — pa p V*^ 2 / x\0 '26/
(82) _!-_ =— es-L.
\jà quantité purement imaginaire x, qui se trouve ainsi déter-
minée, n'est nullement liée au mouvement résultant, mais elle va
servir à déterminer ^- C'est en prenant enfin les expressions (77)
des constantes M, N, dernières données du problème, que nous
achevons la solution. Nous aurons, en efllet, d'après les équa-
tions (78),
P=^'X'
A
g — X — 5 _ NA — MB
16 ~ A
Nous concluons de là d'abord, [î devant être égal à : la
2 s
constante M doit être prise égale à
(83) M=iAB-.
^ ' x s
HàP. IT. — MOCTEXENT D*LN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. I 87
En second lieu, prenant N = o, nous avons
(84) Ll_ii=_,^_lB.i?,
' lO fil '1 s
à quoi il faut joindre
(85) B=— B?.
Par les égalités (8i, 84) sont déterminées les constantes pure-
ment imaginaires Xy ^ en fonction des données et de la constante
purement imaginaire g* Cette dernière est fournie par Tégalité
(80). Les cinq constantes trouvées en premier lieu et ces deux
dernières t> g> constituent le système de sept constantes, rela-
tives à la rotation, que Ton a prévu plus haut (p. 169).
Détermination des mouvements composants au moyen
du mouvement composé.
Des égalités (II, 7), appliquées successivement aux deux mou-
vements à la Poinsot, on conclut, en remplaçant i-^^ ^-^ par — -z cl
T, puis T par ^,
Ecrivons ces égalités sous la forme suivante :
/Qi*\ ^0 — ^Or •/ ^ •/ M S P'P'^0
^ ^^ -7j^^[p'(^«— pt')— pMpt'o— pi')] = 5 -^'
et observons que les trois quantités p^(^a — P^) sont racines de
Téquation
4(X-+-pV(')3— pVî^X + p«p*^) — P'^3 = 0»
c'est-à-dire
4X*-M2p«ppX*H- p*(l2p*i' — ^l)X -h p«p'«P = O.
noho
l88 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
On a calculé plus haut (63, 63a) les coefficients de cette équa-
tion, en sorte que Ton a immédiatement Féquation résolvante
4X»-h2r'2vî -H (Jl»H- II] — 5«)X«
-+- [1(2 Vf -^ fX»-i- fJLÎ - 5«)«- (vf- fJl») (Vj - fx} ) - 5«(V -f- V,)«JX
-+- 7[^l(f^î-[^') — **(V-+-V,)p=0.
Remplaçant p^(pi^o — p^) et p'pVo par leurs expressions (68)
dans Tégalité (86) et posant, pour abréger,
* -M?— 1
Ço = ^î- 7 -::?'
I 5*V»
4 T'
nous concluons la détermination du mouvement composant Mo,
comme il suit.
Soient X^, Xp, Xy les racines de l'équation résolvante, on aura
AS rt' /|î_/iî Aî _ c'
(Xa-f-ço) . =(AQ-f-(;o) ^ , — (\y-4-;o) ,, »
= 7^[^'(''-^?)^4-?('''~'''^""*"^)]
à quoi il faut joindre Tégalilé (Si)
Par un calcul tout pareil et en prenant
'I = v: — - S^
on détermine le mouvement composant M', au moyen des égalités
^-sîfoh^^'-^^»)^^^'-^î>]
/ii a — 1 5 -f- 3vi
En outre, la concordance des deux mouvements Mo, M, comporte
CHAP. IV. — MOUVEMENT D UN CORPS SOLIDE DANS UN LIQUIDE INDÉFINI. 189
la détermiDation des constantes A, B, 'z^pv, 'z^p'v (II, 56); voicî
leurs expressions (78, 63) :
, I ?-V?-+- tJl«-t- II? — 5* , , I v(fji? — piî) — ^'(v 4-Vf )
^'P" = 6 6' ' ' P " ^- 1 9»—^ -•
Enfin, la constante M du troisième mouvement est donnée par
l'égalité (83)
Cas où le corps solide est de révolution.
Quand le corps solide est homogène et de révolution et dans
d'autres cas encore (*), l'expression de la force vive peut être
mise sous la forme simple de la somme des carrés U^, V*, W^,
P^, Q*, R^ avec les mêmes coefficients pour U^ et V^, ainsi que
pour P^ et Q^. Quand il en est ainsi, les rectangles disparaissent
dans l'expression (7) de la force vive avec les variables x^, ...,
j^i, — Les coefficients y, q^ sont nuls, et, par conséquent, la
constante A = jV| (12) est nulle ainsi. que [î, ce qui fait dispa-
raître la rotation variée autour de Taxe Z|. Ainsi, dans le cas où
le corps solide est de révolution, sa rotation est la résultante de
deux mouvements à la Poinsot.
Sur une propriété du mouvement relative à llierpolhodie.
Reprenons l'expression (5o) de cosCX -h /cosCY et décompo-
sons-la en éléments simples. L'élément simple est
et Ton a
i cosGX-+-«cosGY
(•) Voir KiRCDHOFF, Vorlesungen iiber mat/iematische Physik^ p. a'|3.
igO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
D'après les égalités (76), on peut écrire /(a) sous la forme
Ei/(") = -Go
3* Mo ^Vo
Cesl justement, sauf un facteur constant qui dépend de Tunilé
de longueur, l'expression de Xi-i- iy^ (II, i4) dans Therpolliodie
relative au premier mouvement à la Poinsot que nous avons con-
sidéré. De même E|/(w-|- v) est aussi l'expression de J^i-4-ij^i
dans la même herpolhodie, mais prise pour un point de cette
herpolhodie correspondant à une différence v de l'argument,
c'est-à-dire à une différence constante du temps.
Examinons maintenant le facteur qui multiplie /((/ -|- r) dans
le second membre (88), et considérons d'abord l'exponentielle
que ce facteur contient. D'après l'expression (48) de D|, l'expo-
sant peut s'écrire ainsi
Les quantités ^a et — î^(a-+-(') sont conjuguées, ainsi que Ç6
et — Ç(6 -f- i^ — 2(o), comme on voit par les égalités (70). L'ex-
ponentielle a donc la forme e^i*'e'?, cp étant un angle réel.
D'autre part, en tenant compte de (70), on a
^{a-^- v)^{^b -\- v) ^{a-\- v)(^{b -Jf V — 2ti>)
_ (^a(^b
€-^1*'. c-^'''"*).
Les quantités da et — ^(a -h i^) sont conjuguées ainsi que db et
— <i{b 4- i' — 2<o) : ce facteur a donc la forme e"^»*' e'V, ^* étant
aussi un angle réel.
Le facteur total envisagé a donc la forme e'*, ^ étant un angle
réel. De là découle la conclusion suivante :
Sur une herpolhodie, on prend deux points M et W qui va-
rient ensemble et correspondent à une différence constante du
temps. On fait tourner d^ un angle constant, autour du Centre
O de Vherpolhodie, le rayon vecteur qui va de ce centre au
point M'; soit W V extrémité du rayon vecteur ainsi obtenu,
de longueur égale à OM'. La rotation de la droite MM*' repro-
CBàP. IV. — MODTBXBIIT D*UN CORPS SOLIDE DANS l'K LIQUIDE INDÉFINI. IQI
duit la rotation du plan contenant Vaxe C du corps et la
droite fixe Z de l^espace, dans le mouvement dhin corps solide
en un liquide, pour l'un quelconque des cas où, la force vive
ayant la forme (7), la différence {p' — p) est positive. Cette
herpolhodie appartient au premier mouvement à la Poinsot
composant celui qui concerne les axes X, Y, Z (p. i83). La
différence constante des temps, relative aux points M et M', est
égale à la différence des temps relative aux deux mouvements
à la Poinsot concordants.
D'après la proposition de ia page i83, on voit que c*esl là, en
définitive, une propriété des mouvements à la Poinsot concor-
dants.
Bien que l'angle dont on fait tourner le rayon OM' soit arbi-
traire, on reconnaît, par ce qui précède, que cet angle s'évanouit
avec V. La proposition actuelle dégénère de la sorte en celle qui
a été établie, pour le cas (^ = o, au Chapitre III (p. 1 22).
ig^ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
CHAPITRE V.
L\ COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE
UNIFORME (»).
Équation di(Tércatielle de la courbe. — Intégration. — Inversion. — Nature des
arguments. — Rayons maxima et minima; axes de symétrie. — Points d^n-
flexion. — Sens de la pression normale. — Sens de la convexité par rapport
au centre des forces élastiques. — Variation de l'angle polaire. — Angle com-
pris entre deux rayons consécutifs, l'un maximum, l'autre minimum. — Di-
verses formes de la courbe, le discriminant étant négatif. — Diverses formes
de la courbe, le discriminant étant positif. — Courbe élastique sans [iression,
déduite de la précédente. — Courbe élastique sans pression trouvée directe-
ment. — Prisme droit chargé debout. — Anneau comprimé normalement.
Équation différentielle de la courbe.
Le problème dont nous allons nous occuper concerne la re-
cherche de la figure d'équilibre d'une verge élastique dans le cas
suivant : i" la verge est supposée, dans son état naturel, de forme
circulaire (ou droite); 2** outre des forces ou couples quelconques
agissant en ses extrémités, dans le plan de la fibre moyenne, elle
supporte une pression uniformément répartie sur cette fibre, nor-
male à cette courbe et dans son plan, et lui restant toujours nor-
male dans les déformations. Ce problème a été traité, pour la pre-
mière fois, par M. Maurice Lévy, suivant une méthode que nous
allons rappeler.
Considérons la courbe plane suivant laquelle est fléchie la fibre
moyenne dans une position d'équilibre et suivons cette courbe
dans un sens déterminé. Si nous envisageons un point A sur la
courbe, le sens adopté pour suivre la courbe nous sert à distinguer
(•) A consulter : Maurice Lévy, Sur un nouveau cas intégrable du problème
de l'élastique et l'une de ses applications {Comptes rendus, t. XCVII, p. 69^,
et Journal de Mathématiques, 3" série, t. X, p. i ). — Halphen, Sur une courbe
élastique {Journal de r École Polytechnique, b\* cahier, p. i83).
CHAPITRE V. — GOURBB ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. igS
a portion de la courbe en deçà du point A et la portion qui est
au delà de ce point.
La portion qui est au delà du point A exerce, sur la portion qui
est en deçà, des réactions élastiques. Ces réactions ont pour résul-
tantes : I® une force F appliquée en A; 2** un couple M. D'après
la théorie de l'élasticité, voici l'expression du couple M, nommé
couple de flexion ou moment fléchissant :
Les lettres E, I désignent deux constantes positives, le coeffi-
cient d'élasticité de la substance et le moment d'inertie de la sec-
tion droite autour de la normale au pian, menée en A; p est le
rayon de courbure actuel, p' le rayon de courbure primitif.
Dans l'expression (i), le signe de p est arbitraire; mais p' doit
être pris avec un signe déterminé, le même que celui de p ou le
signe opposé, suivant que le sens primitif de la courbure est con-
servé ou renversé.
Toutefois, le signe de p est déterminé si l'on a choisi le sens
positif des moments. Il est naturel de choisir, à l'égard des mo-
ments, le même sens positif que pour les rotations dans le plan
de la figure. Supposons qu'il en soit ainsi.
Sur la courbe, nous avons déjà choisi un sens pour la décrire.
Si nous confondons la courbe au point A avec son cercle oscula-
leur, le sens dans lequel on la décrit correspond, sur ce cercle, à
une rotation positive ou négative, dont le signe est bien déter-
miné.
Ce dernier signe est justement celui qu'il faut attribuer à p
dans l'expression (i), d'après les conventions qui viennent d'être
posées.
En deçà du point A, considérons un point Aq assez voisin
pour que la courbure de Tare Ao A soit partout de même sens. La
portion de la verge au delà de Aq exerce des réactions ayant des
résultantes F©, Mo analogues à F et M. Par conséquent, la por-
tion en deçà exerce des réactions ayant pour résultantes — F© et
— Mo. Si l'on envisage l'arc AqA comme un solide, ce solide
doit être en équilibre sous l'action de F, M, — Fo, — Mo et de
la pression.
il. i3
194 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Une pression normale à un arc de courbe et répartie uniformé-
ment sur la longueur de cet arc donne lieu à des composantes et
à des moments qui ne dépendent pas de la forme de cet arc,
mais seulement des extrémités. Menons en Aq et en A les perpen-
diculaires à F et Foi soit O leur point de rencontre. Substituons
le contour AqOA à l'arc Ao A; soient r©, r les rayons OA© et OA,
On peut remplacer la pression sur Tare par les deux pressions
pr^^ pr perpendiculaires sur les deux rayons en leurs milieux.
Les sens de ces pressions sont d'ailleurs déterminés sans ambiguïté,
comme on voit en déformant le contour. Il suffit qu'on sache de
quel côté s'exerce la pression sur l'arc. On peut préciser d'une
manière générale en observant que la pression pr et la pression
sur l'arc ont, par rapport au point A, des moments de même
signe.
Les deux pressions pr^^ pr doivent ensemble faire équilibre à
— Fo et F, qui leur sont respectivement parallèles. On en conclut
que F est égale à pr et dirigée en sens opposé. De même pour
— Fo et pro*
Les forces F et pr forment un couple. Le moment de ce couple
est zJz ^pr^i il a le même signe que le moment de pr par rapport
au point A, le même signe donc que le moment de la pression sur
l'arc AqA par rapport à ce même point A. Manifestement, ce
signe résulte, à la fois, du sens de rotation sur la courbe en A et
du sens de la pression ; c'est le signe plus, si le sens de rotation
est positif et si la pression est du côté de la concavité. Ainsi le
couple (prj F) et le couple M ont le même signe quand la pres-
sion est du côté de la concavité, le signe opposé dans le cas con-
traire.
Les quatre couples M, — Mo, (/>/', F), (pro, — F©) doivent se
faire équilibre; donc
M-Mo '-- !(/>/•» -/>/-!) = 0.
hn posant
(^)
^ - \
8E1 ~ '
on conclut Tégalité
(3)
- =:4A/«-+-2B,
P
CHAPITRB V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. ig5
dans laquelle A est une constante positive, B une constante de
signe quelconque, et dans laquelle aussi le rayon de courbure p
est positif ou négatif suivant que la pression est du côté de la
convexité ou de la concavité.
Le point O, origine des rayons vecteurs r, a été nommé par
M. Maurice Lévy centre des forces élastiques.
Le cas où la pression normale n'existe point n'échappe pas à
cette analyse. Les forces F et — F© doivent se faire équilibre;
elles sont égales et de sens opposé. La force élastique F est donc
partout constante de grandeur et de sens. Si Ton prend sa direc-
tion pour celle de l'axe des y, le moment du couple (F, — F©) est
alors proportionnel à la différence des abscisses de Aq et A. On
conclut donc que la courbure est une fonction linéaire de l'ab-
scisse.
Intégration.
Dans l'identité
- U'a-'-T- b'b'){ab'^ ba') - ( aa'- bb'){a'b''- b'a"),
prenons
JT et^ désignant les coordonnées d*un point de la courbe et s l'arc
correspondant; il vient
d^y d^r __ [ dr
(dr , ,^^\ là,x d>y dy d>x\
^Th'^^'dl) \7û Ih^^di "ds^J
ou bien
''^(^^-■rt)
dx d^y dy d^x ' ^ ds *' ds ] ...
ds dt^ ds ds^ d{r*)
Le premier membre représente, comme on sait, la courbure.
Son signe, d'après cette expression (4)) est le même que celui de
la rotation sur la courbe, au point (jt, y)^ quand on suppose cette
courl)e décrite dans le sens où s est croissant. En choisissant donc
196 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
ce sens, on peut prendre l'expression (4) pour celle de la cour-
bure telle que la formule (3) Texige. Il en résulte
d'oùy par intégration,
On a d'ailleurs
\fds -^ ds) '"'^ i\.ds J '
il en résulte
(6) ^^Çy^.^.-(Ar*4-Br'-i-C)«.
La dérivée de r^ par rapport à s étant ainsi la racine carrée d*un
polynôme du quatrième degré en r^, nous concluons que r^ est
une fonction elliptique de l'arc s.
En désignant par 0 l'angle polaire, on a, d'après (5),
puis, à l'égard des quantités
(8) c/iog(j7dbi» = lÇ-trfe.
En désignant par a l'angle de la normale et du rayon vecteur,
on peut représenter la quantité (5) par rcosX, en sorte qu'on a
aussi
î rcos X = A r* -4- B /'* -i- C,
^ r sin X = y^r* — (Ar^ -i- Br«-i- C)«.
Inversion.
La forme du polynôme du quatrième degré (6), comparée à
celle du polynôme Y (t. I, p. 118) qui a servi de type pour l'in-
version, conduit à faire l'inversion comme il suit :
CHAPITRE V. — COURBB ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 197
Soil (en employant la lettre z, au lieu de y comme au tome I,
p. 118)
(10) -3 — - L f—;
^ pu — pv
désignons par a une longueur constante et positive et posons
(t. I, p. 118, éq. 48 a et b)
(il) r^ = gi'ï(^pç — pii)\pç — p(u-'r-v)] = --(p'v — 2zpV),
( 19.) Ar*-HBr'-+-C = -(5* — ^pv) ~ ■ [p(" -»- »') -^pu — ipv].
Pour déterminer par là Â, B, C en fonction des quantités ellip-
tiques équivalentes, on tirera z de l'équation (ii), on substituera
dans Téquation (12) et Ton identifiera les deux polynômes en r^.
Il vient ainsi
(.3) A = -^, B=— ^;L, c=:^\(£4-Y-ip.l
Cette expression de C est à remarquer ; on y retrouve la fonc-
tion caractéristique de la multiplication par 3 ( t. I, p. go, 96,
«97» '98)
(.4) C=-^M^>.
•± p^v
D'après les égalités (i i, 12) et conformément à ce qui a été dit
au tome P*^ (p. 1 18, 120), on a maintenant
Donc, suivant (6),
(•5) dll='P'
JqB deuxième partie. — APPLICATIONS.
De régalité (7) nous concluons
d^ _p'i* p(ii -h v)-^ pu — aj)P
50" ~ 17 {pu'-pç)[p{u-¥'i^) — pv]
(»^) \ r » > -i
= ± r ■P*' _:. __P_L_].
L^égalité (8) donne ensuite
— \os(x ±1 iy) = ^ \P'''-P''' 1 P'(u-^v)±p'vl
du ° "^ ''*Li^'* — P^ p{u-T-v) — pi'J
et, d'après la formule d'addition pour les fonctions s (t* 1;
p. i38)
-7- log(a:-hr»= aïr -h Ç(m — i^) — î;(m -H p),
du
-y- log(x — I» = — a; r -H Ç( M 4- 2P) — ; a.
D'où, par intégration, en désignant par E une constante arbitraire
complexe, dont la forme se précisera plus loin,
aE ^( u — v) . y
(ï7) {
•^ E 3** i' 0^ M
égalités conformes à l'expression (11) de r^ ; car elles donnent
(t. I, p. 171)
X* -f- v' = a* —
= aî(pp — pu)[pi' — p(M -i- t')].
On en conclut
(18) c«'^= f^=E»3 ;^— :
Les formules (9) donnent les suivantes :
ire^*^ = oL{pu — pv)
re-^^ = a[p(u-{- v) — pv].
Pour l'expression du rayon de courbure, nous tirons des éga-
lités (12, 1 1)
4Ar* 4-aB = 2oiz-j-: = 7-^.
a/** ap i»
CHAPITRE V. — COURBB ELASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. I99
D'où, suivant (3),
(ao)
1 •>.5
1 p' M -
ap'v pu
-r',.
p (xp'v
-pv
Nature des arguments.
Le discriminant A des fonctions elliptiques peut ici être positif
OU négatif. S*il est négatif , on sait que l'argument ç est réel (t. I,
p. 122). Si le discriminant est positif, le polynôme du quatrième
degré (6) a ses racines ou toutes réelles, ou toutes imaginaires.
Mais le dernier cas est impossible, car ce polynôme serait alors
toujours négatif, tandis qu'au contraire r^ doit prendre seulement
des valeurs qui rendent ce polynôme positif. Si donc le détermi-
nant est positif, les quatre racines sont réelles, et v est encore un
allument réel (t. I, p. i23). Ainsi v^ dans tous les cas, est un ar-
gument réel.
Si le discriminant est négatif, u -f- - doit être purement ima-
mm
ginaire (t. I, p. i3o). Si le discriminant est positif, u -h - ou
bien u-\- ^ w est purement imaginaire (ibid.). Ces deux formes
ne sont distinctes que si on limite i^ dans l'étendue de la période
réelle. On peut les réunir, en limitant v dans l'étendue d'uno
double période, et poser, t étant une variable réelle,
(ai) u = \- i(.
Les deux quantités u et — (wH- ^) sont conjuguées, en sorle
».
qu'on voit bien apparaître la réalité de r (1 1). La quantité - est la
valeur absolue (module) de pi^ — pu. Ou voit aussi que la con-
stante E (17) doit avoir la forme e*'^*^'?, o étant un angle réel, en
orte que les formules (17) deviennent
22 ) X z:z iy = ae*'? — ^ ^ e^^if>>^.
200 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
L^anglc arbitraire cp se rapporte au choix de la direction désaxes.
La liaison entre la variable / et l'arc s est donnée par Tégalité
(i5), qui devient
(.3) g = apV
Soit aco' la période purement imaginaire. En faisant varier t de-
puis zéro jusqu^à — :-> on obtient une portion de courbe, qui se rr-
pète ensuite pour les autres valeurs de t ; car r^ est une Jonction
périodique.
On peut aussi, pour simplifier la discussion, restreindre le
champ de l'argument i^. Le changement de ii, /, i' en — w, — /,
— ç n'altère pas l'expression de r^, il n'altère pas non plus les
formules (21) et (23). Ainsi le champ de l'argument r, au lieu
d'une double période, peut être pris égal à une période seulement,
de zéro à 2(0. Au cas du discriminant négatif, on peut le res-
treindre davantage. La demi-période réelle étant cos et la demi-
période purement imaginaire co'^, on sait (t. I, p. ^4) que (02 =ii co'^
est une période. Si Ton change donc m et p en — u et 210^ — «s
la formule (21) devient
r . i' ./ . w'-\
Il =ns}^ it —. i^i f:±—l\'
•2 -J. \ i /
elle reste inaltérée si l'on change en même temps la variable réelle
/en — (t ±-4) qui est réelle aussi . Ainsi , pour le cas A <^ o, on
pourra restreindre le champ de i^ entre zéro et W2.
Rayons mazima et minima; axes de symétrie.
Aux valeurs de tj multiples de -r, répondent les racines du po-
lynôme (6) (t. I, p. 121) et, par suite, les maxima et minima de
r^. C'est ce qu'on voit en prenant la dérivée de r*. Pour distin-
guer les maxima des minima, prenons aussi la dérivée seconde :
— ^-^ = — a*P <' 5^ = =Ï*P *' [P( W -t- i') ~ P M ],
du
du*
= 2}p'v[p'(U -'- V) — p' U].
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 9.01
A cause de iVgalité ii = — - H- //, il en résulte
7 a*»' vp' " 9
(.•>\)
I^s deux quanlllés p'- el j/ ( ^ -f- coM, donl les arguments diflY'-
rent d'une deinl-pérîode, sont toujours de signes opposés. En
conséquence^ les maxima et les minima du rayon vecteur sont al-
ternés.
Soit co la demi-période réelle. La première quantité (24) est po-
sitive ou négative, suivant que le nombre impair immédiatement
inférieur à — est de la forme 4^ -h i ou de la forme An — 1 .
Quand le discriminant est négatif, nous avons restreint le
champ de ç entre zéro et lo^. D'après cette convention, pour
A <o, le maximum correspond à ^ = o.
Pour les discriminants positifs, il nous faut étendre le champ
de ç entre zéro et [20). Par cette convention, pour A > o, il y a
deux cas à distinguer : v étant entre zéro et w, à / = o correspond
le maximum ; c'est, au contraire, le minimum si i^ est entre co et 2(0.
Si Ton prend, pour /, deux valeurs symétriquement placées par
rapport à un multiple de -.-> r^ prend une seule et même valeur.
Chaque rayon vecteur maximum ou minimum est donc un axe de
symétrie.
Points d'inflexion.
Dans Fexpression (20) de la courbure, le dénominateur n'est
jamais nul ni infini, sauf un cas particulier dont nous parlerons
plus loin. C'est uniquement de Févanouissement du numérateur
(p'u — p'v) que dépend l'existence des points d'inflexion.
L'étude des racines de l'équation p'u=^p'v a été faite au
tome I (p. iio-ii3); elle conduit à distinguer les cas suivants :
i" Discriminant négatif.
A. ^,>o, A'aCo, _?;^^''''^?-,^3<p'ît,<Ç^/^*-
n 3*
5i02 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Il n^y a pas d' inflexion. En effet, l'équation p'u = p'i' a ses
racines réelles^ elle n'a pas de racine de la forme (21).
B. Dans lout autre cas, le discriminant étant négatif, ilj' a une
inflexion entre deux rayons consécutifs , Vun maximum ,
Vautre minimum, LMquation admet, en effet, une racine réelle,
qui est c, et. deux autres (à des périodes près) de la forme
- '- ± il.
•À
:>." Discriminant positif.
Jl n'y a pas d'inflexion. Car l'équation, outre la racine r, en ad-
met deux autres dont la partie imaginaire est une demi-période
et dont la partie réelle n'est pas — -•
D. j)'i V >
Ç/Ç-^..
H y a une inflexion entre deux rayons consécutifs, l'un [maxi-
mum ^ Vautre minimum. Car l'équation admet, outre la racine i*,
deux racines imaginaires avant la forme ii= it.
Nous allons encore trouver une confirmation de ces résultats
en considérant les signes de la courbure pour u = — - et
// = — - -h o)'. Prenons, à cet effet, les deux quantités
5,-.,.'i,
î'=^'(? -••'')•
La première, Ço> est toujours positive. Effectivement, elle ne sau-
rait être négative que dans un cas, celui où la fonction p^ a. deux
racines réelles. Ces racines existent dans le seul cas A << o, ^2 > o.
gi^ o (t. I, p. 107-109); on en trouve deux, ('o> ^'n dans l'inter-
valle (t, a>2, 0)2),
ï W, < l'y < t'i < Wj.
Les arguments réels pour lesquels la fonction j) est égale ù
CHAPITRE T. — COURB£ ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 3o3
j>i*o OU à pVi se succèdent ainsi par ordre de grandeur :
(a3)
awi — vij au>j — Vq, awj-hi^o» acot-f- i^i
>
Au-dessous de chaque intervalle est (iguré le signe de la fonc-
tion p".
Nous avons restreint le champ de i^, pour le cas A < o, entre
zéro et (02. Celui de - est donc limité entre zéro et ^(1)2,- où la
fonction p" est positive. Ainsi, comme on Ta annoncé, ço est tou-
jours une quantité positive.
Envisageons maintenant ^|. Soit d'abord A <C o. La demi-pé-
riode purement imaginaire cj!^ ne diffère de la demi-période réelle
CU2 que par une période. La quantité ^i peut donc, ainsi que ^o>
être considérée comme étant la valeur de p" pour un argument
réel — h <*>a- Donc, en premier lieu, si p" n'a pas de racine réelle,
mm
c'est-à-dire si l'on n'a pas g2> o, g^<i o, Ç| est positive comme
Ço. Dans le cas opposé, \s peut être une quantité négative. Le
champ de - -f- (O2 s'étend de o>2 à f Wa* H comprend, parmi les in-
tervalles (25), celui-ci, (siWa — <'i, 2(02 — Vq), où p" est négatif.
On aura donc ^i <! o au cas
1
c'est-à-dire
a (Of — a Vi < r < aJwj — 1 t'o»
D'après les résultats établis au tome I (p. 107), cette double iné-
galité est précisément celle que nous avons supposée pour distin-
guer le cas Â. Ainsi, dans les cas ci-dessus, on a
A. 5i<o.
B. 5,>o.
Soit maintenant A >- o. La fonction j/ a une racine i'i de
la forme a 4- co', où a est réel, et Ç, est négatif si j) f ^ — co'j est
204 DBUXIÈXB PARTIE. — APPLICATIONS.
supérieur à j)i^|. Diaprés la formule d^addition de la demi-période,
on a
p(f_co')-p(a-Hco')-(^,-^3)(e,-o/-Y^-^^^
d'où résalle que $1 est négatif si p - est inférieur k pa. L'argu-
ment a est compris entre zéro et ^to (t. I, p. 108). Dans le champ
(o, w), où est restreint -> ce sont les arguments supérieurs à a
pour lesquels la fonction p est inférieure k pa. Ainsi, ^i sera né-
gatif si V est supérieur à 2 or, négatif dans le cas opposé.
La supposition ç» > 2a entraîne celle-ci p'^ t' < p'^ 2 a ; elle coïn-
cide (t. I, p. 108) avec celle qui distingue le cas C. Nous avons
donc, pour les cas ci-dessus,
C. Çi<o.
D. Ç,>o.
La distinction de ces quatre cas, au lieu d'être faite comme plus
haut, au moyen de p'^c, peut, nous venons de le voir, être faite
plus simplement au moyen de pç ou de v, comme il suit :
A. ért>^y v$'î<o, 2(1),— 2P|< p<2a),— apo;
B. Tous les autres cas.
3
En un mot, dans tous les cas, la condition nécessaire et suffi-
sante pour qu'il n'y ait pas d'inflexion, c'est
^i>o, P^i><^
CHAPITRE T. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. ao5
Nous venons de reconnaître que la distinclion des divers cas,
relativement au signe de Ç|, est la même que relativement à Texis-
tence des points d'inflexion. En voici la raison. On a (t. I, p. 107)
p'- -*-p V p -
p pv p -
D*après l'expression (20) de la courbure, il en résulte
Pour a =
'1
%p V p - ^
^ 'À
Pour a = —
— -:■(•>
f> ,,■,,■(! -„■)
x'-(î--)
Les dénominateurs de — et — sont de signes opposés, comme
on Fa déjà observé à l'occasion des expressions (24). H s*ensuit
donc que les deux courbures sont de même signe ou de signes
opposés, suivant que ^0 ^t Ç| sont de signes opposés ou de même
signe. C'est donc une conGrmation des résultats déjà obtenus.
On doit noter que po est positif dans tous les cas, sauf un seul,
celui où, A étant positif, r est compris entre co et 2(0. Ce cas doit
être classé dans la catégorie C, car 2a est moindre que co. Il v
aura lieu de distinguer ce cas, et nous partagerons la catégorie C
en deux autres, C|, C^; de sorte que nous distinguerons cinq cas
diflerents :
A<o.
B. Dans tous les autres cas;
C|.2a < f < w;
A > 0. { Cf. u) < p < 2(0 ;
D p < 2a;
po > 0,
pi>o.
Po>o,
pi<o.
Po>o,
pi>o.
Po<o,
pi<o.
Po>o,
pi<o.
Sens de la pression normale.
Le signe plus de la courbure indique que la pression normale
est du côté de la convexité. Donc, dans tous les cas, sauf le
ao6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
cas G2, la pression est du côté de la convexité aux sommets
de rayons maxima. Dans le cas C2 (où la convexité ne change
jamais de sens), la pression est partout du côté de la conca-
i'ité. Dans les cas B et D, où il se trouve des inflexions, la pres-
sion, aux sommets de rayons minima, est du côte de la concavité.
Sens de la convexité par rapport au centre des forces
élastiques.
Quelle que soit la convention choisie pour fixer le signe de la
courbure, pourvu, bien entendu, que ce signe change au passage
par une inflexion, le sens de la convexité par rapport à Torigine
//ft
dépend du signe affectant la quantité p --7-'
Examinons le signe de -^ aux sommets. D'après (7) et ( 12), ce
signe coïncide, pour u = > avec celui de p pç; pour
u = — -H- co', avec celui de p( - -f- w'j — pv»
L'argument - est, en tous les cas, compris entre zéro et co ; l'ar-
gument ç est aussi dans cet intervalle, sauf le cas C2. Les grandeurs
relatives des fonctions p sont donc, pour ces deux arguments, en
ordre inverse de celui des arguments, sauf le cas C2 où il faut
comparer - à 2(0 — v. Par conséquent, dans tous les cas, sauf Cs,
on a ( -j- j > o ; dans le cas C2 on a ( -j- j > o , si ^ < ^ co , et
Au cas du discriminant positif, pi — f- wj est entre e^ et<?2>
tandis que pv est supérieur ^^\\ (-j-) ^^^ négatif.
Au cas du discriminant négatif, on a j3 ( - -h co'^ j = p ( - -j- 102 ) ?
et il faut comparer entre eux les arguments r, 20)2 — (-- -4- W2) ;
'-r-\ est positif ou négatif en même temps
que V — ô^2-
GHAPITRB V. — COUEBB ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 207
La concavité est toujours tournée vers Torigine en un point où
le rayon vecteur est maximum; la concavité , aux points où le
rayon est minimum, est tournée vers Porigine ou en sens opposé
suivant que (•;7-?) et (^p) sont de même signe ou de signes
opposés.
Dans tous les cas, sauf Cs , j9o et ( ^ j sont positifs et, en même
temps, le rayon vecteur est maximum pour ^ = o. Donc, en ces
divers cas, la concavité est tournée vers Torigine ou en sens op-
posé, aux sommets de rayons minima, suivant que {-jT p) <'sl
positif ou négatif.
Dans le cas Cj, le rayon vecteur maximum correspond à / = -r;
(//ft \
-j-j • D'ailleurs, po est négatif. La con-
cavité aux sommets de ravons minima est donc tournée vers Tori-
gine si Von a c ]> f (ij; elle est tournée dans le sens opposé si Ton
a i'^ 5 w.
L'attention se trouve ici attirée sur les cas où Pargumcnt r
atteint les valeurs particulières |w2(A<;o) ou |(o(A^o). Ce
sont les cas où la constante C est nulle, comme il résulte de Tcx-
pression (i4)
{^ = — - — — •
En ce cas, r^ peut atteindre la valeur zéro sans que --y- devienne
infini (7). Cette valeur, est atteinte en effet; car on a :
Pourp = - (Oj. . . M = ^--T-(Oj; m — v — u>2 — u)i = — awi*, pu=pv;
PouTV = ^i» M = — -; M— t'=— 2(o; pu = pv»
D'après l'expression (11) de r^ , on voit qu'effectivement le
rayon vecteur minimum est zéro. La courbe passe à l'origine des
coordonnées ou centre des forces élastiques.
On s'explique bien alors le changement du sens de la concavité
par rapport à l'origine quand v s'altère un peu, de part et d'autre,
de cette valeur particulière | (02 ou ^ co. La courbe se modifie fort
ao8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
peu y mais roriglne se déplace, par rapport à cette courbe, eu la
traversant.
Ces cas où, comme on voit, pu — pv devient nul, mais en même
temps aussi p'u — p'i^j sont les seuls où le dénominateur de la
courbure (20) puisse s'évanouir. Nous exceptons toutefois la sup-
position v = o, qui ne peut d'ailleurs être admise si ce n'est
comme une limite, et que nous examinerons en étudiant plus at-
tentivement la courbe.
Variation de l'angle polaire.
Il importe, pour le tracé de la courbe, de savoir si Q varie tou-
jours dans le même sens ou présente des maxima et des minima.
Nous venons de reconnaître qu'aux deux extrémités d'un arc, cor-
respondant à w = et u = — - 4- co', ^ a, suivant les cas, un
même signe ou des signes opposés.
La fonction (12)
p(u i- v)-^ pu — 2j)r,
dont le signe, avons-nous dit, coïncide avec celui de -r- > a, aux
périodes près, deux infinis doubles w -= o, u = — v. La somme
de ses quatre racines doit reproduire — 2V, ce qui est compatible
avec l'existence de deux couples de racines conjuguées — - ± ii.
C'est d'ailleurs aussi ce qu'on voit par l'expression
de cette même fonction (à un facteur constant près). Il est clair
que, suivant les valeurs des coefficients, ce trinôme peut avoir
deux, une ou n'avoir aucune racine positive comprise entre le
maximum et le minimum de r^. Ainsi, sur l'arc considéré, -^ peut
s'évanouir ou deux fois, ou une seule fois, ou ne pas s'éva-
nouir.
Les cas où nous avons trouvé des signes opposés pour ( ^) et
(^j-) sont ceux où -j- s'évanouit une seule fois.
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLAISE SOUS PRESSION NORMALE 209
Dans les cas o\i (-j-j el f -^ j ont un même signe, il faut dis-
cerner si ^ s^évanouit deux fois ou ne s^évanouit pas. Dans ces
cas, pour que -j- s'évanouisse deux fois, il faut et il suffît que la
racine de la dérivée du trinôme (du second degré en r^) rende
ce trinôme négatif et soit comprise entre les limites de r^.
D'après (12), cette racine correspond à ^ = 0, ce qui caracté-
rise les points d'inflexion ; elle est donc dans les limites de r^
s'il y a inflexion ; en outre, clic rend le trinôme négatif si pv est
positif.
Pour les discriminants positifs, le cas D est le seul où il y ait
inflexion. On a vu que ( 7- ) est alors négatif; quant k (-j-j y\\
est négatif sous la condition r ;> | a>. Mais cette condition est
incompatible avec la condition r <C aa, caractéristique du cas D,
a étant inférieur à ^ (o. Ainsi , pour A >> o, -y- ne s'évanouit ja-
mais plus d'une fois entre deux rayons maxima et minima con-
sécutifs.
Si le discriminant est négatif et que g^ soit positif, jjr, supérieur
à 621 est toujours positif; car e^ et g^ ont un même signe (t. I,
|). 70). Si ^3 est négatif, j>(^ peut être négatif. Ainsi le cas B peut
offrir des exemples où -y- s'évanouisse deux fols et d'aulrcs où
^ ne s'évanouisse pas. Si ^'3 est positif, pour que -y- s'évanouisse
deux fois, il faut et il suffit (pic Ton ail c >► | oio.
Si gz est négatif, ainsi que g2, considérons la fonction à,i(it)
(t. I, p. 96)
EUe n'a qu'une racine réelle pu qui corresponde à un argument
réel; c'est p^wj. Elle est négative pour j)^^ = o; donc j)i|co2 est
positif. La condition v^'^u)* ne suffit donc pas pour que -7- s'éva-
nouisse deux fols. Soit pb =■ o, b étant un argument réel qui est
compris entre ^01)2 et 0)2. Si l'on a ^w^ <^ r<^ 6, ^ s'évanouit deux
II. i4
2IO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
/7ft
fois; si l'on a^^^ 6, -j- ne s'évanouit pas. Enfin, si l'on a ^ <il^2'i
d^ « . . <. .
-j- s évanouit une lois.
as
Si, avec g^ <C^j on a en même temps g^ > o, il faut d'abord
distinguer ce qui est relatif au cas A. Observons, à cet effet, que
'j(ù2 est compris entre (^o ^^ ^i (t« Ij p. 109), par conséquent aussi
entre 20)2 — 2i^i et acoo — aro. De plus, on a {ibid,)
Par conséquent, au cas gz<io^ g^^o^ on conclut que -r
s'évanouit une fois ou ne s'évanouit pas, suivant que v est inférieur
ou supérieur à | (O2
En effet, si v^ supérieure ftoo, est inférieur à 2ti>2 — ar©, il
n'y a pas d'inflexion; si v est supérieur à 2 0)| — 2i^o> alors pv est
inférieur à — 1/ ^' donc négatif.
Angle compris entre deux rayons consécutifs, Fun maximum,
l'autre minimum.
D'après la propriété que possède la courbe d'être symétrique
par rapport à ses rayons maxima ou minima, soit 2^ l'angle com-
pris entre deux rayons correspondant à des arguments qui dif-
fèrent d'une période : ^ sera l'angle compris entre deux rayons
consécutifs, l'un maximum, l'autre minimum. Nous prendrons -^
et zéro pour les valeurs de t qui correspondent aux deux rayons
comprenant l'angle 2»}.
Comme X'\'iy n'est autre que re'^, la formule (22) nous
donne
Aux deux limites de Tintégralion, /• prend une seule et môme
valeur. L'intégrale est donc purement imaginaire et a pour va-
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 1 ( I
leur 2{^. On a donc
tM' Kl)'
Nous avons ici deux intégrales complètes de la fonction s^; on a
appris à les calculer dans le tome I (p. 200 — 201).
Soit d'abord A< o, en sorte que co' doit être remplacé par w!,.
Pour la première intégrale, la partie réelle - de l'argument est
comprise entre zéro et (03, et Ton a
Pour la seconde, la partie réelle est comprise soit entre — co^
et zéro, soit entre — 2(i>| et — toj, et l'on a
.(■<-"-")■"—■■(-¥'-•■)-!,::;:>
( z, si i' . J (Oi,
par conséquent,
• '^r ' y ' . i O, si r < î loj, I ^
* ( 7:, SI p ;. î Wj, )
Supposons maintenant un discriminant positif. Pour la pre-
mière intégrale, on a
ÎCiï'
Pour la seconde, l'argument réel ;- peut être compris entre
— 2ti> et zéro ou bien entre — 4 ^ et — 2co, en sorte qu'on a
r~' y( 3r .\ . .,/ 3i' A ( T,, sii<Ja),
c'o \ '-* / \ '-* / 3i:, si t'>-5(u.
212 DELX1Ë3IE PARTIE. — APPLICATIONS.
Il en résulte
2 . . ( O, si P < 5 (D, )
(28) 4; = 7:_ (to'CP~i.V)-+- . ? ^>o.
* (tt, SI i^>fti}, )
Dans les deux formules (27), (28), le changement brusque de ^,
au moment où v traverse la valeur limite |co2 ou ~co, s'accorde
parfaitement avec le changement qu'on a déjà, pour le même
cas, observé (p. 207) dans le sens de la concavité par rapport à
l'origine. II est dû, non à une déformation notable de la courbe,
mais a un déplacement de l'origine qui, très voisine du sommet,
traverse la courbe quand r passe par la valeur limite. Au moment
précis du passage, le rayon vecteur extrême, au lieu d'être nor-
mal, devient tangent. L'angle •} doit donc être
^=^r.— -J(ai;î;i> — rr/,)^ -^, si p = | oij, A<o;
Le calcul précédent ne donne point ces résultats ; il ne peut les
donner, se trouvant en défaut pour ces cas : la seconde intégrale
devient effectivement infinie, comme cela doit être, puisque la
dernière valeur de r est nulle. Pour trouver ^ par un calcul di-
rect, il faudra joindre à l'égalité (26) sa conjuguée, La seconde
intégrale sera remplacée alors par celle-ci
dont la partie réelle est bien effectivement
i r/j V — 2 t: ou ùiT^'ç — ai:
(|uand on suppose un des deux cas limites. Par exemple, pour
A <;o et r ^|(02, celle intégrale devient (l. 1, p. i5i)
5(< )
ko'.
r,2 dt = -.-^ = 2 tr^ j 0)1 — 2 t:.
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 2! 3
La grandeur et surtout le signe de l^angle ^ constituent Télé-
ment le plus important pour fixer la forme de la courbe. Exami-
nons donc comment '} varie avec v^ et prenons d'abord le cas le
plus simple, A >> o.
La dérivée de ^ (28), par rapport à v, est -(co'pi'-f-r/). Si l'on
fait varier r de zéro à to, cette dérivée, dont la première valeur
est +00, est constamment décroissante comme pi^. Sa dernière
valeur est -(ei w'+r/).
Prenons l'une ou l'autre forme de développement en série
(t. I, p. 4o4 et 446)
m
(n = I, 3, 5, .... m = 'i, 4? 6, . . .).
Echangeons les périodes, et nous aurons r/to'-j-ei to'*'^ représenté
par ces mêmes séries, où q aura changé d'acception, mais sera
toujours réel et positif. Les séries ne contiennent que des termes
négatifs ; on en conclut donc
-T('-f-ï)<».
l
On voit donc que la dérivée de ♦} est toujours positive quand r
varie de zéro à w. De o) à 20), elle repasse, comme pv^ par les
mêmes valeurs. La dérivée est donc constamment positive.
L'angle ^ est une fonction discontinue Ae v\ sa partie continue
est toujours croissante avec (^, puisque la dérivée est positive; la
partie discontinue est non décroissante. Donc ^ est une fonction
toujours croissante. Ses valeurs extrêmes, pour v^ = o et i' = 2 to,
sont — 00 et 4-00. Pour (;= to, ^ est nul à cause de la relation
r,ci>' — r/(o= — (t. 1, p. i5o). On le voit donc, le discriminant
étant positif, ^ est négatif quand v est moindre que co, c'est-
à-dire dans les cas C| et D; il est positif, au contraire, dans le
cas 1^2*
En ce cas C^, p'v est positif; donc (2v3) s croît ou décroît
2l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
comme /. Pour avoir i>.^, nous avons fait varier / de — :- à zéro;
11'
pour avoir ^, nous ferons varier / de -r- à zéro : l'arc envisagé est
donc décrit en faisant décroître s. A son point de départ -n puis-
^ j est négatif (p. 207), Tangle 9 est croissant. Il en ré-
sulte que la variation totale de B sur cet arc est de même sens
que sa variation initiale, détail important si Ton se souvient que
Tangle 6 peut alternativement croître et décroître. Observons
maintenant que, pour ce cas C2, notre point de départ (/= ^ j
est un sommet à rayon maximum. Ainsi, quand on va d'un som-
met à rayon maximum vers un sommet à rayon minimum contigu,
la variation totale de l'angle polaire est du même sens qu'au dé-
but de l'arc. Voilà ce que nous trouvons pour le cas C2, celui où
ç est supérieur à to.
Pour les autres cas C{ et D, ceux où (^ est inférieur à co, les faits
sont différents. L'angle ^y qu'on peut supposer obtenu en faisant
varier / de — r- à -r> est négatif. D'après (23), s décroît ou croît
en sens inverse de t; l'arc est donc décrit avec des valeurs de 5
toujours croissantes; d'autre part, au début, la valeur de ^ est f-j-) >
quantité positive, et elle correspond à un rayon maximum. Par
conséquent, dans les cas C{ et D, quand on va d'un sommet à
rayon maximum vers un sommet à rayon minimum contigu, la
variation totale de l'angle polaire est de sens opposé à celui de la
variation de Tangle au début de l'arc.
Nous allons maintenant examiner les cas où le discriminant est
négatif, et nous pouvons observer, dès à présent, que, pour ces
^ j et de pV sont les mêmes que dans les cas
C| et D; de plus, le maximum du rayon vecteur correspond aussi
à / = o. Par conséquent, lorsque ^ sera négatif, la conclusion sera
la même que pour les cas C| et D; lorsque ^ sera positif, elle sera
la même que pour le cas C2.
La dérivée de ^ (27) est -{<*^2P^ "^ ^<2)* Quand ç croît de zéro
à ci)2, cette dérivée est toujours croissante et sa dernière valeur est
CBAPITRB V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORHALB. 2l5
^(wi^a-f-^'a)- Prenons le développement (t. I, p. 44^)
i{e,«o« + r,a.)=, + 42(-")'^7^
(m = 2, 4» fij • • •^'
Dans cette formule, on a
10 et w' étant un couple de demi-périodes primitives, et Ci dé-
signe po). Choisissons les demi-périodes primitives comme il
suit (t. I, p. 26g) :
(D = Oi', , CO' = ^ ( 0)', (JJj ).
Nous avons alors, au lieu de y, la quantité
/7t /6)J — 6),\ tlttù
T ( w' / . "TÔT
r= ;e
Pour ces cas du discriminant négatif, nous représenterons ici par
g la quantité
pour laquelle a été employée la notation q'' au Chapitre VIII du
tome I (p* 269).
Dans la série ci-dessus, q doit donc être remplacé par iV?*
D'autre part, ptj n'est autre que 62, puisque w = co^. La formule
s'écrit donc ainsi
Nous retrouvons ici une série envisagée déjà au tome I (p. 427)'
Le premier membre est positif ou négatif, suivant que q est infé-
rieur ou supérieur à 0,107653. . . (t. I, p. 287). Il on résulte
(3o) ^^^î^^^— ^<o, si <7< 0,107653...,
(Si) fliîil±J^>o, si ^> 0,107653....
2l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIOXS.
Dans le second cas (3i), la dérivée de à est toujours positive,
comme pour les discriminants positifs. D^ailleurs la dernière va-
leur de ^, pour r = (02, est encore zéro, à cause de la relation
Tj2ti>2 — ■'i'a^a ^^ ^'^' l^onc •} est négatif.
Dans le premier cas (3o), la dérivée de ^^ d'abord positive,
décroît toujours et devient négative. L^angle ^ croît d'abord de-
puis — oc ; il finit par atteindre la valeur zéro en décroissant. Il a
donc d'abord des valeurs négatives, suivies de valeurs positives.
On ne peut conclure immédiatement que ^ passe par la valeur
zéro autrement que pour s^ = wj, puisque »]; est une fonction dis-
continue.
En premier lieu, ^ passe effectivement par zéro si la supposition
r = |coa rend négative l'expression de cet angle
propre aux cas où ç surpasse |(02. Nous allons examiner sous
quelle condition il en est ainsi.
Soit iv = iù2 — i', on a
<^Ç = a'((D2 — w) = s'il}, 3*2"'^"^"**';
d'où l'on conclut
tu', Çç» — pr/, = — o)', ^- logs*, iv -T- wr/, -+- r,, ti}', — tq'j w,
= — (D; ^^ l0g3',(P -T- iVr^\ ^ ITT,
(32) <' = 7-(w;-^-log3'j(v — ii'r/,j.
Passons maintenant aux fonctions 2> suivant les formules du
tome I (p. 269) en désignant, comme tout à l'heure, par î^q la
quantité qui remplace q. Il est a propos d'observer que ce choix,
pour les fonctions Sr, est ici naturellement indiqué, puisque cette
quantité gr*est inférieure à o, 1076. . . (3o), et que ce choix s'im-
pose, comme le plus avantageux, des que q est inférieur ù
-iic
e * =0,2078... (t. I, p. 275). D'après les formules (09 D) du
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 217
tome I (p. aôg), nous aurons, au lieu de l'égalité (32), celle-ci
i-^-w d. - * y^{v\i/q) , __ «• _ <o> - r
OÙ nous devons supposer r = -^S par conséquent
O COj '
En substituant dans l'expression de la fonction ^3 (t. I, p. 2G6),
nous avons
quantité positive. En effet, la fonction ^2^^' "^ devient pas nulle
dans le champ que parcourt (v, sauf à l'extrémité de ce cliani|)
(«•=0)2). Elle conserve donc, dans ce champ, un signe inva-
riable, et il en est de même pour la fonction (34), qui en diffii'Te
par un facteur positif.
Nous avons de même
^ — » — - q^ =1 — 75 — 3^7^ — 73 y...
(35) { ' \Wq
-+-(— l) « {in-h i)y/ « -Jrq ^ )....
La croissance rapide des exposants permet d'établir facilement
que cette série est d'abord négative quand q est peu inférieur à lu
limite (3o), o, lo^ôSS
La fonction devient positive quand q devient inférieur à une
limite qui, suivant un calcul fait avec les premiers termes, est en-
viron 0,091.. .. En conclusion, si l'on a
0,09 1 . . . < <7 < o , 107653 . . . ,
^ est nul pour une valeur de v comprise entre |(02 et (1)2. Si, au
contraire, q est inférieur à 0,091. ..,']/ ne devient pas nul pour de
21 8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
telles valeurs de i^. S'il en est ainsi, il faut maintenant considérer,
pour ^, l'expression précédente diminuée de tî, c'est-à-dire
Pour que if passe par la valeur zéro, il faudrait alors que cette
dernière quantité fût positive quand on y supposerait (; = |(i>2,
que, par conséquent, la série (35) eût une valeur supérieure à celle
de la série (34); ce qui évidemment n'a pas lieu. Pour obtenir de
ce fait une preuve rigoureuse, nous allons former un autre déve-
loppement de l'angle ^, en nous servant de la série trigonomé-
Irique (t. I, p. 4^6)
■;r-= — = ir colMz H- 471 > — sinniutz (/n = 9., 4, 6, . . .).
Changeant d'abord 11 en «;' -f- -, on obtient iA-r (t. I, p. 234) î
mettant ensuite ly/y au lieu de q^ on a
— ' ^ ' ^ ; / = — tangp'7:-+-4 > ^ SMiipv'iz
Ti'3i{v' y i ^ q ) ^di—(—q)P
(P = I, 2, 3, ...).
Comme v' est purement imaginaire (33), nous lui substituons
la quantité réelle, positive et inférieure à l'unité,
et nous avons, conformément à la formule (33),
(36) ^i^r^inl-aV "^^ w, frr-^'^") (/> = i.2,3, ...).
Le premier terme r? est toujours inférieur à l'unité, il est
diminué d'une série dont tous les termes sont positifs. On voit
donc que ^ est toujours moindre que 7:. Mais c'est là l'expression
de<}^ quand on suppose v >-|ti)2. Pour t'-<7ti>2, ^ doit être encore
diminué de tc, et c'est alors toujours une quantité négative.
CBAPITRB Y. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 21 Q
Diverses formes de la courbe y le discriminant étant négatif.
Dans la discussion, nous considérerons comme donné le rapport
des périodes ou la quantité </== <? "', ^ et nous examinerons les
diverses formes de la courbe en faisant varier v depuis 0)2 jusqu'à
zéro. Nous regarderons la longueur a comme une constante ; de
sa grandeur dépend seulement la grandeur absolue, non la forme
de la courbe.
Le cas que nous envisageons d'abord, et qui répond k ç = (02,
ds
offre des particularités notables. Comme j)V est nul, ^ est nul
aussi; la liaison entre 5 et / se trouve dépourvue de sens. Il faudra
considérer ce cas comme une limite. On peut alors supposer a
infiniment grand, p'p infiniment petit, de telle sorte que le pro-
duit oLp'ç reste fini; mais alors Texpression (2?.) de x±iy
devient infinie. Cette supposition sera examinée plus loin ; elle con-
duit à la courbe élastique sans pression, où le centre des forces
élastiques est rejeté à Tinfini. Nous supposons actuellement, pour
a, une longueur fixe. Alors p' v étant infiniment petit, s varie
infiniment peu avec /, tandis que, d'après la formule (li), on voit
que le carré r^ du rayon vecteur reste aussi presque constant. La
courbe est loin cependant de pouvoir être envisagée comme une
circonférence de cercle. Tandis, en effet, que l'arc s^y compris
entre deux sommets consécutifs, est infiniment petit, il présente
une inflexion ; car on est ici dans le cas B (p. 2o5).
En outre, la courbure (20) est partout infinie, sauf au voisinage
de l'inflexion^ elle Test notamment aux extrémités de Tare 5{, et
il est à noter que l'on a
pi = — po.
On peut même observer que, en deux points également distants
et de part et d'autre d'un point d'inflexion, les courbures sont
égales et de sens contraires.
Prenons, en effet, deux points dont les arguments soient
\ ^ ±it. Puisque v = (O2, ces deux arguments sont de la
forme — co, ± it (t. I, p. ji). Ils donnent lieu à une seule et
220 DEUXifont PARTIE. — APPLICATIONS.
même valeur de la fonction p, à deux valeurs égales et de signes
contraires pour la fonction p'. Comme de plus p'i^ est nul, on
obtient ainsi des valeurs de p dont le rapport est — i .
L'arc 5| est donc infiniment petit et infiniment courbé : sa
forme ne saurait être représentée par aucune figure. Mais on peut
envisager cet arc comme la limite d'une figure obtenue en suppo-
sant i' voisin de 0)2. Cette figure, suivant les valeurs de q, a deux
formes très différentes.
En premier lieu, nous savons que le maximum du rayon vecleur
correspond à ^= o, et que Ton a (p. 206)
[d-s)>''' Uj,>^' P«>^' P><^-
Soient obj oa les rayons maximum et minimum contigus. En 0
la concavité est tournée vers l'origine o; en a c'est l'opposé.
1° Soit ^r^" 0,1 07653. . .. Nous savons (p. 216) que »} est né-
galif, c'est-à-dire que la variation totale de Tangle polaire sur l'arc
5| est de sens opposé à celui de la variation de cet angle au début.
La forme de l'arc Si est donc celle d'un S, et la courbe entière
offre un point double sur le rayon vecteur de chaque sommet.
Cette forme est indiquée par la//^. i. Dans celte figure, comme
dans les autres de la Planche, on a marqué par une grande flèche
le sens de la pression normale en un point de Tare. Cette pression
est ici du côté de la convexité au sommet de rayon maximum
(p. 206). On a figuré en plein Tare ab limité aux points a et b
donnés par ^ = -r- et /= o. En supposant une verge limitée à ces
points et tenue en équilibre par des forces appliquées aux extré-
mités, on a tracé en a et 6 des flèches, dont le sens indique la
direction de la réaction exercée par la verge. Ce sens est opposé à
celui de la force extérieure qu'il faudrait appliquer pour main-
tenir l'équilibre. Cette force est perpendiculaire au rayon vec-
teur; elle est donc, aux sommets, tangente à la courbe; elle a
pour mesure /?r (p. 19/î).
2" Soit <7<; 0,1 07653 Maintenant, ^ est positif; la varia-
lion totale de l'angle polaire est de même sens qu'au début b de
l'arc. La courbe présente l'aspect d'une roue dentée {Jlg' 3).
Dans ces deux figures, (^ ) ^M 7") ^^^ "^ même signe, en
s
5;
1
V
I
4 1
m
•X
V
00
v>
^
3^
i
•*
\
I
'
/^^
co
;
\
r\.
ïZ
■^ \
2
\
\
I
ïZ
■«o
«
— >►
0
oo
i^f--.
«oo
«oo
Cb
I
A
t
I
N
■4
V
I
I
î
/
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 2!)1
sorte que Tangle 0 présente un maximum et un minimum ou ne
présente ni Tun ni l'autre ; en d'autres termes, il y a deux tan-
gentes, issues de l'origine , ou bien il n'y en a aucune.
La forme de la première figure indique deux tangentes; c'est
ce que le calcul vérifie sans peine. Effectivement, si l'on se reporte
au Tableau du tome I (p. 84) indiquant la manière dont varie le
rapport des périodes avec les invariants, on y voit que gz est po-
sitif quand — ;- est inférieur à l'unité, par conséquent q supérieur
à e"^ = 0,04321 — C'est ce qui arrive pour la première figure
où q est supposé supérieur à 0,107633.... En ce cas, comme ou
l'a vu page 209, gz étant positif, on est assuré que -7- s'évanouit
deux fois.
Dans \di Jig, 3, il y a deux tangentes issues de l'origine si q est
entre les limites o, 107. . . et o,o43 Il n'y en a plus, si q est
ioférieur à la limite 6"^=^ o,o43. . . ; car alors (t. I, p. 84) ^''3 est
négatif et l'on a vu (p. 210) que, dans ce cas, -7- ne s'évanouit pas
quand v est voisin de (02.
Examinant maintenant la suite des valeurs de f% nous allons
obtenir les diverses formes en suivant les modifications des fi g, 1
et 3.
Soit, en premier lieu, y > 0,1 07653 Ce sera toujours, quel
que soit (^, la catégorie des courbes désignée par la lettre B (p. 2o3).
Il y a toujours une inflexion sur l'arc S\, Tant que \? reste supé-
rieur à |(02, aucune modification essentielle n'est apportée à la
Jig. I. Les proportions seulement s'y altèrent j l'angle boa grandit
constamment et le rayon minimum oa diminue relativement au
rayon maximum ob.
Quand v atteint §0)2, le sommet a coïncide avec l'origine o.
Quand sf devient inférieur à |(02, la concavité au sommet a se
tourne vers l'origine; en même temps, l'angle boa, en valeur ab-
solue, augmente de tz. C'est ce qu'on voit dans \^ fig, 2. Il n'y a
plus qu'une seule tangente issue de l'origine.
Quand ç continue à décroître jusqu'à zéro, la forme 2 se conserve
dès lors. Toutefois, la valeur absolue de if croissant jusqu'à l'in-
fini (p. 2i3), l'angle boa dépasse bientôt 2?:, 4*7^» • • • et la boucle,
dont a est le sommet, exécute une, deux, etc. circonvolutions
222 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIO!VS.
autour de rorigine. On suppléera facilement aux. figures qui n^ont
pas été tracées pour ces modifications.
En second lieu, soit 0,091 — <Cç <^^j 1 0^653. ... La courbe
conserve d'abord la forme 3, avec deux tangentes issues de l'ori-
gine; l'angle boa croît d'abord, puis décroît, puis devient nul
(p. 217) avant que i^ ait atteint la valeur fcog. La courbe présente
alors \di fig. 4* Pour les autres valeurs de o, on obtient ensuite les
formes i et 2.
En troisième lieu, soit o,o43...<^^<^ 0,091 Ce cas présente,
avec le précédent, cette difl'érence que l'angle boa ne devient pas
nul; le point a franchit l'origine sur le rayon oa quand l'angle 6
est encore positif; de là vient la^^*. 5. Cet angle boa est (p. 218)
inférieur à t:; sa valeur absolue croît ensuite, atteint t: et la courbe;
se ferme en 8, comme précédemment, mais l'origine est inté-
rieure {Jig» 6). La suite des autres valeurs de v donne lieu à des
courbes qui ont la forme représentée par Xdijig. 2.
Soit, en quatrième lieu, 0,00426. ..<; y <^o,o432i. . ., c'est-
à-dire q compris entre e"^^ et e~'^, -~ compris entre i et yjï^ par
conséquent (t. I, p. 84) gz < o, ^2 < o. Ce cas présente, avec le
dernier, cette seule différence que isi/ig» 3 n'offre pas d'abord de
tangentes issues de l'origine ; mais ces deux tangentes apparaissent
bientôt quand (^ atteint l'argument b {p. ^^9)t ^^ '^^ ^^^^^ ^^^^ ^^'
sonnais conformes à ceux qui concernent le cas précédent.
Soit enfin q < 0,00426. . ., c'est-à-dire — r supérieur à \/'i, ou
(t. I, p. 84) ^3 < o> ff2 > o. C'est alors que va se présenter le
cas A (p. 2o5), où disparaissent les inflexions. Nous avons d'abord
la yig. 3 (sans tangente issue de l'origine), jusqu'à ce que v at-
teigne la valeur 20)2 — 2^0'» 'e point d'inflexion se rapproche de
plus en plus du sommet a.
Quand i^ atteint cette valeur 2(00 — 2ro, la courbure est nulle
en a. On a, en effet,
•A
donc
Wj = tuj — Wj — ç^i = 2a>i — Çq ;
'il- --h
jri - — Wj I =j)%'o = o,
CHAPITRE Y. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 223
puisque r© est une racine de la fonclion j/. Donc — = o (p. 2o5).
Pi
En ce point a, qui est un sommet, Tordre du contact avec la tan-
gente n^est plus égal à 2, comme en un point d^inflexion, mais égal
à 3. La courbe est maintenant convexe. Quand i^ devient moindre
que 2CO2 — 2^0» cette particularité disparait, mais la courbe reste
convexe {^g* 7). Le sommet a se rapproche de l'origine, Tatteinl
pourp = |(02, puis la dépasse {/Ig» 8). Au moment du passage,
l'angle boa est supérieur à -; il est d'autant plus grand que q est
plus petit, et environ 0,727c pour (7 = 0,00426 C'est ce qui
résulte de la formule (36). L'inflexion reparaît ensuite quand r
dépasse 2(02 — aç'i (p. 2o5), et c'est vers le point a qu'elle repa-
raît, comme on le voit par le même raisonnement que précédem-
ment. La courbe ne reprend pas cependant Idijig, 3; car l'angle i
est devenu négatif, en sorte que l'on retrouve la Jig. 5, puis,
comme dans les cas précédents, les fi g. 6 et 2.
Voici un tableau qui résume cette discussion. Les numéros des
figures y sont cités dans l'ordre où les formes correspondantes se
présentent quand (' décroît depuis coo jusqu'à zéro.
Figures.
( r :. • l (u, I
y > 0,107653
( V' < i wi '^
o,io76j3...><7 > 0,091 ^ ■.
, ^ ( r ":> o a»j 3
0,09I...><7> 0,00426 ^ - rr
( f < âwj 5,0,7,
0,00426.. .> <7 < , ^ r i*
' ^ ( »'<>j 8, 5, 6, '2
Diverses formes de la courbe, le discriminant étant positif.
Examinons d'abord la catégorie désignée par C2 (p- 2o5), pour
laquelle i^ varie de (o à 2(0. L'arc s^ est limité par les rayons vec-
teurs oa minimum et ob maximum, qui correspondent à w = — -
et £^ = 1- (o'. L'indice zéro se rapporte au point a, l'indice 1
224 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
se rapporte au point 6. On a (p. 209)
PO<0, p.<0, (^,)^<0, (3ijJ^,^ ,j,^.J^.
La pression est du côté de la concavité (p. ao6). Il n^j a jamais
plus d'une tangente issue de Torigine (p. 209). Quand on va de b
vers a, la variation totale de Tangle polaire est de même sens
qu'au début de Tare (p. 214)*
D'après ces résultats, on voit que, pour i^^jw, la courbe a
l'aspect déGni par la Jig, 9. Au début, quand v est infiniment
voisin de co, l'arc ba est infiniment petit, infiniment courbé et à
distance presque constante de l'origine. Quand r = |(o, le som-
met a vient à l'origine; puis, v dépassant --(o, le sommet a fran-
chit l'origine, la courbe présente l'aspect de \^ Jig. 10. Dans la
suite des valeurs croissantes de (^, l'angle ^, toujours négatif,
devient infini en valeur absolue et la boucle dont a est le sommet
exécute autour de Torigine des circonvolutions de plus en plus
nombreuses.
Passons maintenant aux. cas C| et D, qu'on obtient successive-
ment en faisant décroître v depuis (o jusqu'à ia d'abord, puis de-
puis 'la jusqu'à zéro. L'arc S\ est limité parles rayons vecteurs
oa maximum et ob minimum, qui correspondent à w = et
// = -h co
•X
Pour le cas C|, on a (p. 206)
La pression est du côté de la convexité (p. ao6). Il y a une tan-
gente issue de l'origine. Quand on va de a vers 6, la variation to-
tale de l'angle polaire est de sens opposé à celui de la variation de
Fangle au début. La courbe affecte la forme donnée par Isijiff- 1 1 .
L'arc ab, quand v' est infiniment voisin de (o, est infiniment petit,
infiniment courbé, et les rayons vecteurs sont presque constants.
Pour le cas D, le seul changement consiste en ce que pi est né-
gatif. Au passage de v parla valeur 2 a, naît une inflexion. Cette
inflexion naît au sommet b: car on a alors (ù'=a — (o'.
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE FLANE SOUS PRESSION NORMALE. '220
p"( - — w' ) r- p''(a -r- m'), et a - co' est une racine de la fonction
p' (l. I, p. io8). La courbe présente Taspect de l'd /ii,^, 12; puis,
i^ diminuant de plus en plus, Tare ab exécute autour de Torigine
des circonvolutions de plus en plus nombreuses.
En résumé, les formes de la courbe, pour A 1 o, se présentent
dans Tordre suivant :
,, \ «'^ ^' ^'> »• 9»
' / 5 ro ' t' ; uo ylfi", 10.
< Il 'À a V co y/ji;'. 1 1 .
I) o i' 'za.... y//,'. 1*2.
Les formes C| et D se continuent, mais il n'y a aucune défor-
mation continue qui fasse passer de Cj à Ci ; car les formes qui
correspondent -a v -^ to sont des formes limites qu'on ne peut re-
présenter par un tracé.
Courbe élastique sans pression, déduite de la précédente.
Supposons maintenant que, i^ tendant vers co (ou (O2 si A - :; o),
X soit infini, de telle sorte que aj/r ait une limite finie û, et
qu'ainsi l'arc s ait un rapport fini d avec la variable t. La for-
mule {'^2) donne pour x ; iy une quantité infinie, mais nous al-
lons la développer comme il suit.
On a d'abord, en posant v' - co •{-■ ur (t. 1, p. 170),
et, par la formule de Tavlor,
- ( i^ + i, _ •} „. j - - ( ;^" , . it- .V j .1 .^ ^' ( ~ -:- il - »•) ....
de telle sorte qu'il vient, si I'od se borne aux termes du premier
II. iS
226 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
ordre par rapport à rinfiniment petit çv,
^ 4- iV 1 ... I gT^iW-îr,<r ^cr.iv
2r.//.
D*autre part, on a aussi
gî*YÇM _ gîYii/ g-wvirpco _ eî/i/^( I — iwitpvo...).
Prenant Tangle <j) égal à zéro, nous aurons donc, pour le dévelop-
pement de la formule (aa),
[| est manifeste que les termes purement imaginaires, au second
membre, contiennent le facteur çv, dont le produit par a donne
une quantité finie. Ainsi l'ordonnée ^ reste finie; quant à l'ab-
scisse, c'est la partie indépendante de t qui, dans son expression,
devient seule infinie. Si donc Xq est l'abscisse d'un autre point ar-
bitraire sur la courbe, x — Xq reste fini. La courbe a donc bien
une limite finie; seul, le centre des forces élastiques s'est éloigné à
l'infini dans la direction de l'axe des x.
Si, dans la formule
l(u-\- V) — tu — li' = ~ — — - — = z = ■ - '-^ ,
apw — ptf 'ip
on suppose v — • (o, on obtient, en remplaçant u par — - -h iV,
f^a partie réelle de î^f — \- it] est donc ou - — - , et l'on
en déduit
£^ /' 1 _ ' \
X — x^ — — %wa,
po étant le rayon de courbure qui répond à l'abscisse Xq, Puisque
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 227
xiv a une limlle finie, si Von suppose r infiniment voisin d^ une
demi-période et a infini, de telle sorte que 7.p'v ait une limite
finie, la courbe limite a cette propriété que la courbure en
chaque point est une fonction linéaire de V abscisse.
C'est la définition trouvée (p. i()5) pour la courbe élastique
sans pression. On devait s'y attendre, puisque A, donné par la
Ibrinule (i3), est ici nul, comme, en effet, cela doit être d'après
la formule (2), quand la pression devient nulle.
La quantité -^;;^ n est autre que ^p ^ (t. 1, p. iy4)î en ex-
trayant la racine carrée, nous pouvons prendre un signe arbi-
traire, car il importe peu ici de changer le sens des axes. Mettons
Nous avons, d'autre part,
a — lima j>'((o - - •>. (i-; — f.oLiv j>"(u.
D'après ces égalités, l'expression de x — Xo devient
.r
û^ / I I \
— j-o-= — ).
C'est aussi ce que l'on peut trouver par le moyen de l'expres-
sion (I 1) pour /•*-. En effet, on voit que /• a pour partie principale
i ^^ ; par suite, la partie principale de /* -i- /'o est ay ajV'o).
On en conclut (1 1, ao)
La différence r — ro a pour limite la différence des abscisses; on
retrouve ainsi la formule précédente.
La force élastique F, constante en tous points de la courbe,
étant multipliée par œ — Xq, doit reproduire le moment Qéchis-
sant El ( ). On a donc
228 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
comme on l'obtient aussi en prenant la limite de /?r = 8EIAr.
Pour obtenir, en même temps, Tabscisse sous une nouvelle
forme et Tordonnée, employons la formule d'addition des argu-
ments dans les fonctions J^, à l'égard des arguments h iV, — i7,
•A
10
— ; elle nous donne
il)
pit — p-
7.
L'expression de x -^ iy devient ainsi
y/!^r,-i<
x -^ iy = OL^/ *-^-^ I I — \wX, \-iw '- 4 t»^*^ P w
pit—,p~
,r:, P''^
-h 2 it' T) — ^W^lt — }.M
pU-p-
En supposant que Xq réponde à < :^^ o et remplaçant olw par son
expression, on obtient
P -
X — ar© =
{3îi) ' ^ ^■^-
Ûe / 1)'//
/ h 21 Ç t/ -^ 7. it J) U) \ .
Les formes de la courbe élastique sans pression se déduisent,
sans nouvelle discussion, de celles qu'on a trouvées pour la courbe
avec pression :
Iq > o, 107653. . . . /ig, I 5, déduite de la Jlg. i ,
^ = o, 107653 fig. 14, déduite de la Jig. 4,
q < 0,107653 fig. 1 3, déduite de la yî^. 3.
A r> o Jig, 16, déduite de la Jig. 9 ou 11.
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 22g
Courbe élastique sans pression, trouvée directement.
C'était icî un exercice utile et naturellement indiqué, déduire
des équations de la courbe générale celles de la courbe élastique
sans pression. Le calcul direct n'offre aucune difficulté, mais
donne lieu à une remarque importante.
En écrivant que la courbure est proportionnelle à l'abscisse et
prenant convenablement l'origine des coordonnées, on obtient
l'équation
ils (h- as as*
f/jr
Multipliant, aux deux membres, par -j- et tenant compte des
identités
fl.r f/^.r (Iy d^ y
ds ds' ds ds'
m- m -^ ■■
on en conclut
et, en intégrant,
dsï ~ - • ds
-;- -r-7 = T 3.r^.
V
I
L'élimination de ,- conduit ainsi à l'équation
ds ^
(4i.) (^£)\.^-i';-\'ir■^)■',
d'où l'on voit que x est une fonction elliptique de s. En faisan I
rinversion suivant les procédés donnés au tome T, on rencontre
cette circonstance particulière que le pol}nôme du quatrième de-
gré est ici bicarré et qu'ainsi p't^, d'après la formule (54) ^'^ '•*
page I20 (t. 1), est nul. L'argument v est donc une demi-pé-
riode. On voit ainsi que l'expression (Sg) de x coïncide exacte-
ment avec celle que fournit le procédé général d'inversion, sous
la seconde forme exposée au tome I (p. \?>i). si l'on en fait l'ap-
plication à l'égalité ( i i ).
23o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La courbe actuelle peut aussi être envisagée comme un cas par-
ticulier de la courbe élastique gauche, qui a été considérée à la
fin du Chapitre 111. EfTectivement, supposons, dans les équations
différent ielles de la page i4?., a =r= S =^ o et y = o, puis mettons-y
la lettre y au lieu de z; ces équations se réduisent ainsi à la seule
équation (4o)« Pour retrouver ici les formules elliptiques qui peu-
vent se déduire des formules établies au Chapitre III pour l'élas-
tique gauche, éliminons x entre les équations ci-dessus. Nous
trouvons ainsi
C'est bien Téquation obtenue au début du Chapitre III (p. 83) où
l'on suppose a = S = o et où Ton remplace cosCZ par ~'
Le calcul direct peut donc conduire, pour la courbe élastique
actuelle, à des formules elliptiques qui rentrent dans celles du
Chapitre 111, tout aussi bien qu'à des formules rentrant dans celles
du présent Chapitre. Mais ces deux groupes de formules sont fort
différents. On y remarquera en particulier que, dans les formules
du Chapitre III, le discriminant des fonctions elliptiques est tou-
jours positif; dans celles du Chapitre actuel, au contraire, il est
positif ou négatif suivant les cas. Ces fonctions elliptiques, d'in-
variants différents et dont les arguments varient proportionnelle-
ment à l'arc de la courbe, c'est-à-dire proportionnellement entre
eux, sont liées entre elles par des relations algébriques très
simples. Elles nous offrent un premier exemple de faits apparte-
nant à la théorie générale de la transformation.
Prisme dlroit chargé debout.
Soit une verge, naturellement droite, encastrée verticalement
en l'une de ses extrémités a. L'autre extrémité ^i supporte un
poids P. Il n'y a pas en jeu d'autre force. On demande les formes
d'équilibre.
Ces formes appartiennent à la courbe sans pression. L'équilibre
exige que la force élastique F soit verticale et égale à P; de plus,
à l'extrémité ^i, où n'agit aucun couple, la courbure naturelle
CDAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. 23 I
doit être conservée; à l'extrémité a, la tangente doit être verticale.
La courbure naturelle étant nulle, ^i est un point d'inflexion.
La tangente en a devant être parallèle à la force élastique, ce
point a est un sommet.
Les formes d'équilibre appartiennent donc aux y?^. i3, i4, i5,
qui correspondent au discriminant négatif. Dans les fig, i4 ou i5,
la différence des paramètres t^ pour les extrémités, est un quart de
période — ! ; car les inflexions sont également distantes de deux
sommets consécutifs (p. 219). Dans la Jig, i3, cette difTérence
peut être (anH- i) — ?? n étant un entier quelconque.
En écrivant que le poids P est égal à la force élastique (38), on
a d'abord
V = — - /uj/co,.
La seconde équation s'obtient en exprimant que l'arc aat a la
longueur / de la verge; on a donc (i5)
/ = ( y» /i -^- 1 ) a — 4 •
'M
En éliminant û, on obtient une condition qui fixe les éléments
invariables des fonctions elliptiques à employer
Le radical doit naturellement être pris ici positif.
En désignant par q la même quantité qu'à la page 21 5,
.» . '
et observant qu'on a
on a, d'après (37),
/jVto, ^ _ J_ ^ _ e^
V 2 L* 3'«w;
Il vient ainsi
232 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La demi-période w'^ joue ici le rôle de w, en sorte que le second
membre a pour expression celle de ( — yy 1 où Ton remplace q
par i\lq- Donc (t. f, p. 45 1)
Cette équation, o\iq est l'inconnue, a manifestement une racine, el
une seule, comprise entre zéro et l'unité, sous la condition néces-
saire et suffisante que l'on ait
I.
(/i-hi)'El7:«
Si donc — 1/ p7 est compris entre 2/? - 1 et 2/1 4- 3, il existe,
pour la verge dont il s'agit, n-f- 1 figures d'équilibre, outre la figure
droite; elles correspondent aux fonctions elliptiques où q est la
racine d'une des équations (4^)» dont le nombre total est /i -h i .
Si, au contraire, on a
ir V El
I.
il n'existe plus aucune de ces figures d'équilibre; la forme droite
est seule possible. On en conclut que, si cette dernière condition
est remplie, la verge on prisme droit chargé debout est en équi-
libre stable.
On aurait pu tout aussi bien employer, au lieu de çr == e ***« ,
la quantité ^ ***" , ce qui n'eût amené aucun changement dans les
calculs. Le second membre (42) reste inaltéré si l'on y met, au
lieu de q^ la quantité q^ liée à q par la relation
loff- loc — — 7:*.
Anneau comprimé normalement.
Un anneau circulaire est soumis, sur tout son périmètre, à une
pression normale uniforme. On demande ses figures d'équilibre.
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. ^3.^
Les conditions propres îï délcrinincr les (Ucmenls des formules
sont les suivantes : i" la courbe doit être fernirc; '?P son péri-
mètre doit être égal à celui de Tanneau. Il suffit de regarder les
figures pour s'assurer que les formes 3 et 7 sont seules possibles.
On en conclut que, pour Texistence de figures d'équilibre autres
que la forme circulaire, il faut que la pression soit extérieure; en
second lieu, ces formes appartiennent à des courbes où le discri-
minant est négatif et où l'on a encore
</ t> I 107653 .... V > \ 102 (p. 'l>!i ),
La question, on le voit, ne concerne que les anneaux, compri-
més extérieurement. Quant au cas où la pression est intérieure,
la théorie actuelle indique la stabilité d'équilibre quelle que soit
la pression.
La condition que la courbe soit fermée exige que, partant d'uu
sommet a^ on y revienne quand le paramètre t. croît constamment.
Ce paramètre /, étant zéro au début, est wn-}- pour tout sommet
homologue à a. En même temps, l'angle des ra\ons vecteurs cor-
respondant aux deux sommets est 2/?'L; ce doit être 'it.. Ainsi, la
première condition c'est que - soit l'inverse d'un nombre entier.
Comme on a <\;>f (02, h est donné par la formule (^ii); ainsi la
première équation du problème est
les inconnues sont q et V,
^<q < I, q < V< i:
/^ est un entier positif arbitraire, au moins égal à 'x nécessaire-
ment, puisque le second membre est essentiellement inférieur à
l'unité.
Soit p le rayon de l'anneau; son périmètre 2*ro, d'après (i.Vi,
fournit l'égalité
27:0 - - an i'.5t// — - •
' i
234 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
On a, d'autre part (2), ( i3),
P- -■ \ - —- L-
8E1 2a3|y2i>'
En éliminant a, constante arbitraire d'homogénéité, on obtient
équation dont le second membre peut être exprimé en fonction
de V et q. On a ainsi les deux équations (4^), (44) pour déter-
miner ces deux constantes.
D'après (27), on a
dv^ i *
Mais, suivant l'expression de V en fonction do v (p. vi8j,
d\ ir. ^
-TT = —di>\
V tOj
par conséquent,
d^ _ ir, ^d^ _ ii: f — aV ^ iq / 1 ,
Soient a, 6 les sommes des deux séries (43), (4^)- Si l'on sup-
pose q infiniment petit et V fini, on a
i-V , V(i- V)
CHAPITRE V. — COURBE ÉLASTIQUE PLANE SOUS PRESSION NORMALE. '>.35
d'où résulte
/>= Ja(i — ««).
Cette valeur de 6, en fonction de «, est une valeur limite; c'est
aussi une limite inférieure, et nous allons montrer que, a étant
positif, on a toujours
(46) />: -J-ad-a»).
Posant, en effet, _^ . -, = «/, on déduit, des séries (43), (.4^)'
celle-ci
dont tous les termes sont positifs. On peut donc conclure
3 a'— «'3
h-\-\ay>
Mais la fonction croît avec a', tant que o! est inférieure \,
Tci a! est inférieur à Tunîté. L'inégalité a donc lieu a fortiori si
Ton remplace <?' par a^ qui lui est inférieur. Cette substitution
fournît l'inégalité demandée (46).
Le problème est donc impossible si l'on n'a pas
P'i
rA
Ùi'-T^)
4/1^ Kl " 4
(47) kT "*'*'"■'' "-'^•
Voici une condition nécessaire pour qu'il existe des figures
d'équilibre autres que la figure circulaire. Cette condition n'esl
pas satisfaite si l'on a
(48) ^ :3.
On en conclut que la condition (48) assure la stabilité de l'é-
quilibre.
236 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Dans une étude plus approfondie, on doit se demander sî l'iné-
galité (47) assure l'existence de solutions pour les équations (43)
et (44)' On trouvera, sur ce sujet, des détails complémentaires
dans Je Mémoire cité en tête de ce Chapitre. La condition (47) "^
suffit pas et doit être complétée ainsi
(/l— l)(-2/2 — l)(3/î - i)> 4^ >/l»— I.
Mais nous passons ces détails, dont la reproduction nous entraîne-
rait hors des limites de cet Ouvrage.
GHAPITRK VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. '^Sy
CHAPITRE VI.
LIGNES GEODESIQLES DES SURFACES DE RÉVOLUTION
DU SECOND DEGRÉ.
KquuLions différcnlicllcs. Surfaces du second degré; inversion. Expressions
elliptiques des constantes. — Discussion. Lignes gcodésiques singulières de
la surface gauche de révolution. — Lignes géodésiques conjuguées. - Liai-
son entre les lignes géodésiques et riicrpolliodie. — Points imaginaires.
Comparaison des arcs sur une nit^me ligne géodésique. — Propriétés d'une classe
de surfaces développables. - Développable ayant pour arête de rebroussement
une ligne géodésique de surface du second degré, de révolution. — Surfaces
(.'oiifocales. — Cas où la surface confocale rencontre la ligne géodésique. -
Surface confocale inscrite dans les développables. — Points homologues. •
Théorèmes sur les arcs. Méridiens. Théorème sur les arcs (l'ellipse el
d'hyperbole. — Propositions sur la fonction ^. -- Les lignes géodésiques des
surfaces de révolution du second degré ne sont pas algébriques. Exemple
d'une courbe analogue, mais algébrique. - Exemple d'herpolhodic algébrique.
Équations différentieUes.
Soit Z une roiiction de la coordonnrc :;, cl
(I) X'—y^-^iL
l'équalion d'une surfaee de révolution. Les équations difl'érentielles
des lij^nes géodésiques sur celle surlace sont
(t. s* (is- ^ d>^
L'arc de la courbe est a*, et ces équations expriment que Je plan
osculateur est constamment normal à la surface. Si l'on regarde
la courbe comme la irajectoire d'un point matériel astreint seule-
ment à rester sur la surface, on peut envisager s comme désignant
le temps \ N est la moi lié de la réaction exercée par la surface.
238 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Des deux premières équations se déduit l'intégrale des aires
dv dx
puis les relations
f(i7-(ë)'j<--^-'-(4:-.^:)'.(.s.rf)'.
dx dy _, dz
X _— H- y -y- = Z ,- ,
ds "^ ds ds
jointes aux relations (i, 2), donnent celle-ci
où les variables sont séparées. En difTérentiant aux deux membres
d^z
et remplaçant -r-j par — NZ', on obtient, pour la réaction N, l'ex-
pression toute connue
Pour trouver ensuite x et^, on pose
^-+-'>=^X, x — iy = \,
puis, écrivant la relation (2) sous la forme
I ^V I d\ _ ic
^^^ X'57""Y 177" Z'
on fait dépendre le rapport X : Y d'une nouvelle quadrature, tan-
dis que le produit XY = aZ est déjà connu.
Surfaces du second degré ; inversion.
Soit choisie, pour Z, la fonction
z = "li, ="'
CHAPITRK VI. — LIGNES UÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. '>/6()
en sorte que
*.î ..V* w*
représente une des quatre surfaces du second dejjré de révolution
à centre, savoir :
Un ellipsoïde aplati, si a* / /;* > o,
Un ellipsoïde allongé, si 6* ;.. a* ;. ■ o,
Un hyperboloïde à une nappe, si... a^ .. o \.f^*<,
Un hyperboloïde à deux nappes, si. 0^ . o > a*.
En prenant z- pour inconnue, au Heu de :;, on écrira l'équa-
tion (3) sous la forme
(7) ^1 [ ^^^ J - - - ,--- - ,,i ■---
Soient posés maintenant
(«)
a* — r^
.9.» -3 -. T*(<?,. — pai:
r
on en déduira
^9«)
j rt' — c- ,^ ^ ., ,
f ^^ 0^ — z* = T' { I) W — Cy ) .
Tenant compte de la relation
on conclut maintenant de l'équation (7)
ou bien, en extrayant la racine carrée,
,-,0) _^._^_.,e, -j,«,,
24o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Voici donc, par une intégration, l'expression finie de l'arc s
(il) s = r: ( e^w -i- Çw) -i- const.
Pour effectuer ensuite l'intégration dans l'équation (5 , il faudra
mettre Z, à un facteur constant près, sous la forme pu — pr. Ceci
conduit à introduire un argument constant Vy en remplaçant les
égalités (8) par celles-ci :
(!•..)
Tî(ey-pp) = — -,
a''
d'oii l'on conclut
par quoi l'on transforme l'égalité (lo) en celle-ci
On trouve, d'autre part,
■ ■ » ^ » "" ■ ■■■ ■ - — '— — — - ■ •
Z du ( ^a — P ^ ) (P " — P ^ )
Voici donc ce que devient l'équation (5) :
(i5) ! du ^^' Y ~ («a — pp) (pw — pi')
( =Ç(tt-f-i') — Ç(w — p) -2!;(i'-T-a>a)-h2r,a.
L'expression (i4) de aZ ^^XY donne, d'autre part,
du ^ pu — pv
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 2^1
il en résulte
d'où, par intégration, en dénotant d'une manière appropriée la
constante arbitraire,
IX - Etv—- — — e
f l =^ — r; V ^
La constante, mise devant l'expression de Y, est choisie d'ac-
cord avec l'expression de aZ, que doit reproduire XY.
Expressions elliptiques des constantes.
Les formules (12) fournissent les éléments elliptiques en fonc-
tion des constantes primitives. Inversement on en tire les expres-
sions de ces constantes parles éléments elliptiques:
ai = z^ »^ ,
ea - e^
(17} { b'^=-J(ea-ps^^),
- t2 ^^« — p^)^^y — p^)
c — Z'
e^ — e,
En prenant de diverses manières les indices a, j3, y et l'argument
v^ on obtiendra les divers cas qui peuvent s'offrir, soit relativemenl
à la nature de la surface, soit à la nature de la ligne géodésique.
L'examen de ces divers cas va faire l'objet d'une discussion, que
l'on pourrait fonder sur l'étude de la formule (7), mais qui sera
plus intéressante si l'on prend pour point de départ les formules
elliptiques.
Discussion.
Les Conditions nécessaires et suffisantes pour que les équations
(16) et (y) représentent une courbe réelle sont les suivantes.
7 étant supposé , comme il est loisible , être une constante
réelle.
II. j6
9.42 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
1° La quantité ip'vdu doit être réelle;
a** Les quantités c^, z^, Tj doivent être réelles et positives.
Il est d'ailleurs sous-entendu que le discriminant est positif,
puisque les racines eot» ^a? ^y sont réelles.
Ces conditions, évidemment nécessaires, sont suffisantes; on
peut le voir ainsi.
Comme pw et pç' sont nécessairement réels, on voit que les
conditions relatives à ip'vdii et à c^ assurent la réalité de ds ( i3V
Les expressions (i6) de X et Y donnent lieu à l'équation (i5).
d'où l'on peut remonter à l'équation (5), où ds, c, Z sont réels.
On est donc assuré de pouvoir déterminer la constante E, de ma-
nière que le rapport X : Y ait l'unité pour valeur absolue (mo-
dule). D'autre part, le produit X Y =^ 2Z est réel et positif. On
trouvera donc ainsi pour X et Y des imaginaires conjuguées. Si z^
est positif, on voit que x, y^ z sont réels. La courbe est donc
effectivement réelle.
La première condition, relative à ip'vdu, limite ceux des
intervalles ( — 00,63), (^sî^i)» (^aj^O^ (^«» +00) où peuvent se
trouver pu et pç'.
Les rangs des intervalles où se trouvent ces deux quantités
sont de parités opposées.
La condition relative à c^ se traduit par celle-ci (17) :
(18) (>a — Pt^X^y — Pt')(>a~^p)> o.
Celle qui est relative à 5- donne (9)
(19) cp — pw>o.
Enfin la condition relative à Z s'exprime ainsi, d'après (12, i4)»
(20) (ey — pv)(pu — pv)> o.
Rien n'est plus aisé maintenant que de trouver les divers cas
possibles. Voici un spécimen de la discussion.
Supposons a=i, P = 2, y ^=3. La condition (18) exige que
pç' soit supérieur à e^ ou inférieur à e^. Soit pt^ << ^3 ; alors, sui-
vant la condition (19), pu doit être moindre que €2 et se trouve
ainsi dans l'intervalle (es, ej). La condition (20) est alors rem-
CHAPITRE VI. — LIGNES CÉODÊSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 243
plie. Soit, en second lieu, pi^;>ei ; alors pu, moindre que e^j est
nécessairement au-dessous de <?3, et la condition {20) est encore
remplie.
Cet exemple doit suffire et nous n'avons qu'à noter ici le ré-
sultat. Dans chaque cas, on trouve effectivement aussi, d'après les
égalités (17), des valeurs de a- et b'^ réelles et qui ne sont pas
toutes deux négatives. La courbe est donc, non seulement réelle,
mais véritablement aussi une ligne géodésique d'une surface
réelle.
Nous figurons, pour chaque cas, les quantités dans l'ordre
croissant. Les deux premiers cas sont ceux qu'on vient de discuter.
I.
p^'i
• •
pu,
"P'
e% ;
«* > b^ > 0.
11.
pfh
•
'r
«a,
pv\
]
ni.
J>W,
-p>
^'T'
^a,
r*' \
\
a2>o:r ^r
IV.
J) M,
e^,
^'a,
• •
j)p;
V.
^OLl
P^'-.
^r»
J)W,
ep;
b^ > rt» > 0.
VI.
pu,
^r^
P^\
^OL-i
^s>o::.rtV
Il est à remarquer que, sur les six permutations des indices a,
3, Y, l'une se trouve répétée deux fois, dans les cas I et II, et une
autre manque complètement. Si l'on avait, en effet, i'a< ^3 <i Cy.
pr devrait être, d'après (18), entre e^ et Cy. D'après (ic)) et ['20).
pu devrait être supérieur a p^ cl inférieur à (*- Par conséquent.
pi' et pu devraient être tous deux dans l'intervalle (<?«» ^g)? ce qui
ne se peut, d'après la condition imposée, en premier lieu, à ces
deux quantités.
On ne peut manquer d'observer ce fait singulier que chacun
des cas I, V, VI répond à une surface différente, ellipsoïde
aplati, ellipsoïde allongé, hyperboloïde à deux nappes; sur cha-
cune de ces surfaces, il n'y a qu'une espèce unique de lignes
géodésiques. Au contraire, les trois autres cas correspondent à la
surface gauche de révolution, sur laquelle, on le voit, il se trouve
trois espèces (liHércnles de lignes géodési(|ues. C'est là un fait sur
lequel il convient de s'arrêter.
Îî44 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Lignes géodésiques singulières de la surface gauche
de révolution.
Il est naturel d'examiner les particularités que la dégénérescence
des fonctions elliptiques entraîne pour les lignes géodésiques dans
les six cas précédents.
Tout d'abord l'hypothèse ('a r=: ^g, suivant l'égalité (8), est à
écarter immédiatement comme dénuée de tout intérêt. Elle cor-
respond à une surface indéfiniment aplatie, sur laquelle les lignes
géodésiques se réduisent à des droites quelconques.
L'hypothèse <?« =-- ey, dans les cas I et II, entraîne aussi (^a = ^q •
il n'y a pas lieu d'y revenir. Pour les cas V et VI, elle entraîne
^a = p<'> c'est-à-dire a = o, suivant (17). La surface de révolution
disparaît. Mais, pour les cas III et IV, entre lesquels cette hypo-
thèse sert de transition, elle donne lieu, sur la surface gauche, à
des lignes géodésiques effectives : ce sont les génératrices recti-
lignes. On voit, en effet, par l'équation différentielle [j), que,
pour ce cas, -r- est une constante. C'est ce qu'on peut vérifier aussi
par le moyen de l'expression de N. En utilisant l'égalité (4), on
trouve effectivement
et le numérateur est nul, suivant (8), quand on suppose e^ --Cy.
Par cette môme expression de N, on observera que les lignes géo-
désiques, sauf le cas où elles sont droites, n'offrent jamais de
point d'inflexion en projection sur le plan de l'équateur.
L'hypothèse ey^=<?û, pour les cas IV et VI, entraîne aussi
f»gj = e„, et ne doit plus être envisagée. Pour les cas I et V, elle
exige pa = ^o, ce qui donne 3 = 0*, on obtient ainsi l'équateur
de la surface. Mais, pour les cas II et III, on peut supposer
(?== f'y en laissant varier pu. C'est, on le voit, Thypothèse qui
r
sert de transition entre ces deux cas H et III. Il y correspond,
sur la surface gauche, des lignes géodésiques singulières dont
les équations peuvent s'obtenir sans le secours des fonctions
elliptiques, comme on voit par l'équation différentielle (7). Cette
CHAPITRE VI. - LIGNES (iÊODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 245
équation, par riiypolhèse c- = a-^ devient Intégrable, en eirpl, au
moyen des fonctions logarithmiques. En chaque point de la sur-
face passent deux de ces lignes singulières, symétriquement incli-
nées sur la tangente au parallèle et faisant, avec cette tangente,
un angle dont le cosinus est égal au rapport des rayons du cercle
de gorge et du parallèle. On se rendra facilement compte de celte
propriété par le moyen de Téquation (7), qui fournit la direction
de ces lignes singulières.
En un point arbitraire de la surface de révolution, il y a lieu de
considérer ainsi, dans le plan tangent, quatre droites, savoir les
deux génératrices rectiligries G, (V el les deux tangentes des géo-
désiques singulières T, T'. (]es quatre droites se coupent au point
considéré ; elles partagent le plan en quatre régions dont chacune
est composée de deux angles opposés par le sommet et qui n'em-
piètent pas les unes sur les autres. Une de ces régions est limitée
par T et ï', une autre par G et G', une autre par G et T, une
quatrième par G' et T'.
Cela posé, pour toute ligne géodésique qui passe au point con-
sidéré, la tangente en ce point est contenue dans une des ([uatre
régions. Si elle est contenue dans la première région (T, 'F), la
ligne géodésique est de Tespèce 11. Si elle a|>partient à la troisième
ou à la quatrième région (G, T) ou (G', T'), c'est alors l'espèce III.
Si elle appartient endn à la seconde région (G, G'), la ligne géo-
désique est de l'espèce IV.
L'espèce II présente, en outre, une distinction géométrique
très simple. La fonction pu y varie de — x à e^ ; z^ ne s'évanouit
jamais et devient minimum pour pu=r=e,i : la ligne géodésique
ne traverse pas le cercle de gorge et touche un parallèle. Au
contraire, dans les espèces III et IV, pu varie bien de la même
manière, mais ^-, qui tout à l'heure était égal à t- (^'2 — P^)^
est maintenant représenté par ^'-(ea — P")* Sou minimum est
zéro; la fonction uniforme z s'évanouit en changeant de signe
quand u franchit l'argument correspondant loa- La ligne géodé-
sique traverse le cercle de gorge et tous les parallèles.
Sous ce point de vue, les lignes géodésiipies de l'hyperboloïde
à deux nappes (cas VI) peuvent être assimilées à l'espèce II ; elles
sont tangentes à un parallèle.
2^6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Sur les deux ellipsoïdes (I et V ), pu varie de e^k Cy ; toutes les
lignes géodésiques sont tangentes à deux parallèles, symétriques
par rapport à Téquateur, et traversent Téquateur.
Lignes géodésiques conjuguées.
Avec les mêmes fonctions elliptiques et les mêmes arguments,
de part et d'autre, considérons deux lignes appartenant, Tune à
l'espèce II, l'autre à l'espèce III. Les équations (i6), sans aucune
altération, saufles facteurs constants, s'appliquent en même temps
aux deux courbes.
Par conséquent, à toute ligne géodésique, d^ espèce II ou III y
tracée sur une surface gauche de révolution, correspond une
seconde ligne géodésique, tracée sur une autre surface de
même espèce et de même axe, de telle sorte que, sur un plan
perpendiculaire à cet axe, les deux courbes aient une seule et
même projection. De ces deux lignes, Vune est de l^espèce II,
Vautre est de V espèce III \ leurs arcs correspondants sont pro-
portionnels.
Ce mode simple de correspondance résulte d'un échange entre
les indices ^ et y. Il n'existe, dans le domaine réel, que pour les
espèces II et III. Les formules (17) donnent immédiatement les re-
lations entre les quantités a^, 6^, c-, relatives à l'une des lignes,
et les analogues a'^, 6'^, c'^, relatives à l'autre :
— - = ; — » a = c, c = <x.
Le rapport des arcs correspondants est j,*
L'échange des indices a et y met en évidence un lien fort remar-
quable aussi, quoique moins simple, entre les lignes géodésiques
de l'ellipsoïde allongé et de l'hyperboloïde à deux nappes (V
et VI).
Les quantités <?i, ^2, e^ étant supposées les mêmes pour les deux
ligues, soient w, r les arguments relatifs à la ligne d'espèce V et
a', ^' ceux qui sont relatifs à la ligne d'espèce VL Prenons
1^' = (^ — 0), tt' — M -^ O),
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉOUÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 247
ce qui est conforme à la nature des quatre arguments w, v, u\ i''.
Pour la première courbe, on a, suivant les égalités (i() s
Y 3" ( M — w" ;
et, pour la seconde,
1 j^M — V' )
Comme on a co"-^ co -r- co' cl r^" z=lz t, -}- r/, on voit qu'il suffit de
clioisir les constantes E, E' pour conclure à l'égalité des rapports
X : Y et X' : Y'. Quand il en est ainsi, les deux points qui se cor-
respondent sur les deux lignes géodésiques sont dans un même
plan méridien. Pour achever de préciser la correspondance, il faut
donner les relations entre les coordonnées z et z'y ainsi qu'entre
les quantités a-, 6-, c^, a'-*, 6'^, c'^. C'est ce qu'on fait aisément
au moyen des formules d'addition de la demi-période. On a, en
effet, suivant les égalités (9, 17) et les formules d'addition
z^z'i == ô^ b'^ -- -J-z'^iey^ — p w)^ei —pu')
D'après les égalités (8), on a aussi
Par l'élimination de t^, t'-, ces relations se réduisent aux sui-
vantes
i{b^ — a'-s{b'^ — à^) = b^b'^,
] zz = bb'j
(a*—c^na'i — c'i) .-=: a*rt'^
dont la dernière peut être laissée de coté, comme on va le recon-
naître. Voici donc la conclusion :
/>^
—
6'*
)b'^
{a*-'C^)b^
\
T^a»
t'«(^'»-
a'')
2^8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Soient un ellipsoïde allongé
et un hyperboloïde à deux nappes
dont les axes satisfassent à la première relation (21). On éta-
blit une correspondance entre les points de ces deux sur/aces,
situés dans un même plan méridien et conformément à la se-
conde relation (21).
De cette manière, les lignes géodésiques des deux surfaces
se correspondent. On voit que la relation entre c- et c'^ est une
conséquence de la seconde relation (21). Elle traduit, en effet, la
correspondance entre les points où les deux lignes géodésiques
sont tangentes à des parallèles.
Par l'échange des indices a et p, on trouve de même un lien al-
gébrique entre les espèces II et VI. Soient u, v les arguments re-
latifs à la courbe de Tespèce II, u' et v' ceux qui sont relatifs à la
courbe de l'espèce VI. On prendra
Des calculs tout semblables à ceux qui précèdent conduisent
ainsi à cette conclusion :
Sur Vhyperboloide à une nappe
si ron envisage une géodésique tangente à un parallèle de
rayon c, et sur Vhyperboloide à deux nappes
-'î _i_ v'2 js'î
une géodésique tangente à un parallèle de rayon c', et que les
deux relations
CHAPITRE VI. — LIG:9ES GÉODÊSIQUKS DES SURFACES DK RÉVOLUTION. a.^J
aient Heu, les points de ces deux Usines n^éodésifjues (coiwcndL-
blenienl orienU';os), situés dans un même plan méridien, se cor-
respondent conformément à l'é/^alité
Liaison entre les lignes géodésiques et llierpolhodie.
La forme exléricuro des oqualions (i6) est toute semblable à
celle qu'afTectcnl les équations de riierpolliodie (II, i4i p. 55).
Mais, dans Therpolliodie, pu est placé entre e^ et ^2? P^^ entre e-j
et^i, ce qui n'a lieu ici dans aucun des six cas. Dans un seul cas,
celui de l'ellipsoïde allon«|;é (V i, pu et pr sont placés de la ma-
nière inverse. Il est alors, pour ce cas, possible de changer les
équations (i6) en celles de l'herpolbodie, au nioven du change-
ment de u, r en iu, iv.
Supposons, à cet effet, que les fonctions elli|)tiques employées
pour la ligne géodésique soient construites avec les racines cî-
après :
auquel cas on les distingue |>ar un trait supérieur, comme on l'a
fait dans le Tome I (p. 5^, i4*>7 'y'^)- l^mployons aussi les carac-
tères romains u, v, a, b, c, au Heu des italiques correspondants,
pour les éléments de la ligne géodésique, qui se distingueront ainsi
des éléments de riierpolliodie.
Prenons
Il — in, v - - iv.
D'après les conventions précédentes, nous avons
f ( u - - V 1 : /3'(// - r ), ^u~i^N, ^y- i^i\
et il en résulte celte nouvelle forme des équations (i6)
/
l'z il ^i u V ) .y. ,
\ — -- . — - (' l') s»' o>lw
25o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
S'il s'agit, d'ailleurs, d'une ligne géodésique apparlenanl à l'es-
pèce V, on a, quant à Tordre de grandeur,
^a < P V < «y < p u < e^.
c'est-à-dire
^1^ P^ > Cil pu >• €3
absolument comme dans le cas de riierpolhodie. Les équations (22)
sont donc celles d'une herpolhodie, dont on achèvera de détermi-
ner les éléments en prenant, suivant l'expression de G (p. 47)?
c'est-à-dire
iii_Çp = T, — Ç(i^-^w) {tr-.-rzi),
ith ^. ^ I p'i'
jji 1 pv — Cl
Dans les équations (7) de la page 47» prenons, comme il a
été dit (p. 49) en discutant ces équations, a = i , ^ = 3, y :^ •>..
Nous avons alors
a' — h^ iz\L p' V
h 'I, ps^ — Cl
La comparaison des deux dernières égalités donne a-= o. Il s'agit
donc ici de ce cas particulièrement simple, dont il a été parlé
(p. 74)» et dans lequel l'iierpolhodie est engendrée par le roule-
ment d'une ellipse.
Les formules de la page 47 et les formules (12) actuelles don-
nent facilement la détermination des éléments de cette herpol-
hodie :
tt^t
En conclusion, toute ligne géodésique tracée sur un ellip-
soïde de révolution allongé se projette sur le plan de réqua-
teur suivant une courbe qui peut être engendrée par une ellipse
dont le centre est fixe et qui roule sur ce plan.
Soient a et b (a -< b) les axes de l'ellipsoïde, c le rayon des pa-
rallèles qui sont tangents à la ligne géodésique; soient & et r
(}) <C c) les axes de l'ellipse roulante et h <^ b la distance de son
CHAPITBE YI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 25 I
cenlre au plan. Ces diverses longueurs sont liées par les équa-
tions (aS).
Points imag^aires.
Faisons, pour quelques instants, abstraction des lignes géode-
siques et prenons simplement des équations de la forme (i6)
OÙ p et q seront des constantes.
Il est manifeste qu'on pourra choisir ces constantes /?, g de
manière que ces équations représentent une courbe réelle, pourvu
que pV et p^u soient opposés d'espèce, l'un réel, l'autre purement
imaginaire. Effectivement on déduit de là l'égalité (ij)
d . \ p'v(C't — P"^
— lo<r — — — i —^ — .
du ^\ <.ea— pi') ip w— pw)
Par hypothèse, p'v.du est purement imaginaire. La partie va-
X
riable de log ^ est donc purement imaginaire et l'on peut prendre
- de telle sorte que log y soit lui-même purement imaginaire. En
second lieu, on a
et l'on peut prendre pq de telle sorte que XY soit réel et positif.
De cette manière, X et Y seront imaginaires conjugués et la courbe
sera réelle.
Il faut avoir soin d'observer la supposition qui est faite ici : on
admet que ii varie d'une manière continue et que sa variation soil
toujours ou réelle on purement imaginaire. Mais u peut avoir une
partie constante, période ou demi-période, de nature opposée. Si
Ton modifiait cette partie constante par l'addition d'une période,
il faudrait, pour rendre la courbe réelle, changer p et q. Si l'on
change cette partie constante sans altérer/? et y, X et Y prennent
des valeurs qui ne sont plus imaginaires conjuguées, mais qu'on
rendrait telles, en les multipliant par des constantes.
2 5 '2 DEUXIÈME PABTIE. — APPLICATIONS.
Supposons donc p el q choisis de manière à rendre X et \
imaginaires conjugués quand on considère une suite d'arguments
que nous désignons généralement par u. Envisageons maintenant
les arguments u! = aw' -h m, 2w' étant une période quelconque;
soient X' et Y' les valeurs que prennent X et Y, /? et gr n'étant pas
changés. Les deux fonctions X et Y sont doublement périodiques
de deuxième espèce et admettent, relativement à la période 2w',
les multiplicateurs [x' et — >
H"
En multipliant donc X' par — et Y' par jjl', on retrouvera deux
imaginaires conjuguées.
Ces deux multiplicateurs — et jjl' ne sont pas eux-mêmes imagi-
er '
naires conjugués si aw' n'est pas de même espèce quec^w, tout réel
ou tout imaginaire. U est facile de s'en convaincre. Si, en effet,
on remplaçait aco' par la période aw, de même espèce que du,
X et Y resteraient imaginaires conjugués en se multipliant par
les multiplicateurs correspondants [jl et-> qui sont ainsi imagi-
naires conjugués, en sorte que [jl a la forme e"î', i^ étant un angle
réel,
On peut écrire jjl' sous la forme suivante :
î — ( r\v-k-k(ù ) - - ( r,a)'-7i w )
La quantité tjw' — r/w est un multiple entier de -\ soit n — ;
A mm
en sorte qu'on a
nJTCf Ci)' /i/ir«'-f-i'l;f»)'
Par hypothèse, w' et w sont l'un réel, l'autre purement imagi-
naire ; de plus, ç est, à une période ou demi-période près, de
nature opposée à du et, par conséquent, à w. De là résulte que
l'exposant de l'exponentielle est ici tout réel, sauf un multiple de
iiz. Par suite, jjl' est une quantité toute réelle.
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 2 >3
En résumé, c'est par les multiplicateurs réciproques et réels
—7 et fx' qu'il faut multiplier X' et Y' pour les rendre imaginaires
conjugués dans le cas qui nous occupe. C'est ce qu'on traduirait
en langage géométrique fiji^uré si Ton disait : la portion de courbe
pour les arguments u! se compose delà portion de courbe relative
aux arguments w, que l'on fait tourner autour de l'origine d'un
angle purement imaginaire égal à- logfx', absolument comme,
»
pour la suite des valeurs de «, la courbe se compose d'une por-
tion, toujours la même, que l'on fait tourner successivement des
angles réels ^, 2^}^
Il faut examiner maintenant ce que deviennent X et Y pour des
arguments lî^ de la forme lî^ = w' -h u.
Soient X (w), Y('i)) ce que deviennent X et Y quand on y met,
pour M, une demi-période w; nous avons
/_ _../ ^- _J i ^sA'Ci) — gîr)f-f-îA{i) — M"
/?Y((o) C(tu — i') *^'
c'est le multiplicateur correspondant à la période *hù dans la fonc-
tion X. Il en sera autant pour toute demi-période. Prenons deux
demi-périodes, l'une g/ comprise parmi les valeurs admises pour w,
en sorte que
Y (i'") q ^
soit, par hypothèse, de la forme e'?, cp étant un angle réel ; prenons
ensuite w'-f- w", qui diffère delà première par la demi-période w',
la même que ci-dessus. Nous avons, de même,
car le multiplicateur est [jl'jjl" pour la période 20»)' -j- ao)". Ainsi
X(u>--^cu') X(a)-)
Yltu'-f-o)"; "^ Y((o') - ^^^•
Soit £ = ir I choisi de façon à rendre positive la quantité réelle
six'. Si Ton multiplie X(co'-ho)") par -p-T=- et Y((i)'-|-w") par
254 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
rb y/£[ji', le produit de ces deux quantités ainsi modifiées sera
simplement multiplié par di i ; il était égal à la quantité réelle
PÇLp^ — P{'^' ~^ ^'')]î ^"^ ^^^ positive ou négative. £n disposant
du signe, on rendra le nouveau produit réel et positif. Le quotient
des quantités ainsi modifiées est égal à d= e'? ^ donc ces quantités
sont imaginaires conjuguées.
Prenons maintenant des arguments de la forme a>' -}- w ; nous
savons que X (w' -j- u) et Y {(*>' -i- u) deviennent imaginaires con-
juguées si on les multiplie par des facteurs constants. Nous
venons de trouver ces facteurs en supposant la valeur particulière
u = lù" ', il n'y faut rien changer quand u est variable. Ainsi, en
résumé, si 2w' est une période d'espèce opposée à du, et jjl' le
multiplicateur de la fonction X pour cette période : i® [x' est une
quantité réelle ; 2" X(ç«)'4- m) et ii= y/±: jx' Y(w'-h /i) sont
V j
imaginaires conjugués ; 3° — X (2w' 4- w) et [x' Y(20ù'-f- //) sont
H"
imaginaires conjugués.
Ces résultats s'appliquent, sans modification, aux cas où les
équations (24 ) représentent la projection d'une ligne géodésique de
surface de révolution du second degré. Il faut joindre aux équa-
tions (^4) celle qui donne la coordonnée z, dont le carré reste
toujours réel, mais peut être négatif, quand u est remplacé par
co' -4- u. En ce cas, z (w' -h u) devient réel si on le multiplie par L
Dans le langage figuré de la Géométrie, on peut dire que les
arguments dont il s'agit fournissent les courbes qu'on obtient
en faisant tourner une courbe réelle, autour de l'axe, d'un angle
imaginaire et en multipliant les ordonnées z par \/ — 1.
Les équations (a4), considérées dans leur plus grande généra-
lité, peuvent, avons-nous dit, représenter des courbes qui ne soient
pas des projections de lignes géodésiques de surfaces de révolu-
tion du second degré. On peut leur donner encore une acception
plus large en admettant que le discriminant y soit négatif. La
courbe est alors réelle, si pw et pç sont séparés par eo et si l'on
prend 6^=^ c^.
Nous verrons plus loin que, parmi ces dernières courbes, à
discriminant négatif, il en est d'algébriques, tandis qu'il n'en
existe aucune parmi les autres.
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 205
Comparaison des arcs sur une môme ligne géodésique.
Sur une môrae ligne géodésique, deux points variables, répon-
dant à des arguments dont la somme ou la différence est constante,
sont liés Tun à Tautre par des relations purement algébriques,
non seulement entre leurs coordonnées, mais aussi entre les arcs
qui aboutissent à res points. C'est ce qu'on va aisément recon-
naître.
Soit w l'argument de l'un de ces points, dont X, Y, z sont les
coordonnées. Toute fonction rationnelle de pu et p' u est une
fonction algébrique de 5, comme on le voit par l'égalité (9).
Soit w zfu l'argument du second point, dont X', Y', z' sont les
coordonnées. Désignons par s et 5' les deux arcs aboutissant à ces
points. D'après la formule (m), en laissant de côté la constante
arbitraire, nous avons
s Js — 'Z L^a^ -■- ï(*^' - - "):;«].
On a d'ailleurs (t. 1, p. i38)
. ' .-. _: . .^1
l(w.:^u)z^tu^ Iw -^ - - — .
'À pw — pu
Ainsi la somme ou la différence des arcs est algébrique, en
même temps que la somme ou la différence des arguments est
constante.
Pour le premier cas, prenons le produit des coordonnées X, X'.
D'après l'expression (16) de X, on a
XX' = (e-z ^y e^'^io.-<^
V-¥U>a)]iV
t^(ll -+- f) 3'( H' --- V H)
C^P (jU<^{W u)
ce qui est une fonction doublement périodique de w, rationnelle-
ment exprimable au moyen de pw et de p' u (t. I, p. ai 3). Il en
est de même à l'égard des produits YY' et zz^, où, sauf les fac-
teurs constants, ç est remplacé par — i^ pour l'un, par wp pour
l'autre.
Dans le cas oii la différence des arguments est constante, ce
sont les quotients X' : X, Y': Y et z' l z qui sont doublement pé-
256 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
riodiques, et algébriquement exprimables en fonction de ;;. On
peut d'ailleurs passer facilement de l'un à l'autre cas. En elfct,
sauf changement de la constante E, X et Y s'échangent quand on
change u en — u. Comme d'ailleurs XY est une fonction algé-
brique de z^ la liaison entre les deux propositions est mani-
feste.
Nous allons faire connaître des propositions de Géométrie qui
équivalent à cette proposition purement algébrique et qui servi-
ront à la préciser.
Propriétés d'une classe de surfaces développables.
Considérons la fonction doublement périodique de deuxième
espèce
dans laquelle v désigne un argument arbitraire. Cet argument est
une racine de la dérivée /'(w). On a, en effet,
et l'on voit que /'(f^) s'évanouit pour u -^y.
Soit pris maintenant un autre argument quelconque \v et
posons
Cette fonction p est doublement périodique par rapport à u ;
XI/ \
de même aussi son produit par ^y — r-« Dans ce produit, il subsiste
deux pôles seulement (aux périodes près); ils répondent à
// =: — ç; et w = — (V. En effet, le pôle u ^^y du facteur p est une
racine de l'autre facteur, et le pôle w =^ o de ce dernier est une
racine de p. De plus, la dérivée de p est, pour u -— o, égale à
l'unité, tandis que le résidu de ^, — est l'unité néerative. En con-
séquence, la somme i -f- p '-Jh-. > qui a les mêmes pôles que le
CHAPITRE Vf. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 257
produit précédent, a, en outre, la racine u = o. Donc enfin le
produit de cette somme par f{u) n'a plus le pôle w = o; il n'a
pas non plus le pôle u = — ç, qui est racine de /{u). Il lui reste
le seul pôle u = — w. C'est d'ailleurs le produit de/(u) par une
fonction doublement périodique; c'est donc une fonction double-
ment périodique de deuxième espèce, avec les mêmes multiplica-
teurs que /{u), 11 ne diffère de /{u -^ w) que par un facteur
constant :
/(a)-f-p/'(u) = A/(a-+.iv).
Pour déterminer le facteur A, il suffit de donner à u la valeur
V — w, qui fait évanouir p ; 11 s'ensuit '
(26) f^u)-^pf'(u)=i^^^=^f{u-^w).
Supposons maintenant une courbe gauche (a:), lieu d'un point
dont les trois coordonnées rectilignes x^, x^^i x^ dépendent d'un
paramètre u par trois équations de la forme commune
(27) ^A = Ckfk{u) = Ck '^^^^'^/^^ eiÇv-i:(v-^.*)ia (A- = I, 2, 3).
Considérons le point dont les trois coordonnées j^^i , ^2? ^3 sont
déterminées par les trois équations, telles que celle-ci
Ce point est situé sur la tangente de la courbe (x). En faisant
varier l'argument arbitraire iv et laissant u constant, on obtient
ainsi les divers points de cette tangente. En faisant, au contraire,
varier u et laissant iv constant, on obtient une courbe (y). Consi-
dérant u et w comme variables, on voit que J^oj^a? JK3 sont les
coordonnées d'un point quelconque de la développable dont la
courbe (x) est l'arête de rebroussement.
D'après l'égalité (26), en mettant les arguments en évidence, on
a pour les coordonnées y, l'expression générale
(28) yA-iii) = "^^^^^"^"^^ ^k(u-h- w).
Ainsi les trois coordonnées y d'un point variable sur la courbe (y)
sont respectivement dans des rapports constants avec les coor-
II. 17
258 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
données x d'un autre point variable sur Farête de rebrousse-
ment (x). En d'autres termes, il existe sur la développable une
infinité de courbes homo graphiques à l'arête de rebrousse-
ment; les diverses homographies ont toutes, pour plans princi-
paux, les plans des coordonnées et celui de l'infini.
Celte propriété appartient à la développable dont l'arête de re-
broussement est une ligne géodésique de surface de révolution du
second degré. Effectivement X et Y ont la forme supposée ici
pour Xk\ les arguments tels que s^k sont égaux à d= t^. La coordon-
née z a aussi cette forme, puisqu'on a, d'après (9),
. / .<3'(m-Hù)B)
Pour 5, l'argument Vk a la valeur particulière wp. Quant à l'argu-
ment V, il est égal à la demi-période (1)^.
A cause de ces circonstances, les propriétés de la développable
particulière, dont il s'agit maintenant, se précisent davantage.
C'est ce qu'on va examiner; mais il faut d'abord chercher les con-
ditions pour que le point y soit réel en même temps que le
point X,
Développable ayant pour arôte de rebroussement une ligne
géodésique de surface du second degré de révolution.
Reprenant les notations X, Y, 5, au lieu de x<, x^y x^, nous
emploierons aussi les lettres X<, Yi, :;i, au lieu de^i,^2jj^3*
Nous mettrons encore les arguments en évidence.
Voici, d'après la relation générale (28), les coordonnées du
point j :
^^(") = xô;;;) '
(30) {Y,(.)=^(---ffJj--^-),
^«(«>= JC^T)
On remarquera d'abord que a)a n'est, pour aucune des six
espèces de lignes géodésiques (p. 243), l'argument d'un point réel.
Nous supposons u l'argument d'un point réel. Si alors u -f- (v
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQIES DES SURFACES DE RÉVOLUTIOX. 269
Test aussi, (v est ou réel (espèce I) ou purement imaginaire, et
tùa. — <ï' n'est pas l'argument d*un point réel. Effeclivemenl, Tune
des valeurs de (v étant zéro, w» et wa — tv sont des arguments de
même espèce. Mais alors — ■— ■ et \, * sont des ima£;i-
naires conjuguées et -^ — j — - — est réel. Comme aussi X(m + iv)
et Y(u -h <v) sont des imaginaires conjuguées et ^(w -|- w) réel,
on voit que le pointy est réeJ.
Si, au contraire, wa — <v est l'argument d'un point réel, soit iii
cet argument; on a alors w -+- iv = wa -h w — M|. La diiFérence
u — //< est ou réelle ou purement imaginaire, et // 4- <v n'est pas
l'argument d'un point réel. Mais alors u -H iv et wa sont des argu-
ments de même espèce, et le point y est encore réel.
Ainsi le point j^ peut être réel, en même temps que le point x^
de deux manières différentes. Dans l'une, c'est w -h «v qui appar-
tient à un point réel; dans l'autre, c'est Wa — iv.
Nous examinerons d'abord le premier cas, celui où u -i- w est
l'argument d'un point réel.
Les équations (3o) étant écrites abréviativement
(3i) \i(u)=zBX(u-hiv), Yi(w)=BoY(z^-i-«'), Zi{u)=:Cz{u-^iv),
cl B, Bq étant imaginaires conjugués, C réel, le point j' se déduit
d'un point de la géodésique, celui d'argument u 4- i*', par une
transformation homographique fort simple : elle consiste à mut-
tip lier par des constantes (y/BBo et C ) les distances au plan de
l^équateur et à l'axe, et à faire tourner autour de l'axe d'un
angle constant cp = arg. de B.
Telles sont les transformations homographiques qui changent
la géodésique en des courbes tracées sur la développable dont elle
est l'arête de rcbroussement.
Le cas où u et wa — ^^ appartiennent à des points réels pré-
sente les mêmes propriétés, mais sous forme imaginaire, ce que
nous voulons écarter ici de nos études. On peut cependant obser-
ver que la partie imaginaire de ligne géodésique, lieu du point
dont l'argument est u 4- iv, résulte d'une courbe réelle par une
transformation homographique imaginaire. C'est par une transfor-
mation homographique réelle, toute semblable à la précédente,
200 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
et appliquée à celle dernière courbe réelle, que Ton oblicnt main-
tenant la courbe réelle, lieu du point j>^.
Il est aisé d'obtenir Texpression des deux constantes y/BBo et C,
qui interviennent dans la transformation. L'équation de la surface
donne
La première égalité (gci) nous fournil
Posant, pour abréger,
nous en déduisons
(a' — 6«)(i-hX)
(32)
)BB„= ,
Il est visible que X ne change pas par le changement de w en — (v ;
car on a, suivant (9),
Non seulement C^, mais C lui-même reste invariable par ce
changement. On a effectivement, d'après (29),
"■ z{(uol) " 3'(cua-i-a)p)3'((ua— «^) ~" 3'aW*
ce qui est une fonction paire de (v.
L'invariabilité de BBo peut encore être mise en évidence autre-
ment. Soit, pour abréger,
on a, en prenant une période quelconque w,
iX ( (O — W) __ ^(iO — iV -h y) 3*10 _ |i^^,
~~X((o) "" 3'((o -^v):^((u — w) ^ '
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÊSIQUES DES SURFACES DE RÊYOLUTION. 261
Les seconds membres de ces deux égalités sont égaux entre
eux, d'après la propriété générale (t. I, p. i88)
(3'(ci> -+- p)e-T'i*' = 3'(ai — ç)e
r.v
On a donc
B =
CM)
X(ci>x — w) ^ Y(«i>3i-+-«v)
Si B' et B^ désignent les quantités analogues à B et Bo, mais
relatives à l'argument — w, nous avons ainsi
(35) B = Bq, b = Bq.
Reprenant, avec l'angle ç, son analogue ç', nous concluons
ç = — ç', ces deux angles étant les arguments des imaginaires
B et B'. Ainsi les deux transformations ho mo graphiques rela-
tives à deux arguments égaux et de signes contraires diffèrent
seulement par le sens de la rotation autour de Vaxe. La gran-
deur absolue de cette rotation est la même dans les deux
transformations.
Soit y le point conjugué de j-, déduit du point x avec l'argu-
ment — w, comme Test y avec Targument w ; on voit que les
lieux géométriques de deux points conjugués sont deux
courbes égales^ dont l'une se déduit de l'autre par une rota-
lion autour de l'axe. Ainsi la courbe (y) se déduit de (jr')
par une rotation égale à 2tp.
Surfaces confocales.
Les deux transformations homographiques qui changent la
courbe (x) en les deux courbes (y) et (jy') changent, toutes deux,
la surface, sur laquelle la géodésique est tracée, en une seule et
même surface du second degré de révolution. D'après Téquation
de cette dernière et les relations (3i), la surface transformée a
pour équation
X,Y, z\
a^BBa 6» G*
202 DEUXIÈMR PARTIB. — APPLICATIONS.
Les carrés de ses axes a^BBo et b'^C^^ suivant (32), ont les
valeurs suivantes :
^ ^ \ aj — 6; = a« — 6^
Ainsi les deux transformations homographiques changent la
surface sur laquelle est tracée la géodésique en une surface con-
focale. En d'autres termes, les sur/aces con/ocales coupent la
développable dont la géodésique est l'arête, suivant deux
courbes distinctes, égales entre elles, qui diffèrent de position
par une simple' rotation autour de Vaxe, et qui sont homo^
graphiques à la géodésique.
Les théorèmes précédents donnent des constructions géométri-
ques pour trouver une suite indéfînie de points sur une ligne
géodésique de surface de révolution du second degré, quand on
donne deux points et la tangente en l'un d'eux. Ayant, en effet,
les points d'arguments u — w et u et la tangente en ce dernier,
on en déduira le point u-^-w^ et la tangente en ce point. On
pourra ensuite trouver le point u-\-iw^ etc. C'est donc une
construction de l'addition des arguments. Mais on ne doit pas
perdre de vue que deux points et la tangente en l'un d'eux con-
stituent des données surabondantes.
Considérons maintenant la longueur / de la tangente, comptée
entre les points x ely. Son expression est
, ds
D'après les égalités (lo, 25), on a ici
ds _ v^a* — 6' ^a*~b* 3'(« — ti)a)3'(M + toa)
dH -^ b («a--P«)-- 1 tfiutf'coa '
^~ a'(a — Wa) a'(w -f- iv)(3'(w — w^)'
. _ v<** — ^* a'(a -H ù)a)a'( w -h «' — ù)a)o'iv
Considérée comme fonction de u, l ne s'évanouit que pour les
valeurs de u égales à (i)a( ou à o)» — w (sauf des périodes). La pre-
mière de ces racines ne correspond, on le sait, à aucun point réel.
CHAPITBE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUBS DES SURFACES DE RÉVOLUTION. a63
Dans les cas que nous avons supposés jusqu'à présent, où w -h iv
correspond à un point réel, nous savons aussi que Wa — w n'y cor-
respond point. En ces cas, / ne devient jamais nul. Ainsi, quand
la courbe {y) se déduit de {x) par une transformation homo-
graphique réelle, la surface confocale correspondante ne ren-
contre pas la géodésique. Au contraire, c^est en prenant des
surfaces confocales rencontrant la géodésique quon obtient
les courbes réelles {y) résultant de la géodésique par une trans-
formation homographique imaginaire.
Nous allons examiner spécialement ce second cas.
Cas où la surface confocale rencontre la ligne géodésique.
Nous supposons maintenant que Wa — %i/ soit l'argument d'un
point réel.
Ainsi, par hypothèse, on a
et u — U{ est réel ou purement imaginaire.
On a vu plus haut (p. 254) qu'en multipliant X(w -h w) par une
quantité réelle et positive - (v = \J^^')i et Y(m 4- w) par ± v, on
rend les produits conjugués. Il en est de même à l'égard de
X(a>a)et Y((i)a).
Au lieu de ± v, mettons ( — i)"v. Les quantités X(coa — w) et
Y(a)a — w) sont conjuguées; de même, -X(a)a) et ( — i)''vY(a)a).
Les quotients
I X((Oa— w) I Y(a)a — (v)
> -r-
'■' iX(u..) '■'• ^^('*»>
V
sont donc conjugués, et l'on a
(38) -i ^^'■"-"') = Re'+, JL ^('y-"') = R,-/4.,
-X(a)a)
R étant réel et positif, ij réel. Par conséquent,
X,(a) = X(w -+- iv)i«R e«^+''ofV),
364 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Ainsiy la transformation qui fait passer du point imaginaire x^
d'argument u-^ w^ au point réel y^ consiste à multiplier la dis-
tance à Taxe par la quantité réelle ou purement imaginaire e'^R, et
à faire tourner, autour de l'axe, d'un angle imaginaire ^j^ -h ilogv.
Quant à la transformation de l'ordonnée z^ on verra de même
qu'elle consiste en une multiplication par une quantité réelle ou
purement imaginaire.
Considérons maintenant, comme nous l'avons fait dans le cas
précédent, le point conjugué ^, qui se déduit du même point x^
mais au moyen de l'argument — w. Les relations (35) sont gé-
nérales, quel que soitç^^. La nouvelle transformation, toute sem-
blable à la précédente, en diffère donc seulement par le change-
ment du signe de la rotation imaginaire, qui est maintenant
— (^ + nogv).
Ici se présente une sorte de paradoxe : les deux courbes conju-
guées {y)^ (y) se déduisent l'une de l'autre par une rotation
imaginaire "^{^ -\- ilogv). Toutes deux pourtant sont réelles.
L'explication de ce prétendu paradoxe est fort simple. On a vu
(p. 253) que ces courbes possèdent des parties imaginaires qui se
déduisent des parties réelles au moyen de rotations imaginaires.
L'angle de rotation est /log[x'. Mais, précisément, v est la racine
carrée de ± [jl', en sorte que la rotation a (^ -j- ' Jog'^) peut se dé-
composer en une rotation réelle atjiou 2^ + 7t(siv = y/ — ^' ) et
la rotation ilog[i.' qui change la courbe (j^) en elle-même. Ainsi,
dans ce cas, comme dans le précédent, les courbes (y) et (y)
diffèrent seulement par une rotation réelle autour de l'axe.
Ces circonstances se comprendront encore mieux si Ton fait
l'observation suivante. L'argument Wa+fv n'est pas, en même
temps que Wa — w, celui d'un point réel, mais en diffère par une
période. Soit, en effet, w^une demi-période, argument d'un point
réel; l'argument w< est de la forme générale (i)"-h tt, où li est réel
ou bien purement imaginaire. Par conséquent,
L'argument to" — t^ est celui d'un point réel et Wa-f- w, comme on
voit, en diflfière d'une période. D'autre part, soit u = (o"-f- 1\ on sl
aussi
u — w = 2(a)a — 0)') •+■ WaH- t — ti.
CHAPITRE YI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 205
L'argument // — (v, à son tour, n'appartient pas à la même série
que l'argument u-h iv; car (i)a+ w — u^ et Wa-f- ^ — /| sont de la
même série. Si Ton change w en iv — a((i)a — o)"), on trouve le
même point y'; car la fonction p (S^) est doublement périodique
par rapport à iv. De cette manière, ce point j/^ se déduit du point
dont l'argument est u — iv — 2(0)'' — (!)«). Ce dernier appartient à
la même série que celui dont l'argument est a -f- fv, et l'on trouve
directement que les courbes (y) et {y') se déduisent l'une de
l'autre par une rotation réelle.
Surface confocale inscrite dans la développable.
La décomposition de la courbe suivant laquelle la développable
coupe toute surface confocale a lieu aussi quand la surface du
second degré, sur laquelle est tracée la ligne géodésique, n'est pas
de révolution. C'est une conséquence facile d'une propriété fort
connue : les tangentes d^une ligne géodésique de surface du
second degré sont tangentes à une seconde surface du second
degré, confocale à la première.
Pour le cas particulier où la surface est de révolution, cette der-
nière propriété se démontre facilement au moyen de l'analyse qui
précède. La tangente de la géodésique est, eb effet, tangente à la
surface confocale si la quantité / reste invariable par le change-
ment de w en — (v, c'est-à-dire si w est une demi-période ou
zéro. Sur les quatre valeurs que l'on prévoit ainsi pour (v, il en
est deux qui s'éliminent d'elles-mêmes: ce sont les valeurs zéro et
(i)a, qui rendent / nul ou infini. La valeur Wy doit aussi être écar-
tée; elle donne, en effet, (o^ — (v^wp; donc ). = 0, suivant les
égalités
et la surface confocale, dont l'axe b^ est nul (36), se réduit au
plan de l'équateur, compté double. Il reste donc la seule valeur
cop, à laquelle correspond, en effet, une surface confocale, tan-
gente à la développable. Cette surface ne rencontre pas la géodé-
sique quand celle-ci n'appartient pas aux espèces 111 ou IV; elle
la rencontre, au contraire, si la ligne géodésique est l'une de ces
deux espèces.
^66 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Points homologues.
Les deux courbes (y) et (y) se déduisant l'une de l'autre par
tine rotation réelle, chaque point y de l'une a son homologue y
sur l'autre, de façon que l'on passe de ^^ à ^ par une rotation
indépendante de jk« Quand u-i-w est l'argument d'un point réel,
on trouve immédiatement, comme il suit, les coordonnées du
point y, homologue de y.
En désignant par X'^(?£), Y\(u), z\{u) les coordonnées du point
déduit de x avec l'argument — (v, on aura, changeant u en
u 4- 2W et d'après les égalités (34),
z\(u-{- 2iV ) = C z( u -{- w),
on même temps que, pour le point^, on a, de même,
Xi(u) = B X(m -4- (v), Y,(m) = Bo Y(a + iv),
Zi{ii) = Cz(u-\- w).
La liaison entre ces deux points résulte de ce que l'on en déduit
Xi(w) ~ B ~ ' Yi(i/) Bo '
Z\(U -4-2iv) _
11 est d'ailleurs manifeste que chaque point ^ a une infinité de
points homologues réels, qu'on obtient en ajoutant à w des pé-
riodes de même espèce que du. C'est un fait d'accord avec la pro-
priété que possède la courbe (^') de se composer d'une infinité
de branches se déduisant les unes des autres par rotation autour
de l'axe.
Prenons maintenant le cas où c'est Wa — iv qui est l'argument
d'un point réel. Avec les mêmes notations qu'à Tavant-dernier
paragraphe, on a
Ainsi « 4- aw appartient, non pas à la même série que m, mais
CHAPITRE YI. — LIGNES GÉODÊSIQUfiS DES SURFACES DE RÊV0LUTI01<î. 267
à une série qui diffère par une période. Le multiplicateur relatif à
cette période est [x', et l'on a, en désignant cette période par
2 0)'= 2((o'' — Wflt), et prenant B et Bo dans les égalités (34? 38),
Ai(a) •^ B V*
^^ J Y',(WH-2W'-+-2(V) I B ,.,vî _^ ,..
\ Yi(u) jJi' Bo |x'
On voit par là que le point ^ a, pour homologue réeljr', celui
qui se déduit du point x, dont l'argument est w H- aco' + 2 w, au
moyen de Targument — w.
Théorèmes sur les arcs.
Considérons, de nouveau, la longueur / portée sur la tangente
de la géodésique au point x, pour obtenir le point y. Nous met-
trons en évidence l'argument du point x, en écrivant l(n) au lieu
de /. Cette fonction /(w), doublement périodique, est exprimée
en produit de facteurs dans la formule (37). Si nous la décompo-
sons en éléments simples, nous obtenons
Rapprochons-la de l'expression de l'arc (11)
s{u) = z Y («aW + Cm) + const.
Soit ^{s\>) la quantité suivante, indépendante de Uy
pour laquelle on doit observer que c'est une fonction impaire.
Prenons s(u) et s{u -+- w) et nous avons
(40) l{u) =z s(u -^ w) — s(u) -^ ^(w).
268 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Cette égalité nous fournit une expression de la différence des
arcs comptés dans un même sens, à partir d'une même origine, et
aboutissant à deux points variables dont les arguments diffèrent
par une constante. Elle est susceptible d'un énoncé géométrique
intéressant, sur lequel nous ne nous arrêterons pas cependant à
cause des détails qu'exigerait ici la nécessité de préciser le sens
dans lequel est comptée la longueur /(w) sur la tangente. Nous
passerons aussi sur les propositions élégantes exprimées par les
égalités
/(w)-h /'(m -^w) = o,
l{u) -^ /'(u) = s(u-\- w) — is{u)-^ s{u — W)j
l(u) — l'{u) = S{u-h W) — S(U — «')-H2<}^(w),
où l\u) désigne la longueur œy portée du point x sur la tan-
gente et obtenue par le changement de w en — w dans l'expres-
sion de l(u). Il faut seulement observer que les signes de l{u) et
t{u) sont, suivant les cas, opposés ou concordants, en sorte que
l{u)-\-l{u) peut être la somme ou la différence des longueurs
absolues. Quand w est suffisamment petit, l{u)-^l'{u) est une
différence de longueurs; car la fonction /(w) passe par zéro, en
changeant de signe, avec w.
Nous arrivons maintenant à la proposition la plus élégante, que
nous obtiendrons en considérant les longueurs l(u) et l'[u-\-2iv)^
comptées à partir de deux points homologues y d y' sur les tan-
gentes de la ligne géodésique, qui aboutissent en ces deux points.
Pour avoir ici un énoncé précis, examinons d'abord le signe du
rapport de ces deux fonctions. D'après la formule (37), nous
avons
l'{u -\-iiv ) <^(u-\-iiv — W31) c'a
Que la surface con focale, correspondant à wp, coupe ou ne coupe
pas la géodésique, les deux arguments u et w -f- 2(P sont, dans les
deux cas, des arguments de points réels, effectivement ou à une
période près. Que ce soit seulement à une période près, cette cir-
constance est sans influence sur le premier membre (40» ^^ effet,
/(//) est une fonction doublement périodique de w, et l'on peut,
sans altérer ce premier membre, considérer les deux arguments
comme étant ceux de deux points réels.
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 269
Dans le second membre, envisageons le premier facteur, dont
les deux termes d{u — a)») et ^{u'^-iw — Wa) ne deviennent
jamais nuls, puisque la demi-période coa n'est pas un argument de
point réel, quelques périodes qu'on y ajoute. Ce premier facteur
a donc un signe inaltérable. Pour reconnaître ce signe, distin-
guons deux cas : i° Si w et z/ H- 2 w sont des arguments de points
réels, sans addition de période, le signe est plus, comme on le
voit en supposant la valeur particulière çv = o. a** Si w et Wa — \v
sont des arguments de points réels, le signe est moins; c'est ce
qu'on voit en supposant w = Wa — iv. Ces deux cas sont les seuls
qu'il y ait lieu de considérer, comme on l'a vu précédemment, et
comme on le reconnaît aussi par cette considération que le second
membre (4o) est doublement périodique par rapport à u, La dis-
tinction de ces deux cas est précisément la même que celle des cas
où la surface confocale ne coupe pas ou bien coupe la ligne géo-
désique.
Venons au second facteur du second membre (40' Dans le
premier cas, en laissant u constant, faisons varier w à partir de
zéro. Il y a passage par zéro, avec changement de signe, chaque
fois que /z -f- 2 (v franchit une période. A ce moment, le point
d'argument a -h 2(v s'éloigne à l'infini. Donc le signe du facteur
Qsl plus o\x moinSy suivant que les deux points considérés sur la
géodésique sont séparés par un nombre pair ou impair de points
à l'infini. Dans le second cas, où (»)« — w est l'argument d'un
point réel, faisons varier u à partir de (Oa — w. On a d'abord
— j — ■' e-*^aw = I
en sorte que le signe est plus. Il y a ensuite changement de signe
chaque fois que u ou que z/ -f- 2(v franchit une période, et le ré-
sultat est le même que dans le cas précédent.
En résumé, m étant le nombre des points à l'infini qui séparent
les deux points considérés (w et /^-f-atv), le signe de la fonc-
tion (4i) est ( — i)'" si la géodésique rencontre la surface confo-
cale, et ( — i)'""'"* dans le cas opposé.
Dans la formule (4o), mettant a -h 2 (v et — w, au lieu de u et
vv, nous avons
l'(ll -T- 9.w) = S{U -\- W) — S(U -h 2W) — '{'(«V).
2/0 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous concluons
(42) /(a)— /'(a-t-2tv) = 5(w-ï-2tv) — 5(i/)-h2<]/{tv).
Pour énoncer ce résultat, nous devons observer que le premier
membre est une différence de longueurs absolues ou une somme,
suivant que l{u) et l\u H- aw) ont mêmes signes ou des signes
opposés, ce que nous venons d'apprendre à discerner.
Voici donc le théorème (*) :
Sur les deux courbes d'intersection d'une sur/ace confocale
on prend deux points homologues y et y'. En chacun d'eux
passe une tangente de la géodésique ; soient x et x^ les points
de contact. Soient s et s! les arcs de la géodésique aboutissant
en X et x' et comptés à partir de deux points fixes x^ et x\^
positions particulières des points x et x'. Soit m le nombre des
points à C infini qui séparent x et x' . La différence s' — s des
deux arcs et la somme xy -ài ( — i Y^ x'y ne diffèrent que par
une quantité constante.
On doit prendre le signe plus quand la surface confocale
ne rencontre pas la géodésique, le signe moins dans le cas
opposé.
Dans le cas où il n'j a pas de branche infinie entre les points
X et x', ce qui a lieu notamment pour les lignes géodésiques des
ellipsoïdes, on peut dire plus simplement que Varc xx' et la
somme xy -j- ^'y diffèrent par une quantité constante, quand
la surface confocale ne rencontre pas la géodésique. Si, au
contraire, il y a rencontre, on doit observer que s{u 4- iw) doit
être remplacé par 5(«^ -f- 2a)'-h 2iv), 20)' étant la même période
que dans les égalités (Sg). Cette modification de l'argument
change la constante ii^[w) de la formule (4^)* Remarquons
(') Par une rotalion constante autour de l'axe, on peut amener y' en coïnci-
dence avec y. Celte rotation, imprimée à la géodésique, donne une seconde
géodésique, tangente au même parallèle. De cette manière, on a une proposi-
tion concernant les arcs de deux géodésiques difTérentes et les tangentes qui leur
sont menées par un point quelconque de l'intersection de leurs développabics.
Ayant eu l'idée de transformer ainsi le théorème, M. Darboux a trouvé qu'il
s'applique aux géodésiques tracées sur une surface du second degré quelconque,
sans autre modification que celle-ci : au lieu de deux géodésiques tangentes à un
même parallèle, il faut envisager deux géodésiques tangentes à une même ligne
de courbure.
CHAPITRE YI. — LIGNES GÊODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 27 1
maintenant que les deux points jk et j-' viennent simultanément
se placer sur la ligne géodésique elle-même. Pour cette position
particulière, xy et x'y' sont nuls. Si Ton compte donc les arcs à
partir de ces deux origines, on peut énoncer la proposition ainsi :
La différence xy — x'y est égale à la différence des arcs y^x
et y'^x'^ comptés à partir des points homologues y^^ y\ situés
sur la géodésique.
Méridiens.
C'est en supposant c = o que Ton fait dégénérer la géodésique
en une courbe méridienne, comme le montre l'équation (a). Il y
correspond l'hypothèse pç = Cy (l'j). Cette hypothèse n'altère en
rien les expressions de la coordonnée z (9) et de l'arc s (11).
De là résulte que les arcs géodésiques s'expriment fort simple-
ment en arcs d'ellipse ou d'hyperbole, suivant la nature de la
surface. Voici, à cet égard, les résultats que les égalités (8) don-
nent immédiatement.
Sur la surface
X* -h r' z^
on considère une géodésique caractérisée par la quantité c; on
envisage, d'autre part, la conique
-'« r.'i
a? * z _^
avec la condition
a'
et l'on fait correspondre entre eux les points de la géodésique et
ceux de la conique suivant l'égalité
(a^ — c^)z'* = a^z^.
Les arcs décrits, sur les deux courbes, par les points correspon-
dants, sont égaux entre eux.
On remarquera que, pour les deux espèces II et III de lignes
géodésiques, la proposition n'a point lieu réellement.
272 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Théorème sur les arcs d'ellipse et d'hyperbole.
Quand la géodésique est un méridien, Tintersection de la déve-
loppable avec une surface confocale se réduit à une conique de
mêmes foyers que ce méridien. Cette conique est alors la réunion
des deux courbes d intersection, distinctes dans les autres cas.
Les points homologues se confondent entre eux. Le théorème
sur les arcs géodésiques se change ainsi dans le suivant : D^un
point variable y^ pris sur une conique, on mène les tangentes
à une conique confocale ; soient x et x' les points de contact;
soient s et s! les arcs aboutissant en x et x' et comptés à partir
de deux points fixes x^ et x\^ positions particulières des points
X et x\ La différence s' — s des deux arcs et la somme xy zhx'y
ne diffèrent que par une longueur constante. On doit prendre
le signe plus i^ quand les coniques sont toutes deux des ellipses;
2** quand ce sont deux hyperboles et que les points de contact
sont sur une même branche d'hyperbole ; 3° quand les coniques
sont, la première une ellipse, la seconde une hyperbole^ et que
les points de contact sont sur deux branches distinctes. On doit
prendre le signe moins dans les trois autres cas.
Propositions sur la fonction (.
Nous avons vu sommairement (p. 80) qu'il y a des herpolho-
dies algébriques. La liaison qui existe entre les lignes géodésiques
des surfaces de révolution du second degré et les herpolhodies
(p. 249) donne naturellement lieu à cette question : outre Téqua-
teur et le méridien, peut-il se trouver d'autres lignes géodésiques
qui soient des courbes algébriques?
C'est pour répondre à cette question que nous allons établir
quelques propositions concernant la fonction Ç. Voici la première :
Le discriminant étant positi/j l'équation
(42) Ç(t,-Ha>')-T/-^ = o
na pour racines réelles que les multiples entiers de w (o)' dé-
signe la demi-période purement imaginaire, et (ù la demi-période
réelle).
CHAPITRE TI. — LIGNES GÉODÊSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 278
Comme le premier membre a la période 2 w et, de plus, esl une
ibnctioD impaire de i^, il suffit de prouver qu'il n'existe aucune
racine entre zéro et w.
La'dérivée du premier membre est — p(t^4- w') — -; elle dé-
croît constamment quand ç croît de zéro à co et, par conséquent,
s'évanouit une fois, au plus, dans l'intervalle. Mais la fonction (42)
est nulle pour les deux valeurs extrêmes, et reste finie dans l'in-
lervalle. Elle a donc un maximum et un seul, partant n'a point
de racine autre que les deux valeurs extrêmes.
Il faut avoir soin d'observer que l'hypothèse sur le signe du
discriminant est indispensable à la démonstration. Quand le dis-
criminant est négatif, ^(0)3 -h w'^^) est infini ; car W2 -H ^'2 ^^^ ^^^
période (l. I, p. 74)»
En corollaire, on voit que r équation
na pour racines purement imaginaires que les multiples en-
tiers de co'.
Une autre conséquence de la démonstration concerne les valeurs
extrêmes de la dérivée^ la valeur initiale est positive, la valeur
finale négative; ainsi l'on a
e3-+--<o, eî-f-->o,
comme nous l'avons déjà établi par le moyen des développements
en séries (t. I, p. 4^4 )> a fortiori^ ei -f- - est aussi positif.
Le discriminant étant positif, V équation
(44) ^^-i^ = ^
na pour racines réelles que les multiples impairs de w.
En effet, la dérivée — pç — - croît constamment depuis — 00
jusqu'à la valeur négative — e^ — -> quand v croît de zéro à w.
Elle ne s'évanouit donc pas et reste toujours négative dans l'in-
11. 18
274 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
tervalle. La fonction (44) est donc décroissante, partant n'a pas
de racine autre que la dernière valeur de ç^.
De même, V équation
(45) Ç^,_^ = o
n'a pour racines purement imaginaires que les multiples im-
pairs de iù\
Si le discriminant est négatif, la même preuve a lieu pour
l'équation (44)? dans le cas où la valeur finale — e^ ^ de la
dérivée est négative. Au contraire, si cette quantité est positive,
la fonction (44) ^ un minimum négatif et s'évanouit avant de par-
venir à ce minimum. Si l'on pose, comme au tome l (p. 267
et 268),
/'Un 757; ,/-,
e = * V ^ ,
que l'on remplace q par i^^ ei w, t), e« par w,, r,,, e^ dans le
développement donné (t. I, p. 44^), on obtient
Si l'on se reporte au tome I (p. 427 et 287), on reconnaît que
cette dernière quantité est positive quand q' est inférieur à
o, 1 07653 • . . , négative dans le cas opposé.
Ainsi, le discriminant étant négatif y V équation
(46) ç^,_]?iî: = o
na pour racines réelles que les multiples impairs de 0)2 , si
q' est inférieur à 0,107653...; elle a une autre racine dans
chaque intervalle d^ une demi-période, si q' est supérieur à
o, 107653
Ces résultats, qu'il était utile, pour la clarté, de mettre en évi-
dence ici, ne diffèrent pas, au fond, de ceux qu'on a établis
(t. I, p. 285) à l'égard des fonctions Sr.
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 2y5
Les lignes géodésiques des surfaces de révolution du second degré
ne sont pas algébriques.
Pour que les équations (i6) représentent une courbe algé-
brique, il faut cl il suffit que Ton ait (m étant entier)
2w étant une période (t. I, p. 224).
Pour l'espèce I(p. 243), i^étant purement imaginai re et c«)a= w,
on devra avoir ainsi, n étant entier,
m oi
r'ç
C'est l'équation (43), dont les seules racines répondent aux
méridiens.
Pour les espèces II et III, on devra avoir
En posant i^ -t- a> = v^', il en résultera
c'est l'équation (44)> dont les racines donnent pour pune période.
A une telle valeur de ^^ correspondent des valeurs infinies pour
les axes (17).
Pour l'espèce IV, on trouvera de même l'équation (42) et, pour
les espèces V et VI, l'équation (44) dont les racines, en ces trois
cas, fournissent les méridiens.
Il est donc établi que les lignes géodésiques, dont il s'agit ici,
ne peuvent jamais être algébriques.
Exemple d'une courbe analogue, mais algébrique.
Tout au contraire, on peut trouver des courbes algébriques
parmi celles que représentent les équations (16), si, comme nous
276 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
l'avons dît plus haut, on y accepte un discriminant négatif. Sup-
posons, en effet, (»)«= C02 et i' -t- W2= ^ réel; la courbe sera algé-
brique si Ton a
m • ^\ ^j
d*où résulte
Cette équation, on vient de le voir, peut posséder une racine non
multiple de (o 2, dans chaque intervalle d'une demi-période. On
conçoit donc qu'en choisissant l'invariant absolu, on puisse faire
que cette racine soit commensurable avec (O2. S'il en est ainsi,
ç aura la valeur exigée et la courbe sera algébrique. Voici un
exemple.
Supposons ^2 = 0 et, pour simplifier l'écriture, prenons
^3 = — I , ce qui n'apporte aucune restriction nouvelle. Pour
ces fonctions elliptiques particulières, la division des périodes
par 3 dépend d'une équation très simple. La fonction ^3(w) se
réduit, en effet (t. I, p. 96), à la forme
Elle a deux racines réelles pu; ce sont p -— et p -j^« La se-
conde de ces racines doit être inférieure à ^2? 1» première
doit être supérieure. Comme e, est ici négatif ( ^2 = — 37= )» ^^ ^
acut
p-3-=o.
Nous avons, d'autre part (t. I, p. 198),
(47) , '''»(")= -^TiT'
d'où, par la dérivation logarithmique, on conclut
Supposons u ^ = a', infiniment petit. Les deux termes
CHAPITRE VI. — LIGNES GÊODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉYOLUTION. 277
du second membre sont infînis, et la partie principale de la diffé-
rence fournit la relation
>/aa>,\ 2r„ i ^» V 3 /
De l'expression de ^3 (m) résulte
^\(u) = gp'^up'u = 54p'*wp*w.
Par conséquent,
Voici donc un cas où Téquation (46) a une racine qui, sans être
une demi-période, est cependant commensurable avec celte demi-
période.
Si nous prenons ainsi
(;-+-(,),=: — - , t, = — _ = — ,
5 0 o
dans ce cas où Ton a «^2 = 0, la courbe représentée par les équa-
tions (16) sera algébrique. Il ne reste plus qu'à former effective-
ment l'expression des coordonnées en fonction de jDwet jd'i/.
Pour abréger un peu le calcul, nous calculerons le quotient
X: Y, comme il suit. On a d'abord (en écrivant (o et t) au lieu
de 0)2 et Tja)
I '2 tu I
L ^"^T J
(48) \— ^e'' =4(p'w-+-i).
Effectivement le premier membre est une fonction entière de
puelp'u (t. I, p. 224)) et cette fonction entière est complètement
caractérisée par sa partie principale pour w = o, et par sa racine
triple u = ^^ • La partie principale du second membre est ->
278 DEUXlkMB PARTIE. — APPLICATIONS.
comme celle du premier membre. A l'égard de la racine, on a
en sorte que le second membre satisfait aux conditions requises.
De l'égalité (48), on conclut, par le changement de u en
L'égalité (47) donne, si Ton y remplace à par — -f- w et qu'on
suppose ensuite u = o,
(-¥)'=
*(>«. + 3 «) ^_^^,„,,„, ='3« ^ 3e«'-"
4',(^H-«) 'i"(x-^") 'l'K^)
On a vu plus haut que ^'^=3p'^. Le dénominateur est donc
égal à — 3, et l'on a
2 0) — - rj O)
Ainsi Tcgalilé (49) se réduit à celle-ci :
Lil'ona poséX = pf /^ -h — V Par la formule d'addition, on a en-
ou
suite
VJ I f
to\ î
_ . W I
Pour obtenir jd-? il faut prendre la formule d'addition des
demi-périodes qui donne
CHAPITRE VI. — LIGNES GÊODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 279
Comme on a ici p -r- = o, e2 = — 77^ > il en résulte
*^ 3 ' J/4
puis
a> 3/-
P3 =--3,
En conséquence,
Nous avons ainsi le quotient et le produit de deux coordonnées.
Le carré de la troisième coordonnée doit être pris proportionnel
à 62 — pu. Remplaçant )v parX^^, on peut énoncer le résultat
comme il suit : X étant un paramètre variable ^ les équations
(î)'=a(n-/8xnr7).
représentent une co\irbe ayant ta propriété signalée précédem-
ment (p. 258): il existe une infinité de surfaces du second
degré (formant un faisceau tangentiel), dont chacune coupe,
suivant deux courbes distinctes et homo graphiques à la courbe
elle-mémey la développable dont celle-ci est V arête de rebrous-
sèment.
Exemple dlierpolhodie algébrique.
A ce sujet se rattache l'étude des herpolhodies algébriques,
dont nous allons parler sommairement et donner un exemple.
Les équations de l'herpolbodie (p. 55) ont la forme ci-après,
ar zb « V = eix ( -. G ) —3 — -— ^ , G = Xe V M- / .
Le discriminant est positif et l'argument constant v est égal à
(0 augmenté d'une quantité purement imaginaire. Pour que la
28o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
courbe soit algébrique, la première condilion c'est que i^ soit une
fraction de période : donc
p = w H-
/n
la seconde, c'est que le coefGcient de u dans l'exponentielle G
2/17)
soit — T. -; ainsi
m
ith ^ inri
=Çt' — T) — -•
[1 m
Il y a donc deux conditions, et leur traduction par les éléments
géométriques n'offre que des difficultés de calcul, sans aucun em-
barras théorique. La première condition, en effet, se traduit par
l'égalité \m{v) = o, où l'on devra remplacer pv elp'ç par leurs
expressions en fonction des éléments géométriques (p. 47)» Quant
à la seconde condition, le même calcul qu'on a fait tout à l'heure
avec l'hypothèse m = 3 fournit, pour l'exprimer, Tégalilé
où l'on remplacera, de même, pv et jdV. On aura donc ainsi deux
équations algébriques pour exprimer toutes les conditions du
problème.
La seconde équation peut être simplifiée quand m est pair. Soit
m=^ip\ prenons l'égalité
pour en tirer
On dipv =p{o -h niù'y et il faut observer que n est un nombre im-
pair, sans quoi la fraction — ne serait pas irréductible. U s'ensuit
que tous les termes sont ici finis. D'autre part, ^(p^^) est égal à
pr^ -f- nr^'j en sorte que l'équation devient
7~ "" />* ^p(^)'
CIIAPITKE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. a8l
C'est celle équation que nous allons appliquer en supposant m = 4-
Il faut alors employer la fonction ^2i^) = — p'^ (^« I» p» 96).
Mais, suivant une conséquence du théorème d^addition (t. I,
p. 107), on a
p V ^ p V -4- p' 2 P
pV ~~ pP — p^V
et, puisque 2 r = a w -f- w', il en résulte p'2ç=^0j ^2(^ = ^3.
Ainsi Téquation se réduit à
(5.) '^^-' ^''
fjt 4 pp — ça
Dans la théorie des mouvements à la Poinsot, nous avons, au
Chapitre II, employé en indices les lettres a, p, y au lieu des chif-
fres 1,3, 2. La correspondance des lettres et des chiffres peut
être quelconque; mais, en établissant la correspondance dans
l'ordre indiqué, on obtient un classement, toujours le même,
des carrés des axes et de h^ par ordre de grandeur, ainsi qu'il a été
expliqué page 5o. Employons donc cette correspondance, en
sorte que l'indice 3 équivaut ici à Pindice p des équations (7) de
la page 47 ? d'après lesquelles l'égalité (5i) devient
— 2A»=6î-/i« ou h^ = -b^.
Voici donc déjà un résultat très simple, qui nous montre, en outre,
d'après le classement des carrés des axes, la nature de la surface
base : c'est un hyperboloïde à deux nappes; 6- et c^ sont néga-
tifs, a^ positif.
Au lieu d'employer l'équation t}/4(r)==o, nous pouvons ici
abréger beaucoup; car nous connaissons les fonctions pv et p'v
pour les quarts de période (t. I, p. 5i). A propos de ces quarts
de période, on a fait usage, à l'endroit cité, des notations sui-
vantes, où nous employons des lettres majuscules pour éviter la
confusion :
ep — ey = A», eai—e^= G*
Pour l'argument v, dont il s'agit ici, on a (en permutant les let-
tres à la page 5i du tome I)
pç^ — eg=riCA, p(> — ey= iA(C — t'A), pp — Ca = --C(C— e'A).
282 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
De ces égalités, prenons la première, en remplaçant pif — e^
par son expression en fonction des éléments géométriques (p. 4^),
D'autre part, on a aussi (p. 48)
Aî = —
[i^h* fjt*6*
_ _ (gg— 6»)(c« — A») _ (<yî-^6«)(c»-4-6*)
Kn substituant et élevant au carré, on obtient
Le dernier facteur peut seul être nul. Le premier, en effet, est la
somme de deux termes négatifs; et, si le second était nul, Thy-
perboloïde se réduirait à un point, à cause de la condition
Nous mettrons maintenant — 6*^, au lieu de b^. Voici donc le
résultat : rhyperboloïde à deux nappes, dont une section prin-
cipale est équilatère,
roulant sur un plan dont la distance au centre est b, engendre
une lierpolhodie algébrique.
Formons Téquation de cette herpolhodie.
Il convient d'abord de préciser A et C, dont les carrés seuls
sont définis, à savoir
G>= Cl— es, (/A)*= é'î— ^3.
L'expression de pfw-j-T^)» donnée au tome I (p. 55), montre
(|ue C et l'A doivent être de même signe, moyennant quoi v est
égal (sauf des périodes) à co ±: — • Quant aux signes mêmes de
ces deux quantités, il importe peu de les fixer ici; car, en les
changeant, on passe de l'argument (o -f- -p à l'argument w — — >
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 283
ce qui ne constitue, en fait, qu'une seule et même solution. Ce
changement a pour effet de changer seulement le signe de pV, de
changer, par conséquent, e en — e, ou, en d'autres termes, le sens
d'un axe. A cause de la valeur actuelle de c^ = — a^, si l'on met,
en outre, — b^ au lieu de ft^, on obtient, d'après les expressions
précédentes de A^ et C^, celles-ci :
/it _< Aï n^ ht
(52) c=^-, ,A=ÎÎ^-^ = B,
en conformité avec la condition supposée 6^< a^.
Le point de départ pour le calcul sera pris dans la relation
Changeons w en w -f- co , et remplaçons, au dénominateur,
^(u-h(ii — — ) par la quantité égale
^/„+,_^'^ =_.-(„_„_ ^')X"-T);
nous aurons ainsi (eu mettant l'indice ^ à la place de l'indice 3)
c'ew — (0 j r\ /
Mais on a, d'autre part (t. 1, p. 194)5
V^(ei — e3)(e,— e,) /t'AC V'p^ — ^^
Il vient donc
(33) ^!^ e-.....» = _ v/±r:zlH
Soit 0 l'angle polaire; on a
P
284 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Il faut d'abord examiner la nature de la constante arbitraire A*.
A cet effet, on peut prendre une valeur particulière de Targument w,
par exemple w' ; car, on se le rappelle, u — w' est réel. On a
On voit donc qu'en prenant Torigine de l'angle 6 à cette valeur de
l'argument, on aura Ar= i. Posant, en outre,
0)'
M -h U) = W,
a
nous avons de la sorte, suivant (53),
= e*^ = <«.
De là nous tirons, en mettant B au lieu de /A (62),
pw — e^= t^BG,
pw — ea= — tc(c- — Bn,
p'^w = -4B*G«^HB«-f-Gî— 2BGco84e),
pw — pç = BG(/»- I) = /iBCts'in^^,
Nous avons maintenant à exprimer pu en fonction de l au
moyen du théorème d'addition; car on a
•y.
Prenons la formule d'addition sous la forme qui est indiquée à
la page ap du tome I (deuxième ligne) et qu'on peut écrire ainsi
(^pw — pvf(jpu'-ez) = {pw — e{){pv —e^){pv — e{)
-\-{pv — e{){pw — e, )(piv — e,) — \p'w pV.
Elle donne, après suppression du facteur commun B^C*/^,
4 sinî20(pM - c^) = (G — B)«
^(C,-Bi)(ci-B.)
- 2(G — B) v/B»-HG«-tiBGcos40
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 285
OU bien
Bî-i-G* _^ . ^ G— B
sin«?.0(pw — e^) = : BGcos'aO /BM-G«--2BGcos4e.
Retranchons maintenant sin-5i6(pr — ^3) el nous aurons
sin220(j)a-j)i^)= ^-^ ^ _ ^._J? /B*-h G«— 2BC cos4e.
Le signe devant le radical est ici précisé par cette considération
que le second membre doit s'évanouir pour 6 = 0, qui donne,
nous Tavons vu plus haut, w = w', et laisse, par conséquent,
pu — pif fini. En mettant, à la place de B et C, leurs expres-
sions (Sa), nous obtenons ainsi
^2sin»2 6(pa — pv) = 26* — 2 v^6*cos*20 -+-a*sin*26.
D'après l'expression de a: ±: iy^ on a
voici donc l'équation de la courbe en coordonnées polaires r, 6 :
/•* sin* 26-4-26*= 2 /ô* cos* 2 6 -t- a* sin* 2 6 .
On y retrouvera, sans difficulté, les carrés des rayons vecteurs
maxima et minima, conformes à ce qui a été trouvé, en général
(p. 61), savoir — ^ — et 2(a- — 6'^), répondant à 6 = o et 0 = -•
La courbe affecte l'une des formes données par les /ig. 3 et 4
(p. 63); l'angle compris entre les deux rayons est de 45® et la
courbe entière se compose de huit arcs égaux. Lsi/ig, 3 a lieu si
6* est inférieur à \a^', c'est \^fig* 4? ^^ contraire, dans le cas op-
posé. Ce résultat se reconnaît par la condition établie pour les
points d'inflexion (p. 64).
278 DEUXlftME PARTIE. — APPLICATIONS.
comme celle du premier membre. A l'égard de la racine, on a
P -j- = '»» P -^ = — I, P — =0, p -j- = O,
en sorte que le second membre satisfait aux conditions requises.
De l'égalité (48), on conclut, par le changement de u en
« + T'
o fil
L'égalité (^7) donne, si l'on y remplace à par — + w et qu'on
suppose ensuite u = o,
On a vu plus haut que^3=3p''. Le dénominateur est donc
égal à — 3, et l'on a
2 W — zT,tù
(f -^ e ^ =1.
Ainsi l'égalité (49) se réduit à celle-ci :
(50) ltZl}el'" = h^s/^T-l
OÙ l'on a posé)v = pf // 4-^)* Par la formule d'addition, on a en-
suite
Pour obtenir p-^i il faut prendre la formule d'addition des
demi-périodes qui donne
(p ^ — e,j (p — — eij =(ei — ei)(e, — 63) = 3c^
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 279
Comme on a ici p -^ = o, 62 = — ^> il en résulte
tu 3/-
puis
P 3 = - 3.
En conséquence,
Nous avons ainsi le quotient et le produit de deux coordonnées.
Le carré de la troisième coordonnée doit êlre pris proportionnel
à 62 — pu. Remplaçant \ par)./2, on peut énoncer le résultat
comme il suit : )v étant un paramètre variable^ les équations
(îy=a(i + v^8xr;:7),
représentent une co\irbe ayant la propriété signalée précèdent'
ment (p. 258): il existe une infinité de surfaces du second
degré (formant un faisceau tangentiel), dont chacune coupe,
suivant deux courbes distinctes et hom,o graphiques à la courbe
elle-même, la développable dont celle-ci est l* arête de rebrous-
sement.
Exemple dlierpolhodie algébrique.
A ce sujet se rattache l'étude des herpolhodies algébriques,
dont nous allons parler sommairement et donner un exemple.
Les équations de Therpolbodie (p. 55) ont la forme ci-après,
x±iy = zil{ -.G] —3 — -— ^ , G = ke \ V- / .
Le discriminant est positif et l'argument constant v est égal à
0) augmenté d'une quantité purement imaginaire. Pour que la
a8o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
courbe soit algébrique, la première condition c'est que i^ soit une
fraction de période : donc
{> = w -^ :
m
la seconde, c'est que le coefGcient de u dans l'exponentielle G
a/iT)' • .
soit — T. : ainsi
m
ith ^ 2/17)'
Il y a donc deux conditions, et leur traduction par les éléments
géométriques n'offre que des difficultés de calcul, sans aucun em-
barras théorique. La première condition, en effet, se traduit par
l'égalité i(m{v) = o, où l'on devra remplacer pv elp'v par leurs
expressions en fonction des éléments géométriques (p. 47)» Quant
à la seconde condition, le même calcul qu'on a fait tout à l'heure
avec l'hjpothèse m = 3 fournit, pour l'exprimer, l'égalité
où l'on remplacera, de même, pv et p'v. On aura donc ainsi deux
équations algébriques pour exprimer toutes les conditions du
problème.
La seconde équation peut être simplifiée quand m est pair. Soit
m = 2p; prenons l'égalité
pour en tirer
On a pç =p(o -f- nto'j et il faut observer que n est un nombre im-
pair, sans quoi la fraction — ne serait pas irréductible. Il s'ensuit
que tous les termes sont ici finis. D'autre part, Ç(/>^) est égal à
/?7i 4- wvi', en sorte que l'équation devient
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÊSIQLES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 28 1
C'est cette équation que nous allons appliquer en supposant m = 4-
Il faut alors employer la fonction t}/2((^) = — pV (t. I, p. 96).
Mais, suivant une conséquence du théorème d^addition (t. I,
p. 107), on a
p'v ~ pif — p^v '
et, puisque 2i^ = ato -4- w', il en résulte p' 2(^=0, p2v = e3.
Ainsi Téquation se réduit à
(5,) ''^-' ^''
[i 4 pv — ^i
Dans la théorie des mouvements à la Poinsot, nous avons, au
Chapitre II, employé en indices les lettres a, p, y au lieu des chif-
fres 1,3, 2. La correspondance des lettres et des chiffres peut
être quelconque; mais, en établissant la correspondance dans
Tordre indiqué, on obtient un classement, toujours le même,
des carrés des axes et de h^ par ordre de grandeur, ainsi qu'il a été
expliqué page 5o. Employons donc cette correspondance, en
sorte que Tindice 3 équivaut ici à Pindice p des équations (7) de
la page 47 ? d'après lesquelles l'égalité (5i) devient
— 2A*=6«-/i» ou h^ = -b^.
Voici donc déjà un résultat très simple, qui nous montre, en outre,
d'après le classement des carrés des axes, la nature de la surface
base : c'est un hyperboloïde à deux nappes; b^ et c^ sont néga-
tifs, a^ positif.
Au lieu d'employer l'équation tj/4(r) = o, nous pouvons ici
abréger beaucoup; car nous connaissons les fonctions pv et p'v
pour les quarts de période (t. 1, p. 5i). A propos de ces quarts
de période, on a fait usage, à l'endroit cité, des notations sui-
vantes, où nous employons des lettres majuscules pour éviter la
confusion :
ep — ey = A», ^a— ^p = G»
Pour l'argument p, dont il s'agit ici, on a (en permutant les let-
tres à la page 5i du tome I)
P^ — eQ=z eCA, pi> — gy= i;A(C — «A), pv — eaL = — C(C— e'A).
^82 DEOXIÈSE PARTIE. — APPLICATIONS.
De ces égalités, prenons la première, en remplaçant pi> — e^
par son expression en fonction des éléments géométriques (p. 48),
_ ___ (çî— A»)(aî— A«) __ (c»-4-&»)(a^-f-^«)
D'autre part, on a aussi (p. 48)
Aî=-
11^ h^ [i^b^
En substituant et élevant au carré, on obtient
Le dernier facteur peut seul être nul. Le premier, en effet, est la
somme de deux termes négatifs; et, si le second était nul, Thy-
perboloïde se réduirait à un point, à cause de la condition
Nous mettrons maintenant — 6'^, au Heu de b^. Voici donc le
résultat : Chyperboloïde à deux nappes, dont une section prin-
cipale est équilatère,
roulant sur un plan dont la distance au centre est b, engendre
une lierpolhodie algébrique.
Formons Téquation de cette herpolhodîe.
Il convient d'abord de préciser A et C, dont les carrés seuls
sont définis, à savoir
L'expression de p( w 4- — j, donnée au tome I (p. 55), montre
(|ue C et /A doivent être de même signe, moyennant quoi v est
égal (sauf des périodes) à w zh — • Quant aux signes mêmes de
ces deux quantités, il importe peu de les fixer ici; car, en les
changeant, on passe de l'argument co -f- -;- à l'argument to — —,
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 283
ce qui ne constitue, en fait, qu'une seule et même solution. Ce
changement a pour effet de changer seulement le signe de pV, de
changer, par conséquent, s en — e, ou, en d'autres termes, le sens
d*un axe. A cause de la valeur actuelle de c^ = — a^, si l'on met,
en outre, — b^ au lieu de A^, on obtient, d'après les expressions
précédentes de A^ et C^, celles-ci :
(5i) C= .— , *A = j— - = B,
en conformité avec la condition supposée 6^< a^.
Le point de départ pour le calcul sera pris dans la relation
Changeons w en u -\- iù , et remplaçons, au dénominateur,
^(u-h(ù j par la quantité égale
^(„ + ,_^')=_^(„_,_<Î')X"-t);
nous aurons ainsi (eu mettant l'indice ^ à la place de l'indice 3)
Cl M — w j r\ /
Mais on a, d'autre part (t. 1, p. 194)5
Cu) e
'.-1"'" =
V^(«i — «j)(ei— ej) v^tAC ^pv — e.
Il vient donc
(53)
^(iiltliL) e-...,.,» . _ V/K"-'--^')-^ .
<^(u — i^) /i)t^-
e
P
Soit 0 l'angle polaire; on a
a84 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Il faut d'abord examiner la nature de la constante arbitraire k,
A cet effet, on peut prendre une valeur particulière de l'argument w,
par exemple w' ; car, on se le rappelle, u — tJ est réel. On a
On voit donc qu'en prenant l'origine de l'angle 0 à cette valeur de
l'argument, on aura Ar= i. Posant, en outre,
a -h u) = w,
a
nous avons de la sorte, suivant (53),
De là nous tirons, en mettant B au lieu de iK (Si),
pw — e = ^îBG,
pcv — ea=— <G(C^ — Bn,
p'itv = - 4 B*C*^H*Î'-+- G»— 2BC COS46),
pw — pv = BG(^>- i) = 2tBC<sin20.
Nous avons maintenant à exprimer pu en fonction de t au
moyen du théorème d'addition; car on a
u = w — ix) -\ = w -h V — 2a)^iv-hp.
2
Prenons la formule d'addition sous la forme qui est indiquée à
la page ap du tome I (deuxième ligne) et qu'on peut écrire ainsi
{pw -- pv^ipu — Ci) = (pw — ei){pv —ex)(pv — e,)
-^{pv —ei)(pw — ei)(piv — ei) — jp'wp'v.
Elle donne, après suppression du facteur commun B^C*^^,
4 sin«20(pM — €3) = (G — B)2
+ (C.-Bl)(ci-B.)
- 2(G — B) v/B*-+-G«— 2BGCOS4O
CHAPITRE VI. — LIGNES GÉODÉSIQUES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 285
OU bien
sin«20(p^/ — 63)= êl±-2! - BG cos'aO — ^11^ /b«-+- G»— 2BG cos40.
Retranchons inainlenant sm^9.^(pv — ^3) el nous aurons
sin220(pa-pp)= ^-^D* - -^J^ /bm^ G«— 2BG cos4e.
Le signe devant le radical est ici précisé par celte considération
que le second membre doit s'évanouir pour 6 = 0, qui donne,
nous Tàvons vu plus haut, w = w', et laisse, par conséquent,
pu — pi^ fini. En mettant, à la place de B et C, leurs expres-
sions (Sa), nous obtenons ainsi
{ji'sin*26(pa — pt') = 26» — 2 /6*cos*20 -+- a*sin*26.
D'après l'expression de x ± iy^ on a
voici donc l'équation de la courbe en coordonnées polaires r, 9 :
r* sin' 2 6 H- 2 6* = 2 /ô^ cos* 2 6 4- a* sin* 2 6 .
On y retrouvera, sans difficulté, les carrés des rayons vecteurs
maxima et minima, conformes à ce qui a été trouvé, en général
(p. 61), savoir — ^ — et 2(a- — 6^), répondant à 6 = o et 6 = -r»
La courbe affecte l'une des formes données par les Jig. 3 et 4
(p. 63); l'angle compris entre les deux rayons est de 45® et la
courbe entière se compose de huit arcs égaux, h^ifig, 3 a lieu si
6' est inférieur à \a^\ c'est \^fig* 4j ^^ contraire, dans le cas op-
posé. Ce résultat se reconnaît par la condition établie pour les
points d'inflexion (p. 64).
286 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
CHAPITRE VII.
PROBLÈMES DE GÉODÉSIE (»)
Préambule. — Latitude réduite. — Calcul de q et des arguments. — Azimut.
— Longitude. — Distance géodésique. — Cercles auxiliaires. — Développe-
ments suivant les puissances de l'excentricité. — Formules d'approximation. —
Degré d'approximation. — Solution des problèmes de Géodésie.
Préambule.
Le but de ce Chapitre est (rappliquer aux ligues géodésiques
tracées sur un ellipsoïde de révolution aplati, mais d'un faible
aplatissement, comme est la Terre, la théorie exposée dans le Cha-
pitre précédent.
Soit a le rayon de l'équateur, soit b la dislance du centre au
pôle. \J aplatissement est • Pour la Terre, on admet actuel-
lement la valeur numérique r^ — -»
^ a '293
Dans les formules, ce n'est pas l'aplatissement qui intervient
naturellement, mais Vexcentricité, dont nous désignerons le
carré par la lettre x. Nous prendrons le rayon a de Téquateur
pour unité; en sorte que 6^ sera égala (i — x).
Le facteur d'homogénéité T^, qui figure dans les formules du Cha-
pitre VI, sera pris égal à "7 •
Latitude réduite.
Le rayon d'un parallèle quelconque se représente par le cosinus
d'un angle \ qui s'appelle la latitude réduite. Cette dénomina-
(*) A consulter : Jacobi, Solution nouvelle d'un problème fondamental de
Géodésie {Gesammelte Werke^ t. II, p. 419).
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 287
lion provient de ce que cet angle est un peu inférieur à la latitude ^
angle de la normale à l'ellipsoïde avec Téquateur.
Le maximum de X, sur une ligne géodësique, correspond au mi-
nimum du rayon du parallèle; nous le dénoterons par A. C'est le
cosinus de cet angle qui, au Chapitre VI, est désigné par c, rayon
du parallèle auquel la ligne géodésique est tangente.
En fonction des latitudes réduites /i, \ et du carré de l'excentri-
cité X, on exprime immédiatement les éléments elliptiques con-
formément aux formules (9, 12) du Chapitre VI. Il faut se sou-
venir qu'on a supposé
aî= I, 6*=i — X. c*=cos*A, *:*=
»
et que les indices a, p, y sont, dans cet ordre, respectivement
égaux à I, 2, 3. Il en résulte
(e\ — pp=i, e\ — pM = i — xcos*X,
^., ej — pp = x, ej — pw = xsin'X,
( €3 — p(' = xcos*A; C3 — pM = x(cos*/i — cos*X).
La quantité pw est entre e-^ et ei\ on supposera donc 11 — w' réel.
La quantité pi^ est inférieure à ^3; on supposera r purement ima-
ginaire.
Calcul de q et des argtiments.
Les différences des racines ea, suivant les égalités (1), ont les
expressions suivantes :
(2) ei— ej=i — X, ej — e3 = xsin*A, e\ — ej = i — xcos*A.
On calculera, par leur moyen, la quantité y, comme il a été ex-
pliqué (t. I, p. 270),
. /i — xcos^/i — ^1 — X
~ \i— kl *
/.jx r V^' — ^COS*A H- /l — X
288 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Comme x est un nombre fort petit, on a déjà / avec une faible
erreur relative, en prenant
ce qui donnerait, pour q^ une valeur inférieure à o,ooo5 sin*/r.
Dans la plupart des calculs, Tapproximation exigée permet de né-
gliger souvent le carré de q^ et toujours son cube. Par le mojen
de q^ on a immédiatement les quantités ci-après (t. I, p. 271 , 4o4
et 446)> peu différentes de l'unité,
V ^ y i — x-hy^i — X cos' h
(5) = '= ^^^-r / =|-hY.
Pour calculer l'argument w, on posera
(6) U= (D -\ — u,
TZ
et l'on emploiera le second procédé donné au tome I (p. 272);
d'où la formule
r v/i — xcos*X — /(i — x)(i — X cos*/i) _ q cosu -t- q^ cos3u -+- ...
' '^ /l -XCOS«X -h {/(i--x)(l — XCOS»/!) ~ I -h 9.7*COS2U -+-... '
L'argument -t> compté dans l'intervalle f o, -r\t est dans la se-
conde moitié de cet intervalle. On a, en effet, suivant (1,2),
et cette quantité est supérieure à ^3 — pç z= y, cos^ A, sauf pour les
lignes géodésiques où les latitudes sont très petites. En posant
donc
JTZitù' — v)
(8) e w =V,
on a, comme il a été expliqué (t. I, p. 278),
I — {/(i :r^^— X cos'A) ^ y(v-iH-V)-f-7nv-^-4-v»)-^... ^
^^ , h{/(i — x)(i-x"^osU)~ i4-7HV-»-+-V»)-t-...
CHAPITRE Vil. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 289
Par les formules (7) et (9) on pourrait développer, terme par
terme, cosU, et V"' -h V, suivant les puissances ascendantes de x.
On aura seulement besoin du premier terme :
/ X 2sin«X 4
(10) COSU = — r-r-7 l-f-..., \-l-H V — 1 -h . . . l
d'où l'on déduit
Il sinX 1/11/4 cosA I — V .
(Il) cos- = —. — r -Î-. . ., y-' - V = . — h. . ., r, " cosA-h....
2 sinA sin*A i -i- V
Azimut.
La direction de la tangente, en chaque point de la ligne géodé-
sique, se détermine par son azimut a, compté dans le plan tan-
gent, à partir du méridien. Cet azimut est le complément de l'angle
que font entre elles les tangentes à la ligne géodésique et au méri-
dien. Les cosinus des angles que ces deux droites font avec les
axes sont, pour la première, -r-» -;- , -^t et, pour la seconde,
^— ^ > — ^ y o. On a donc
eus A cos A
I / dv dr\
sin a = ^ (x-, y - ,- •
cos A \ as "^ as /
La quantité entre parenthèses est égale à c (VI, >.) ou cos A.
Ainsi
cos A
(12) sina = ^•
cos A
Au moyen de cet angle a, on peut écrire l'expression (i) de
^3 — P'^ sous la forme
(i'{) Ci - pu = — 'A cos^ h coi^dj
et déduire de là, par les égalités (i),
(i4) ip" = y. cos h sinX cota /i — )ccos*X.
On a de même, pour l'argument i^, en tenant compte du signe
(t. I, p. 42)
(i5) \p'ç — ~ iy, cos h.
IL .9
290 DKXXIÈMË PARTIE. — APPLICATIONS.
Au moyen de l'azimut, on conclut aussi, pour le premier terme
du développement suivant les puissances ascendantes de x, d'après
(10 et 1 1),
. u cosXcosa u ^
(16) sm - = .— , — ^ -f- tang- = cotA cosa -+-. . ..
Longitude.
La longitude est l'angle d'un méridien quelconque avec un mé-
ridien fixe. Nous prendrons, pour ce dernier, celui qui passe par
un point où la géodésique touche le parallèle; ainsi la longitude
est nulle pour \ = h. Nous la représenterons par la lettre ^.
Les formules du Chapitre VI donnent aisément l'expression de
la longitude. Le quotient X : Y sera égal à e^"?' quand on aura
choisi convenablement la constante E.
Nous allons d'abord calculer la quantité suivante :
(17) m
= ^\K{^^^)-li^-:-^~->')-r:].
Si l'on écrit, pour un instant, tu' — v' à la place de r, on obtient
l TT ffi %0 t Ê "^i j t t
= w ( tu H- OJ — V ) -{ta — V ) — Ti-
to (U
et le second membre coïncide avec celui de la première fonction
numérotée (34) au tome I, p. /i'i6\ la lettre u est remplacée par
to — \>\ Le terme général du développement est
•?.T. qP . I v'\ XT. i—\)P^^r//' . pr.v'
— — ^ — T- sin/>7:( I ) — — —^— sin
(U I — q^P ' \ tu/ tu I — q-P U)
10 I - - q^P ^ ^
On a donc
(18) '^=2^-^î-J^»?^^"''~^^''>' 7^-1,^.3, ....
On peut encore représenter rti par la dérivée logarithmique de
a fonction .3^3 (t. I, p. 266), et écrire alors
, o X q(\-l.-\)^--,q'*(\-i—\i).-...
I -h q{\'^-+- V; -r 7HV-*"- V2;-h...
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 29 1
D'après les formules approchées (3 a) et (ii), on voit que le
premier terme du développement suivant les puissances ascen-
dantes de X serait
(i8^) m = -J-xcosA -h. . ..
L'expression (VI, 16) de X donne
La constante E se détermine par la condition que '} s'évanouisse
pour u = to'. On a d'ailleurs
= e^Vf;
par conséquent
Si l'on pose, comme précédemment, r = tu' — r' et, en outre,
u=i ij)' ■+- u'y cette formule devient, eu égard à l'égalité (17),
iL-i-mu = — . log3'(i' — w)
^ '2* L 'iW J
^^ log3'( i;' -+-!/';— -^ .
•2t L ° ^W J
Le développement (36) de la page 4^8 (t. 1), appliqué ici.
donne pour résultat
/I-+-V u\ \i fj^p \-P—\P .
(19) ^'-^'^«u-arclangl^-j— ^tang-j-^— — ^ ^ -sin/>u.
La première approximation, conformément aux égalités (i 1 , 16),
donne, d'après {\i),
I -H V u rotXrosa cola
(19 a) laiîfry = n tang — h. . .= i h. . .= -; — v -*-.•••
Nous allons envisager encore un autre développement relatif à
la longitude, bien que le précédent soit très propre à Tapplication.
292 DEUXIÈME PARTIE* — APPLICATIONS.
Mais le nouveau développement a l'avantage de fournir Texprcs-
sion exacte de l'angle, peu différent de t}>, dont la tangente est
justement éiçale à -:-^*
Supposons deux points différents, pris sur la ligne géodésique,
et répondant aux deux arguments u et W| = u — a. En considé-
rant les quantités Xet X|, relatives à ces deux points, nous avons
Par la décomposition en éléments simples, on a d'ailleurs
On peut poser
(9.0) ^J "3^ gCi»^ ^a))-Yii/f — y/'jTa — pvei^,
j V j ic
et 0 est un angle réel. En effet, !^(r -t- w ) — r, est purement imagi-
naire (17), ainsi que Vy tandis que a est réel. La quantité (20) a
donc pour conjuguée
le produit de ces deux conjuguées est pa — pv.
Remplaçant maintenant X par cos)ve''^ et X| par cos A| e' i'*, nous
obtenons
Ajoutons et retranchons s^i, et employons la formule d'addi-
tion de l'argument dans les fonctions Ç, comme il suit :
I \U\ — ^U- ^{U — Ui)= t
1 ' 1 pu — pUi
' 2 pUi — pv
Dans les seconds membres, toutes les quantités sont réelles,
saufp'i^ qui est purement imaginaire, en sorte que la formule (21)
fournit aisément tang(^ — ^i -\- 0;.
CHAPITRE Vil. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 298
Nous nous bornerons à considérer le résultat dans le cas parti-
culier iii = w' ; ^, et p'wi sont alors nuls. La première des quan-
tités (22) se réduit (i3, i4) à
i p'u ^sinX\/i — xros*X
1 pu — 63 cos h cot a
et la seconde (i , i5) a
I p' V i
— -^ — ^^— — — ^^^— '"'" •^—^^^— »
•À «3 — pV COS h
On a donc
,1 /vv cota
tang(^-T-0)= -
sinXv/i — xcos*X
Si l'on pose
(23) lang4'' = /ï — xcos*X lang(<j^ H- 0),
on a la définition d'un angle ^5^', lié à a et X par l'égalité
(24) lanR^ = ^-j^^-.
Il reste maintenant à donner le développement de l'angle 0. Le
calcul est analogue à celui qu'on a fait précédemment pour ^J/ :
C(t'-T-a) G'3(a — v')
Ici l'argument a = u — u^ se réduit à ii — to'; c'est celui que
nous avons tout à l'heure désigné par u'. Le développement (38)
de la page 4^8 (t. I) donne immédiatement
(25> 0 — mu=> — ^— r- sin/?u.
Distance géodésique.
La distance de deux points est la longueur de la ligne géodé-
sique qui passe par ces deux points.
Pour origine des arcs géodésiques, nous prendrons, comme
294 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
|)Our les longitudes, le point où la géodcsique touche le parallèle.
L'arc gcodésique a donc pour longueur (\ I, lo)
TV ri* — h'^, , ^ ,,
* = -f^ [e,(w — w )-f-;// — T. ]
ou, avec les notations actuelles,
s = cxiC -r- Ç((ij'--- m') — t/.
L'arc est ainsi exprimé en parties du rayon de ré([uateur. Cette
formule doit être écrite sous la forme suivante :
En employant les notations (4 7 î>) et, pour la dernière partie, soit
la fonction So? soit le développement (34) du tome 1, p. 4-^-6, on
obtient
(i-i-fl)«^--(i-4-7)- = 4 — ^ ^ ■
^ '2 \ — 'iq COS U -^ 2 <7 • COS 2 U ...
f = — ^SiiiUH — ^-■— rSin2U--. . ..
l I — q^ i — <j*
La partie principale de s est, comme on yoit, - U, dont le cosl-
nus a lui-même, d'après (ri), pour partie principale -y—]' Pour
comparer entre eux Tare s et celui dont le cosinus a celte dernière
yaleur, cherchons le développement de s\ défini par Tégalilé
, sin).
' 27) COS 5 — — — .
siri/i
Suiyant les égalités (1, 2), nous avons
COS* 5'— --—-'*.— = î — ; i (,^' — ,, _aj')
fj — «-3 J> W — «-'3
Sin*5 = — ^, — •
On a yu (t. I, p. 4^^^) le déyeloppement de arc sin ^^^ — - *, il
suffit de l'appliquer ici pour obtenir
I V Q^ sin pu,
(28) 5' = -U-*-2> — ^ — — ^- —
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIR. 2g5
Au lieu d*introduire les laliludes réduites "X, A, on peut aussi
considérer les latitudes elles-mêmes, que nous désignerons par jx
et A". On vérifie aisément, d'après les propriétés élémentaires de
l'ellipse^ la relation
lang*X = (i — x) tang'jji,
qui relie [x et )^. La même relation a lieu aussi entre k et A, qui
sont la latitude et la latitude réduite du sommet de la géodésique.
Cette relation peut revêtir diverses formes, par exemple
Ci — xsin*(jL)(i — xcos'X) — i — x,
(I — xcos'X ) siii*[jt = sin'X,
(29) \ ( I — XCOS*X) COS'jJL — (i — x) cos*X,
(i — xsin'[jt)cos*X — cos^jjL,
(i — X sin*[jt) sin'X = (i — x) sin^ (jl.
A ce point de vue, au lieu de prendre s' pour terme de compa-
raison avec 5, on devra prendre s", en posant
( 3o ) cos s = -^-V •
blll k
On a, suivant (39),
,» .,1— xcos^/i e, _ ^3 Ci — DM dm' — et
1 — xcos*A ei — pu e^ — ej pu — e^
sin*5 = — ^ ^.
pu — ej
En comparant ces dernières formules à celles qui sont relatives
à s', on voit qu'elles en diffèrent seulement par l'échange de €2
et 63, Cet échange équivaut au changement de w' en w -f- w', c'est-
à-dire au changement du signe de q. On a donc, par analogie
avec (îi8),
(3i) s = -\i — 7. y ~ ^— •
Cercles auxiliaires.
Une ligne géodésique, sur le sphéroïde, est déterminée par
une seule constante, la latitude de son sommet, point où la géodé-
sique touche un parallèle. C'est cette latitude que nous venons de
296 DEUXIÈnE PARTIE. — APPLICATIONS.
désigner par A*. Pour donnée équivalente, on peut prendre la lati-
tude réduite h de ce même sommet Mq. Un point quelconque el
variable M, sur la géodésique, est ensuite déterminé par sa lati-
tude /x ou sa latitude réduite \, Soit P un pôle du sphéroïde. Les
irois points P, Mo, M sont les sommets d'un triangle rectangle
en Mo, dont les deux côtés PM et PMo sont des arcs de méridien
et le troisième côté M© M est un arc géodésique. La longueur de
ce troisième côté est 5, l'angle en M est Tazimut a, l'angle en P
est la longitude tj#.
Sur une sphère, considérons, de même, un pôle P', et appelons
parallèle tout petit cercle ayant ce pôle. Un grand cercle quel-
conque est défîni par la latitude de son sommet M'„, point où il
touche un parallèle. Prenons /t pour cette latitude. Nous obtenons
ainsi un grand cercle correspondant à la précédente ligne géodé-
sique. Sur ce cercle, faisons correspondre le point variable M' au
point M de la géodésique, en attribuant à M' la latitude ).. Les
trois points P, M'^^, M' sont les trois sommets d'un triangle sphé-
rique rectangle en M'^, . Les côtés P'M' et P'M,, sont X et - — //,
le troisième côté M'M'^ est égal à 5'; l'angle en M' est égal à a,
l'angle en P' est égal à '}/, Effectivement, les trois relations (i!>.,
24^ î^y) sont bien celles que la Trigonométrie fournil entre les
cinq éléments. On ne manquera pas de remarquer que, dans ce
mode de correspondance, imaginé par Jacobi, les azimuts sont
conservés, comme on vient de le dire, puisque la formule (12) est
indépendante de l'excentricité.
On peut aussi définir un second cercle auxiliaire, en attribuant
à son sommet M'^ la latitude le. On fera correspondre alors, au
point M, le point M'' qui, sur le cercle, a pour latitude [x. Dans le
triangle sphérique rectangle P^M^M", les côtés FM" et P'M'y sont
- — H"- et — k\ le troisième côté est égal à s". L'angle en M" est
différent de ol\ soit a" cet angle, il est donné par la formule, ana-
logue à 1 12),
2
cosA"
sina = - :
cos a
en sorte qu'on a, suivant (ay),
sin'a" I — xsin'X' 1 — y. cos^X
(32)
sin* a I - - X sin* «i i - x cos*/i
CUàPITRB VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. '>.Qf}
Quant à l^angle au pôle, ou la longitude, il est le même que sur
le premier cercle, c'est-à-dire égal à t}>'. On déduit, en effet, des
égalités (24) et (29), celle-ci :
^ tanp;^ tangA:
Développements suivant les puissances de l'excentricité.
On admet généralement comme utile pour les calculs de consi-
dérer les développements des divers éléments suivant les puis-
sances ascendantes de l'excentricité. Ces développements ne se
forment point sans difficulté, mais il suffit toujours de se borner
à deux ou trois termes.
Supposons qu'on veuille, en premier lieu, au moyen de l'éga-
lité (28), trouver la partie principale de ^' — ^, c'est-à-dire le
premier terme du développement de cette quantité suivant les
puissances ascendantes de x. On a immédiatement
^' — ^ — 0 = — ! >t cos* X cos 4^' siinj;' -4- . . . .
Les égalités (12, a4) donnent lieu aux suivantes
,, cota . ,, cosot ,, ^ ,
lanL'ù = -.— ;r , sino = . — -rt cosu/ = tangA cot A,
parle moyen desquelles nous trouvons
<L' — ^ — 0 — — -1- X cos X sin X cos a cos h . , , -h . . . .
^ ^ ' sin'A
D'autre part, ayant (11, 16)
X . ,, mr , mr 4 cos A
2 sin X cos X cos a
Sin U — r-r-7 h . . . ,
nous trouvons, d'après (26),
0 — mu — IxcosX sinX cos a cos A .— .-r -H. . . ,
* sin* A
en sorte que le développement de ('}' — ^ — mU) commence par
rtgS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
un terme en x-. La partie principale de m (iS) est q{\~* — \):
par conséquent, i
ni = ^y. cos h — ... :
la partie principale de U est 25' (a8). Ainsi, en négligeant les
termes du second ordre, on a
(33) '\^ = 'Y- [vLscosh.
Mais, par le moyen de la formule (19), nous pourrons plus facile-
ment former les termes du second ordre et surtout apprécier leur
grandeur. Soient
(30 A^r^i — X, B*= i — xcosV?, C*==i — xcos^X.
En négligeant seulement les quantités du quatrième ordre par
rapport à q, nous prendrons, d'après les égalités (3, 7, 9),
,_, B-A G«— AB .... _,. i-AB
(^^> ^^ = BrrÂ' "^"^^"=0^--;:^' ^(^ '-^)=iV:ûï'
Considérons l'arc qui figure au second membre de la formule
(19) et posons
tangîp= ---^lan-iu.
En admettant les égalités (35), on trouve, par un calcul facile,
,^_(i-B2)(C2-A2)
COS'CJ =
sin'c? =
(B*-A'^)(i--(:m
0— _A«)(B2 — 02)
(B»-'A»)(7— G2)
Chaque différence de carrés (i — B-), (C- — A-), . . . peut se
remplacer par le quotient d'une différence de puissances qua-
trièmes et d'une somme de carrés. Par les égalités (34), les puis-
sances quatrièmes s'expriment explicllcinent, et Ton obtient
(B»-+- A2)(i~-C2) ,,,
cos*o = ^cos^iL
^'"^ ? (,^H2)(Gî-^A*) ^'
. , (B2-x-Aî)(i-i-Gî) . ,,,
-^'"'?=(,-.-A^)(B^-.Cr)^^"^^-
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 299
De là se conclut ensuite, en prenant, par exemple, la seconde
équation,
_ sin»cp _ (1 — B<)(C»— A^)
x*cos*/i sin'X
Bî)(AîH-C»)(B«-t-C»j
ou bien
(36) s.n.^, - s.n.ç = ( . + a» )( . + B» XÂ^-^B' ^TC^) '
Au point de vue du développement suivant les puissances as-
cendantes de X, on tire de là immédiatement les termes en x^ et
x**, sous la forme suivante :
(36 a) ^ — 'Y= — yjxïcos^X sin'/i cos']/'sini]^' iH — (1-4- cos*A -h cos*X) -h • •
Par le même procédé, on peut trouver aussi les deux premiers
termes du développement de la somme qui figure au second
membre (19). Déjà, par les égalités (11, 16), on a le premier
terme ainsi
<7*(V~* — V) sinu = 3*j x*cosA sinX cosX cosa-+-. . .;
ce qui peut aussi s'écrire, en vertu de (3a), sous la forme
</*(V-* — V) sinu = -jy x'cos'X sin^h cos^^'sin'j/'.
Par les égalités (3j), on obtient
^î(V-î— V)sinu
v/(i - A«Hi - Bi)(C«-A'*)(B*— G*)
(I ^ AB)(G«-i- ABhB -t- A)2
(37) \ _ aABv/(i~AM(i — B*)(G^ — A*)(B*— G"m
. (i — AB)(G2-T-AB)(B-hA)V(i-T-Aî)(i-r-B*){C*-f-A«)(Bî-f-C*)
■-= 3^j x'cos^X sin*A cos^j/'sin^' 1 -^ - (i -+- cos^h -f- cos'X) -h
D'après l'égalité (19), les deux résultats (36rt) et (37) donnent
celui-ci :
(38) ^ r- mu -— i]^'— â^x^cosîXsinî^sinai;^' i -h - ( i -f- cos» A H- 00s» X) h-
300 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Si l'on préfère introduire les latitudes [x, A", au lieu des latitudes
réduites )., A, il est aisé de modifier, en conséquence, cette for-
mule, d'après les égalités (29), et l'on trouve
(38 a) 4* -^ ^^ " '!''-- Jt x'cos'ji sin»X-sin2<j;'[i 4- \ x(i -h sins/i -t- pîii'jjl)] -+-
Des procédés analogues sont applicables pour former les déve-
loppements de m, It, 5; mais nous ne croyons pas utile de nous y
arrêter.
Formules d'approximation.
De préférence aux développements suivant les puissances de
l'excentricité , on peut prendre pour formules d'approximation
celles qui se sont introduites ici dès l'abord. Si Ton veut y faire
disparaître la quantité auxiliaire gr, on y introduira, comme tout à
l'heure, en négligeant les puissances quatrièmes de q^ les quan-
tités A, B, C(34), ou encore B', C, au lieu de B et C, en posant
A* A*
(3q) B'*— I — xsin*/: = ït-, > G'*— i — x sin*a — -— .
^' B* Cl*
On a ainsi, suivant (i8a),
w — j X cos h
4v/ab
; (A-^B)/(i^A«)(i-t-B*)
— j X COS k
(i-B')v/B'(i--A«)(A2- B'«)
On trouve de même, par les égalités (3) et (7),
/ - BrCî— \>) B'(i--G'2)
i POS*-*-ll — — •
) * (C*-T- AB)(B — A) - (B'-T-C'«)(i--B';
^*'^) _ , ,B(^-- A)(B*--A2) _ , „B'(j-^B')(i-^Wi)
[ " ^^^ * (Cî--AB")(G2-f-Aî) ~^^^ * (B'-.-G'2)('i-f-G'»)'
( -,1 . , ,A(B-A)(B»-^Aî) ... (,-.-n')f,-x-B'«)
< 4 i r/ ) .
i •! , ,A(G»-hA>) , , i-i-G'î
I tan"'" — Il = tanï^'ç — -- tan^'v •
' ^ "" »" ^^"'^ ^ B(G^-r-B») "^ B'(B'-f-G'«)
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 3oi
Enfin, pour le calcul de la formule (26), on a (4, ^)
I — 2<7COsu B-f-Ay AB G*(i-+-B) ^ ^
(^3) y = yxsin*/isin25'
4
(B -H A) /AB(C>-h A2)(B*-h G*)
I • • / • » 4 V B'
= xîtsin*ASin'2 5 —
C'«(i -t- B') v/(i -h C'«)(G'*-H B'>)
Degré d'approximation.
Dans les formules qui viennent d'être développées, on a négligé
la puissance quatrième de y : il est évident que, en aucun cas, des
applications pratiques ne sauraient, à beaucoup près, comporter
dans les calculs un degré d'approximation supérieur.
Si Ton s'en tient à Tétat actuel de la Géodésie, le degré d'ap-
proximation qu'on doit chercher est beaucoup moindre. Avec-
quelle approximation la Terre est-elle un ellipsoïde de révolution?
C'est ce qu'on ne sait pas encore. Mais, en la supposant telle,
avec quelle précision connait-on son aplatissement? Ici la réponse
est certaine. L'erreur relative à craindre sur l'aplatissement est»
au moins, 3^, ce qui est, à peu près, la valeur numérique de ^x.
On ne connaît pas, d'ailleurs, le sens de cette erreur.
Examinons l'expression (4o) du coefficient m. Nous avons
m 4/ÂB
jxcos/i (A + B)v/(i-+-A«)(i4-B*)
= I -h Jx(i H- cos* A)
En prenant l'unité pour valeur approchée du second membre,
on commet une erreur relative comparable à celle qui, dans un
sens inconnu, altère déjà la partie principale de m. C'en est assez
pour rendre à peu près illusoire, quant à présent, toute tentative de
substituer à {xcos/i une autre expression de m, plus approchée.
302 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
En même temps, tous les termes du second ordre, dans la formule
(38 a), apparaissent comme dénués d'utilité. Celle formule serait
alors réduite à
(44) ^ = tj;'— {x/cosA.
Pour Texpression de Tare géodésique, on obtient une formule
assez élégante comme il suit. Les égalilés (28) et (3i) donnent
s -t- s" =^ n -i- 2 y — - — — ^— y
s — s ~ > —
2r
H- q'^P-^ ip — I
On a ainsi les expressions approchées
u = s'-\- s",
4<7sinu = *'— /,
et la formule (26) donne celle-ci :
(45) 5 = [i-{x(i-f-cos«A)]^i^'.
Malgré ces considérations, il y a encore grand intérêt, même
pour la pratique, à employer des formules plus approchées, no-
tamment pour des calculs qui se rapporlent à une porlion limitée
de la Terre. Dans la solution des problèmes, lelle que nous allons
maintenant l'indiquer, on Irouverail facilement le moyen d'obtenir
une approximation aussi grande qu'on voudrait, sous réserve de la
connaissance plus exacte de raplalisscmcnl.
Solution des problèmes de Qéodésie.
Dans les divers problèmes qui intéressent la Géodésie, il s'agil
loujours d'un arc géodésique limilé à deux points. Les cléments à
considérer sont alors les latitudes et la différence de longitude de
ces deux points, la longueur de l'arc et les azimuts aux extré-
mités. Parmi ces six éléments, on peut en donner trois et chercher
les trois autres. En tenant compte de quatre cas où les données
sont symétriques par rapport aux deux extrémités, on voit qu'il y
a douze problèmes différents, dont on peut désirer la solution.
CHAPITRE YIl. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 3o3
Suivant les notations déjà emploj^ées, soient, pour l'une des ex-
trémités, [JL la latitude, a Tazimut, s l'arc géodésique et ^ la longi-
tude, ces deuTt derniers étant comptés à partir d'un sommet;
soient, pour l'autre extrémité, [jL|, a^, 5<, ^i les éléments analo-
gues. Les données sont trois des six éléments [jl, a, ;jL|, ai, s — 5|,
On doit distinguer d'abord les problèmes où, parmi les don-
nées, se trouvent [jl et a. Effectivement, de la longitude [jl on déduit
immédiatement la longitude réduite )v, puis A par l'égalité (12). On
peut donc calculer y et V par les formules (3) et (9), ainsi que tt
par la formule (7). Si la troisième donnée est [jL| ou ai, on obtient
"ki soit au moyen de [x^ soit au moyen de ai par l'égalité (1 2). On
peut calculer U|. Avec y, V, U, U|, on calculera 5, 5|, <{/ et ^i.
Si la troisième donnée est s — 5| ou ^L — ^o '^ mode de solution
est différent. Supposons que la donnée soit s — ^i = S. On peut
tirer Ui de l'égalité (26), qui donne
I * i-h Y i-h Y
siniii — '><I^ sin9.11, ...
/(".) =
I — iq COSUi . ..
Nous avons ici une équation analogue à celle qui, dans l'étude
du mouvement des planètes, se rencontre pour le calcul de l'ano-
malie excentrique. Ce serait la même équation, si l'on bornait
y(Ui ) au seul terme sin U| , qui en est très voisin. On la résout, soit
par approximations successives, soit par la série de Lagrange, ce
qui n'offre aucune difficulté, vu la petitesse de q. Connaissant U|,
on peut calculer ^i comme dans le cas précédent. On pourra aussi
calculer la latitude réduite \\ ou la latitude [jL| parla formule (7).
Mais, pour la pratique, ce calcul serait désavantageux. 11 fourni-
rait, en effet, A| par l'intermédiaire de i — xcos^Xi ; et l'on serait
obligé de calculer cette dernière quantité avec une approximation
supérieure à celle que l'on veut obtenir pour cos^T^i. Pour éviter
cet inconvénient, au lieu d'employer la formule (7) qui détermine
e\ — pwi, on prendra une formule propre à déterminer, soit
^2 — pi^M soit e-i — J3W|, celle-ci, par exemple,
ej — pii\ _ sin'X,
et — Cj ~" siii*A
3o4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
qui donne aisément X< en fonction de w<. Ce mode de solution
s'interprète d'une manière intéressante. D'après la formule (27 a),
on voit qu'on introduit ici l'arc de cercle auxiliaire s\ . Cet arc peut
aussi se trouver au moyen de la série (28), et U^ doit alors être
considéré comme permettant le calcul d'une correction par laquelle
on passe de 5< =5 — S k s\. Si Ton envisage U de la même ma-
nière, on peut considérer S' = s' — s\ comme déduit de la donnée
S au moyen d'une correction aisée à calculer. Ayant S', il est na-
turel d'achever le calcul au moyen du premier cercle auxiliaire,
c'est-à-dire résoudre le triangle sphérique P'M'M'^, où Ton con-
naîtra deux côtés, FM'= - —1 et MM\ --= S', avec l'angle com-
pris, qui est a. On en déduit le côté P'M'^ = ^ "kt, l'angle en
Mj, qui est ai, puis l'angle en P', qui est ^^ — <i'^. De ce dernier,
on conclura ^ — i^\ au moyen d'une correction, fournie par la
formule (38 a).
On peut tout aussi bien employer, pour cette solution, le second
cercle auxiliaire. C'est alors la formule (3i) qui fournira la cor-
rection au moyen de laquelle on passera de l'arc S à l'arc
S" = / — s^. On aura à résoudre un triangle sphérique dont les
côtés sont - — [JL, S" et l'angle compris a", déduit de a par Téga-
lité (32). La résolution de ce triangle fournit encore •}' — ^'^,
comme tout à l'heure, ainsi que [jL| et a",.
Pour l'application, ces deux procédés paraissent équivalents.
Dans le premier, on trouve directement l'azimut ai, mais il faul
remonter delà latitude réduite \\ à la latitude [jL| ; dans le second,
il faut remonter de a"^ à a,, mais on a directement la latitude [jL|.
Le premier de ces deux procédés est celui qui a été développé par
Jacobi.
Les deux premières données étant encore [jl et a, supposons que
la troisième donnée soit i^ — tj;^ =z ^. Après avoir calculé ^ comme
tout à l'heure, on a, par l'égalité (19 ),
1 —V
tang^u,= — — ^tan8[i}; — U^-T-o(u,)J.
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 3o5
Comme m (i8a) est du même ordre que q^ c'est encore là une
équation d'où Ton tire aisément tt| par approximations succes-
sives ou bien encore par la série de Lagrange. La solution s'a-
chève comme dans le problème précédent et peut s'interpréter en-
core parle calcul d'une correction, faisant passer de V à V, et par
la résolution d'un triangle sphérique auxiliaire, dont on donne un
côté et les deux angles adjacents.
Les autres problèmes présentent plus de complication dans les
calculs et se résolvent par approximations successives. Pour donner
une idée de leur solution, nous allons envisager l'un d'eux seule-
ment, celui où les données sont [x, [X|, ^ — <};, = V. Les deux ex-
trémités de l'arc géodésique sont, comme on voit, des points
définis par leurs coordonnées géographiques.
Admettons d'abord qu'on veuille négliger le carré de l'excen-
tricité. La formule (44) nous donne
On ne connaît ni A, ni s — s\ ; mais on peut les évaluer à des
quantités près, du môme ordre que x. Il suffît, à cet effet, de cal.
culer les analogues sur la sphère avec les données mêmes du pro-
blème. Pour ce but, il est indifférent d'employer l'un ou l'autre
des cercles auxiliaires, la différence des résultats étant ici négligée.
En conséquence, comme première opération, on considère le
triangle sphérique T© dont on donne deux côtés [jl et ix,
avec l'angle compris V. On y calcule le troisième côté So et la
hauteur - — /i©. Ces éléments servent à calculer la correction qui
fait passer de V à W\ et l'on a (en écrivant W\ pour cette expres-
sion approchée de W)
W\ = ^'-+- JxSocosAq.
La suite du calcul se compose maintenant de la résolution d'un
triangle sphérique Ti dont on connaît deux côtés - — \ ).,
avec l'angle compris V^. On y calcule le troisième côté S', et les
deux angles a^*^ et a'^*^ Ces deux derniers sont les azimuts extrêmes
de la géodésique, calculés avec l'approximation dérivée.
Pour avoir S, on peut calculer la correction de S'^, mais il sera
IL 20
3o6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
mieux d'employer la formule (45). A cet effet, dans un nouveau
triangle sphérique T'^, dont on donne deux côtés - — [x, ^ |jl,
avec Tangle compris W\ , on calcule le troisième côté S', , et l'on a
enfin
3 S', - S\
S = I — ->c(i 4-cos*Ao)
Examinons maintenant comment on peut opérer si Ton désire
obtenir une approximation plus grande, tenir compte, par exemple,
du carré et du cube de l'excentricité.
Soit A| la hauteur du triangle Ti ; il est clair que ht ap-
proche de A, plus que Aq. De même, S\ est une expression de S',
plus approchée que Sq. Si l'on emploie donc ht et S',, au lieu de
ho et So, on peut trouver une expression de V, plus approchée
que W^. Mais alors il faut faire entrer en compte les termes du
second ordre.
Prenons, à cet effet, la formule (38), que nous mettons, au
préalable, sous la forme
'^ -+- //m = ^' — ^ x' siniX cosA cosa.
On pourra calculer l'expression approchée de m par la formule
(4o), qui donne
I . i\/âb;
/m = 7 X cos hi — - >
4 (A-+-Bj)/(i-+-A«)(i-+-liî)
A = v^i — X, Bi = v/i — xcos*^i,
OU bien encore par les deux premiers termes du développement
suivant les puissances de x,
/m = J xcosAi[i -h J x(i -h cos* Al)].
Aux termes du second ordre près. Il coïncide avec s'-^s", en
sorte que la nouvelle expression W.^, prise pour W\ est donnée
par l'égalité
V, = V-i-i/H,(S'i H-S';)-î-^x«cos/ji(sin'jtXcosa^»^ — sinaX, cosaV>).
Dans le nouveau triangle sphérique T^, dont les côtés sont
- — "k et \i avec l'angle compris W^, on calculera, pour les
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 807
azimuts extrêmes, des valeurs plus approchées a^^', et^^K Si l'on
veut poursuivre l'opération en utilisant les termes du troisième
ordre, on calculera aussi la hauteur Aj, qui servira ensuite à
trouver un nouvel angle ^3, approchant de V plus que W^.
Si cependant on voulait effectivement pousser, dans ce pro-
blème, la solution jusqu'à y faire intervenir les termes du troi-
sième ordre, il serait, sans doute, préférable de présenter celte
solution sous une autre forme que nous allons développer.
Posons
Cî — A» ,., B« — A»
^^''S* A = y^^ , tang» H = -^^^ •
Pour l'angle cp, déjà employé dans les formules (36) et (36a),
il en résulte
tangA cotH = cos<p.
On voit ainsi que les angles A, H, (p jouent, par rapport à un
nouveau cercle auxiliaire, le même rôle que X, A, i^* ou que [x,
A*, ^' par rapport aux cercles auxiliaires déjà considérés. Les an-
gles A et H diffèrent de a et h ou de [x et A* par des quantités du
premier ordre ; mais cp diffère de i^^ par une quantité du second
ordre seulement (36a). Ces détails ne sont donnés ici que pour
faire mieux comprendre l'origine de la solution actuelle, où Ton
n'aura d'ailleurs à mentionner aucun cercle auxiliaire.
Pour parvenir aux formules que nous allons donner, il n'y a
qu'à transcrire celles qui ont été développées plus haut. On y re-
marquera seulement que l'aplatissement e intervient ici plus natu-
rellement que l'excentricité; aussi le mettrons-nous en évidence.
Les données du problème sont les latitudes [x et pii de deux
points et la différence W de leurs longitudes. On désigne par e
l'aplatissement de la Terre, s = — » •
1^ En fonction des données on détermine deux angles A et A|,
peu différents de [jl et [Xi :
tang*A _^ I — 6 -h /i — g(2 — g)sin*[i
tângV ~" , 4- /i_e(2 — 6)sin»[Jt
tang*A| __ I — eH-/i — t{'i — e)sîn'p.i
tang« ai ~ j _^ /i — 6(2 — e) sinVi
3o8 DEUXIÈME PARTIE. — APPUCATIONS.
2^ On prend pour inconnue principale un angle H, et pour
inconnues auxiliaires trois autres angles tt, ttf , 4».
3** En posant, pour abréger Técriture,
A» =-- 1 — E,
B« = i — Ecos*H,
G* = I — s cos*A,
CJ = I — £COS*Ai,
on a les équations suivantes :
.,, lanff*A-t- laiiff*A| — 2 tan&:Atan£:AiC0s4>
tan g» H = — — ——rir-^ ^^— ^ >
4> = V -H e-~^ (M — Ui ) cos H 4- R,
_ AE^ABcosH /sinAv/cos*A — cos*H sin Aiv/cos*A| — cos*Il\
" (F-i- ABXA -h B)ï \ G*"+XB CÎ-+-AB / '
i A cos' A — cos' H
tang«-u==-
1 B sin'A
. I A cos* Al — cos' H
tang' - ui = ^ :-—
4° Pour trouver H, on procédera par approximations succes-
sives en prenant d^abord W pour première approximation de 4» ;
la valeur trouvée ainsi pour H par la première équation servira à
approcher davantage de 4». La nouvelle valeur de ^ donnera
ensuite une valeur de H, plus approchée, et ainsi de suite. La
quatrième valeur trouvée ainsi pour H sera définitive, les formules
données ici ne permettant pas une approximation supérieure.
Avec cette dernière valeur de H, on calculera la dernière valeur
deB et dett — lî|.
5^ Les azimuts extrêmes a, ai sont donnés par les formules
. . cos' A I-+-G' . . cos* Al i-hC?
sin*a = -rr 7— j sm'ai = -rs rr. •
cos'H 14-B' * cos'H 1-+-B»
6^ La distance géodésique S des deux points est déterminée
par Tégalilé
P = r= (sinA v^cos'A — cos* Il — sinAi v/cos'\i — cos' II).
(A^B)v/AB ri/
CHAPITRE YII. — PROBLfcMRS DE GÉODÉSIE. 30Ç)
7" On observe que la dernière valeur de B est seulement né-
cessaire pour le calcul de U — tt| et du coefGcient [ — ; — ] dans
l'expression de S. Pour le calcul de y, la seconde valeur de H et
de B est seulement nécessaire. Le degpré d'approximation que
Ton peut demander à ces formules ne doit amener aucune dilTé-
rence entre les valeurs de y que Ton obtiendrait avec les valeurs
suivantes de H et de B. La même observation s'applique au calcul
de R. Pour P, la troisième valeur de H et B sufGra.
Les autres problèmes peuvent être résolus d'une manière ana-
logue. Il suffira d'avoir ici développé la solution du problème le
plus important : trouver la distance géodésique de deux points
dont on donne les coordonnées géographiques.
3lO DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
CHAPITRE VIII.
ATTRACTION D'UxN ANNEAU ELLIPTIQUE (•)
Préambule. — Attraction d'un anneau de forme quelconque. — Anneau ellip-
tique; solution de Gauss. — Nouvelle solution. — Solution modifiée par l'em-
ploi des covariants. — Discussion. — Sur l'usage de la fonction <l>. — Résumé
de la solution. — Remarques sur les covariants.
Préambule.
Le problème que nous allons traiter a été posé par Gauss dans
CCS termes, :
« Les variations séculaires qui, pour les éléments d'une orbite
planétaire, résultent de la perturbation causée par une autre pla-
nète, sont indépendantes de la position qu'occupe cette dernière
dans son orbite. Au lieu de considérer celte planète comme dé-
crivant son orbite elliptique suivant les lois de Kepler, si l'on
imaginait sa masse répartie sur cette orbite proportionnellement
au temps que la planète emploie à parcourir chaque élément,
on trouverait, par cette hypothèse, les mêmes perturbations. Il
en est ainsi, du moins, quand les durées de révolution sont in-
commensurables entre elles pour la planète troublante et la pla-
nète troublée.
» Cet élégant théorème, s'il n'a pas été encore explicitement
énoncé, se démontre aisément par les éléments de l'Astronomie.
(*) A consulter: i* Determinatio attractionis quant in punctum quodvis,
positionis datas, exerceret planeta, si ejus massa per totam orbitam ratione
temporis quo singulœ partes describunturj uni/ormiter esset dispertita {Gauss
Werke, t. III, p. 333). C'est à la fin de ce Mémoire que Gauss a parlé, pour la
première fois, de la moyenne arithmético-géométriquCy dont il sera question au
t. III du présent Ouvrage. — 3* Thèses présentées à la Faculté des Sciences de
Paris par M. Edmond Bour. Mallet-Bachelier; i855.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3ll
» Voici donc un problème très digne d'attention, tant par lui-
même que par divers artifices nécessaires à sa solution : détermi-
ner l'attraction qu'exerce sur un point quelconque une orbite
planétaire ou, en d^autres termes, un anneau elliptique dont
r épaisseur varie, en chaque point, suivant la loi^ ci-dessus ex-
pliquée. »
Le théorème queGauss a qualifié d^élégant se trouve démontré
dans un Mémoire très récent de M. George-W. Hill (^). On y
voit clairement que l'attraction^ conclue de ce théorème^ conduit,
en effet, à la détermination des variations séculaires, aux termes
près du second ordre par rapport aux forces troublantes. M. Hill
a d'ailleurs complété la solution du problème en continuant les
calculs de Gauss jusqu'au point où peut se faire l'application nu-
mérique.
Nous donnerons ici, par une analyse nouvelle et simple, la so-
lution du problème sous deux formes différentes, dont l'une est
celle de Gauss.
Attraction d'un anneau de forme quelconque.
Soit une aire plane, limitée par une courbe M; soit, en outre,
dans le même plan, un point /Wo, que l'on prend pour le sommet
commun de secteurs mm^m\ ayant pour bases des arcs mm' de la
courbe M. On suppose que celte courbe M est la figure d'un an-
neau matériel, dont la densité, au point m, est proportionnelle à
l'aire du secteur mm^m'^ le point m' élant infiniment voisin du
point m.
Il s'agit d'évaluer l'attraction qu'exerce l'arc mm' sur un point S
quelconque, puis celle qu'exerce l'anneau entier.
Employons des coordonnées rectangulaires ayant leur origine
au point attiré S. Soient ^oj J^oj ^o les coordonnées du point m©;
Xyy^ z celles du point m\ x -\- dx^ . . . celles du point ml .
( ' ) On Gaussas method of Computing secular perturbations, with an appli-
cation to the action o/ Venus on Mercury; by George-W. Hill, assistant v^m^rt-
can Ephemeris ( Astronomical papers prepared for the use of the American
Ephemeris and Nautical Almanac under the direction of Simon Newcomb,
vol. I; 1882).
3l2 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Le tétraèdre Smmoni a pour volume le sixième de la quantité
suivante :
6V= XQ(y dz — z dy) -r-y^^z dx — xdz) -r- z^{x dy — y dx\
Soit h la distance du point S au plan de la courbe M el dési-
gnons par rfo" l'aire du secteur mm^m!\ on a aussi 3V= A rfo-. De
là on conclut une expression de <ia-. Cet élément aréolaire étant,
par hypothèse, proportionnel à la densité de l'arc mm! ^ l'at-
traction a pour mesure le quotient de cette aire par le carré
(^^4-j^^-h 5*) de la distance Sm el s'exprime ainsi :
T^{y dz — z dy) -^yo(zdx — x dz) -i- z^(x dy — y dx)
1 h(x^ -h y^ -h z^ )
Pour obtenir les composantes de cette attraction suivant les
trois axes, on doit multiplier l'attraction elle-même par les trois
quantités
X y z
^X^-i-y^-i-Z^ /x*-f-^*-r-.5* /-P* -+- J'* -+- -5*
Que l'on pose donc, pour abréger,
p = \/x*-^y*-^z^,
^^ ^l x(ydz — zdy) ^ ^l yiydz — zdy) ^^ ^ £ z{ydz — zdy)
'2 p' ' ^ 2 p' ' " 2 p'
, V I fr^ ' xizdx — xdz) ,^ I yizdx — xdz) ,^ i zizdx — xdz)
^ ' » 2 p» ■'2 p' 2 p'
_ I x(xdy-'ydx) ^R = - yi^dy—ydx) , ^ 1 z(xdy — ydx)
^"•^ a p3 ' ^ 2 p» ' ^ 2 p»
que l'on désigne par P^, . . . , R^ ces différentielles intégrées tout
le long de la ligne M, on aura, pour les composantes de l'attrac-
tion totale, les expressions suivantes :
(2) { ^y= ^(XoPy-i-ytiQyr-ZoRy),
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3l3
II y a place ici pour plusieurs remarques. Tout d'abord, les
neuf différentielles (i) sont homogènes et du degré zéro par rap-
port aux coordonnées x^ y y z. Les quantités P^r, . . . , R^ sont
donc purement numériques et ne dépendent absolument que de la
forme du cône ayant S pour sommet et M pour base. Que Ton
prenne pour figure de Panneau une section quelconque de ce
même cône et, pour point fixe m^, un point arbitraire dans le
plan de cette section, les composantes de la force attractive seront
modifiées seulement par les quantités /<, cc^^y^^ Zq^ tandis que les
neuf quantités P^, * . . , R^ ne seront pas altérées.
En second lieu, ces dernières quantités, dont le calcul exige
des quadratures, peuvent être réduites à cinq seulement. On a,
en efi*et, la première relation évidente
(3) P^-t-Q^.4-R^=o.
Un calcul direct donne aussi
(4) d( "" ) == rf(Q,- R^),
avec deux relations analogues, d'où résulte une réduction dans le
nombre des quantités considérées. Si l'anneau est fermé, l'inté-
grale du premier membre (4), prise tout le long de cet anneau,
est nulle. Ainsi, pour un anneau fermé, on a les relations
(5) Qc=Rr. Rar=Pz, P,-Qx.
Quand il en est ainsi, on peut considérer ^^9 ^/} ^z^ données
par les égalités (2), comme les demi-dérivées partielles, prises par
rapport à Xo^yo^ ^O} dans une forme quadratique
(6) *= ^(a?îPxH-roQr-+-^oR5-+-^Qx^oro-^ ^Rr^'o^o^-JiPc^o^o).
Voici enfin une dernière remarque générale, relative au cas où
le cône, toujours quelconque, présente quelque symétrie.
Si le cône est symétrique par rapport au plan a: = o, il est
manifeste que les intégrales Qx et R^ se composent d'éléments
qui sont, deux à deux, égaux et de signes opposés, en sorte que
Qx et Rx sont nulles. .
3o6 DEUXIÈMB PARTIE. — APPLICATIONS.
mieux d'employer la formule (45). A cet effet, dans un nouveau
txîangle sphérique T'^, dont on donne deux côtés - — [jl, -^ — p-i
avec l'angle compris W\ , on calcule le troisième côté S] , et l'on a
enfin
^ Q' —S*
= i — ^'^C' -+-cos«Ao)
Examinons maintenant comment on peut opérer si Ton désire
obtenir une approximation plus grande, tenir compte, par exemple,
du carré et du cube de l'excentricité.
Soit ht la hauteur du triangle T< ; il est clair que ht ap-
proche de A, plus que /iq. De même, S'^ est une expression de S',
plus approchée que So. Si l'on emploie donc h^ et S'^, au lieu de
ho et So, on peut trouver une expression de ^', plus approchée
que W\, Mais alors il faut faire entrer en compte les termes du
second ordre.
Prenons, à cet effet, la formule (38), que nous mettons, au
préalable, sous la forme
^ -H mil = ^' — JL. x' siniX cosA cosa.
On pourra calculer l'expression approchée de m par la formule
(4o), qui donne
I . iv/âïï;
i (A-t-B,)/(iH-A«)(i-HB5j
A = v^i — X, Bi = /' — xcos*/ii,
OU bien encore par les deux premiers termes du développement
suivant les puissances de x,
nii = J xcos/ii[i -h ^x(i -H cos*/ii)].
Aux termes du second ordre près, U coïncide avec s' -{-s", en
sorte que la nouvelle expression m"'.^, prise pour W\ est donnée
par l'égalité
Dans le nouveau triangle sphérique ï^, dont les côtés sont
-^ — X et ; }h avec l'angle compris W^, on calculera, pour les
CHAPITRE VII. — PROBLÈMES DE GÉODÉSIE. 807
azimuts extrêmes, des valeurs plus approchées a*^^^, et^^K Si l'on
veut poursuivre Topera tion en utilisant les termes du troisième
ordre, on calculera aussi la hauteur A2, qui servira ensuite à
trouver un nouvel angle ^3, approchant de W^ plus que W,.
Si cependant on voulait effectivement pousser, dans ce pro-
blème, la solution jusqu'à y faire intervenir les termes du troi-
sième ordre, il serait, sans doute, préférable de présenter cette
solution sous une autre forme que nous allons développer.
Posons
Cî — A« ,., B« — A»
tang« A = -j--^ , tang« H = -^—-^ .
Pour l'angle cp, déjà employé dans les formules (36) et (36a),
il en résulte
tangA col H = cos<p.
On voit ainsi que les angles A, H, cp jouent, par rapport à un
nouveau cercle auxiliaire, le môme rôle que )^, A, ^' ou que [jl,
A*, ^' par rapport aux cercles auxiliaires déjà considérés. Les an-
gles A et H diffèrent de A et A ou de [x et Xr par des quantités du
premier ordre ; mais (p diffère de ^' par une quantité du second
ordre seulement (36a). Ces détails ne sont donnés ici que pour
faire mieux comprendre l'origine de la solution actuelle, où Ton
n'aura d'ailleurs à mentionner aucun cercle auxiliaire.
Pour parvenir aux formules que nous allons donner, il n y a
qu'à transcrire celles qui ont été développées plus haut. On y re-
marquera seulement que l'aplatissement e intervient ici plus natu-
rellement que l'excentricité; aussi le mettrons-nous en évidence.
Les données du problème sont les latitudes jx et pii de deux
points et la différence W de leurs longitudes. On désigne par e
l'aplatissement de la Terre, s = — r«
1^ En fonction des données on détermine deux angles A et A|,
peu différents de [jl et [jL| :
tang*A __ I — e -h /i — e(2 — e) sin'fjt
tang*A| _ I — eH-/i — e(a — 6)sin»p.i
îang^H^ ~" i -i- v/i — 6(2 — e)sinVi
3o8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
2** On prend pour inconnue principale un angle II, et pour
inconnues auxiliaires trois autres angles tt, U|, 4».
3** En posant, pour abréger l'écriture,
A« ^ 1 — £,
B« ^ I — ecosMI,
G* = I — e cos*A,
CJ = I — scos*Ai,
on a les équations suivantes :
,__ lang'A-t- tan«î*Ai — •?. tangA tan^^Ai cos4>
tang' 11 = . , >
* = V -i- s-/-^ (u - u,) cosll -h R,
u_ 'e'ABcosH /sinA v/cos*A — cos*I1 sin Aiy'cos'Ai — cos*H\
(I -i- ABXA H- B)« \ G«~-ïr\B CÎ-+-AB J '
. 1 A cos' A — cos* H
tang* - M — -„ .— ,
. I A cos'Ai — cos*II
tang» - Ui = -jr: r-;-
4° Pour trouver H, on procédera par approximations succes-
sives en prenant d^abord W pour première approximation de ^ ;
la valeur trouvée ainsi pour H par la première équation servira à
approcher davantage de 4». La nouvelle valeur de ^ donnera
ensuite une valeur de H, plus approchée, et ainsi de suite. La
quatrième valeur trouvée ainsi pour II sera définitive, les formules
données ici ne permettant pas une approximation supérieure.
Avec cette dernière valeur de H, on calculera la dernière valeur
deB et dett — «,.
5^ Les azimuts extrêmes a, ai sont donnés par les formules
. . cos'A I-+-G* . . ros'Ai IH- G?
COS*ll 1-hB* COS*II I -r- B*
6^ La distance géodésique S des deux points est déterminée
par l'égalité
V = r:= (sinA v^cos*A — ces* H — sinAi i/cos*\i — cos'll).
(A-r-B)v/AB ^
CHAPITRB YII. — PROBLfcMRS DE GÉODÉSIE. SoQ
7** On observe que la dernière valeur de B est seulement né-
cessaire pour le calcul de II — t^^ et du coefficient ( — ; — j dans
l'expression de S. Pour le calcul de y, la seconde valeur de H et
de B est seulement nécessaire. Le degré d'approximation que
Ton peut demander à ces formules ne doit amener aucune diffé-
rence entre les valeurs de y que Ton obtiendrait avec les valeurs
suivantes de H et de B. La même observation s'applique au calcul
de R. Pour P, la troisième valeur de H et B sufGra.
Les autres problèmes peuvent être résolus d'une manière ana-
logue. Il suffira d'avoir ici développé la solution du problème le
plus important : trouver la distance géodésique de deux points
dont on donne les coordonnées géographiques.
3 10 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
CHAPITRE VIII.
ATTRACTION D*UN ANNEAU ELLIPTIQUE (»).
Préambule. — Attraction d'un anneau de forme quelconque. — Anneau ellip-
tique; solution de Gauss. — Nouvelle solution. — Solution modifiée par l'em-
ploi des covariants. — Discussion. — Sur l'usage de la fonction 4>. — Résumé
de la solution. — Remarques sur les covariants.
Préambule.
Le problème que nous allons traiter a été posé par Gauss dans
ces termes :
a Les variations séculaires qui, pour les éléments d'une orbite
planétaire, résultent de la perturbation causée par une autre pla-
nète, sont indépendantes de la position qu'occupe cette dernière
dans son orbite. Au lieu de considérer cette planète comme dé-
crivant son orbite elliptique suivant les lois de Kepler, si Ton
imaginait sa masse répartie sur cette orbite proportionnellement
au temps que la planète emploie à parcourir chaque élément,
on trouverait, par cette hypothèse, les mêmes perturbations. Il
en est ainsi, du moins, quand les durées de révolution sont in-
commensurables entre elles pour la planète troublante et la pla-
nète troublée.
» Cet élégant théorème, s'il n'a pas été encore explicitement
énoncé, se démontre aisément par les éléments de TAstronomie.
(*) A consulter : i" Determinatio attractionis quant in punctum quodviSy
positionis datas, exerceret planeta, si ej'us massa per totam orbitam ratione
temporis quo singulœ partes describuntur, uniformiter esset dispertita {Gauss
Werke, t. III, p. 333). C'est à la fin de ce Mémoire que Gauss a parlé, pour la
première fois, de la moyenne arithmético- géométrique, dont il sera question au
t. III du présent Ouvrage. — - 5» Thèses présentées à la Faculté des Sciences de
Paris par M. Edmond Bour. Mallct-Bachelier; i855.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3ll
» Voici donc un problème très digne d'attention, tant par lui-
même que par divers artifices nécessaires à sa solution : détermi-
ner Vatlraction qiC exerce sur un point quelconque une orbite
planétaire ou, en d^autres ternies, un anneau elliptique dont
V épaisseur varie, en chaque point, suivant la loi^ ci-dessus ex-
pliquée. »
Le théorème que Gauss a qualifié d^élégant se trouve démontré
dans un Mémoire très récent de M. George-W. Hill (*), On y
voit clairement que Tattraction^ conclue de ce théorème^ conduit,
en effet, à la détermination des variations séculaires, aux termes
près du second ordre par rapport aux forces troublantes. M. Hill
a d^ailleurs complété la solution du problème en continuant les
calculs de Gauss jusqu^au point où peut se faire Inapplication nu-
mérique.
Nous donnerons ici, par une analyse nouvelle et simple, la so-
lution du problème sous deux formes différentes, dont Tune est
celle de Gauss.
Attraction d'un anneau de forme quelconque.
Soit une aire plane, limitée par une courbe M; soit, en outre,
dans le même plan, un point mo, que Ton prend pour le sommet
commun de secteurs mm^m' ^ ayant pour bases des arcs mm' de la
courbe M. On suppose que celte courbe M est la figure d'un an-
neau matériel, dont la densité, au point m, est proportionnelle à
l'aire du secteur mm^m'^ le point m' étant infiniment voisin du
point m.
Il s'agit d'évaluer l'attraction qu'exerce l'arc mm' sur un point S
quelconque, puis celle qu'exerce l'anneau entier.
Employons des coordonnées rectangulaires ayant leur origine
au point attiré S. Soient ^oj^o? ^o les coordonnées du point m©;
X, y^ z celles du point m; a: -j- dx^ . . . celles du point m' ,
{^) On Gauss's metfiod of Computing secular perturbations, with an appli-
cation to the action of Venus on Mercury ; by George-W. Hill, assistant Ameri'
can Ephemeris (Astronomical papers prepared for the use of the American
Ephemeris and Nautical Almanac under the direction of Simon Newcomb,
vol. I; 1882).
3 12 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Le tétraèdre Sniniorn a pour volume le sixième de la quantité
suivante :
6V = J"o( j dz — z dy) —y^iz dx — x dz) ~ Zq{x dy --y dx).
Soit h la distance du point S au plan de la courbe M et dési-
gnons par dv Taire du secteur mm^ni! \ on a aussi 3V= A rfo-. De
là on conclut une expression de da. Cet élément aréolaire étant,
par hypothèse, proportionnel à la densité de l'arc /wm', l'at-
traction a pour mesure le quotient de cette aire par le carré
{x'^-^y^-^- 5*) de la distance S m et s'exprime ainsi :
Tq(y dz — z dy) -^r^iz dx — x dz) -.- Zvi{x dy —y dx)
'2 h{x^ -h y^ -h z^ )
Pour obtenir les composantes de cette attraction suivant les
trois axes, on doit multiplier l'attraction elle-même par les trois
quantités
X y z
Que l'on pose donc, pour abréger,
p = s/^r^y^-.- z^,
dp = ' x(ydz-zdy)^ dV = ' y(ydz—zdy) jp ^ ' z{ydz-~zdy)
' » p' ^ '1 p' ^ 2 p'
, , , ,^^ I x(zdx — xdz) .^ I yizdx — xdz) ,^ i zizdx — Tdz\
^ / \ ^-^ 2 p* ' 1 p' -1 p»
,_ i x(xdy—ydx) ,_, i y(xdy—ydx) ,_ iz(xdy—ydx)
'2 p* J 2 p» '2 p^
que l'on désigne par P^, . . . , R;; ces différentielles intégrées tout
le long de la ligne M, on aura, pour les composantes de l'attrac-
tion totale, les expressions suivantes :
( 2 ) '^ «1>_^. = ^^ ( Xo Vy -^ Vu Qy -^ -0 Ry)y
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3l3
Il y a place ici pour plusieurs remarques. Tout d'abord, les
neuf différentielles (i) sont homogènes et du degré zéro par rap-
port aux coordonnées x^ y y z. Les quantités P^, ...,11- sont
donc purement numériques et ne dépendent absolument que de la
forme du cône ayant S pour sommet et M pour base. Que Ton
prenne pour figure de Panneau une section quelconque de ce
même cône et, pour point fixe ma, un point arbitraire dans le
plan de cette section, les composantes de la force attractive seront
modifiées seulement par les quantités A, x^^y^^ Zo, tandis que les
neuf quantités P^, . . . , Rr ne seront pas altérées.
En second lieu, ces dernières quantités, dont le calcul exige
des quadratures, peuvent être réduites à cinq seulement. On a,
en effet, la première relation évidente
(3) P^^Q^-4-R- = o.
Un calcul direct donne aussi
(4) d(-—=L=r=\ = 6?(Q,- R^),
avec deux relations analogues, d'où résulte une réduction dans le
nombre des quantités considérées. Si l'anneau est fermé, l'inté-
grale du premier membre (4), prise tout le long de cet anneau,
est nulle. Ainsi, pour un anneau fermé, on a les relations
(5) Qc=Rr, Rx=Pz, P,-Qx.
Quand il en est ainsi, on peut considérer ^xt ^/j ^z? données
par les égalités (2), comme les demi-dérivées partielles, prises par
rapport à Xo^yo^ Zq, dans une forme quadratique
(6) *= ^i^ll'x-^ ylQy-^ zlïi^-h ^q^^oy^-^ 9.Ryyo^o-^ -^Pz^o^i))'
Voici enfin une dernière remarque générale, relative au cas où
le cône, toujours quelconque, présente quelque symétrie.
Si le cône est symétrique par rapport au plan x = o, il est
manifeste que les intégrales Qj et Rx se composent d'éléments
qui sont, deux à deux, égaux et de signes opposés, en sorte que
Qx et Rj: sont nulles. .
3l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La symétrie par rapport à un axe entraîne aussi révanouisse-
ment de deux intégrales; ainsi, la symétrie par rapport à Taxe
des X fait évanouir les deux intégrales P^ et P^.
En particulier, si le cône est symétrique par rapport aux trois
axes, les six quantités (5) sont nulles, et la forme quadratique ^
est réduite à trois carrés. Les coefficients de ces carrés ont d'ail-
leurs, d'après (3), zéro pour somme, et il n'y a que deux inté-
tégrales à calculer pour ce cas. Nous avons alors, d'après (2),
— «PxH <PyH <i>2 = o.
La force attractive est donc située dans un plan dont la posi-
tion, indépendante de la forme du cône, est entièrement déter-
minée par les deux points S et nio. Si l'on envisage un parallélé-
pipède rectangle ayant son centre au point S, ses côtés parallèles
aux axes et un sommet au point mo, et, sur ce parallélépipède, les
trois faces passant par m^] les trois sommets, opposés à mo sur
chacune de ces trois faces, déterminent le plan dont il s'agit.
Anneau elliptique. — Solution de Oauss.
Supposons que la courbe M soit une ellipse; le cône est du se-
cond degré. Rapporté à ses axes de figure, il a pour équation
, ^ .r* y* z^
(7) h ^ -+- - =0,
p q r
et deux des quantités /?, y, r ont un même signe, la troisième a le
signe opposé. On peut supposer les deux premières /?, q négatives,
la troisième /• positive, et mettre ces signes en évidence par les
notations
(8) ^=._G', y = -G', /=:G.
L'équation (7) est satisfaite si Ton pose
(9) ^ : /G^cosT ::y : /(/sinT :: z : /G,
et T est une variable auxiliaire qui servira pour l'intégration.
On a déjà observé que les différentielles (i) sont homogènes et
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3l5
du degré zéro; elles ne dépendent que des rapports mutuels des
coordonnées. On y remplacera donc les coordonnées parles quan-
tités (9) qui leur sont proportionnelles, et Ton aura ainsi
-7
7t
:rov/GG'G* / cosîTrfT
^x = —
^y = -
0
(G +
G'cos»T-f-G'
sin«TrfT
sin»T)«
(G-f-
G'C0S«T-r-G*
sin«T)^
'G^ r dT
(G^G'cos'T-HG'sinJT)'
Telles sont les composantes de Tattraction, sous la forme même
considérée par Gauss. On obtient ces trois intégrales en dérivant,
par rapport à G, G' ou G", l'intégrale unique
"-f
7C
dT
V^G -^ G' cos« T -4- G' sin* T
qui se ramène immédiatement à une période elliptique. Suivant le
signe de (G' — G"), on peut l'écrire, en effet, sous l'une ou l'autre
des formes suivantes :
1Z
v/G'-t-G / , / G'-G',. ,„
7Z
IJ =
y^G I ^ / G'-
:r- COS>T
On peut indifféremment remplacer, dans ces intégrales, cos^T
et sin*T l'un par l'autre; on voit donc que les deux intégrales
sont ici la demi-période K pour les fonctions elliptiques dont
r*t r*9
le carré du module k^ est l'une des deux quantités p/^p >
Q» Qt
r>0 h • L'une de ces deux quantités est positive, moindre que
l'unité.
Par le moyen des formules (36) el (87) du Chapitre X (t. I,
p. :k.*î . m »rcpnnie 4isfm#»ni .es lerrvr*-^ ir? i. -»n :iiai:*.u*n it* x
«»t H^î rinr>3ralH 'ïnmoleSH E- L^ 'îaii!:il w .'ainu:îiua -?:h uns-*
^>fXiÇ aurar.iinn -fs!. ai»*a !eîle riii -i*» mpoorttt kii i m même i«iî^
A»r 0«»usH. pnnrv'i xn iff :iipan.xé? > poinr 71., r// -oy^^r £** '^f-
/<i)<<f y(. En elTtît. 't'ionis lae les -ois ie S-taier. .a -^tesît» ir»rj-
kir/» 'i'rine ptstiifîiî ^«r -win -irhittr -îst TncL^rtuote niana !e T«iinine!
/i^^ ^^jitiéinr^ *îft il» .Sîlwl, ••*•»?«-•*- lire ^e rnv^r ie .'imiie.
(^tynr Mni'n^utr Tf^Ui* itiiutinn. .î ratit 'aicnier ji iDsiuoa ti a
jr^ixdenr «iiw ixe* iii ''.àiii» iv^at -îtin -nimmeL lu idiql iirir^ :?. ■**
Htfvnt I» h«we est i'irîiirtf tmnbiaaie. '3** pnnit*nie it^ ^iir^ •}fti)ini--
r.ri^ <^ revint rîicilimiiîat- 'inmmt* .m fait: Tiair? i. -tîtil:*» a rv=**-
IiitÎArt 'l'rMU» éqiuuioa «iii trai>H»*xiitî ietrré. ùiat G. 'j' -î — ''^
WAt i<^ rai^nm • ' . :^ oiiiia a'IiMÏrHAiiiâ^ pas iav.iii(au*?. i-t^i. nie a
r^^vvliib<Mi «i4» «Uitti» «»fpiacii)a 'lu trni.^rieme it^zr^ -î^ ?» perdue.
Vrvtis ikilmui ['•éviftf»r en Lnim«iiiiâaac Les fam^tioa.*? •iilinaime^ tiiius
SRwraife tnlimnw
fré»pr'»noas f'^/piatîoa «In c.jae -h.u.t La :'«:rTiie • . '.^a t^'i . "ç.-
I
ri-
P
l
1
■ P -
J^
—
i
■p
•
' 'V —
.•
-
r
- P
*
*
rnl nation 4e « et s- F-K pla^, on en 'i^.duh imi
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION D*UN ANNEAU ELLIPTIQUE. 817
Des deux dernières égalités (lo), on conclut
par conséquent, d'après (i),
dP = - ^^ (r — q)ds
Mais les égalités (lo) donnent
p^ ^p-q){q-r)(r^py^ ^^^ ^^^ ^
Posons, pour abréger.
(11) ,,^^^,, :=C, v/4(5-y>)(*-y)(j-r) = S..
Nous aurons alors, pour dPx, et, par permutation des lettres,
pour dQy et rfRz, les expressions suivantes :
S dPa:^-\ G(r - q){s — />) ds,
Sdqy=iC(p~r)(s-^g)ds,
S rfR- = \C(q —p)(s - r)ds.
Pour exprimer ces différentielles par des fonctions elliptiques,
on posera
(12) = '— = = I ;
pu — 6(1 pu — 60 pu — e^
d'où résulte
S =p'«, S du = dsj
et, par conséquent,
/ dPa:= î C(r — q)(pu- ea)du,
(i3) dqy=iC(p- r)(pu^e^)du,
\ d^z= \ C(q — p){pu— ey)du.
Les fonctions elliptiques sont ici à discriminant positif et les ra-
cines Ca sont déterminées par les égalités
(14) «a— /> = «p— ^ = ey— r = — \{p^q^r).
3l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Supposons encore, comme plus haut, que deux des quantités
/?, q^ r soient négatives , la troisième positive. D'après les éga-
lités (lo), la réalité de x^y^ z exige que s soit entre les deux plus
petites des trois quantités/?, q^ r. Si, au contraire, on supposait
deux quantités positives et une négative, s devrait être entre les
deux plus grandes.
Dans Phypothèse adoptée, pu reste compris entre les deux plus
petites racines e», c'est-à-dire entre e^ et e^i en sorte que u — co'
est réel. On fera le tour complet du cône en faisant varier u — co'
dans l'étendue d'une période 2(0. L'intégrale indéfinie de pu — e^
est — {^u 4- uea)', l'intégrale définie est donc — 2(7, -î- toe^). Re-
mettant pour e^ son expression (i4)} on obtient
Les autres composantes Q^-, R« se déduisent de là par la permuta-
tion circulaire des lettres /?, y, r. En multipliant Pj-, Qy, R^ res-
pectivement par-^^, ^) y > on a les composantes de l'attraction.
Jusqu'à présent, cette solution diffère seulement par la forme
de celle qui a été exposée d'abord. Les axes de coordonnées
sont les mêmes et la connaissance de /?, y, /* paraît nécessaire.
Mais on sait (t. I, ch. X) que Tj et oj peuvent être calculés par le
moyen des invariants seulement, sans qu'il soit nécessaire de
trouver les racines <?a. On pourra donc ici trouver r, et 10 par les
coefficients du polynôme (5 — p){s — 7)(^ — '*)» s^"* calculer
les racines/?, q, r. Pour s'aifranchir entièrement du calcul de ces
racines, il faut, en outre, trouver les composantes de l'attraction
suivant des axes quelconques; c'est ce que nous allons faire au
moyen de la forme quadratique 4>.
Si nous posons (en supprimant l'indice o de ./*, v, :; )
^''^ 1 N =C[p(g-r)j:^-r-q{r-p)y'-r-r{p-q)z^l
nous avons maintenant, pour la forme 'ï>, l'expression suivante :
(16) A* = ^T,— IL^^^I-^io\ M-f-ojN.
Il s'agit de calculer les deux formes quadratiques iM et N.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. SlQ
Solution modifiée par l'emploi des coyariants.
Les trois formes quadratiques, propres au calcul, sont les sui-
vantes :
(17)
j. X^ V* z^
/ = — -+- — -H -,
' p 9 r
Il faut y joindre les fonctions symétriques de /?, y, /•, savoir
(18)
/ X, ==jo -i-<7 -+-r,
< kt = pq -hqr-^ rp,
( X'3 =
/>(/'•.
et exprimer les formes M, N par ces quantités.
Par la multiplication de deux déterminants, on obtient M
comme il suit
1 x^ y z*
I I I
-v ^i 3
1
p q r
1
1 I I
P q r
—
f 3 ^'^
1 I I 1
p q r
f k\—iki /•,
ce qui donne, en déve
île
)ppant,
— (p-q){q — r){r-^p) ^
En remplaçant C par son expression (11), on voit s^iutroduire
ici le produit des carrés des différences {p — çYi^ — ^)^(^ — pY^»
dont on connaît Texpression par les fonctions symétriques. On
retrouve d'ailleurs ce résultat en remplaçant dans la dernière
équation x^,y^,z^ par qr^ ^P^PÇj hypothèse qui change M en
— C{p — g){'J — '')('' — p)j ^ en k2, /en X', et ç en SA'j. On
a, de cette manière,
(19)
(20)
ip-çnq-ryir^py
= i8XiX,X3-4X:5-i-X:îX:|-4X:îX3-a7X-J = îV^
2X',(3X-,-X:î)/-h(9X,-.XiX,)cp.
320
DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Un calcul analogue donnerait N exprime par tj^, /, :p. Mais, pour
la suite, il vaut mieux exprimer N par '}, ^, jjl. On y parvient en-
core par la multiplication de deux déterminants :
px^ qy^
P y
r A»
r
1
I
1 I
o A, 3
1
P
1 I
q ~r
= ^ ^ t
p
r p p q
q r
c ° 2 />
M
Y^{p — 7)(Ç — '')(^ — P)y
C (p-..q)(q^.r){r'-p)
Le dernier déterminant peut donc s^écrire ainsi : •
^i(p — Ç)(Ç — f')ir—p)
i( 3
!^
3Xr,
Quant au second déterminant, on a
I
I
1>
q — r
I
I
r — p
I
I
_ 9.(Xî-3X>)
/
en sorte qu'on trouve finalement
1 A
Les invariants des fonctions elliptiques s^obtiennent par la dis-
parition du second terme dans le polynôme
(•Jt2)
i^—p)i^ — 7)(* — '•) = s^—AiS^-\- A^s — /s
On il, de la sorte,
(■23)
11 en résulte
\ ^î-=^'(A?-3/,),
^-7^"3).
îi^i^'i— 9^r3= 4(^*1^1—9^3),
CHAPITRE VUI. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 32 1
ce qui est le coefficient de |jl clans le second membre (^i ). De là
celte conséquence
qui permet de transformer l'expression (iti) de 4> en celle-ci :
(.4) A*=(,-^£î.„)mh-?^(/,^-3^).
Suivant le résultat obtenu au tome 1 (p. 343), la demi-période
va être exprimée en fonction de l'invariant absolu J, par l'inter-
médiaire de la quantité suivante :
(a5) Ç=^^ = î^.
^j
*/■
C'est (o v4é^2 ^^^ s'offre naturellement^ soit donc
(26) o>i/jyi=wa).
En employant, comme au Chapitre IX du tome I, l'opération D,
D = 1-2^3 — 1- - ir? _r _
d 9. ^ d
on a (t. I, p. 307)
©I 6 1
et l'on doit observer que le discriminant A des fonctions ellipti-
ques est ici le même que la quantité désignée déjà par cette lettre;
c'est ce qui résulte de la définition (19), comparée à celle du dis-
criminant des fonctions elliptiques (t. I, p. 25),
(ej — e2)«(ej— ea)*(^i— ^i)*=iV^t
les différences des racines e» et celles des racines /?, q^ r se con-
fondant les unes avec les autres (i4)*
Des équations précédentes, il résulte
II. 21
3l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
La symétrie par rapport à un axe entraîne aussi l'évanouisse-
ment de deux intégrales ; ainsi, la symétrie par rapport à Taxe
des X fait évanouir les deux intégrales P^ et P^.
En particulier, si le cône est symétrique par rapport aux trois
axes, les six quantités (5) sont nulles, et la forme quadratique ^
est réduite à trois carrés. Les coefficients de ces carrés ont d'ail-
leurs, d'après (3), zéro pour somme, et il n'y a que deux inté-
tégrales à calculer pour ce cas. Nous avons alors, d'après (2),
— <P;rH «PyH 4>5 = o.
a^o ro -50
La force attractive est donc située dans un plan dont la posi-
tion, indépendante de la forme du cône, est entièrement déter-
minée par les deux points S et m^. Si l'on envisage un parallélé-
pipède rectangle ayant son centre au point S, ses côtés parallèles
aux axes et un sommet au point mo, et, sur ce parallélépipède, les
trois faces passant par mo ; les trois sommets, opposés à m^ sur
chacune de ces trois faces, déterminent le plan dont il s'agit.
Anneau elliptique. — Solution de Oauss.
Supposons que la courbe M soit une ellipse; le cône est du se-
cond degré. Rapporté à ses axes de figure, il a pour équation
, . ^* y* z'^
(7) h ^ -+- - =0,
p q r
et deux des quantités /?, ç, r ont un même signe, la troisième a le
signe opposé. On peut supposer les deux premières/?, q négatives,
la troisième /* positive, et mettre ces signes en évidence par les
notations
(8) />--G', ^ = -G% 7=0.
L'équation (7) est satisfaite si l'on pose
(9) X : v/G^cosT ::y: /G^sinT :: z : /G,
et T est une variable auxiliaire qui servira pour l'intégration.
On a déjà observé que les différentielles (i) sont homogènes et
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 3l5
du degré zéro; elles ne dépendent que des rapports mutuels des
coordonnées. On y remplacera donc les coordonnées parles quan-
tités (9) qui leur sont proportionnelles, et Ton aura ainsi
:rov/GG'G' C cosîTrfT
*^ = X / V
J^ (GH-G'cos«TH-G'sin«T)«
roV^GG'G' C'^ sin«TrfT
*r = -* yT / T>
•^0 (G-t-G'cos«T-r-G'sin«T)*
*, = H Î^-T / j-
J^ (G4-G'cos>T-*-G'sin»T)«
Telles sont les composantes de l'attraction, sous la forme même
considérée par Gauss. On obtient ces trois intégrales en dérivant,
par rapport à G, G' ou G'^, l'intégrale unique
dH
. — y
cos«T-»-G'sin*T
qui se ramène immédiatement à une période elliptique. Suivant le
signe de (G' — G"), on peut l'écrire, en effet, sous l'une ou l'autre
des formes suivantes :
/G'+G / / G'- G' . ,_
0
-
^'zi.S.'cos«T
On peut indifféremment remplacer, dans ces intégrales, cos^T
et sin*T Tun par l'autre; on voit donc que les deux intégrales
sont ici la demi-période K pour les fonctions elliptiques dont
pf n»
le carré du module k^ est l'une des deux quantités -^7377^»
n» r*t
nu _,n ' L'une de ces deux quantités est positive, moindre que
l'unité.
Par le moyen des formules (36) el (87) du Chapitre X (t. I,
3l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
p. 253), on exprime aisément les dérivées de U en fonclion de K
et de l'intégrale complète E. Le calcul de Tattraction est ainsi
achevé.
Cette attraction est bien celle qui se rapporte au problème posé
par Gauss, pourvu qu'o/i suppose le point m^ au foyer de V el-
lipse M. En effet, d'après une des lois de Kepler, la vitesse aréo-
laire d'une planète sur son orbite est constante quand le sommet
des secteurs est le Soleil, c'est-à-dire le foyer de l'orbite.
Pour appliquer cette solution, il faut calculer la position et la
grandeur des axes du cône ayant son sommet au point attiré S, et
dont la base est l'orbite troublante. Ce problème de pure Géomé-
trie se résout facilement, comme on sait; mais il exige la réso-
lution d'une équation du troisième degré, dont G', G" et — G
sont les racines (^ ). Si nous n'insistons pas davantage, c'est que la
résolution de cette équation du troisième degré est superflue.
Nous allons l'éviter en introduisant les fonctions elliptiques sous
la forme moderne.
Nouvelle solution.
Reprenons l'équation du cône sous la forme (7). On peut ex-
primer j:^, ^^, z^ par deux variables auxiliaires s et p, comme il
suit :
(lu) ^yl = — ^-^ _^ pî
^ ^ "^ iq-pKç-r)'^ '
z^ = —
rjs — r) ^j
(r—p){r-~q)^
Ces égalités donnent lieu effectivement à la relation (7) par éli-
mination de s et p. De plus, on en déduit aussi
en sorte que p a la même signification que précédemment.
(') C'est Bour qui, dans sa Tlièâc citée prccédeinmcnt, a donne cette interpré-
tation géométrique des formules abstraites développées par Guuss.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION D*|]IS ANNEAU ELLIPTIQUE. 817
Des deux dernières égalités (lo), on conclut
\z y) \s — r s — q] (s — r){s — q)
par conséquent, d'après (i),
,/p _ ' ^r- (r — q)ds
4 p' {s--r){s-q)
Mais les égalités (lo) donnent
xyz
s/pqi
Posons, pour abréger,
^(s^pXs—qXs— r).
(11) /^ ^^C, /4(,-^)(5-çr)(*-r; = S..
Nous aurons alors, pour e/Pxy et, par permutation des lettres,
pour dQy et rfR^, les expressions suivantes :
S dPjc= \C(r — q)(s --p) ds,
SdQy=iC{p~r){s^q)ds,
S dR^= iC(q —p){s — r)ds.
Pour exprimer ces différentielles par des fonctions elliptiques,
on posera
5—/) 5 — 7 s — r
(12) ^— = '— = = I ;
' pu — e» pu — Ca pu — e^
d'où résulte
S = p' «, S rfa = 6^*,
et, par conséquent,
/ dPj:=iC{r-^q){pu^eoL)du,
(i3) dQy^iCip- r){pu-e^)du,
I rfR5= J C(7 — />)(pa— ey)rfM.
Les fonctions elliptiques sont ici à discriminant positif et les ra-
cines 6(1 sont déterminées par les égalités
(i4) ea—p = ep— q = Cy— r = - î (/> 4- 7 -h r).
3l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Supposons encore, comme plus haut, que deux des quantités
/?, q^ r soient négatives , la troisième positive. D'après les éga-
lités (lo), la réalité de x^y^ z exige que s soit entre les deux plus
petites des trois quantités/?, q, r. Si, au contraire, on supposait
deux quantités positives et une négative, s devrait être entre les
deux plus grandes.
Dans rhypothèse adoptée, pu reste compris entre les deux plus
petites racines ea, c'est-à-dire entre e^ et e^i en sorte que u — o>'
est réel. On fera le tour complet du cône en faisant varier u — o>'
dans l'étendue d'une période aw. L'intégrale indéfinie de pu — e»
est — (Çw H- uea)', l'intégrale définie est donc — 2(rj -|- (o^a). Re-
mettant pour ea son expression (i4)) on obtient
Les autres composantes Q^, R^ se déduisent de là par la permuta-
lion circulaire des lettres /?, q, r. En multipliant P^» Q/» lU res-
f A Va Xa
pectivement par-T , ^j y > on a les composantes de l'attraction.
Jusqu'à présent, cette solution difi^ère seulement par la forme
de celle qui a été exposée d'abord. Les axes de coordonnées
sont les mêmes et la connaissance de /?, ^, r paraît nécessaire.
Mais on sait (t. I, ch. X) que tj et w peuvent être calculés par le
moyen des invariants seulement, sans qu'il soit nécessaire de
trouver les racines e». On pourra donc ici trouver r^ et w par les
coefïicienls du polynôme (s — p){s — q){s — r), sans calculer
les racines/?, q, r. Pour s'aHranchir entièrement du calcul de ces
racines, il faut, en outre, trouver les composantes de l'attraction
suivant des axes quelconques; c'est ce que nous allons faire au
moyen de la forme quadratique <P.
Si nous posons (en supprimant l'indice o de x, v, z)
nous avons maintenant, pour la forme <P, l'expression suivante :
(i6) /i*= ^T,— ^'^3 "^^<^) Mh-wN.
Il s'agit de calculer les deux formes quadratiques M et N.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQIB. SlQ
Solution modifiée par l'emploi des covariants.
Les trois formes quadratiques, propres au calcul, sont les sui-
vantes :
(17)
/ = — -I- —
' P Ç
Il faut y joindre les fonctions symétriques de /?, y, /*, savoir
(18)
/ A, =/> -hq -f-r,
< kt = pq -\-qr-h rpy
et exprimer les formes M, N par ces quantités.
Par la multiplication de deux déterminants, on obtient M
comme il suit
X»
y'
z^
p
ç
r
l
I
1
I
I
I
1
I
I
—
—
—
— —
P
9
r
P
9
r
^
- i z = f
3
3
h
<p /?— a/-, Al
ce qui donne, en développant,
M
- i P - q){q — r){r -^ p) ^
En remplaçant G par son expression (11), on voit s'introduire
ici le produit des carrés des différences {p — qYiç — ^^i^ — /^)^'
dont on connaît l'expression par les fonctions symétriques. On
retrouve d'ailleurs ce résultat en remplaçant dans la dernière
équation x^,y^, z^ par qr^ ^P^ PÇj hypothèse qui change M en
— C(/> — g){'J — ^)(^ — />)> ^ en /r2, /en A| et ^ en S/tj. On
a, de cette manière,
(19)
(20)
(p-q)'(g-ryir^py
= i8/-iX:,A3- 4X:5 -I- AJAi - 4X:ÎA,- 27X:J = îV ^
|.= ~-^M=(Aî/,-2Aî-3/iA,)^.
2A,(3A',-A?)/-f-(9X-,-A-,A,)?.
à
320
DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Un calcul analogue donnerait N exprimé par t{/, /, cp. Mais, pour
la suite, il vaut mieux exprimer N par t}/, cp, [jl. On y parvient en-
core par la multiplication de deux déterminants :
px^ qy^
r^»
\ I I
© kt 3
1 »
P 1
r
1 I I
> q ~r
—
* ' i:
1 1
I
q r r p p q
p q r
e • 2V
^^-f- = tJ"^ ^^^^ ""^^^ ^^'
M [1
^ (p-9K9-r)(r^p)
Le dernier déterminant peut donc s'écrire ainsi :
^%(p-'qKç — '')(^—p)
<p A:,
4; 3
[1 o
3/-,
Ai
Quant au second déterminant, on a
I
1
q — r
I
I
Ç
r—p
I
I
/•
p^q
_ a(X'î-3A',)
en sorte qu'on trouve finalement
[(/'i/,-9A-,)|ji-H,V^(Ai^'-3^)].
Les invariants des fonctions elliptiques s'obtiennent par la dis-
parition du second terme dans le polynôme
(22)
{s — p){s — q){s — r) = s^ — kxS^-h kfS — k^
On a, de la sorte,
(23)
Il en résulte
i ^,=|(A-;-3x,),
1 ^3 = l^(2Aî— 9/-,A,
37 A3).
aXi^î— 9^3= 4(A:iA,— 9A-3),
CHAPITRE VUI. — ATTRACTION d'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 32 1
ce qui est le coefGcient de |jl dans le second membre (ai ). De là
celte conséquence
qui permet de transformer l'expression (i6) de <^ en celle-ci :
(24)
Suivant le résultat obtenu au tome I (p. 343), la demi-période
va être exprimée en fonction de l'invariant absolu J, par l'inter-
médiaire de la quantité suivante :
(25) ^^J -i_.7/r;
J ff\
'r
C'est (o v4^2 qui s'offre naturellement^ soit donc
(26) oii/jy, = wa).
En employant, comme au Chapitre IX du tome I, l'opération D,
â 9. à
on a (t. I, p. 3o^)
et ô J
et l'on doit observer que le discriminant A des fonctions ellipti-
ques est ici le même que la quantité désignée déjà par cette lettre;
c'est ce qui résulte de la définition (19), comparée à celle du dis-
criminant des fonctions elliptiques (t. I, p. a5),
(ei — e2)*(^î— ^3)*(^J— ^i)*=lV^»
les différences des racines e^ et celles des racines />, y, /• se con-
fondant les unes avec les autres (i4)*
Des équations précédentes, il résulte
II. 31
322 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
En mettant cette expression de vj dans l'égalité (24), rempla-
çant aussi M par son expression (20) en [jl, (o par l'expres-
sion (26), on obtient
(27) A* = i.iy^ri(A:,4,-3o)V(Ç)-i^Vv'(?)l.
^« V ^s L ^ Si J
Il ne reste plus qu'à exprimer U^ en série hypergéométriquepour
avoir la formule définitive.
Discussion.
La fonction ^ s'exprime par la somme de deux séries hj^per-
géométriques, comme il suit (t. I, p. 343) : soient P et P4 les
deux séries hypergéométriques contenant seulement les puissances
à exposants entiers et positifs de ^, A et B deux transcendantes
numériques, on a
(28) V = 2AP — BPiV^.
La formule, empruntée au tome I (^loco citato)^ contient une
ambiguïté de signe, que nous reportons ici sur la racine carrée.
On a vu que le signe du second terme doit être contraire à celui
de ^3, pour que Ton obtienne effectivement, comme il le faut ici,
(o et non -r« Il faudra donc prendre \^^\ du même signe que ^3.
Dans notre analyse, nous avons supposé k^ positif, ce qui était
permis. La supposition inverse, également permise, aurait con-
duit à une analyse à peine différente. Il convient, dans le résultat,
de faire disparaître cette supposition.
Le second membre de la formule (27) présente, comme il le
faut, une homogénéité par rapport aux quantités /?, q^ ''(*)• La
quantité entre crochets est homogène et du degré i ; .elle se re-
produit, changée seulement de signe, quand on change les signes
de /?, y, r en conservant les valeurs absolues. Ceci a lieu, bien
(*) En communiquant les résultats de ces recherches à PAcadémie des Sciences
( Comptes rendus, t. CIU, p. 36G), l'auteur avait, par inadvertance, omis un dé-
nominateur g^ au premier terme du crochet (27), ce qui troublait, à tort, Tho-
mogénéité et conduisait à une ambiguïté de signe entièrement erronée.
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION D*UN ANNEAU ELLIPTIQUE. 828
entendu, à condition que ^'(5) ne soit pas altéré, comme effecti-
vement cela se produit pour Ç. Il faudra donc, en même temps,
changer le signe de ^^Ç, puisque Pi ne subit aucune altération.
Ainsi, levant toute restriction sur les signes de />, q^ r, on doit
prendre y/^Ç du même signe que k^g^.
En mettant, au dehors du crochet dans la formule (27), y^
au lieu de v/a^j ^^ ^ disposé cette formule pour permettre d'y
supposer k% négatif. Elle est donc affranchie maintenant de toute
restriction sur les signes de /?, q^ r.
Nous avons encore à examiner la formule qui doit remplacer la
précédente (28), quand on veut développer ^ suivant les puis-
sances ascendantes de $i = j> au lieu de Ç = — |— • Ceci est né-
cessaire quand \ est voisin de Tunité.
Deux développements très différents représentent les deux
demi-périodes quand on emploie ^1 au lieu de Ç (t. I, p. 344)-
L'un d'eux, composé d'une seule série hypergéométrique, con-
serve une valeur finie et se réduit à son premier terme, quand Ç|
devient nul. L'autre, au contraire, où la série hypergéométrique
est multipliée par le logarithme de^i, devient alors infini. Le pre-
mier de ces développements correspond au cas où les deux termes
du second membre (28) sont de signes opposés ; le second corres-
pond à l'autre cas. Ce sera donc le premier ou le second dévelop-
pement qui conviendra suivant que k^g^ sera positif ou négatif.
Le second développement, on vient de le rappeler, donne lieu,
pour Ç, = o, à des valeurs infiniment grandes pour les coefficients
de la forme <^. La force attractive est infiniment grande ; l'hypo-
thèse correspondante se rapporte donc au cas où le point attiré
est situé sur l'orbite attirante. Quant au premier développement,
si l'on y suppose \x = o, on obtient le résultat qui correspond au
cas où deux des quantités />, q^ r sont égales entre elles : le cône
est de révolution.
Sur l'usage de la fonction 4>.
Mise sous la forme (27), la fonction <^ a une expression que
Ton peut regarder comme indépendante des axes de coordonnées.
324 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Effectivement, pour les polynômes ^,/, f et les coefGcienls A', on
connaît des expressions indépendantes des axes; ce sont des co-
variants et des invariants, dont nous allons d^ailleurs parler dans
un instant. Supposons donc <^ ainsi exprimé au moyen de coor-
données quelconques X, Y, Z. Soient
5 = cX -+- C'Y -f- c'Z
les formules du changement de coordonnées. Elles donnent
d\ ôx of ()z
Puisque 7~' ")-» "p sont les projections rectangulaires de l'at-
traction sur les axes des x^y^ 5, et que ces derniers sont rectan-
gulaires, on voit que tv est aussi la projection reclangulairc de
Tattraction sur l'axe des coordonnées X. Ainsi, avec des coor-
données rectilignes quelconques^ les trois dérivées partielles
de ^ par rapport à ces coordonnées représentent les projections
rectangulaires de l'attraction sur les trois axes de coordon-
nées. Ce sont les composantes, si les axes sont rectangulaires.
Résumé de la solution.
La manière dont se composent les polynômes t}/, /, (jj et les
coefficients k va se trouver mise en évidence dans le résumé sui-
vant, où, bien entendu, les coordonnées sont supposées quel-
conques :
r* La forme quadratique ij représente le carré de la distance
d'un point à Torigine des coordonnées.
a° La forme/, égalée à zéro, représente un cône égal ethomo-
tliétique à celui qui a pour base l'orbite et pour sommet le
point attiré. Elle n'est déterminée qu'à un facteur constant près;
cette indétermination disparaît dans la formule finale, qui est ho-
mogène et du degré zéro par rapport aux coefficients de/.
CHAPITRB VIII. — ATTRACTION D*UN ANNEAU ELLIPTIQUE. 325
3° La forme cp, égalée à zéro, représente le cône supplémen-
taire ou réciproque du précédent (polaire réciproque par rapport
à une sphère concentrique). Elle doit être composée avec les
coefficients de /*, de telle sorte que les discriminants des deux
formes y et 'f soient réciproques. C'est effectivement ainsi qu'on
a pris précédemment y et cp; leurs discriminants sont — elpqr.
4° SoitSyie discriminant de/*; soit aussi o/i le discriminant de
la forme
Les coefficients /ti, /r2, fcz sont ceux du quotient des deux discri-
minants :
C'est, en effet, ce qui a lieu pour les formes /et ^, telles qu'on le»
a envisagées.
5** Avec ces formes et ces coefficients Â', on compose la forme
auxiliaire [x,
{x=(itîA-,-2A;-3/i/-,)'>^-2/r3(3/-,-X:î)/-+.(9A-3-A'iA:,)?,
et les quantités suivantes
6^ Dénotant par ^(i) une transcendante, qui va être déter-
minée plus loin, et par h la distance du point attiré au plan de
l'orbite, on considère la forme quadratique <ï>
Si l'on prend la dérivée partielle de <ï> par rapport à une quel-
conque des trois coordonnées, x par exemple, et qu'on mette, au
lieu de x, ^, z, les différences Xq — x, yo — y, Zq — z des coor-
données du foyer de l'orbite (le Soleil) et du point attiré, celte
326 DEl'XI^E PARTIE. — APPLICATfOKS.
dérivée partielle représente la projection rectangulaire de Tattrac-
tion sur Taxe des x.
7" La transcendante ^'(Ç) s'exprime par des séries hypergéo-
métriques, comme il suit
HXO = 2 A F(-;„ A, î, $) - B F(ff, ^,-, \, 0 y/â,
A= 1,311028777146...,
B = 0,599070117367. . .,
et y/yi doit être pris avec le même signe que kzg%-
Quand A 3 ^3 est positif, on a aussi
quand A'3^3 est négatif, la seconde expression de ^(X) ^^^ '^ s^'"
vante
«'(0 = jJi [q -^ F( .'l> A, •. • - 0 log ^^] .
OÙ Q figure la série (t. I, p. 344)
/I =: 00
\* ' 12/1 — 7/
Tel est le résumé complet de la solution, mise sous la forme
désirable : les résultats sont explicites et les fonctions elliptiques,
qui ont servi de moyen, ont entièrement disparu.
Pour mieux faire comprendre 'celte solution, voici les expres-
sions des diverses quantités avec des axes rectangulaires particu-
liers, les axes de symétrie de l'orbite et la perpendiculaire à son
plan. Nous les donnons sans démonstration, comme des consé-
CHAPITRE VIII. — ATTRACTION D'uN ANNEAU ELLIPTIQUE. 827
quences des éléments de la Géométrie analytique; a, p, y dési-
gnent les coordonnées du point attiré :
__ (73- — gg)* (Y.r— 3^)» __ z^
J Y*a* Y*^* Y*'
A-, = a* -f- 6î — aï — 3» — yS
X:3= a'ô'Y*» /' = Y*
On voit que, dans le coefficient qui afiecte l'expression de <ï>, la
quantité -r \lk\ se réduit à a 6, en sorte que la formule s'applique
aussi, comme il convient, au cas où le point attiré est dans le
plan de l'orbite.
Pour avoir les composantes de l'attraction, il faudra, dans les
dérivées partielles de <ï>, remplacer x^ y, z par les projections de
ia distance du foyer au point attiré, prises sur les trois axes.
Le cas où g^ est nul répond à la formule très simple
. 2 A
3^îA
V^(A-.4^-3cp).
Le lieu du sommet du cône, pour ce cas, est une surface du
sixième degré.
Quand le cône est de révolution (et le lieu du sommet, pour ce
cas, est, comme on sait, une hyperbole), la formule devient
Remarques sur les covariants.
Revenons aux formules de début et dénotons par une seule
lettre chacun des déterminants, tels que (y dz — zdy) :
a =zy dz — z dy^ b = zdx — xdzy c =: x dy — y dx.
Mettons encore i^, au lieu de x^-H^^-l- z-^ et ji/^^ au lieu de
x^ .... On a ainsi
_ »
328 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Posant alors
C?* — Xq d<Par -^J'o d<Py -+- Zo C?*^,
on en conclut
_s
Cette différentielle c/<^, en vertu des égalités (5), est bien celle
dont rintégrale donne la fonction <^ envisagée plus haut. Son
expression se présente actuellement comme étant celle d'un
covariant, tel qu'on les considère dans la théorie des formes homo-
gènes. On peut y envisager ^ comme une forme quadratique quel-
conque, {jc^y, z) et (j^O) J'oj ^o) comme deux systèmes de varia-
bles cogrédientes ou coordonnées de deux points, (a, t, c)
comme un système de variables contragrédientes ou coordonnées
d'une droite. Pour faire de ce covariant la différentielle précé-
dente, on doit considérer cette droite comme la tangente variable
(l'une courbe /*= o, le point de contact étant (jt, y^ z). Dans le
problème ci-dessus, la courbe /=o était une conique. L'inté-
grale, proposée de cette manière, devait donc apparaître comme
un covariant de deux formes quadratiques, renfermant les seules
variables Xqj yo^ Zq. C'est effectivement ce qu'on a trouvé ; ce co-
variant est une forme quadratique à coeffîcients transcendants.
A ce point de vue, il faut seulement remarquer qu'on a sup-
posé, pour la forme ^, un discriminant égal à l'unité; mais cette
hypothèse n'introduit aucune restriction et on la fait disparaître
en divisant ']/ par la racine cubique de son discriminant. Il con-
viendrait aussi de remplacer ip par un covariant, ce qui est facile,
comme on le verra dans le Chapitre X. Le sujet qu'on y traitera
est tout géométrique; il se rapporte à la figure composée de cîeux
coniques situées dans un même plan. Très différent par sa nature
apparente et par son origine, il se relie étroitement au sujet qui a
fait l'objet du présent Chapitre.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D*EULER. 829
CHAPITRE IX.
ÉQUATION D'EULER.
Relation entre deux fonctions elliptiques. — Équation doublement linéaire. —
Équation doublement quadratique. — Équation doublement quadratique et
symétrique. — Équation doublement quadratique et dissymétrique.— Équation
dissymétrique déduite d'une équation symétrique.— Invariants.— Équation ca-
ractéristique. — Équation d'Euler — Première manière de former l'intégrale.
— Autres formes de l'intégrale. — Formes doublement quadratiques de l'inté-
grale. — Réduction des intégrales elliptiques à la forme normahe. — Première
réduction. — Deuxième réduction. — Troisième réduction. — Formule de
duplication. — Propriétés des polynômes du quatrième degré. — Discriminant
des équations doublement quadratiques.
Relation entre deux fonctions elliptiques.
Pour abréger le langage, nous désignerons, dans ce Chapitre,
par le nom de fonction elliptique toute fonction fractionnaire et
doublement périodique. C'est donc une fonction rationnelle quel-
conque de pw et f!u. Ayant à considérer, à la fois, plusieurs
fonctions de même nature et des mêmes périodes, nous omettrons
aussi de mentionner cette coïncidence des périodes, qui sera tou-
jours sous-entendue. Parlant donc de deux fonctions elliptiques
avec même argument z/, il sera convenu qu'il s'agit de deux fonc-
tions rationiielles de pe/ et p'u.
Comme p'u est fonction algébrique de pw, deux fonctions
elliptiques, au même argument u^ dépendent algébriquement
d'une même variable pu\ elles sont donc liées par une relation
algébrique.
Toute fonction elliptique a autant de racines que de pôles
(t. I, p. 21 3). Soit X une telle fonction, ayant m pôles. La fonc-
tion X — Xo, qui a m pôles, a aussi m racines, quelle que soit la
constante Xq. Ainsi, à chaque valeur de ^ répondent m valeur.s de z/,
à des périodes près. Soit y une autre fonction elliptique de u^
33o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
ayant Ji pôles. A chaque valeur àe y répondent ji valeurs de u. A
chaque valeur de u répond d'ailleurs une seule valeur, soit de x,
soit de y. Donc à chaque valeur de x répondent m valeurs àe y\
à chaque valeur de y répondent n valeurs de x. Ceci caractérise
les degrés de x el Aey dans Téquation algébrique, qui, liant ces
variables, résulte de Télimination de pu. Ainsi deux fonctions
elliptiques x et y^ au même argument, et qui ont, la première
m pôles, la seconde n pôles , sont liées par une équation du
degré ni en y et du degré n en x.
Par exemple, soit x une fonction à deux pôles et soit y sa dé-
rivée. Celle-ci a les mêmes pôles, mais doubles, soit quatre pôles.
La relation est donc du second degré en y et du quatrième degré
en X. Soit sv la somme des infinis de la fonction x, La somme
des racines de la fonction x — Xq est aussi égale àcv(t. I, p. 21 5).
Par conséquent, x ne change point par le changement de u en
(V — u. Comme y est la dérivée de x par rapport à u^ ce même
changement transforme y en — y, La relation entre x et j^ ne
contient donc j^ qu'au carré. Enfin, puisque x el y deviennent
infinis ensemble, le terme du plus haut degré, en y^ a pour coef-
ficient une constante, et de même pour x, La relation a donc la
forme suivante :
f dx\^
Effectivement nous avons déjà vu (t. I, p. 120) que toute équa-
tion de cette forme est vérifiée par une fonction elliptique à deux
pôles. L'argument u n'est déterminé qu'à une constante additive
près ; c'est la constante d'intégration.
En supposant que les pôles de x coïncident, que x n'ait plus
qu'un seul pôle, mais double, on voit que j' n'a plus qu'un pôle
triple ; le polynôme X s'abaisse alors au troisième degré. C'est ce
qui arrive, en eff'et, comme nous le savons bien, pour la fonc-
tion oLpu -+- p.
Revenons à une fonction x quelconque, ayant m pôles. Grâce
à la décomposition en éléments simples (t. I, p. 2o5) ou à la dé-
composition en produit de fonctions c^ (t. I, p. 21 3), nous savons
qu'elle est définie par 2 m constantes, les invariants étant connus.
L'ensemble de cette fonction x et d'une seconde fonction j^ ayant.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D^EULER. 33 1
celle-ci, n pôles, sera donc définie par n^m-^n) constantes. Si
Ton veut aussi envisager les invariants comme non donnés, il faut
compter deux constantes en plus; mais si, en même temps, on
doit éliminer Targument, il faut observer que u peut, sans chan-
gement pour la relation entre les deux fonctions, être remplacé
par au-\- b\ àt \k deux constantes en moins. La relation entre x
eiy dépend donc de 2(/n + n) constantes.
D'autre part, l'équation la plus générale, du degré /i en a: et du
degré m en^, qui contient (/w-+-i)(/2-hi) termes, dépend donc
de mn -\- m-\- n constantes, nombre supérieur au précédent, saut
dans le cas le plus simple de tous, celui où l'on a m = /i = 2. En
ce dernier cas, on trouve, de part et d'autre, huit constantes.
Il est donc certain qu'une équation quelconque, du degré n en
X et du degré m en y^ n'est pas la traduction de la liaison entre
deux fonctions elliptiques, sauf au cas m = n = a. Mais, pour ce
dernier cas, il reste à s'assurer si effectivement, comme le nombre
des constantes le donne à penser, toute équation ^ du second
degré par rapport à deux variables séparément, traduit la
liaison entre deux fonctions elliptiques, au même argument.
Cette proposition est exacte et nous allons l'établir. Nous com-
mencerons par examiner un cas particulier.
Équation doublement linéaire.
Considérons une fonction elliptique à deux pôles, f{u). Soit w
la somme des infinis : l'expression en produit a la forme
Nous la donnons ici pour bien rappeler qu'à un facteur constant
près, c, une telle fonction, quand w est co'nnu, est entièrement
déterminée par une racine ^ et un infini y.
Soit donc/*, {u) une autre fonction à deux pôles et qui ait même
somme w pour ses deux infinis. Les deux fonctions
^i(")-/i(?) et A(u)-M^)
sont encore de même espèce (à deux pôles, avec w pour somme de
33a DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
leurs infinis), et elles ont les mômes pôles que/i(w). Mais, dans
leur quotient, les pôles dc/i (u) disparaissent, et ce quotient est
une fonction à deux pôles, avec w pour somme des infinis. Il a
la racine ^ et l'infini y. C'est doncy(w), à un facteur constant
près :
f(u) = C, ^ ' /l'
Il y a donc entre /{u) et f\{u) une équation doublement li-
nraire. Cette équation est d'ailleurs quelconque, car les constantes
^«) /<(?) ^^/iiv) peuvent être choisies à volonté. Ainsi toute
équation du premier degré entre deux variables séparément
(ou doublement linéaire)
(i) axy -r bx -h cjr -r h ~ o
traduit la relation entre deux fonctions elliptiques à deux
pôles et pour lesquelles les sommes des infinis coïncident entre
elles.
Déjà, sans l'aide des fonctions ^, on a vu [t. I, Ch. IV, p. 1 16,
éq. (46)] quey(a) s'exprime par une fonction rationnelle du pre-
mier degré en p(tt — a^^)- O*^ pourrait, par là, établir aussi la
proposition précédente, f\{u) s'exprîmant aussi par une fonction
rationnelle du premier degré en p(/^ — \ iv).
On se rend aisément compte de la manière suivant laquelle la
relation, qui, en général, est du second degré par rapport à cha-
cune des deux fonctions à deux pôles, se réduit au premier degré
quand ces fonctions ont même somme pour leurs infinis. A chaque
valeur jTq de x répondent, pour w, deux valeurs u^ et tv — Uq. En
général, ces deux valeurs de u donnent deux valeurs distinctes
pour y. Mais, quand (v est aussi la somme des infinis de y^ ces
deux valeurs àe y coïncident entre elles. Ainsi, pour ce cas parti-
culier, le premier membre de Téquation, du second degré en x
et y séparément, devient un carré. CVst ainsi que l'équation
se réduit à la forme linéaire.
Considérons maintenant deux fondions /(//) et/, (//), encore
à deux pôles, mais ayant des sommes d'infinis différentes, tret (v,.
La fonction y f mh — -M est aussi à deux pôles, mais la somme
de ses infinis est (n, comme pour/i(a). Par conséquenl,/(//)
GBÀPITRE IX. — ÉQUATION D*£ULER. 333
et/i{u) étant deux fonctions elliptiques quelconques à deux
pôles y il existe une équation doublement linéaire (i) telle
que si Von y met x=^f{u), y=.f^{Ui)^ il en résulte que la
différence des arguments u et U\ est constante, et égale à la
demi-différence ^ ((v — w\) des sommes des infinis des deux fonc-
tions. On peut, à volonté, dire aussi que la somme des arguments
u et Ui est constante, égale à j (tv 4- tV4), puisque le changement
de u en w — u n'altère pas/(w).
Équation doublement quadratique.
On appelle ainsi l'équation du second degré par rapport à deux
variables séparément. Elle a neuf termes, dont chacun peut être
distingué par les exposants m^ n de x et y. Soit (m, n) le coeffi-
cient du terme en x^y'^. L'équation peut se représenter abrévia-
tivement ainsi
o = F = 2(/n, /i)jr'"j«, ^=0,1, -A.
Ordonnons F de deux manières, par rapport à ^ ou par rap-
port àjK> ce qui donne
F = Aj»,-*- 7.^ y -i- C = A'x«H- aB'a: h- C.
Les coefficients A, B, C sont des polynômes du second degré
en x\ A', B', C sont des polynômes du second degré en j^, par
exemple
A = (2, 2)07* -h (i, 2)a?-h(o, 2),
•2B = (2, i)a7*-H(i, i)a7-f-(o, i).
Lia demi-dérivée partielle de F, par rapport à y^ est Aj^4-B;
mais, si x ely vérifient l'équation F = o, on a
AjH-B=ihv/B>— AG.
Même observation étant faite pour la dérivée par rapport à x^
on voit que l'équation F = o conduit à l'équation différentielle
dy v/B«— AG db dx /B'«— A'G' = o.
334 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Soient
B«— AC = X, B'î— A'G'= Y.
X est un polynôme du quatrième degré en x^ Y un polynôme du
quatrième degré en y^ et nous avons Téquation différentielle
/ \ dx . dy
où les variables sont séparées. Nous allons d'abord examiner le
cas où Féquation F = o est symétrique en x et y.
Équation doublement quadratique et symétrique.
La symétrie de Téquation exige la symétrie du polynôme F; si,
en effet, la transposition de J7 et j^ altérait le polynôme, ce ne
pourrait être qu'en le reproduisant changé de signe, cas dans le-
quel F contiendrait le facteur (x — y) et s'abaisserait au premier
degré. Ce cas n'est pas à considérer.
La symétrie de F réduit à six le nombre des coefficients dis-
tincts et se traduit par les relations
(o, l) = (l, o), (o, 9.) = (9,0), (l,-^.) = ('^., 1).
Les polynômes X et Y ne diffèrent plus que par les variables
qui y figurent ; ils ont mêmes coefficients.
Nous venons de rappeler qu'au polynôme X, du quatrième
degré, est liée une fonction elliptique à deux pôles /(«/), telle
que, si Ton prend x=/{u)^ il en résulte
'dx
— = (tu.
Si, en même lemps, on pose y =f(^u^)^ Féqualion {'i) se
change en du±du\=^o et fournit l'intégrale m rb //| = constante.
Si, comme précédemment, (v désigne la somme des infinis de
f{ii)j cette fonction ne change point par le changement de u en
(V — u. On peut donc, à volonté, considérer comme constante,
soit la somme, soit la différence des arguments u et //|.
Ainsi, toute équation doublement quadratique et, de plus y
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D*EULER. 335
symétrique, exprime la relation entre fi^u) Qlf{u -{- Vi)^ fêtant
une fonction elliptique à deux pôles, u l argument variable et
U une constante.
C'est, pour le cas particulier où il y a symétrie, la proposition
qu'il s'agissait de prouver. Avant de passer au cas général, pre-
nons pour exemple l'équation qui lie pu et p(i/-f-U). Envisa-
geons les trois arguments w, — (w + U) et U, dont la somme est
nulle. Soient
x — pu^ ^ = p(w-+-U), ^ = pU.
Par le théorème d'addition (t. I, p. 3o), nous savons que la
liaison entre x, y, z se traduit par le fait suivant : on peut déter-
miner deux quantités a et 6, telles que l'équation
it^-git^g^={at^bY
ait x^y^ z pour racines, il en résulte
^xyz — g^= 6«.
La relation demandée s'obtient par élimination de a et b\ c'est
{x-\-y -{- z){^xyz — g^)=z {xy -^ yz -^ zx -h l^i)*.
On y doit considérer .s comme une constante, aussi bien que g2
et ^3. Voici maintenant une conséquence. Reveuons à une fonc-
tion f{u)y encore à deux pôles, mais quelconque, ayant w pour
somme de ses infinis. On a rappelé tout à l'heure que /(m) s'ex-
prime par une fraction du premier degré en p( w — ^ w). Soit
f(u\ = tp{u—\w)^?^
cette fraction. Si l'on pose
a — J- tv = u', x' = pu\ X = fu^
on peut dire qu'une substitution linéaire, remplaçant x par
336 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
change /(«) en pu'. Considérons, en même temps, comme tout
à l'heure, ^ = /(m 4- U) et effectuons sur ^ la même substitution.
Cette substitution remplace j^ par
Nous obtenons donc le résultat suivant :
Au moyen d'une substitution linéaire, remplaçant
toute équation du second degré, en x et y séparément ^ et ,
de plus, symétrique, peut être réduite à la forme
(0 (^ -+-r -+- -)(4^r- — ^3) =-- (^ -^.-yz-^zx-r-l giY,
où 5, g2i gi sont des constantes. Ces constantes, on le voit, sont
des invariants de Téquation pour les substitutions linéaires opé-
rées simultanément sur les deux variables; mais ce sont des im^a-
riants relatifs, non pas des invariants absolus. Effectivement,
si, dans Téqualion (4), on remplace à la fois t, y^ z, g2, gz par
ax, ay^ az, a^ g^^ ci^ g^y l'équation reste inaltérée. Il y a donc
seulement deux invariants absolus. Nous en reparlerons un peu
plus loin.
La substitution (3) est une quelconque de celles au mojen des-
quelles le polynôme X se change, à un facteur constant près, en
4 T^ — iT'* nr — fr^
Si l'on se reporte au Chapitre IV du tome I (p. i3i), on verra
que, pour connaître ces substitutions, il faut résoudre Téquation
X = o.
Équation doublement quadratique et dissymétrique.
Prenons maintenant le cas général, où F n'est point symétrique.
Pour une valeur quelconque de y^ considérons les deux racines x
cl Xs de l'équation F = o. La seconde racine x^ donne lieu, elle
CHAPITRE IX. — ÊQUATIOX D*EULER. 887
aussi, à Téqualion difTérentielIc (2), où x sera remplacé par X|,
et Ton en déduit
dx dx\
Les deux polynômes X et Xf ont ici mêmes coefficients; x et x^
sont donc des fonctions elliptiques d'un même argument 1/, com-
posées comme dans le cas où il y a symétrie. Mais, par les deux
équations
iXy'i' -hsiBj -f- C =0,
dont la seconde est obtenue en mettant X\ au lieu de x, on peut
exprimer j^ en fonction rationnelle de x el x^^ Donc ^ est aussi
une fonction elliptique de w, et il est prouvé effectivement que
toute équation doublement quadratique traduit la liaison
entre deux fonctions elliptiques d'un même argument.
La fonction y est, comme x, à deux pôles, puisque l'équation
est du second degré en x. C'est ce qu'on peut reconnaître aussi
en tirant des équations (5)
AGi — GA| , OBj — BCj
•^"^ Ï(BA,— ABT)' ^ ~ BA, — AB,'
Chacun des trois déterminants BA| — ABi, etc.,, est divisible
par X — x^ et le quotient a la forme pxx^ -{- q(x -i- Xi) -{- r. En
y substituant, pour x et Xj, les expressions /(m) el/(u 4- U), on
obtient une fonction à quatre pôles. Ces pôles sont les mêmes
pour les trois fonctions qui proviennent des trois déterminants, en
sorte que y et j^^ se présentent, tous deux, comme des fonctions à
quatre pôles au plus , puisque les infinis communs aux deux
termes d'une même fraction disparaissent de cette fraction.
Comme y^ a quatre pôles, au plus,^ n'en peut avoir plus de deux
et les a effectivement, puisqu'une fonction elliptique n'en peut
avoir moins.
Soit (V la somme des infinis dej{u); la somme correspondante,
pour /{u -+- U), est w — 2U. Par suite, q((v — U) est la somme
des infinis de pxXi-{- q{x -i~ Xi) -{- r\ c'est aussi la somme des
infinis de la fonction y'^. Donc, pour r, la somme des infinis est
H. 22
338 DEUXifeXB PARTIE. — APPLICATIONS.
((V — U). La demi-différence entre cette somme et la somme i\\
relative à /(w), est jU. Si donc on pose ^ = /(ii 4- ^U), il existe,
suivant une proposition précédente (p. 33a), une relation double-
ment linéaire entre^ et x'. Que l'on exprime, de cette façon, ^ au
moyen de x', l'équation F = o se transforme en une autre, du se-
cond degré également, par rapport aux deux variables x, x'. Mais,
puisqu'on a
(6) x=f{u), y=/(M-hiU),
celte transformée est symétrique. Ainsi, une équation dissymé-
trique peut être transformée en une équation symétrique au
moyen d^une substitution linéaire appliquée à une seule v>a-
riable. Soit maintenant
une telle substitution. On en conclut
?(^')
^ "~ .» ^1 , ï' û '
<5 {x') étant un polynôme du quatrième degré. Do là
Mais on a déjà
, . dx dx' , dy
v/X v^X' y/ Y
Il en résulte '^ ( x') = (yo' -- oy')^X', ce qui prouve que X' est le
transformé de Y par la substitution (7). Ainsi, F étant un poly-
nôme quelconque en x et y séparément,
F -. Aj2 - - y.hy -+- C -- Vx^ ■■.- iWx -\- C\
les deux polynômes du quatrième déféré \ - B- — AC et
Y = B'- — \'Çy peuvent être transformés l'un dans l'autre par
une substitution linéaire, qui, en même tcm/fs, donne, pour F,
un transformé symétrique.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D^EULER. SSq
Équation disssrmétriquey déduite d'une équation symétrique.
Par la considération des deux racines x^ x^^ qui répondent à une
même valeur de y y nous venons de voir que d'une équation dis-
symétrique on déduit une équation symétrique. Il est fort remar-
quable que l'opération inverse puisse être faite sans indétermina-
tion, sauf une substitution linéaire, opérée sur^.
Soit une équation symétrique du second degré en x et X\ sépa-
rément. Elle comprend les termes suivants
X^X\^ XX\(^X-\- Xx), X*-i-a7}, XXx^ x -r- Xx
et un terme constant. Posons
5 = XXx^ 71 =iX-\-Xi.
Uéquation se change en une équation ordinaire, du second degré,
on Ç et 7i pris ensemble. On peut, comme on sait, exprimer Ç et r,
en fonction rationnelle d'un paramètre^ sous la forme
P, Q, R sont des polynômes du second degré en y. L'équation
proposée résulte de l'élimination de y entre ces deux dernières.
On voit donc que x et Xx sont les racines de l'équation
R;f» — Qx-î-P = o;
c'est l'équation cherchée.
Invariants .
Les invariants de l'équation F = o sont des fonctions de ses
coefficients, ayant la propriété de rester invariables quand on y
remplace les coefficients de F par ceux d'une transformée quel-
conque, obtenue au moyen d'une substitution linéaire opérée sur
les variables x^ y, A ce point de vue, la distinction entre les équa-
tions symétriques et les équations dissymétriques disparait d'abord :
car, on vient de le voir, la symétrie peut être établie par une
34o DBUXlfcXE PARTIE. — APPLICATIONS.
substitution linéaire. La forme réduite (4) convient donc à tous
les cas et il y a toujours deux invariants absolus.
La distinction entre les deux cas reparaît cependant sous une
autre forme, attendu qu'on peut envisager, pour les deux variables
x^y^ soit une même substitution, soit des substitutions diffé-
rentes. Nous avons donc à considérer les invariants pour deux
cas : 1° l'équation est symétrique et les variables doivent être
transformées par une même substitution ; 2"* Téquation est symé-
trique ou dissymétrique, et les variables doivent être transformées
séparément par des substitutions linéaires distinctes. -
On peut définir les invariants par une voie purement algébrique,
au moyen des coefficients de Téquation ; c'est ce que nous ferons
à la fin de ce Chapitre. On peut aussi les trouver par un autre
moyen, qui se rapporte mieux au fond même du sujet. C'est ce
que nous allons montrer maintenant.
Pour chaque .valeur de x^ l'équation F = o donne deux ra-
cines y. Ces deux racines coïncident entre elles, si x est,, lui-
même, une racine de X. 11 y a quatre racines de ce polynôme X^
soient ao, «i, aj, ol^, A chacune d'elles correspond une seule ra-
cine y] soient po> ?i> ?2? Ps? correspondant respectivement
à a^, aj, a2, «3. •
Tout d'abord le rapport anharmoniquc
(îst un invariant absolu, que nous adopterons comme caractéris-
tique pour les deux cas différents que nous avons à envisager.
Pour le premier cas, celui où les variables x^ y doivent être
transformées par les mêmes substitutions, nous adjoindrons à a le
rapport anharmoniquc
(3o — «iXa.! — a^)
?-
(?o — îf4)(îf3 — «i;
l^our le deuxième cas, celui où les variables x eiy doivent être
transformées par des substitutions différentes, nous adjoindrons
à a le rapport anharmoniquc
^ (?o-?i)(?3-?i)'
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULBR. 34 1
Il s*agît de montrer que a, p dans le premier cas, ou a, y dans
le second, définissent, sans ambiguïté, Téquation F=o, à des
substitutions linéaires près.
Prenons d'abord le premier cas. Avec la forme réduite (4), on
a X = pu^r=: p{u -hV). Quand x est donné, on en conclut,
pour Uy deux valeurs égales et de signes contraires. Les deux ra-
cines y correspondantes sont donc p{u±U). Elles coïncident
entre elles, si u est égal à zéro ou à une demi-période. Voici donc
un des choix qu'on peut faire :
On a, de la sorte,
(10) a= , p = a^-=^ .
La condition (?| 4- e^ -h ^3 = o permet de déterminer les rap-
ports mutuels de e,, e^t e^ en fonction de a :
(I,) ^' "' ^' '
•2 — a -2 a— I — (a-i-i) 3*:
La lettre t désigne une constante arbitraire. Le rapport a n'est
autre que le carré du module dans l'ancienne notation des fonc-
tions elliptiques (t. I, p. 25). On en déduit (t. I, p. 60)
(11) Tî^,= 1(1 — a-Haî), tV3 = — |^(i-+-a)(2 — 3t)(i — 2a).
En mettant, dans l'expression de p, les valeurs de ^a, 63, on a
ensuite
3TpU =
( 2 a — I ) j3 -f- a ( a — 2 )
Nous avons, de la sorte, g'a, ^3, pU = 3, exprimés en fonction
de a, p. La forme réduite ^4) est donc pleinement déterminée.
L'équation F = o est une quelconque des transformées obtenues
en effectuant une même substitution linéaire sur x ely.
C'est maintenant une autre question de savoir si inversement
ces invariants sont déterminés sans ambiguïté par l'équation. Il
n'en est pas ainsi évidemment, puisque, par la permutation des
indices, on obtient diverses valeurs pour a, p. Mais on sait déjà
34^ DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
que rinvariant absolu gl : gl est déterminé, sans ambiguïté, par
les coefficients de X, et conséquemment par ceux de F. C'est
qu^efTectivement cet invariant ne change pas quand on permute
les indices de ao,ai,a2, (Xz* L^^ même propriété appartient aussi
à rinvariant absolu
Pour le prouver, considérons d*abord l'échange des indices i
et 3, qui change, à la fois, a et ^ en i — a et i — ^. Cet échange
laisse l'invariant (i3) inaltéré. Il en est autant pour l'échange des
indices i et a, qui change a et p en leurs inverses. L'invariant (i3)
est donc inaltéré par les six permutations des indices i , 2, 3.
Considérons, en second lieu, le double échange des indices o
et 1 et des indices 2 et 3, fait simultanément. Par là, a reste inal-
téré. Le second invariant devient
^ (?i~a3)(ai-«o)'
et l'on Si pi = jj(U 4- Wj ). D'après la formule d'addition des demi-
périodes, il en résulte
Cj — es Ct — ez (em — r:^) (pV — Ci)
p(L H-cDi) — es (ei — ei)(e^ — e^) (^i — e3)(p U — e,)
p U — e'i
On voit donc que p est inaltéré, comme a; l'invariant (i3) n*est
donc pas changé. Il en résulte manifestement que, en résumé,
rinvariant (i3) a une seule valeur, tandis que l'ensemble a, ^ en
a six.
L'invariant absolu (i3) est donc certainement déterminé sans
ambiguïté par les coefficients de l'équalion F = o. Quant à son
expression même par les coefficients, on la verra à la fin de ce
Chapitre; mais elle ne sera pas utile pour nos applications.
Prenons maintenant le second cas, celui où les variables Xj y
sont transformées par des substitutions différentes. En conservant
le même choix des indices que précédemment (9), nous avons,
sans changement, les égalités (11, 12). II faut maintenant envi-
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'bULER. 3^'S
sager le rapport y, composé avec les éléments
Po = piU, p, = p(i U -4- a>0, P, = p(iU -H 0),), p8 = P(iU -+- a>3)
En employant la formule fondamentale
^'^^ P^-P^^" JÏ^^T^
et mettant, pour un instant, a, 6, c, e/ au lieu des quatre argu-
ments des ^, on aurait
^ "" ^{a — c) <^{a -^ c) <^(d — b) (ï{d -^ b) '
Remettons les arguments eux-mêmes et nous aurons
a" Oit ^(wj — u)j) a'(U -h toi) a'(U -f- a)î-i-ci>s)
ï =
a'wj a'( (1)3 — (Oi ) <3'( U -h (Oj ) a'( U -t- coi -h coj )
Supposant (i)| 4- W2 -l- <*>3 = o, nous pouvons écrire aussi, tou-
jours en vertu de la relation (i4)î
' ~ <^{o>3 ■+- tO|) a'(ci>3 — oii) a'(U T+- oij) 3'(U — coj)
(poi, — PCD3) (pU— pcoj)'
., ^_ (g« - g») (pU - ei ) _ ^ pU - gi .
C'est Texpression trouvée tout à Theure pour ^. Dans le para-
graphe précédent, on a vu comment à l'équation F = o, entre x
et y^ on peut en adjoindre une seconde ^ = o, entre les deux
racines x qui répondent à une même valeur de j'. Pour cette der-
nière, qui est symétrique, c'est-à-dire où les variables se trans-
forment par une même substitution , l'argument constant est
précisément U. Ainsi l'invariant y, relatif à l'équation F = o,
coïncide avec l'invariant |3, relatif à l'équation ^ = o. Celte der-
nière est donc déterminée sans ambiguïté au moyen de a et y*
Il en résulte, comme on Ta dit au dernier paragraphe, que
l'équation F := o est déterminée de même, sans aucune ambi-
guïté.
344 DECXIËME PARTIE. — APPLICATIONS
Équation caractéristique.
Soient
Les Irois quantités /?, q^ r sont les racines d'une équation du
troisième degré
(16) Q —(s — p) {s— q^ {$ — r) = s^ — kxs^ -r- k^s — k^ ,
que l'on peut appeler caractéristique. Ses coefficients sont des
invariants, dont Tensemble équivaut à J)U, ^25 gz- O^ ^j en
effet ,
3TpU = Xi.
De même, t^^2 et 'z^ gz sont des l'onctions entières de Ati, A"2, ^3.
Réciproquement, Ati , A'2, A'3 sont des fonctions entières de
tpU, 'z^gn^ ^'^3* Les rapports anharmoniques s'expriment
comme il suit, par les racines de l'équation caractéristique,
(17 a:rri , ^f ^. L__I .
Cette propriété suffit à définir l'équation caractéristique dans
les applications géométriques. A la fin de ce Chapitre on verra
comment on peut la former au moyen de l'équation F = o.
Équation d'Euler.
L'équation différentielle
dx dy
(18} --= -+- -i ^- o,
011 les deux polynômes du quatrième degré X et Y diffèrent seu-
lement par les variables qui y figurent, x pourl'un, j^pour l'autre,
est connue sous le nom d^équation cVEuler, En découvrant
qu'elle s'intègre algébriquement, Euler a semé le premier germe
de la théorie des fonctions elliptiques.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D*EULER. 3^5
Former l'intégrale générale de l'équation d'EuIer, c'est écrire
le théorème d'addition des arguments pour les fonctions ellipti-
ques à deux pôles. Nous savons que, par une substitution linéaire,
toute fonction à deux pôles se transforme en la fonction p, dont
nous connaissons le théorème d'addition. Le problème d'intégrer
l'équation d'Euler est donc par là virtuellement résolu. Il reste
seulement à dégager le résultat de la substitution qui, à ce point
de vue, peut être envisagée seulement comme un mo)^en. En
d'autres termes , nous possédons explicitement l'intégrale de
l'équation (i8) quand le polynôme X se réduit au troisième degré;
nous savons que, par une substitution linéaire, l'équation peut
être ramenée à ce cas. Mais nous voulons obtenir explicitement
aussi l'intégrale pour le cas général.
Deux modes différents peuvent être envisagés pour l'intégrale.
L'un d'eux consiste en une équation, mise sous forme entière,
entre x et y; par exemple l'équation (4), relative à pu.
Dans le cas général (18), l'intégrale s'écrira sous la forme d'une
équation doublement quadratique et symétrique. Il s'agira de
former cette équation au moyen des coefficients de X. Pour ce
mode d'intégrale, l'équation différentielle (18) comporte le double
signe devant les radicaux.
Le second mode d'intégration consistera en une équation con-
tenantles irrationnelles ^/X et y/ Y ou des facteurs de ces irration-
nelles. Tel est le théorème d'addition de la fonction p;^ sous la
forme habituelle \ il nous offre l'intégrale
(19) ,^^^^.^.(^L_^j ,
OÙ z est la constante arbitraire, et qui convient au cas où X est
réduit à 4^^ — ©2^ — ffs-
Pour ce mode d'intégrale, les signes des radicaux ne sont pas
indifférents. Dans l'intégrale (19) ils sont pris les mêmes que dans
lequation différentielle (18).
Il n'est pas besoin d'ajouter que chaque intégrale, formée sui-
vant un de ces modes, peut être transformée en une intégrale
prise suivant l'autre mode.
346 DEUXIÈME PARTIK. — APPLICATIONS.
Première manière de former l'intégrale.
L'intégrale générale consiste dans l'équation doublement qua-
dratique et symétrique F = o. C'est donc une manière naturelle
(juc de chercher à déterminer F par les coefficients de X. Il faut,
pour ce but, déterminer trois polynômes du second degré A, B, C
par la condition
jointe à celle-ci : A^^ -+- 2 B^- -t- C doit être symétrique en
X et y,
La seconde condition, qui, seule, offre des difficultés, peut être
écartée par l'artifice suivant.
En mettant jTi au lieu de y^ dans Téquation différentielle (18),
il nous est permis de regarder x et x^ comme les deux racines
qui répondent à une même valeur de y dans une équation dou-
blement quadratique, mais dissymétrique (p. 389). Nous avons
alors
A^*-^ 2B7 -t-C — o,
Ai7«-+-'2B,/-i-Gi = 0,
A|, Bj, Cl désignant les mêmes polynômes que A, B, C, mais avec
la variable jTf, au lieu de x. L'élimination de ^, entre ces deux
rquations, se fait sous la forme bien connue
(ACi — 2BBi-f-CA,)«= 4(B» — AG)(B} — A,Ci},
ou, en mettant X et X| au second membre,
{:>A) (ACi — 2BB, -+- CAO» = 4XX,.
Telle est l'intégrale générale de Téquation
dx _j_ dxi
V/X v^Xi
où X et X|, du quatrième degré, diffèrent seulement par la va-
riable. Les polynômes du second degré A, B, C sont choisis,
d'ailleurs arbitrairement, de manière à fournir rcgaIilé(2o).
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULBR. 347
Mais ici se présente une certaine difliculté, une obscurité pour
le moins. Le choix de Â, B, C par la condition (20) comporte
des indéterminées ; on peut prendre, par exemple, B tout à fait
arbitrairement ^ car B^ — X, étant un polynôme du quatrième
degré, peut être décomposé en deux facteurs du second degré Â, C.
Il semble donc d'abord y avoir trop d'indétermination; on doit
exiger que Tunique constante arbitraire, qui seule peut exister
vraiment, soit mise en évidence.
Il semblerait, par exemple, naturel de décomposer X en deux
facteurs du second degré P, Q, en prenant X = — PQ, et de
composer A, B, C par des combinaisons linéaires de P, Q. Le
calcul, bien facile, fait disparaître les constantes arbitraires, qui
existent cependant dans ces expressions de A, B, C, et Ton trouve
une intégrale sans aucune constante arbitraire, celle même qu'on
obtient en supposant B==o, A = P, C = Q:
(PQ,^QP,)2 = 4XX, (X = PQ).
Voici comment on peut écarter ces difficultés. Soit un poly-
nôme doublement quadratique et symétrique, que nous écrivons
in extenso
-+- icxf -f- 203(0?-+- k) -+-«4.
Si Ton y suppose j^ = x, on obtient
(a'2) ^(x^x ) = flo^* -H '\aiX^ -H (4c H- •Àb)x*'i- 4a3^-+- «v-
Soit maintenant un autre polynôme analogue <P'{x,y), supposé
tel qu'il devienne identique au premier pour^' = x. Cette con-
dition
4>'(x,a:) = ^(XjX)
implique, on le voit, l'identité des coefficients, tels que tZo,
^1, a-if as, chacun à chacun pour les deux polynômes, et, pour les
autres, Tégalité
D'après ce résultat, on aura
^(x,y) - ^\x,y) = (6 — b'){x^ -^/« - ^xy) = {b^b'){x - j)«.
348 DEUXlfeXE PARTIE. — APPLICATIONS.
Ainsi deux polynômes doublement quadratiques et synié-
triquesy tous deux, qui deviennent identiques entre eux pour
X =y, diffèrent seulement par la quantité \{y — xY^ où \ est
une constante quelconque.
Reprenons maintenant le polynôme AC| — 2BB| -hCA|, qui
figure dans l'intégrale (ai). Pour x^ = x^ il devient a(AC — B*),
c'est-à-dire — aX, résultat indépendant du choix arbitraire de B.
C'est aussi le même résultat que donne la supposition Xi = jr
dans le polynôme particulier PQ, -f-QP,. L'un et l'autre de ces
polynômes sont doublement quadratiques et symétriques. D'après
la proposition précédente, on a donc
ACi — ri BB, -T- CA, = PQ, -i- QP, — l(x - x^ )«
Voici donc l'équation intégrée :
Le polynôme X étant décomposé en deux /acteurs du second
degré P, Q, oai obtient V intégrale de l'équation d'Euler
(A3) f'^-^i-O
sous la forme
CM) [HQi4-QPi-X(.r x,YY=\\\,,
où X est la constante arbitraire.
En extrayant la racine carrée ei mettant PQ, P<Qi au lieu de
X et X|, on a d'abord
( PQi-H QPi)»- 1 v/i*>*7^>Q^ = Mj^ - xiY-,
ou, si l'on remarque que le premier membre est un carré,
(Al) I__^. _vv__i =const.(»).
.r — Xi
Celle intégrale, où figurent des irrationnelles, correspond à un
choix détermine du signe ambigu dans T^qualion di(rérenlielle(ri3).
Nous allons lever cette ambiguïlé en observant que nous connais-
(') Laourrre, Sur les propriétés des coniques qui se rattachent à l'équation
d'Euler{youvelles Annales de Mathématiques; i«7J)î
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D*EULER. 349
sions déjà cette intégrale. Prenons, en effet, la deuxième formule
d^addition (12) du tome I (p. 20),
I -f- dn ( Ml -+- M ) _ su {/ en Ui — sn Ui en fi ^
k*sn(ui-r- u) ~ dnui — dnu '
changeons uel Ut en iu et iui et employons les formules de trans-
formation (i5) du tome I (p. 46); nous obtenons, en ayant soin
de mettre A/ au lieu de A",
cn(i/ -+- ai)-f- dn(a -h Wi) snu — snui
k'^sn(u-^ Ui) cni/idni/ — cnudnui
Si u -+- Wi est constant, le premier membre Test aussi ^ mettante
pour sn w, y/i — x^ et v*-— A^^x^ pour en i/, dnw, nous avons donc
(26) ^-^^ — = const.,
X—Xi
pour Tintégrale de l'équation ("îS), en y supposant
(•27) X-(i-:rï)(i-A:«^«),
et en y prenant le signe plus. On voit déjà, par cet exemple, que
c'est le signe plus qu'il faut prendre. Mais, en outre, cette forme
particulière de X n'entraîne aucune restriction. Par une substitu-
tion linéaire
où les coefficients seront convenablement choisis, on pourra ré-
duire P et Q aux formes
On aura, en même temps,
*"" (ol' x' -^ ^' ){ol' x\ -t- ^' y
Le premier membre (26) se réduit àlaforme(26), et Téquation
différentielle (a3) ne contient plus que le polynôme réduit (27).
35o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Nous avons donc, en somme, une nouvelle démonstration de ce fait
que l'équation (20) fournit l'intégrale générale de
Autres formes de Tintégrale.
Les formes précédentes exigent la décomposition de X en deux
facteurs du second degré. En modifiant légèrement la proposi-
tion qui a servi dans le dernier paragraphe, nous allons faire dispa-
raître ce défaut.
Reprenons le polynôme 4>(j:, a;) exprimé par l'égalité (22) et, pour
récrire sous la forme usuelle des polynômes du quatrième degré,
représentons par6a2 le coefGcientdu terme milieu. En posant
(•28) 6 = a,-+-4[X, C = 0,— 2[X,
nous aurons effectivement /^c -h ^b = 6 «a- Soit donc
un polynôme du quatrième degré quelconque, et posons
<3o) J: ^ V 0 IJ
L'expression générale des polynômes doublement quadrati-
ques et symétriques <^{x^ y)^ qui satisfont à la condition
^\X,T) =^\X),
est
(3i) *(^,r; = n-^4;i(:r-^)%
ou jjL est une constante arbitraire (•).
(') C'est un ras particulier d'une proposition générale concernant les poly-
nômes à doux variables et pour laquelle on pourra consulter: 1° Cledsoi, Théorie
(ieralgcbraischcii biniiren Formen, p. 18; - •?." Laglerrk, Sur l'application de
la théorie des formes binaires à la géométrie des courbes tracées sur une sur-
face du second ordre {Bulletin de la Société mathématifjue de France, l. I.
p. 3i).— Ces {géomètres éminents paraissent avoir Irouvé, tous deux, cette proposi-
tion d'une manière indépendante.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULKR. 35 1
Appliquons cette proposition au polynôme
ACi — 2BB,-hGAi= ^(x,xi).
Dénotons X par W[x). Nous avons déjà observé qu'on a
^(x,x) = — iW(x).
Par conséquent,
ACi--'2BBi-i-CAi= -aVj -+-4fA(^ — ar,)2.
L* intégrale de V équation
/ON dx dy
(3*2) , -4- .-l— =0
peut s'écrire sous la j orme
(33) [^>:-a[x(r-^)«p = v(^)^'(r)»
ou y la racine carrée étant extraite,
^/— v/^(^)^(r)
(34) -^ — J — ^ ,, ^-^^ = a = const.
Nous avons, ici encore, à lever Pambiguïté d'un signe, que
nous n'avons pas fait apparaître en écrivant l'équation diflTéren-
lielle (3a) avec son intégrale (34). Nous avons ainsi préjugé le
résultat, que nous allons vérifier, comme tout à l'heure, en recon-
naissant, dans cette forme de l'intégrale, le théorème d'addition.
Dans la formule (t. 1, p. 29)
' a(pa — pMi)*
mettons
pu=--x, pui=yy p'u = \/^\x), p'ui = )/W{y),
(33) ^'(^) = 4^^— éTî-^-^a.
Celte expression de p{u -+- W|) coïncide alors avec celle de |jl (34 )
et nous voyons que les signes sont ainsi bien choisis.
L'intégrale (34) est mise sons forme de covariant. Nous l'avons
trouvée directement pour un polynôme quelconque W{x)] mais,
vérifiée pour le polynôme particulier (35), auquel une substitu-
352 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
lion linéaire peut toujours ramener, elle est vérifiée aussi pour
tous les cas. Nous en avons donc, en définitive, fourni une se-
conde preuve.
Formes doublement quadratiques de l'intégrale.
Les formes (24) ^^ 33) de l'intégrale ne peuvent être considé-
rées comme définitives, puisqu'elles ne sont pas réduites au se-
cond degré par rapport à chacune des deux variables. Cette ré-
duction exige évidemment que Ton développe le carré, au premier
membre, et qu'on fasse apparaître le facteur [x — ^1 )^ dans
Téquation (^4)-
Soient
011 eu déduit
( PQi-QPi
Mettant, au second membre (24),
4XX,-4PPiQQi = (PQi- QPr)--(PQi- QPi^-,
on trouve immédiatement, en écrivant^ au lieu de x^^
|. a3'- 3aVvH-(aY'- Ya')(.r -j')-.- ?y'- Y?')?
-•AM(a^'^-?a7-^Y)(<r'-^lO'-^V')-^(^'-^'-^?\r--Y')(a^^
pour intégrale générale de l'équation (Sa) d'Euler, en supposant
^Vix) =^(a^2-t-?^-f-Y)C.a^'-f-?'^-^Y')-
Il s'agit enfin de faire le calcul analogue dans l'équation (3.'^),
de former, par conséquent, le quotient ( ' )
Cj Voici le calcul pour les Iccleurs faiiiiliariséâ avec l'emploi du calcul symbo-
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULER. 353
Pour ce but, nous écrirons W;J' sous les deux formes
et, par conséquent,
— (Aar}-r- 2B|a7-i- Ci)(Aia72-+- 2Bia? -f- Ci).
De là, suivant la formule (36),
w(x)^(x:)-{w%^)-
X — Xi
= 2(ABi— BAi)j:ari-+-(ACi- CAi)(a?-i-a:i)-f-2(BC,— CBi).
Chacun des déterminants, tels que AB| — BA| , se calcule encore
par la même formule (36), et, conformément aux expressions des
polynômes A, B, C (3o),
A = UqX^-^ laix-^ a,,
B = aix^-^ ^a^x -+- as,
C = a^x^-r- la^x -T- a^.
! i = i(aQai — a])xxi -T-iaoa^— aiai)(x-hxi)-hi{aiai — al),
X — Xi
4 p r" \
— ~ — = 2(ao«3 — «i«î)a?X|-+-(ao«v— a^)(a7-f-3-i)-+- 2(aia4— aj^s),
X — Xi
or» r>n
— î i = 2(aia3— a|)xxi-+-(aiav — aia3){x -h Xi)-h 2{ata^ — al),
lique; on y meltra y au lieu de x^. Désignant V(x) par ai ou 6j, on a
= {{alb\-a\biy={{aby{xyy{a^b^-^a^b^)\
i\l = {abyalbl.
\2HÎ={aby{a^by-^ayb^y+2{abYa^b^ayb^,
{abY{xyy= {a^by-ayb^y{aby={aby{a^by-\-a^b^Y^!i{abya^.b^a^b^.
Des deux dernières égalités on tire
(ab'y{a,by-i-a^b^y=:SHy-h^{aby{xyy.
Substituant dans la première et mettant C, à la place de ^{ab)*, on obtient
IL 23
(37)
354 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Remettons maintenante^ au lieu dext, et nous obtenons
iW( t)W( y) -- CV*^>'
n = (x — r)^ — ^ =i{<^oai — a\)x^y^-i-i{aoa3-'aiaj)(X'hy)jry
L intégrale de Véquation (82) peut donc s'écrire sous la
forme
n -+- 4 jx vr__ 4 jx«(a:— j^)ï = o,
où [ji est la constante arbitraire et U le polynôme (37).
On peut désirer mettre II sous la forme (3i). Soit 4H(j:) le
polynôme que l'on obtient en faisant y =^ x dans H. Voici ce po-
lynôme :
\ H(a:) = (aoaj — aî)ar*-T-2(aoa3 — «i«j)^'-^(«o«v^-2aia3 — 3a|)a:*
( -4- '2(0104 — atcii)x -ha^a^ — aj.
C'est celui que l'on nomme le hessien de W{x), Le coefficient de
{x'-\'y^) dans {Il est{(aoe74 — a\)\ le coefficient de &x^ dans
H(x) est
■î(«o«4-^ '-i«i«3 — 3a|),
La différence
■î(«o«4— «î) — i(«o «4-^^0,03— 3aî) = -1^5(0004 — 4a, as— 3a|)=^ G,
est le coefficient de {x — yY dans {H — HJ. On a donc
et l' intégrale de Véquation (32) d'Euler peut s'écrire sous la
forme
Il est bon de noter que la constante arbitraire est ici la même
que dans l'intégrale (34).
Le premier membre (Sg) est ici mis sous la forme qu'on a
trouvée plus haut comme étant celle des polynômes doublement
quadratiques et symétriques, savoir J^j4-v.(a: — y)'^. Considérons
6 comme donné,
'^{x) = bQX^-\- ^bxX^-r- ^biX^-^ ^bzX -r- bs^y
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULER. 355
en sorte que le premier membre (Sg) soit F :
F = Av«4-'2Bj^-+-C,
A = ^0^' -+- 2 61 a: -+- ôj -i- V,
B = bxx^ -^2(ÔJ---Jv)a:-4-68,
C = {b% -\- v)j?*-i- ibzx-i- b^.
Le polynôme ^(^), à un facteur constant près, est B- — AC.
En composant cette quantité, on trouve immédiatement qu'elle se
réduit à — h — v<|^, A étant le hessien de t}/. On a donc
et, en même temps, comme on vient de le trouver,
4; = H -f- fx^\
De là on peut conclure que h s'exprime linéairement par H
etW; en d'autres termes, W étant un polynôme du quatrième
degré et H son hessien, tout polynôme composé linéairement de
W et de H (ou du faisceau H, W) a pour hessien un polynôme de
cette même /orme (ou du même faisceau) (* ).
C'est là une propriété fondamentale des polynômes du qua-
trième degré, que nous trouvons ici par une voie indirecte, et que
nous préciserons plus loin.
Réduction des intégrales elliptiques à la forme normale.
Dans le Chapitre IV du Tome I, nous avons appris à faire ïin-
version de l'intégrale u = /-p-» c'est-à-dire exprimer x en fonc-
tion elliptique de u. Exprimer inversement p^^ en fonction de x^
c'est ce qu'on appelle réduction à la forme normale. Effective-
ment, si pw = ^ est pris pour variable, au lieu de x, on aura
, _ dx _^ dz
Ce problème de réduction est évidemment résolu en même
(') Proposition découverte par M. Cayicy.
356 DEUXIÈME PARTIE. — APPL1CATI0>S.
temps que le problème d'inversion; il ne faut que dégager le ré-
sultat. C'est ce que nous allons faire ; mais il faut, avant tout, re-
noncer d'une manière plus précise en ajoutant que g-^ et g^ doi-
vent être les invariants du polynôme X.
La solution de ce problème comporte une arbitraire, la valeur
initiale de a:, celle qui correspond à uz=o. Soit j* cette valeur
initiale et supposons qu'on ait trouvé jj£/ =:zf{^Xjy). Cette éga-
lité, si l'on y considère jj ?/ comme une constante, est l'intégrale
générale de l'équation d'Euler; car on en déduit
dx dy
Le problème de réduction, pris ainsi dans sa forme générale, ne
diffère donc pas de celui qu'on vient de traiter, l'intégration de
l'équation d'Euler. Mais nous allons le résoudre directement.
Dans l'inversion telle qu'elle a été présentée (t. I, p. 120), la
valeur initiale de x est infinie. Pour éviter toute confusion, réser-
vons la notation u à l'argument correspondant. Avec d'autres va-
leurs initiales de jt, l'argument sera ?/, augmenté d'une constante;
nous prendrons, quand il conviendra, une autre notation pour ce
nouvel argument.
Afin de mettre en évidence l'homogénéité des fonctions ellipti-
ques, nous introduirons un facteur arbitraire t, comme nous
l'avons toujours fait dans les applications. Nous écrirons donc
(40) ida —
- )
employant ainsi la notation ^r(-^-)î ^" ^'^^'^ ^^ -^' pour le polynôme
du quatrième degré; nous continuerons aussi à désigner par Co et
C3 les deux invariants de ce polynôme,
(40 < Cî=rtya4 — Xa^a^-T- \a\,
\ G3= as^a^a^-^ inya^a-^ — a\ — a^a\ — «Ja^.
Les invariants des fonctions elliptiques sont
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eULER. ^5^
Les formules d'inversion (t. I, p. 120), avec la modification
qu'entraîne Tintroduction du coefficient d'homogénéité, sont les
suivantes :
p'v
/«o ^ pu — pv
(42) \ 'z^^aoW(a:) = pu—p{u-hi>),
I _ qf — qpfla i_ ' _ ^3^0 — Sapai at^ -h 2 a?
'* «0 ' '* /ôj
Première réduction.
L'égalité suivante (t. 1, p. i3i), dans laquelle Xq désigne une
racine du polynôme W(j:.),
X Xq — I
(' = «-;)
nous présente l'inversion effectuée par une substitution linéaire,
c'est-à-dire que z=: pt est une fraction dont les deux termes sont
du premier degré en x. Mais p^r et p'\v ont quatre valeurs, se
permutant les unes dans les autres, en même temps que Xq s'é*
change avec les autres racines. Aussi, malgré la première appa-
rence, celte forme de la réduction est fort compliquée : rendue
rationnelle par rapport aux coefficients de ^, elle s'élève au qua-
trième degré par rapport aux variables, comme on verra effecti-
vement un peu plus loin.
Deuxième réduction.
Aux formules (4^^)? joignons celle-ci (éq. 48« de la page 118,
t.I),
— {a^x-^ «1)'= p(w -h i>)-4-pM-+-pi',
et nous avons, en éliminant j)(w -f- r), puis substituant l'expres-
sion de pv^
2 /
(43) — pa = a^x^-^ 'kaiX-\' aj-f- v'^o^'X^)-
358 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
C'est la formule de réduction propre à la valeur initiale oo, prise
pour X. Le changement du signe devant le radical correspond,
comme on Ta déjà vu maintes fois, au changement de u en
— (m4- v).
Nous pourrions passer maintenant à la formule générale en pre-
nant cette expression (43) de j)m, puis une semblable J3M<, avec
une autre variable y^ et composant j3(m — w<), au moyen du
théorème d'addition. Mais la formule (43) contient en elle-même
cette généralisation; c'est ce qu'on va montrer.
Troisième réduction.
Soit /(-s) un polynôme du quatrième degré. A la variable z
substituons la variable x^ en posant
(44) ex -\- az -= xz.
Soit T(j:) le transformé de/(;5) par cette substitution; on a
L'équation différentielle (4o) devient
T , dz
aa = , •
Sauf le changement insignifiant du facteur d'homogénéité, elle
conserve la même forme, soit avec x et ^(^), soit avec z eif(^z).
Mais maintenant la valeur initiale de z est la quantité arbitraire c,
correspondant à ^ = oo. Pour avoir la formule cherchée, il n'y a
donc qu'à transformer le second membre (43) en y introduisant
z el/{z), au lieu de x et de W{x),
D'une manière générale, cp(:;) étant un polynôme du degré ai, on a
d_ ^(z) _ (z — c)o'(z)— no(z)
dz (z — c)'^" (-5 — c)«-^-i '
et, si l'on suppose ^(z) rendu homogène par l'emploi d'une se-
conde variable z\ la propriété
do , âo
no^ z —i- -h z -~
^ Oz Oz
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D^EULER. SSq
transforme la dérivée précédente ainsi :
c
â^ âo
d «pC-s) _ àz
dz'
dz {z — c)^ i^z — c)^-*-^
Si Ton suppose ^ lié à a; par la relation (44)) îi s'ensuit
d 9 (-5) àz dz'
dc — ^ — *— — - — '= ' •
dx {z — c)'*' (^>5 — c)'*-i
Le numérateur étant du degré (/i — i), on peut lui appliquer
ce qu'on vient de dire pour ç, et conclure
rX ' _j_ o/» J_ _4_ i
et ainsi de suite. C'est cette dernière formule qui nous importe
ici. Y mettant y(^) au lieu de cp, supposant /i = 4, nous voyons,
au numérateur, sauf le facteur numérique 12, la combinaison que
nous avons dénotée par/^. En outre, la fonction que l'on dérive,
au premier membre, est W(j:) d'après l'égalité (45). Ainsi
( ac )' ( ao ar' -h 2 ai 37 -+- aj ) =::
r
Kz — c)^
Prenant aussi, dans l'égalité (45)^ ^^ partie principale de l'un
et l'autre membre pour ^ = c, nous avons
ao(ac)* = /(c).
L'équation (43) devient donc
<
Revenons maintenant aux notations précédentes, x^ y^ ^ au
lieu de >s, c, f\ changeons la notation du facteur d'homogénéité,
et nous avons
r- dx I yvy^^W{x)W(y)
(*) D'aprùs M. Félix Klein, il paraît y avoir incertitude sur le premier inven-
36o DEUXIÈME PARTIE. - APPLICATIONS.
(]'est la formule cherchée; on y retrouve l'intégrale (34) de Té-
quation d'Euler. C'est aussi une formule d'addition, U étant égal
Nous avons déjà mis sous forme rationnelle cette intégrale de
l'équation d'Euler. C'est l'équation (Sp), que nous reproduisons
ici (en mettant z au lieu de [ji) :
Telle est la formule générale fournissant la solution du pro-
blème de réduction.
L'une des solutions z de cette équation (46) est;;^j3U, où
\J = if — //i- Quant à l'autre solution, on l'obtient en changeant
le signe de l'un des radicaux \/W(x)y par exemple, ce qui change
u en — li — V] c'est donc — jP(w -f- W| -f- r). En prenant, au lieu
de a, l'argument t qui s'évanouit quand ût est une racine de ^, on
a, pour les deux racines, -^p(t — /|) et -^p(t + t^).
Formule de duplication.
Si, dans l'égalité (46), on suppose x = J^, une racine z devient
infinie; en supposant \/W(a:) et ^W[y) pris alors avec un môme
signe, cette racine infinie est —p{u — U\), L'autre racine est fi-
nie, c'est ~ j)(2w + i'). D'ailleurs, pour j?=j^, HJ et WJ devien-
nent l^{x) et W{x)\ par conséquent, la substitution (Ç étant cette
racine)
(4/) ^--U^)'
oh II (^) désigne le hessien de W{x)^ donne lieu à V égalité
idx d^
(i8)
v/ÛX.r) /4C3_c,$-G,
leur de cette belle formule, qu'il faut, sans doute, attribuer à M. Weierstrass :
voir Ueber hyperelliptische Sigmafunctionen, von F. Klein {Math. Ann.,
p. \^)-: avril 188^)).
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'eLLER. 36i
Arrêtons-nous un instant sur cette formule, pour en examiner
les conséquences algébriques. D'après l'expression de Ç, elle
donne
dx dx _
/^^H^^CjTTT^ — Gj U^» ~
Soit T le polynôme suivant, du sixième degré,
il vérifie donc l'identité
(5o) 4T« = — 4H3-+-C,Hn^-«— CaM^-î.
C'est en prenant pour point de départ cette identité, démontrée
par la pure Algèbre, quand naissait la théorie des invariants, que,
par une marche inverse de celle que nous venons de suivre ici,
M. Hermite ( * ) a trouvé la propriété qu'expriment les égalités (47)
et (48).
Nous reviendrons tout à l'heure sur l'identité (5o); il nous faut
auparavant faire encore quelques remarques sur les résultats qui
précèdent.
Si ^(^) est le polynôme réduit 4^' — gi^ — 8^^ ^ est égal
à pw, i^ est nul, et \ est égal à 2J)m. L'égalité (47) nous fait retrou-
ver la formule de duplication (6) du Tome I, p. pS. Rien n'est plus
facile, en effet, que de contrôler les deux formules, en observant
que, ^{^x) étant écrit sous la forme générale (40* ^^^ coefficients
sont ici
ao=o, «1 = 1, a,= o, «3 = — T^Ç'î» <^\ = — gz-
Le hessien (38), changé de signe, coïncide avec le numérateur
de la formule qui donne piu,
La quantité Ç (47) est égale à — j)2/, t étant l'argument u +
qui s'est offert dans la première réduction. Mettant, dans l'égalité
(47), à la place de $, l'expression de -jpa^ en fonction de p/, et
( » ) Journal de Crelle, t. LU.
362 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
remplaçant pt par -z^z, g^ et gz par t*C2 et t^^Cs, on voit dispa-
raître le facteur d'homogénéité t, et il reste
C'est la relation dont il a été question plus haut, celle qu'on ob-
tient en rendant rationnelle, par rapport aux cocflGcients, la sub-
stitution linéaire qui fournit la première réduction. On peut,
comme on voit, l'écrire sous la forme
(5i) h{^z)W{x)^n{x)^{z)=z o,
où h{z) désigne le hessien du polynôme i^{^z)=^ 4^' — Ca-s — C3,
considéré comme du quatrième degré.
Plus généralement, si t}^(^) désigne un polynôme transformé de
W[x) par une substitution linéaire quelconque, et h{z) son hes-
sien, la même relation (5i) traduit manifestement l'ensemble de
quatre substitutions linéaires par lesquelles cette même transfor-
mation peut s'opérer.
En particulier, si l'on prend, pour i^, le polynôme W lui-même,
et qu'après avoir divisé par x — -s on considère Téquation entière
\\{z)^{x)—\\{x)^'(z)_
■ — o»
X — z
le premier membre est décomposable en trois facteurs linéaires.
Cette équation représente l'ensemble des trois substitutions qui,
échangeant les racines, par couples, les unes dans les autres, trans-
forment le polynôme W en lui-même. Pour le polynôme
les facteurs linéaires sont
(^ — <?a)(- — ^a) — (<^a— «p)(<îa— «y) (a, p, y = i, 2, 3),
comme on le sait par la formule d'addition des demi-périodes.
Propriétés des polynômes du quatrième degré.
Nous avons reconnu précédemment que, ^ étant un polynôme
du quatrième degré, H son hessien, tout polynôme i^ du faisceau
CHAPITRE IX. — ÉQUATION D'bULER. 363
(H,T) a son hessien h compris dans ce même faisceau. Celte pro-
priété s'est trouvée exprimée par les égalités
(52) pW = h-^^^, 4^ = H-+-|x^,
dans laquelle [jl, v, p sont trois constantes. Une seule de ces con-
stantes est arbitraire, et nous connaissons déjà, d'après l'inté-
grale (39), la relation
(53) v = jVC,-ix«
entre les constantes [jl, v et l'invariant quadratique C2 de W. Il
reste encore à trouver p.
Considérons le polynôme t^ analogue à T(49), mais composé
avec '} et A. D'après les égalités (02), on a t = — pT. En dési-
gnant par Ci et c^ les invariants de t}^, on aura, suivant l'iden-
tité (5 o), cette autre
Substituons, au second membre, les expressions de H et ^
tirées de (52) et identifions, de part et d'autre, les coefficients de
A', etc., nous aurons d'abord
(54) 4?= — 4[^'-+-C,{i-4-G3.
Le terme en k^^ fournit la relation (53) ; les deux autres serviront
à trouver Cj et C3, dont nous n'avons pas besoin.
La double égalité (5») et l'identité (5o) renferment toute la
théorie des équations du quatrième degré, sur laquelle nous ne
devons pas nous arrêter davantage. Il nous faut seulement retenir
la conséquence principale, celle d'où découle la résolution algé-
brique. Soit
4|x3— C,{i — C3 =4(|x — jxi)(ix — fxi)(f^ — f^s);
on a, d'après l'identité (5o),
(55) T« = — (H-+-iJiiU^)(HH-ix,U^)(H-t-iJi3V>.
En prenant, pour H, l'expression suivante
'■=;s[<''S: -'(£)■]
364 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
on reconnaît que II et W sont deux polynômes premiers entre
eux. De là résulte qu'au second membre (35), chaque facteur est
un carré parfait. Ainsi, dans le faisceau H-^ [nW, il y a trois
polynômes qui sont des carrés; on les obtient en prenant, pour
[JL, une quelconque des trois racines de V équation (résolvante)
(56) 4jj,3_C,IJL-C3=0(t).
Discriminant des équations doublement quadratiques.
Revenons aux équations doublement quadratiques F = o, en ne
considérant, toutefois, que des équations symétriques. Nous sa-
vons que le premier membre peut être mis sous la forme
(3;) F--<.J-f-v(:r'-j.)«,
et que Téquation d'Euler, dont F u^ o fournit l'intégrale générale,
étant relative au polynôme ^*, on a les relations
L'équation F = o traduit la relation qui existe entre deux fonc-
tions elliptiques semblables t, r, dépendant Tune d'un argument u,
l'autre d'un argument i^i, dont la différence U est constante.
Par l'intermédiaire du polynôme T, la constante U et les inva-
riants elliptiques nous sont connus, savoir
(5<)) ^j^T^C,, ^3=':«C3, pU^T*!!,
T étant un facteur arbitraire d'homogénéité.
Le dernier progrès qui nous reste à faire est de trouver ces
mêmes quantités directement sur le polynôme F ou, plus précisé-
ment encore, former explicitement IV^wa^/o/* caractéristique {i(S)^
dont les racines sont proportionnelles aux trois quantités e^, — pU.
C'est pour ce but que nous allons considérer le discriminant de F.
(') Pour cette théorie des polynômes du quatrième degré, on trouvera tous les
détails désirables dans l'Ouvrage de Cledscu déjà cité, Théorie der algebraischen
binaren Formen, ou dans celui de M. Salmon, Lessons introductory to the mo-
dem Algebra.
CHAPITRE IX. — ÉQUATION d'bULKR. 365
On a déjà observé (p. SSp) que F est un polynôme du second
degré ordinaire par rapport aux deux variables xy et x -\-y. En-
visagé ainsi, il a un discriminant qui, égalé à zéro, exprime la
possibilité de décomposer F en deux facteurs linéaires par rapport
à xy et X -+■ J'. C'est ce discriminant que nous considérons ici et
dont l'évanouissement exprime, comme on voit, que F est le pro-
duit de deux polynômes doublement linéaires en x eiy.
Si le discriminant est nul, de F = o on tire deux expressions
de y rationnelles en x\ B* — AC est donc un carré. On se sou-
vient que B^ — AC n'est autre que ^{x). C'est en considérant les
polynômes H 4- |Xa^, où [Xa est racine de Téquation (56), poly-
nômes qui sont des carrés, que nous allons parvenir au but.
Dans le faisceau (H, ^), prenons un autre polynôme quel-
conque W, p'^' = A -h v't}^.
Éliminant h et i^ entre les équations (58) et cette dernière,
nous avons
V V • V
Le polynôme F', relatif à W ^ a la forme (Sy), où v est remplacé
par v'; c'est donc F -f- (v' — v)(x — yY ; ou bien, si on le divise par
rt— fi
r/ — v), ce sera s¥ -{- {x — y)-^ en prenant 5 = —
Si Ton suppose a = [Xa, W est un carré; F' est donc alors dé-
composable en deux facteurs et son discriminant est nul; par con-
séquent, le discriminant de s¥ -\-{x — yY a pour racines s les
trois quantités ~ — -• Or, suivant les égalités (Sg), les racines (x^
de l'équation (56) sont les trois quantités — ^a* Les trois racines s
ont donc pour expression — ^ ; elles sont proportionnelles aux
trois quantités Ca — pU. Ainsi, l'équation caractéristique a
pour premier membre le discriminant de s¥ -i- {x — y)^. Les
invariants de F sont ainsi trouvés de la manière la plus complète
et la plus simple.
On pourrait donner bien d'autres détails sur les polynômes F,
examiner la composition du discriminant relativement aux inva-
riants C27 C3 de 6; mais nous devons nous borner^ et nous nous
3^36 DECXlËn PARTIE. — APPUCATI05S.
conleQterons de dire encore comment le discriminant de F est
composé avec les quantités précédentes.
D'après la forme ' '^ • des racines^ on voit que le discriminant
de 5F — \x — »•)-, sauf un facteur indépendant de j, s^obtient en
mettant sz -t- ;jl. au lieu de ;jl dans le polvnùme (56). C'est donc
sauf un facteur indépendant de 5, et qu*il faut trouver. En faisant
5 = o, on doit obtenir ici le discriminant de
IX — v^* — I -r — y\^ — 4 jn\
Si Ton envisage, pour prendre les discriminants, x 4-^ comme la
première variable et xr comme la seconde, (j: — yy a pour dis-
criminant — {• Le facteur est donc le quotient de — 4 par
4;-t' — Cju. — Cj; c'est -^58). Dans (66), le coeilicient de s^ est
4p' ; en le divisant par p, on aura 4 p^> Ainsi, le discriminant de F
a pour expression 4p^ ou bien
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 36']
CHAPITRE X.
LES POLYGONES DE PONCELET.
Préambule. — Représentation géométrique des équations doublement quadra-
tiques. — Interprétation des éléments doubles. — Lignes polygonales repliées.
— Condition de fermeture. — Théorème de Poncelet. — Expression géométrique
de la condition de fermeture. — Représentation elliptique des lignes polygo-
nales. — Invariants. — Invariants de fermeture. — Cas où les deux coniques
sont tangentes entre elles. — Équation caractéristique. — Coniques ayant un
contact du second ou du troisième ordre. — Autre méthode. — Autre expres-
sion des invariants de fermeture. — Expression des invariants de fermeture
par des déterminants. — Sur une forme de l'intégrale elliptique de première
espèce. — Sur les covariants de deux coniques. — Formule de duplication. —
Combinants d'un faisceau de coniques. — Fonctions elliptiques sous forme de
combinants. — Représentation elliptique des points d'un plan. — Multiplica-
tion des arguments par 2. — Multiplication des arguments par un nombre
quelconque. — Lieu des points dont les arguments sont des parties aliquotes
de périodes. — Nouvelle intégration de l'équation d'Eulcr. — Nouvelle expres-
sion de pu.
Préambule.
Dès le début du Tome I, on a vu (p. i3) Taddition des argu-
ments représentée par une construction géométrique au moyen de
deux cercles. A chaque point de l'un des cercles, on fait corres-
pondre un argument elliptique : la corde qui joint deux points,,
dont la différence des arguments est constante, enveloppe le second
cercle.
Cette construction de l'addition peut être modifiée de façon
que, au lieu de deux cercles, on ait à considérer deux coniques
quelconques. On n'en saurait douter, d'après les enseignements
de la Géométrie projective. Mais il convient de présenter directe-
ment cette construction sous sa forme générale. C'est à quoi se
prête merveilleusement la considération des équations doublement
quadratiques, objet principal du Chapitre précédent.
368 DEl'XIÈXE PARTIE. — APPLICATIONS.
Représentation géométrique des équations doublement
quadratiques.
Soit Xune courbe unicursale^ c'est-à-dire qu'à chaque pointa:
de la courbe correspond une valeur unique d'un paramètre x et
réciproquement. Toute équation entre deux variables jrel x% peut
être envisagée comme une relation entre deux points x et a"i, va-
riables ensemble sur la courbe X. S'il s'agit d'une équation qua-
dratique en Xij le point x a pour correspondants deux points;
soit a7| l'un deux. S'il s'agit maintenant d'une équation symétrique
entre les deux variables, le point x^ a, pour correspondants, deux
points dont l'un estx; soit x^ le second. Ce dernier a, pour corres-
pondants, le point Xi et un nouveau point x^^ et ainsi de suite. De
même, le second correspondant de x peut être dénommé ^_i, ....
Ainsi, une ligne polygonale variable, complètement déterminée
par un seul de ses sommets, et inscrite dans une courbe unicur-
sale X, peut servir à représenter une équation doublement qua-
dratique et symétrique.
Pour donner une forme entièrement géométrique à ce mode de
représentation, il faut, en supposant plane la courbe X, connaître
l'enveloppe des cotés de la ligne polygonale. Si l'on admet alors
que X soit une conique, on trouve immédiatement cette enve-
loppe. Chaque coté n'a, en eflTet, avec X, d'autres points de ren-
contre que les sommets adjacents. Par chaque point de X passent
donc deux tangentes de l'enveloppe et deux seulement, ce qui
n'aurait pas lieu si X n'était pas une conique ('). L'enveloppe est
donc de deuxième classe; c'est une seconde conique Y. Ainsi toute
équation doublement quadratique et symétrique traduit la re-
lation entre tes extrémités d'aune corde variable, inscrite dans
une conique X et enveloppant une conique Y.
Sur la conique Y, les points v peuvent être représentés aussi
par un paramètre j'. Pour le point de contact du coté xx^j ce para-
mètre^ est lié au paramètre x par une équation algébrique. Mais
celte équation doit convenir aussi bien au point de contact du
( ' ) Si Ton prenait, pour X, une cubique unicur>alc, il passerait, par chaque
point, deux autres tangentes de l'enveloppe ; celle-ci serait donc de quatrième
classe.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONGELET. 869
côté xx_i. Elle est donc du second degré en y. D'autre part,
quand j^ est donné, cette équation doit convenir aussi bien à a^t
qu'à X. Elle est donc du second degré en x. C'est une équation
doublement quadratique entre x et y.
Ce mode de représentation conduit à envisager, parmi les équa-
tions doublement quadratiques, deux espèces différentes, absolu-
ment comme, dans le Chapitre précédent, on l'a fait, au point de
vue des invariants. Sur une conique on peut changer le paramètre
X sans changer le point correspondant. De la manière la plus gé-
nérale, on peut, sans changement de la figure, transformer le pa-
ramètre par une substitution linéaire quelconque (fractionnaire).
Les équations symétriques, où les deux variables doivent être
transformées par une même substitution, se rapportent à deux
points situés sur une même conique. Les équations où, au con-
traire, les variables peuvent être séparément transformées par des
substitutions linéaires différentes, se rapportent à des points si-
tués sur deux coniques.
Interprétation des éléments doubles.
11 y a quatre valeurs particulières a©, aj, a^, as du paramètres,
à chacune desquelles correspond une racine double y; soient ^O)
^if ?2i ^3 c^s quatre racines doubles y. Du point ao les tangentes
menées à Y coïncident; c'est donc que a© est sur Y. Ainsi a©, a^
a^, as sont les paramètres, sur X, des points communs aux deux co-
niques, et ^09 ^M ^2? ^3 sont les paramètres de ces mêmes points
sur Y.
Il y a, de même, quatre valeurs P'^, ^\, p^, p, du paramètre y,
à chacune desquelles correspond une racine double x\ soient a^,
a',, a'j, a'j ces quatre racines doubles x, La tangente de Y, au point
P'qj rencontre X en deux points confondus; c'est donc qu'elle est
tangente à X. Ainsi les nouveaux paramètres sont ceux des points
de contact des quatre tangentes communes aux deux coniques.
Lignes polygonales repliées.
Pour premier sommet de la ligne polygonale, prenons l'un des
points a communs aux deux coniques. Soient a*, a^, . . . les som-
IL 24
370 DEUXlfeME PARTIE. — APPLICATIONS.
mets successifs. Celle ligne polygonale ne peut être prolongée dans
Tautre sens. Si l'on prend pour origine x de cette ligne le point
a", avec a'*"*, a""^, . . ., pour sommets suivants, on voit, au point a,
la ligne polygonale se replier sur elle-même, et Ton a
(1) 5*;,= a, a^rt^-l = Xrt_l, x n-^\=- oc n-\t ..., a"j/»= x = fit".
Le même fait n'aurait pas lieu, en général, si de Porigine x on
faisait partir la ligne polygonale dans le sens opposé.
Pour premier sommet d'une autre ligne polygonale, prenons un
point a' où X est touchée par une tangente commune. Du point a'
partent deux tangentes de Y; l'une est la tangente commune. Pre-
nons l'autre tangente pour premier côté; nous aurons ainsi des
sommets successifs a'* , a'^, .... Si l'on voulait prolonger cette ligne
dans l'autre sens, il faudrait envisager la tangente commune comme
étant le second côté aboutissant au sommet a'. Mais, sur ce côté,
le second sommet est encore a'. La ligne polygonale se replie donc
sur elle-même encore. Si l'on prend, pour origine x^ le point a''*,
avec a'^a'""* pour premier côté, la ligne polygonale est repliée et
l'on a
Là encore, le même fait n'aurait pas lieu, en général, si, de l'o- .
rigine x, on faisait partir la ligne polygonale dans le sens opposé.
Condition de fermeture.
Parmi les lignes polygonales, en est-il qui se ferment? Pour ré-
pondre à cette question, on observe que les paramètres x et Xmi
tout comme a; et x^^ sont liés par une équation doublement qua-
dratique et symétrique, puisque, un sommet étant donné, la ligne
polygonale est déterminée sans ambiguïté : il y a donc deux som-
mets, et deux seulement, distants du premier par m rangs. La
condition de fermeturey qui doit fournir un polygone fermé,
ayant m sommets, est j:m = *ï^« Cette supposition faite dans Téqua-
lion qui lie Xm et x^ on obtient une équation du quatrième degré
en X : nous en connaissons les racines. Si, en effet, m est pair,
m = 2n, ces quatre racines sont les paramètres des quatre points
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCBLET. 871
aj, a',', a![, aj, sommets de lignes polygonales qui commencent par
les points ao, a^ a2, aj communs aux deux coniques. Si m est im-
pair, m = 2/1 -h I, ces racines sont alors les paramètres aj*, a'^^^
a", a',", appartenant à des sommets pris sur les lignes polygo-
nales (2), qui commencent par les points de contact des tan-
gentes communes aux deux coniques.
Ainsi la condition de fermeture, pour chaque entier m, est
effectivement satisfaite par quatre lignes polygonales, dont cha-
cune, sans constituer un polygone fermé, se replie sur elle-
même.
Théorème de Poncelet.
Il n'y a donc, en général, aucun polygone fermé, à la fois inscrit
dans une conique X et circonscrit à une autre conique Y. Mais, si
ces deux coniques ne doivent pas être prises arbitrairement, il
peut certainement exister de tels polygones. A un triangle, un
quadrilatère ou un pentagone, on peut, à la fois, inscrire une
conique et circonscrire une autre conique.
Quand il en est ainsi,. Téquation de fermeture, qui a plus de
racines que d'unités dans son degré, se réduit à une identité; elle
est satisfaite alors, quel que soit le point x. C'est le théorème de
Poncelet : s^il existe un polygone fermé, inscrit dans une conique
et circonscrit à une autre conique, il existe une infinité d^ au-
tres polygones^ du même nombre de côtés, inscrits, comme le
premier, dans l'une des coniques et circonscrits à Vautre.
Expression géométrique de la condition de fermeture.
Supposons deux coniques X et Y, telles que les lignes polygo-
nales se ferment efiectivement toujours, en formant des polygones
de m côtés. Cette propriété se retrouve aussi dans les lignes po-
lygonales repliées, et c'est ce fait que nous allons examiner.
Considérons la ligne repliée (i), qui commence au pointer, et
supposons 2 n inférieur à m. La ligne, en se continuant au delà de
Xa/ï, doit satisfaire à la condition ^to== ^^ H faut donc qu'elle se
replie, de nouveau, au delà de X2nj qu'on ait donc
872 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Si m est pair, les sommets qui coïncident de la sorte sont di-
stants d'un nombre pair de rangs; c'est le caractère de la ligne re-
pliée de première espèce (i).
Si, pour origine de la ligne polygonale, on prend le point
Xn'=- (3c, on aboutira donc à un autre point a; entre ces deux points
il y a \{m — 2) sommets.
Si m est impair, les sommets en coïncidence sont distants d'un
nombre impair de rangs : c'est le caractère des lignes repliées de
seconde espèce (2). Si donc, pour origine de la ligne polygonale,
on prend le point a, on aboutit à un point a'^ entre les deux points,
ilya^(m — 3) sommets.
Considérons, en second lieu, la ligne repliée (2). On aura
Si m est pair, les sommets qui coïncident ainsi sont distants
d'un nombre impair de rangs : c'est le caractère des lignes repliées
de seconde espèce. Ainsi, partant d'un point a', on aboutit à un
autre point a'; entre ces deux points, ilyaj(/n — 4) sommets.
Si m est impair, partant d'un point a', on aboutit à un point a;
entre ces deux points, il y a \{m — 3) sommets. C'est une ligne
polygonale qu'on vient déjà d'envisager, mais en la parcourant
dans l'autre sens.
Voici donc, d'une manière générale, la condition d'existence
des polygones de m côtés : si, pour premier sommet, on prend
un des points communs aux deux coniques ou Vun des points
de contact d^une des tangentes communes, on doit aboutir à
un autre pareil point, de même espèce si m est pair, d* espèce
opposée si m est impair.
Si, quand on prend pour premier sommet un quelconque des
huit points a ou a', cette condition est satisfaite, on voit qu'elle
Test aussi quand on prend pour premier sommet tout autre de ces
huit points.. Mais c'est là une propriété qui résulte aisément de ce
fait bien connu, que la figure composée de deux coniques se
change en elle-même de diverses manières, par homographie el
par polaires réciproques.
Voici les constructions qui résultent de la proposition précé-
dente :
i^A une conique Y on circonscrit une ligne polygonale ayant
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. SjS
(n — i) sommels. Si, par ces sommets et par les deux points de
contact des côtés extrêmes, on peut mener une qonique X, il y a
des polygones, de 2/i côtés, inscrits dans X et circonscrits à Y.
2^ Dans une conique X, on inscrit une ligne polygonale ayant
(n — i) côtés 5 on prend, en outre, les tangentes de X aux som-
mels extrêmes; s'il existe une conique Y tangente à ces (n -\- \)
droites, il y a des polygones, de an côtés, inscrits dans X et cir-
conscrits à Y.
Ces deux constructions, corrélatives l'une de l'autre, s'appli-
quent sans obstacle jusqu'à n = 4- Elles fournissent donc les cas
du quadrilatère, de l'hexagone et de l'octogone.
3" Dans une conique X, on inscrit une ligne polygonale ayant
{n — i) côtés; on prend, en outre, la tangente de X au dernier
sommet; s'il existe une conique Y tangente à ces n droites et
passant, en outre, au premier sommet, il y a des polygones, de
2/1 — I côtés, inscrits dans X et circonscrits à Y.
Cette construction s'applique jusqu'à /i=:4 et fournit les cas
du triangle, du pentagone et de l'heptagone.
C*est maintenant aux fonctions elliptiques que nous allons de-
mander la définition générale de la condition de fermeture pour
un nombre quelconque de côtés.
Représentation elliptique des lignes polygonales.
Ainsi qu'on Ta vu au Chapitre IX, on peut considérer les para-
mètres X et Xi comme égaux à pu etp(wH-U), u étant un argu-
ment variable, U constant. De cette manière, les sommets succes-
sifs x_2f x_i , j:, a?!, X2j . • . ont pour paramètres les valeurs de la
fonction p pour les arguments u — aU, u — U, u, w-hU,
w -h 2U, .... Les paramètres y y correspondant à x = puy sont
p(«±iU).
Les arguments des paramètres a sont zéro et les demi-périodes;
ceux des paramètres p sont ^U ou ^U augmenté des demi-pé-
riodes. Ce sont aussi, en ordre inverse, les arguments des para-
mètres (x! et P'.
Les arguments des sommets, sur les lignes polygonales repliées,
sont de la forme w + nU (w étant zéro ou une demi-période).
I
I>r^ deux înianaDt? ci:<«-:*î*js 2. *'. qu: cu'irtt'rî^eiit rêquation
douUrriD^Dl qiiai-iralâ:jue p. 5i> . ont. sjr ]ii njran?, des ioterpré-
Uitionf> 5Împlr?. <]>e5 deux inv^iHant^
X| 2 3; »• 1| i; 3] Ij
2 = * ~ = — = : -. , •
X, 2- 2j 2, • i| 1. Ij i;
que DOQs a\ODS en\i>a^ê5 c>:*nime des rapf«L*Tt5 anharmooîques,
Kinl effectÎTemeot les rapf^orts aoharmoniqucs des quatre points
commuas aux deux coniques, coosidêrés. dans un même ordre,
soit sur X. soit sur ^ .
La ^proposition prouvée au Chapitre précédent, et qui coDsîsIe
en ce que ces deux invariants déterminent Téquation sans ambi-
guïté, à des substitutions linéaires près, cette proposition est évi-
dente par le mode de représentation actuel. Etant pris, en eflel,
quatre points à \oIonté. il existe une conique unique X. lieu du
^'Ommet d'un faisceau dont les cùlés passent par ces points et dont
le rapport anharmonique soit égal à z. Sembla blement, la co-
nique Y est déterminée, sans ambiguïté, par le rapport y- ^^s
deux coniques déterminent les li^'nes poUgonales et, par suite,
l'équation doublement quadratique.
On peut intervertir les rôles des variables .r et i\ Les rapports
anharinoniques analogues à z et à *' doivent reproduire ces der-
niers. Ils sont composés avec les paramètres â' et z'. On retrouve
ainsi cette proposition très connue, que le rapport anharmoni-
que des points d'intersection, pris sur une des coniques, est égal
au rapport anharmonique des tangentes communes, pris sur
l'autre.
InYaiiants de fermeture.
Ia'.s invariants de fermeture sont ceux qui, égalés à zéro, expri-
ment la condition pour l'existence de polygones inscrits dans X
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 875
el circonscrits à Y. Ce sont des fonctions des deux, invariants fon-
damentaux a, y. Nous les trouverons en exprimant que mU est
une période.
Et, d*abord, excluons le cas où aU est une période; ce cas
correspond à la supposition que la conique Y se réduise à un
point. Par cette supposition, qui entraîne pourpU Tune des va-
leurs €ij €2, ^3, Y aurait Tune des valeurs o, oo, i.
Nous allons considérer, en premier lieu, le cas où 4U est une
période. On a vu (t. I, p. 5i) qu'en prenant
<3) pV = tfs-+- V^(ei — e3)(e,— es),
on obtient, pour U, un quart de période. Avec cette valeur de
pU, on a
pu —
P
u — €1 y et — 63
A cause des égalités (IX, lo, i5)
^ ei — e^ ♦ pU — e,
il en résulte 7. = ^^. C'est une forme élégante de la condition
pour le cas des quadrilatères : il y a des quadrilatères inscrits
dans une conique X et circonscrits à une conique Y, quand le
rapport anharmonique des points communs à ces coniques^
pris sur X, est le carré du rapport anharmonique de ces
mêmes points^ pris sur Y. C'est d'ailleurs une traduction im-
médiate de la condition graphique, trouvée plus haut : les tan-
gentes de Y, en deux points communs aux deux coniques^ doi-
vent concourir sur X.
Il y a six valeurs de pU, analogues à la valeur (3), et qui cor-
respondent à des quarts de périodes. L'égalité a = Y^ n'est donc
pas seule pour traduire la condition relative aux quadrilatères.
Au lieii de considérer les six valeurs de pU, nous pouvons aussi
effectuer le système complet des six substitutions, qui remplacent
à la fois a et p par i — a et 1 — p, - et tt » • • • • H naît de là trois
r
égalités seulement, savoir
(5) y'— « = o> Y*"" ^ï "+"* = ®i ï* — aaY-+-a = o.
376 DEUXlfeMB PARTIE. — APPUCATIONS.
Les premiers membres de ces trois égalités constituent trois
facteurs de la fonction ^4(U), dont les racines sont les quarts de
périodes (t. I, p. 96). Nous allons former effectivement cette
fonction, ainsi que celle d'indice 3. Par là on trouvera tous les
invariants de fermeture.
Par les égalités (4), on conclut e,, ^2, ^3, sauf un facteur arbi-
bitraire t, comme on Ta déjà vu au Chapitre IX, et Ton a
Y — *
-. a(a — i)
/ iT \ «(ï — 0
'^(pU-e3)= ^'_^ '
De là résulte, si Ton multiplie membre à membre,
(6) ^V.U=-<''^'-'>'<\-'^^
et, si Ton différentie, en laissant a constant, ainsi que t, ce qui
laisse constants les invariants elliptiques,
En différentiant encore dans Tégalité (6) et remplaçant, au
//Il
premier membre tj)'U -t- par Texpression (7), on obtient
Au moyen de Tégalité (6) et de l'expression de TpU, savoir
Y — a
nous obtenons immédiatement i3(U), qui s'exprime ainsi (l. I,
p. 93 et 96)
d'où résulte
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONGBLET. 877
Le développement du second membre offre des réductions, el
il reste
Pour calculer ensuite ^i(U), on a la formule
qui donne
^^=p'*U-p'U^.,(U),
t:«i^4(U) aa»(a— 1)»
P,
P étant un polynôme entier dont le terme du plus haut degré en
Y provient de la seconde partie — p''U<{^3(U); c'est y*. Revenant
aux égalités (5), on en conclut
Prenons maintenant, comme au tome I (p. io3), les deux quan-
tités (que Ton ne confondra pas avec les paramètres des coniques)
(9) ar = ^.Jt{;-«, y = ^i^i\
en nous souvenant que ^2 n'est autre que — p'. Nous aurons
(10)
2>a(a — i)7'(y — i)*
y
«)
En résumé, dans les deux égalités (10), a e/ y désignent les
rapports anharmoniques des quatre points communs à deux
coniques IL et Y ^ pris dans un même ordre sur X et sur Y res-
pectivement. La condition pour Vexistence de polygones de
m côtés ^ inscrits à H et circonscrits àY^ est
X = o,
r = 0,
y — x = o,
y — X — y^ = o,
{y — x){ix-'y) — xy^= o,
y^{y ~ ^ — r*) — (r — ^)' = o,
y^{ry — x^—y^) — x(y — x —y^ )« = o,
(a:/ — 37» — X» ){y — a?)» — xy{y — a? —7*)» = o,
Pour m —
3....
m =
4....
m =
5....
/Il =
6....
m —
7....
m —
8....
m —
9....
m =
10. . . .
m =
II.. . .
À
3yS DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
et ainsi de suite, conformément à la formule récurrente qui a été
démontrée au tome I (p. io3).
Cas où les deux coniques sont tangentes entre elles.
Si l'on voulait considérer deux coniques tangentes entre elles,
on se trouverait dans le cas où les fonctions elliptiques dégénè-
rent. Il est à remarquer que les formules précédentes s'appliquent
fort bien à ce cas singulier, comme on va voir.
Supposant les points ao et ai infiniment voisins, on devra ad-
mettre, pour les différences a© — a, et j3o — Pu des arguments
de ces points, sur les deux coniques, des quantités infiniment pe-
tites d'un même ordre. Les rapports anharmoniques a et v sont
donc infiniment petits, et leur rapport est une quantité finie c.
D'après celle supposition, les formules (lo) se réduisent ainsi
(il) a: = — rir~' y= 3 t >
et les résultats ci-dessus sont toujours valables.
Pour comprendre leur exacte signification en ce cas, observons
que a est le carré du module des fonctions elliptiques, supposé
nul ici. La fonction sn dégénère en la fonction sinus et l'on a [en
prenant ). = i dans l'égalité (19) du tome I, p. 24]
p U - —
3 sin*U
D'après nos suppositions, la formule (8) donne, en supposant
T=I,
-x-^ c
ipL = •
* I — c
De ces deux égalités résulte
c = cos*U.
Les expressions (11) de x et^ peuvent alors être écrites sous la
forme
sin'SU C0S2U
2* sin*U cos*U *^ a'cos^U
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 879
On a vu (t. I, p. 198) que la fonction <{^«(U) s'exprime par la
fonction d sous la forme
^'*^ '^ (s'il)'**
Pour la combinaison y,,, employée au Chapitre IV du tome I et
dont nous venons de faire usage, il en résulte
/i«-4 n«— I
(la) T/,(U) = a'(/«U)(3'U) ^ (o'aU) » .
Quand se présente la dégénérescence supposée actuellement, la
fonction <^ se réduit à un sinus (t. I, p. i83), sauf un facteur qui
disparaît dans la combinaison (12), et Ton a
T/» =
sin/iU(sinU) '
/»«— 1
(sin2U) '
Les deux quantités ^ et ^ ne sont autres que y' et V4^ on a
bien effectivement
3 _ (sin3U)HsinU)s _ (sin3U)' __
^^~ (sinaU)» ~ •2»(sinU)»(cosU)« ^ ^'
_ sin4U(sinU)^ _ cosaU _
"^'* ~ (sinaU)* "" a'CcosU)^ ~-^"
On voit donc que, pour le cas où les coniques sont tangentes,
le calcul employé précédemment conduit à des résultats que l'on
peut trouver directement par la multiplication des angles, et qui
peuvent s'énoncer ainsi : deux coniques IL et Y étant tangentes
entre elles, on prend les rapports anharmoniques a, y de leurs
points d^ intersection, comme précédemment, en supposant ol
et Y infiniment petits et y l ol=^ cos^U ; la condition pour V exis-
tence des polygones y de m côtés, inscrits dans X et circonscrits
à Y, est alors sinmU = o.
Il n'existe aucune simplification nouvelle pour le cas où les
coniques ont entre elles deux contacts séparés, sont, comme on
dit, bitangentes. En eifet, on peut supposer, à la fois, ao — ai et
«3 — 0^2 infiniment petits ; a et y ont encore un rapport fini, qui
constitue un invariant c. Le calcul précédent s'applique sans au-
38o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
cunc modification. Deux coniques bi tangentes peuvent, on le sait,
ôlre considérées, au point de vue de la géométrie projective,
comme deux cercles concentriques. A ce point de vue, le lien est
manifeste entre la condition d'existence des polygones et la multi-
plication des angles.
Les cas où les coniques ont un contact du second ou du troi-
sième ordre seront, tout à Theure, examinés plus nettement par
un autre procédé. On doit prévoir que, pour ces cas, l'existence
des pol}^gones est toujours impossible ; car, dans une telle figure,
il n'y a aucun invariant absolu.
Équation caractéristique.
Nous avons, au Chapitre IX, appelé équation caractéristique
celle dont les racines />, y, r sont les trois quantités ^(pc — e« ), etc.
Par ces racines les deux rapports anharmoniques a, y s'expriment
ainsi :
Ces deux égalités ont précisément la forme de celles qui servent
à exprimer les deux rapports anharmoniques a, y par les racines
de l'équation dite équation en s dans la théorie analytique des
coniques. Soient X = o, Y = o les équations des deux coniques
en coordonnées ponctuelles. Envisageons , dans le faisceau
.çX 4- Y = o , quatre coniques caractérisées par les valeurs Sqj s^ ,
.V,, ^3 du paramètre 5, et prenons la quantité
(Sn — Si) (.y.T — 5i)
(So — Sî) {S3 — S1)'
C'est le rapport anharmonique des tangentes de ces quatre coni-
ques en un quelconque des quatre points communs. D'après cette
propriété, prenons So = x>, de façon que Tune des coniques envi-
sagées soit X. Prenons ensuite, pour 5|, 5^, .Sa, les paramètres au
moyen desquels 5X4- Y=o représente deux droites. Chacune
des tangentes est alors une des trois droites qui joignent l'un des
quatre points aux trois autres, tandis que la première tangente est
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 38 1
celle de X. Le rapport anharmonique des quatre tangentes est
donc celui des quatre points sur la conique X.
Si/?, q^ r sont les trois paramètres dont il s'agit, on voit que
ce rapport anharmonique a l'expression donnée tout à l'heure
pour a. Si l'on prend maintenant 5o = o et encore/?, y, r pour
Ss , ^2} ^3? on a, de même, le rapport anharmonique y avec son
expression (i3).
Les rapports mutuels des quantités />, y, r sont seuls déter-
minés, parles égalités (i3), en fonction de a, y. De même aussi
les rapports seuls des paramètres sont déterminés par la condition
que sX-f- Y = o représente deux droites; car chacun des polj^-
nômes X et Y est déterminé à un facteur près seulement. Aussi
peut-on conclure en disant : Soient X = o, Y = o les équations
des deux coniques en coordonnées ponctuelles ; l'équation ca-
ractéristique a pour premier membre le discriminant de
sX-hY.
Cette proposition, extrêmement élégante et qui est due à
M. Cayley, peut encore être établie de diverses manières.
Pour éviter toute confusion, désignons les coordonnées cou-
rantes (homogènes) par 5|, 53, z^. Supposons la conique Y figurée
par l'équation
(ï4) Y — z\ — 2Ziz^ = o,
en sorte que l'on puisse représenter les points au moyen d'un
paramètre y en posant
£1 :iy :: z^ : iy^ :: z^\ i.
La tangente a pour équation
lyzi —5, — 2/* -53 = 0.
Prenons deux tangentes répondant aux paramètres j^ et yi. Les
coordonnées du point d'intersection sont les suivantes
(i5) ^1 :y-^y\ :: ^1 : ^yy\ :: ^3 : i.
Supposons maintenant les deux tangentes mobiles, mais liées
entre elles par la condition de se couper sur une conique X,
représentée par une équation du second degré homogène entre
382 DEtXlÈlE P4ITIC. — APPUCàTKi5S.
^1, ^2» ^3- Celle condilioD se irouve exprimée si l'on remplace,
dans Téquation de X. les coordonnées par les quantilés propor-
tionnelles (ij). Ainsi.
étant Téquation de \ . on aura l'équation de condition en
écrivant
(lO) X ^ V — »'i, avv|. n = o.
Cette anahse a un lien évident avec celle qui a été employée
au Chapitre IX. (p. 339), ^^ ''^" voit immédiatement comment,
X étant le paramètre du point d'intersection sur X. on déduira la
relation doublement quadratique entre x et i'. Mais c*est une
autre conséquence que nous voulons atteindre ici. Nous avons
actuellementréqualion doublement quadratique et symétrique (i 6)
et nous savons (p. 365) que l'équation caractéristique a pour
premier membre le discriminant de sX -f- {y — î*i )*. Or. si l'on
remplace y et j'i par z^^ wj, ^3, en vertu des relations (10),
X redevient le premier membre de l'équation de la conique X
cl (y — yxf se remplace par
premier membre de l'équation de la conique Y. C'est donc bien
le discriminant de 5X -r Y que nous retrouvons ainsi.
Coniques ayant on contact du second ou du troisième ordre.
Le discriminant se réduit à un cube quand les coniques ont
trois ou quatre points d'interseclion confondus en un seul. Les
trois racines Ci, e^^ e^ sont toutes trois nulles. C'est le cas ultime
de dégénérescence pour les fonctions elliptiques, celui où la fonc-
tion iu se réduit simplement à u. On prévoit donc que les points
successifs de la ligne polygonale seront caractérisés parTaddition
d'une constante à un certain paramètre. Nous allons trouver aisé-
ment un tel résultat.
Conservant, pour Y, la forme d*équation (i4)' prenons
X = Y -1- 2). Ci^j,
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCBLET. 383
(le façon qu'il y ait contacl du second ordre au point ^, = 3<, = o.
L'équation (i6) devient alors
(17) (r ~ri)' -+- 2^(r-+-ri) = <>•
Résolue par rapport à^i, elle donne
L'équation différentielle correspondante est donc
et l'intégrale (17) peut s'écrire
=i=v/X» — 4X7ii:v/Xî — 4XJ1 = 2X.
Il n'y a plus aucune période. En choisissant les signes des ra-
dicaux, on peut écrire simplement
/X» - 4 Vi = y/X* - 4X7 -4- aX,
puis conclure
v/X« — 4X7,,,= y/X* — 4X7-+-amX.
Le polygone ne se ferme jamais, puisque X ne saurait être nul.
Pour le cas d'un contact du troisième ordre, on prendra
X = Y •— X^î
et l'on aura
Autre méthode.
Voici maintenant une autre manière d'établir cette théorie.
Prenons l'équation d'une conique X sous la forme
p q r
De même qu'au Chap.,VIII, exprimons les carrés des trois
384 DEUIlfeUE PARTIE. — APPLICATIONS.
coordonnées en fonction de deux paramètres s et p^^ et posons
P(s—p)
{p-q)(p-r)^ »
(I«) '-? = —
,a _ rjs — r) ^
-3 (r-;>)(r-^)P •
Pour traduire ces relations sous la forme elliptique, nous
faisons
(iq) J['^Lll^ = ^*' "7/j = P^ — g» ^ » ,
oe qui donne
-zpç^s-^l^p-^q-hr).
Nous désignons par U l'argument qui n'pond à 5 = o, en sorte
qu'on a
/ ^ pU — g| _. pU — g» ^ pU — <*! _.__.«.
Les expressions (i8) des trois coordonnées z^ sonl comprises
alors dans la forme
ce que, d'après le théorème d'addition des demi-périodes, on
peut encore écrire
~^ »»•» —
pi * |)(U — wa) — t'a
On reconnaît ici l'expression de cos^a^, employée au Chapitre I
(p. a) de ce Volume.
En extrayant la racine carrée, nous pouvons écrire, au lieu de
Tégalité (21), celle-ci
(^^) p-*= ?77û ^
comme on l'a fait, a l'endroit cité, pour cosa^.
CHAPITRE X. — LRS POLYGONES DE PONCELET. 385
Considérons une aulre conique Y, dont nous pouvons prendre
Téquation sous la forme
Y = zf -+- zf -h z} = o.
Représentons les points de cette conique par les égalités ana-
logues
Cette dernière peut être envisagée comme découlant de Tana-
logue (21) où Ton ferait U = o, et où l'on prendrait, pour z^, la
limite de ±U5a? en sorte que, suivant la forme (22) donnée à
Tégalité (21), on a maintenant
(23) -^,z^= — e
On en déduit
99
= ^vïû^ 2^^'~"')^(^"""')^(' ~
Cl)
la sommation, au second membre, devant s'étendre aux. trois
demi-périodes. Cette somme nous est connue (p. 10); nous savons
qu'elle est égale au double produit des quatre fonctions
^(^±^y
Elle est donc nulle si nous lions les deux arguments v et p' par la
relation v' =v±\i. La droile joignant les deux points est alors
tangente à la seconde conique, comme l'exprime la relation
z\ Z\ -+- z\ Z\ -{- z'^z^ = o.
Voici donc démontré à nouveau le théorème fondamental. Pour
se bien convaincre que le mode actuel de représentation nedififôre
pas, au fond, de celui qu'on avait considéré d'abord, il faut faire
l'observation suivante. Par les formules (22, a3) les coordonnées
z et z' sont représentées comme des fonctions de v^ doublement
II. 25
386 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
périodiques de seconde espèce, ayant chacune un seul pôle. Mais
ce sont ici les fonctions particulières dont les multiplicateurs
sont =t: I (t. I, p. 234). Elle se changent en fonctions double-
incnl périodiques ordinaires si Ton y met 22/, au lieu de v; ces
fonctions ont alors quatre pôles. C'est ce qui doit être, en efiet,
quand on exprime les coordonnées d^une conique en fonction
rationnelle du second degré par un paramètre, et que l'on repré-
sente ce paramètre par une fonction doublement périodique à
deux pôles. Si Ton met ainsi 211 et 2u\ au lieu de v et r', sans
changer U, la relation entre les deux arguments variables devient
u' = w =ii jU, et Ton reconnaît que U est bien le même argument
qu'on a envisagé jusqu'ici. Par les égalités (20) nous trouvons
maintenant encore que les trois quantités (ca — pV) sont pro-
portionnelles aux trois racines />, 9, r de l'équation
ayant pour premier membre le discriminant ^X — Y.
Autre expresaion des invariants de fermeture.
Soit
le déterminant de sX. — Y, dont les racines sont proportionnelles
aux trois quantités (pU — ea), ou, plus exactement, ce discrimi-
nant divisé par celui de X. Considérons d'abord un argument va-
riable i', défini par les égalités (19). On aura
(24) T3p'îi;=r. 4F(5), 'Zp9 = S-U'l'
Pour calculer ^3(^), nous pourrions procéder comme nous
l'avons déjà fait plus haut (p. 376). Afin de varier, observons
deux propriétés caractéristiques de àz{u)' On a (t. I, p. 96)
d'où résulte
-g = I2P»- 3^,p - 3^3 = 3p'*.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONGELET. 887
De plus, les coefficients de ^3, comparé au polynôme général du
quatrième degi^é
aop*-+- iaip^-h 6aip^-^ ^a^p 4- «vi
sont
3, o, — i^„ — f^s, — iT^λ
et l'invariant aoa^ — 4^i«8-f- 3aJ se réduit à zéro. Ces deux pro-
priétés sont caractéristiques. De la première on déduit
par conséquent
^^1)^3(1;)= 3** — kiS^-\-6ktS^ — i2kzS -h const.
Par la seconde propriété, on détermine cette constante, qui doit
faire évanouir l'invariant quadratique. Il en résulte
C'est en supposant 5 = 0 que l'on voit i> se réduire à U. Ainsi
On trouve tout aussi facilement
(26) { /^
Les deux invariants de fermeture ^, j^ (9) ont, d'après ces éga-
lités, les expressions suivantes :
2«A5 ' -^ 2» A:}
Expression des invariants de fermeture par des déterminants.
Le calcul de la condition pour l'existence des polygones à m
côtés se fait, au moyen des invariants x^ y, comme il a été indi-
qué précédemment. C'est ce qu'on a de plus simple sur ce sujet.
On ne saurait néanmoins omettre un autre moyen de faire le
â
388 Dirxitai pâetik. — appucâtioxs.
calcul, infiniment moins commode, mais extrêmement élégant. Il
a été trouvé par M. Carier et se rattache, de la manière la plus
directe, à la théorie des fractions continues, ainsi qu^on le verra
dans un Chapitre ultérieur.
Ce mo\en consiste à exprimer la fonction *!»« sous forme de dé-
terminant, comme on Ta fait au tome I (p. ^222)^ mais, au lieu de
composer le déterminant avec des dérivées prises par rapport à
Fargument, on emploiera des dérivées prises par rapport à pU.
La condition que mU soit une période peut s*exprimer sous la
forme suivante : il existe une fonction entière de pr et p' v ayant
la seule racine i*=L\ multiple d^ordre i?i. Cette fonction est
précisément celle-là même qui est dénommée /(f) à la page 224 du
tome I, sauf les notations fi, r au lieu de i\ U. On peut la mettre
sous la forme M-f-N\'F^5), M et X étant des polynômes entiers
par rapport à la variable 5, qui remplace pw comme ^F(5) rem-
place p'(i').
La valeur particulière U de Targumenl r répond à 5 = o. L'exis-
tence de la racine U, multiple d'ordre /?}, exige donc que le dé-
veloppement de M -I- Ny'F(5), suivant les puissances ascendantes
de 5, commence par un terme du degré m. Pour effectuer ce dé-
veloppement, nous prendrons les expressions explicites des
polynômes M et N, el nous supposerons \ F^^s) développé ainsi
(27) V^F(*) =PQ-^PKS-^pt5^-^PiS^-T-
Pour les degrés de M et N, il faut distinguer deux cas, d'après
cette condition que, s étant regardé comme du degré 2 (ainsi que
p w), M 4- N \/F(7) doit être du degré m.
i® m = in.
M = ao-+- ais-ir a^s^-^. . .-h a^j", N = bQ-\- biS -\-. . .-4- 6/,_iJ'«-*.
La disparition des termes dont les degrés sont o, 1, 2,...,/i
fournit des équations contenant les coeflîcienls de M. Pour les
termes suivants, les coefficients de N interviennent seuls :
ba-i Pk -+- ^«-3 />* H- . . . -+- bopn-hi = O.
^n-tPa-k-ï -H ^/i-3/>/n-î-*-« • •-+- ^oPln-l = O.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 889
2° m = 2/i-t-i. La forme de M est la même, maïs N a un
terme de plus bn_iS"^*^ et les équations sont les suivantes :
àoPn-¥l
boPn-k-i
O,
o,
^/t-1 Pn-*-i H- bn-\Pii-¥t -+-...-+- b^pm = O.
Voici donc le résultat : ayant développé sous la forme (27)
la racine carrée du discriminant de (5X — Y), on obtient,
pour V existence des polynômes de 2n côtés, la condition
/>»
Pk
• • Pn-ht
/>*
Pi
• • Pn-i-i
Pn-ht
Pn-i-1 '
' . Pin-
= 0,
et, pour celle des polynômes rfe (an -i- i) côtés, la condition
Pi
P^
• • Pn-^\
Pi
• m
Pt.
• • •
• • Pn-^-l
• • • • • •
Pn-^l
Pn-\t •
. . Pin
= o.
Ainsi, pour les triangles, la condition est ^2= o; pour les qua-
drilatères. p^=o. On vérifiera aisément la concordance de ces
conditions avec celles qui ont été trouvées précédemment.
La liaison avec la théorie des fractions continues est ici évidente^
mais nous réservons Tétude de ces faits pour le moment où nous
formerons effectivement les fractions continues elles-mêmes.
Sur une forme de l'intégrale elliptique de première espèce.
Par un calcul tout semblable à celui qui a été fait au Chap. VIII
(p. 317), on déduit des égalités (18)
p ypqr ds ^ir{ztdzi — Z\dzt)
__ 2/? ( Zj dzj — Zf dzi ) __ iq{zxdzi — z^dzi)
~" Zi "" «,
3gO DBUXIÈIB PARTIE. — APPLICATIONS.
Mettons les lettres/* et fp pour désigner les deux formes quadra-
tiques, représentées, jusqu'à présent, par X et Y :
.1 -3 -1
/ = r- — H >
' p q r
1^= z\ -^ z] -h zl.
Soient aussi
J'-lUTC -f^-llT,' '^'-l'ôT,'
Par les relations (i8), on a "1 = p^, et les égalités précédentes
peuvent s'écrire
/ ^(Zfdzi — Z\dzf) Ui(z^dzi — z^dz^)
('28)< 2(zidzi — z^dzi) ds
'-'' \/(-;-')(i-)a-)
On voit apparaître, sous le radical, le discriminant de {sf — ^).
Ces égalités, obtenues en considérant ainsi les formes quadratiques
y et ^ réduites, s'étendent manifestement à des formes non ré-
duiteSy et voici maintenant comment on peut les trouver d'une
manière directe.
Soity.-^o l'équation (homogène en ;;i, s^, r3)d'une conique.
On peut représenter les coordonnées d'un point de cette conique
par trois égalités, telles que
m t a:* -+- a m\ ar -+- m", m% x* -h i m\ x -\- m\
*»3
/Il 8 07* -r AZ/lj X -h //Ij
«" — '*>
OÙ X est le paramètre et X un coefficient tout à fait arbitraire. Ceci
étant, les trois déterminants, tels que (^arfc, — 3| rfwa), s'expri-
ment ainsi
5jm5| — Zi ClZf
dx
= 2 X* [( /?i 1 /?i 2 — mj /II', ) ar* +( m I m\ — /ii j m\ )x-h m\ m\ — m\ m\ J .
Prenons, d'autre part, les trois demi-dérivées partielles de y,
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. SqI
par exemple /a, en y substituant, pour les coordonnées, leurs
expressions (29). On a ainsi
/j=X(Aa:«-+-B:r-4-C),
et les coefficients A, B, C sont des constantes, indépendantes
de X. Les trois rapports, tels que -^ — 'f". * ^*> sont donc indé-
pendants de X. En vertu de l'équation/ = o, qui entraine rf/'= o,
on a
f\ dzx -h/, dz^ -+-/, dz^ = o,
/i«i -H/î^i -^fzz^ =0;
d'où résulte
, ^ . Z\ dz\ — Z\ dz\ Zi dzf — Zi dz^ Zi dz^ — z^ dz\
\fzdx ~~ X/idx ~~ X/fdx
Chacun de ces rapports a, pour termes, deux polynômes du se-
cond degré en x^ indépendants de X. Comme d^ailleurs les trois
polynômes dénominateurs n'ont aucun facteur commun, il faut
que les polynômes numérateurs reproduisent les dénominateurs,
sauf un facteur constant. Ainsi les trois rapports (3o) sont con-
stants: c'est ce qu'on exprime habituellement en introduisant trois
arbitraires C|, Cj, C3, dénotant par (cidz^z^) le déterminant
(3i) {cidztZi)=z
Cl c, C3
dzi dzf dzi
Zi Z% Zi
et disant que le quotient r- — jA-^ — 7^ — ^ r ^ ^ est constant,
quelles que soient les arbitraires C|, C2, C3.
Soit maintenant ^ un polynôme du second degré, ou forme
quadratique, homogène en ^(, ^29 ^z* ^^ y niettant, pour les .3,
leurs expressions (29), on obtient le produit de X^ par un poly-
nôme X, du quatrième degré en x. Il en résulte
(3.) (Cidz,z,) dx
(ci/i -4- Cfft -h C3/8 ) V^ /X
Voilà donc une nouvelle forme des difTérenlielles elliptiques de
première espèce. Cette différentielle, qui figure au premier
392 DECXltlE PAITIE. — APPLICATIOKS.
membre (82), est prise tout le long de la conique f^=^o^ c*esl-
à-dîre qu'on y considère les variables comme liées par réqualion
f= o. Elle est indépendante des quantités c; de plus, elle ne dé-
pend que des rapports des trois variables. Enfin elle est mise sous
forme inçariante^ comme il est évident. Mettre aussi sous forme
invariante la substitution qui amène la variable s^ c'est ce qui
n'offre pas de diilGculté par les formules (18); on en tirera s
ainsi
et l'on exprimera le second membre par les invariants et covarianU
de/, '}. C'est là un calcul analogue à celui qui a été fait au Cha-
pitre VIII. Mais, pour qu'on aperçoive mieux le lien avec la for-
mule de duplication de M. Hermite (IX, 48), nous prendrons,
comme point de départ, une identité entre des co variants.
Sur les coTariants de deux coniques.
Soit/ une forme quadratique
(|ui, égalée à zéro, représente une conique/. Son discriminant,
que nous désignerons par /lo, est le déterminant des coeflicients.
^0 =
«11 «11 «13
«11 «SI «13
«13 «13 «33
les mineurs de ce déterminant seront désignés par les lettres x :
2lI=«ll«3J — «Îj» 3[13= «I3«12— «11«13» ••••
D'après les propriétés élémentaires des déterminants : 1° le dé-
terminant analogue, formé avec les a, est égal au carré de /i© :
«11
«11
«13
K-
«Il
«11
«13
«18
«13
«38
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. SgS
2° les mineurs de ce dernier reproduisent les coefficients primi-
tifs, multipliés par h^.
(33) Ao^ti = Ait>33 — «la» ^o«î3 = «i8«n — *tl«tJ>
En désignant par ^i, ^29 Ss l^s coefficients de Péquation d'une
droite
on sait, par les éléments, que la forme
égalée à zéro, représente la coniquey*en coordonnées tangentielles,
c'est-à-dire la condition pour que la droite touche la conique.
Soit maintenant une autre forme quadratique
Le discriminant de 5/ — if est un polynôme du troisième degré
en s
0 = h^s^ — Al 5* -H his— Aj:
le premier coefficient est le discriminant /t© de/*, le dernier A3
est le discriminant de i/. Les coefficients intermédiaires sont com-
posés comme il suit
A| = "Ldijbij^ A,= Zaij^ij,
la lettre ^ étant employée pour représenter les mineurs du dis-
criminant de ^.
Soit ^' la forme adjointe à ^, commet kf, et considérons la
forme composée^' — sf^'. Son discriminant est
0' = a;— a; j'-4- a',5'«- a'j j'».
Comme on Ta observé déjà, AJ, et A, sont les carrés de A© et A3.
On a aussi, à cause des égalités (33),
A', = Ao S aij p/y = Ao Aj, A, = As 2 a/j btj = A3 Ai .
De là résulte
0' = AJ — Ao Al5'-^- A,Ai5'«— AJs'».
3^4 DCCXIÈIB PâITIE. — APPLICATIONS.
Si Ton pose
il vienl
en sorte qu'à chaque racine 5 de o correspond la racine ~- de 3'.
Pour une telle racine, sf — i = o représente deux droites et
f — s'^'= o deux points.
Prenons maintenant l'équation de la conique^^ — s'^' en coor-
données ponctuelles; son premier membre est
(34) /io/-*'?-^*'*>ij'M*»'
s étant une forme nouvelle dont voici les coefficients :
V = *- A/y 5| Zj\
Aij= 3tii3n-T- 2is3i3 — 3{j^ii — «H pjj.
Reprenons l'expression (34), remplaçons 5' par -—- et concluons
que la forme
s
devient un carré si Ton y met, au lieu de 5, une quelconque des
racines/?, q, r de 0. Soient donc
r
(3>) (?-^V-/'o7•^'-Q^
les équations P = o, Q = o, R = o représentent les trois côtés du
triangle conjugué commun aux deux coniques^ et 6. L'ensemble
(•) Il en résulte que 9*— 4^,^,/+ = o représente les quatre tangentes com-
munes à/et ij/y et que la conique 9 — 0 coupe les deux coniques /et ^ aux points
de contact de ces tangentes. Cette propriété, bien connue, sera invoquée plu»
loin.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. SqS
de CCS trois côtés est représenté aussi par révanouissement du
jacobien
/i /« /j
D = <];, ^, ^3
<pi <pi <p3
Effectivement, en multipliant ce déterminant par celui qui est
formé des coefficients des premiers membres (35), on obtient le
jacobien de P^, Q^, R^, c'est-à-dire PQR multiplié par le déter-
minant des coefficients des trois polynômes du premier degré P,
Q, R. Par conséquent, sauf un facteur constant, on a
(36)
I>* = IJ(? - T-^~ ^''^) ^' = P^ ^' '•)'
le produit, indiqué par II, s'appliquant aux trois racines de 2.
Pour s'assurer qu'effectivement Tégalité a lieu, telle qu'on vient de
récrire, il suffit d'envisager un point commun aux deux coniques
/ et r^. En supposant ce point au sommet ^, = ^2= o du triangle
de référence, on aura «33= 633= o, d'où résulte
«11 =
Pii =
a
SS)
— y»«
A33
«n = — «îj» «it
Pît = -^Î3, Plî
(«13^13— «jj^ia)*'
^J3^t3»
^t8^t3»
Par conséquent, en ce point,
^ ^ //■4'.-/.4'.y.
Or, en un point où y et ^ s'évanouissent, on a
/t-5l-^A^J-+-/3^3 =0,
et, par conséquent,
Zi Z\ z^
D
?
Donc enfin, en un tel point,
(
ou 0^:= ç', comme le veut l'égalité (36).
396 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Quand on suppose/-^ o, le second membre se réduit au produit
des trois binômes, tels que (cp — />/2o^)« Comme 3 est le produit
des trois binômes tels que (s — /?), on a ainsi
(3;) pour / = o cl 5 = t^, D»=AJd;«8.
L'égalité (36), étant développée, prend la forme
(38)1 ^'=?'-(^«/-^^i '!')?'-+- [^i^»/'-^^*^o<'*+^^i^»-^'^oA3)/4']?
Nous aurons encore à utiliser une autre propriété qui résulte
aisément des mêmes considérations.
Désignons, en général, par/:' une polaire
oti/i , /q, /^ contiennent les coordonnées z. Abréviativement aussi
mettons/(5), J{2^) pour désigner la formel avec les coordonnées
z ou zf. Envisageons la combinaison
(39) (/V) = ^/i^î'-A-)H^')-A-')H^\
qui pourra être composée aussi avec une seule forme
(4o) h(//) = (rz)'-A-)A-)'
Si on la compose ainsi avec une forme carrée, on obtient zéro
pour résultat. Prenons donc Tun quelconque des trois carrés (35)
et concluons que Ton a
quand on met pour s Tune quelconque des trois racines />, y, /•.
De là, trois identités que voici
(4o) hi(//)-\-hi(^^)=2{^r^),
Nous aurons à employer la première.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 897
Formules de duplication.
En supposant >3|, ^2, z^ variables d'une manière quelconque,
nous avons
? = ?1 -Si H- ?1 «J-+- ?8-«J, 'l' = 'l'i «I H- 'l'i'Sj -h ^Z^i,
(çpj ^, — <p, ^, )(^, cf^, — ^j dzi ).
Nous pouvons écrire cette dernière quantité sous la forme
(40 \(^d^ — od^) = {c\, dzf. Zi),
comme nous avons fait précédemment pour le déterminant (3 1).
Les quantités c' sont ici ^2^3 — fs'j'i» • • •> et la quantité corres-
pondante (c',/i -H C2/2-I- Cj/3) n'est autre que — D. Supposons
maintenant les variables assujetties à la condition y= o. La diffé-
rentielle (32) est indépendante des quantités c. On y peut donc,
sans la changer, mettre les c' au lieu des c; on a, de la sorte,
d'après (40»
(f^) (Cj.dzi.Zi) _ I ^do-^t^d^
Si Ton pose maintenant
on obtient, d'après l'égalité (37),
(ct. dz^, ^j) _, T ds
(44)
(ci/iH-c,/,-4-C3/3)v^ ^ /Ao«'— At*'-+-^j* — A3
L'égalité (43) constitue l'expression de s par des covariants,
dont il a été parlé (p. 392). D'après les relations (19), où Ton
prendra, pour simplifier, t=4Ao) le second membre (44) est
398 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
égal à ^dç. Puisque (^ est le double de Targument u^ on voit que
Téquation difTérentielle
(45) du = (Ci'dz,.z,)
(ci/i-h c,/,-h c,/,) v^j'
définit précisément ce même argument u dont il a été question
jusqu'à présent. C'est, au reste, ce qui résulte aussi de ce faitque,
si on le suppose nul en Tun des points ^ = o, il est égal à une
demi-période en chacun des trois autres points analogues. Ceci
supposé, l'argument 211 est égal à une période quand 5 est in-
fini (43). L'égalité (44) donnant
(46) 9.du=-—=: ^^
^h^s^ — Al j'-h Aj5 — Aj
on en conclut
(47) 5= ^(4p2tt-+--iAi).
La ressemblance de cette analyse avec celle qui a suggéré à
M. Hermite la formule de duplication (IX, 48), indique suffisam-
ment une autre voie par où l'on parviendrait encore à ces ré-
sultats.
En supposant les z exprimés par un paramètre x (29), on ob-
tient, pour ^j^, un polynôme du quatrième degré X. En même
temps, cp devient aussi un tel polynôme, et il est visible que
cp + ^/ii ^ doit se changer en le hessien de X, tandis qu'en même
temps D reproduit le covariant T (*). Un autre moyen s'offre en-
core. En définissant U par la différentielle (45) intégrée le long
de la conique y entre deux points z! et z, il y aura lieu de cher-
cher l'expression de pU, comme on l'a fait au Chapitre IX
(p. 359), et la formule (47) devra en résulter. Cette recherche est
rejelée à la fin du Chapitre.
Les égalités (4^) et (47) nous donnent
(48) piii = ~^^ |-î-^.
(') Voir à ce sujet un Mémoire de M. Li!idemax!i, intitulé : Sur une représen-
tation géométrique des covariants des formes binaires {Bulletin de la So-
ciété mathématique, t. V| p. 3i3, et t. VI, p. 19.5).
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONGELET. 899
En difTéren liant, nous obtenons ,
2 P 2 U du = - i— : ' ^
OU, diaprés les égalités (4^) 4^))
(49) p'2U=—-
Calculons encore p". Les égalités (46, 47) nous donnent
^p':Ludu = \hodSj
p'^'AU = iV^5(^*'— his*-h hts — As).
De là, par difTérentiation dans la dernière, résulte
p'2a = J Ao(3Ao**— 2A15-H Aj),
c'est-à-dire, suivant (43),
(5o) p''9.a= g^,(©*-|AiÇ'!'-+-iAoA,^^*).
Nous reviendrons, un peu plus loin, sur ces formules de dupli-
cation. Il faut actuellement observer que la définition (45) ne fait
pas intervenir la conique ^ elle-même, mais seulement les quatre
points où elle rencontre la conique /. Effectivement, comme dans
la difi'érentielle on suppose /== o, on peut, sans changement, y
remplacer <j^ par ^ + X/. L'argument u est, comme on dit, un
combinant du faisceau ^ 4-Xy. Dans la théorie des polygones de
Poncelet, il faut encore définir Targument U. Nous savons déjà
que c'est la valeurde l'argument awpour s= o [éq. (19) et (ao)].
C'est ce qu'on retrouve facilement ici par l'égalité (43), où l'on
voit que s est nul au point de contact de / avec chaque tangente
commune (p. 3g4, en note). Les arguments u de ces points de
contact sont^U, sauf des demi-périodes. L'argument U est donc
bien la valeur àe 2U pour ^ = o.
Nous venons de considérer les fonctions elliptiques comme des
combinants du faisceau de coniques, en faisant varier seulement
la conique ^. II est naturel d'étendre cette notion et de faire va-
rier aussi la conique /. Pour ce but, il nous faut dire quelques
mots des combinants.
400 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Combinants d'un faisceau de coniques.
Au lieu dey et ^y on considère F et W, en posant
/>, />', q^ q' étant des constantes quelconques. On a alors
s = — ^-,-
^q-q
Soit Ho S' — H| S2 + Ha S — Ha le discriminant de (SF — W) ;
il reproduit celui de (s/ — '}), multiplié par (q' — S^r)'. On a donc
HoS'— IIiS«-hH,S — H3= Ao(S/> — />')'-+- /*i(Sj»— y )«(Sy — y')
à,{Sq-q')^-\-h,(Sp~-p') (Sç-q')^,
Par là sont déterminés les nouveaux coeflGcients H, qu^il n'est pas
nécessaire de développer.
Le nouveau covariant ^, qui remplace es, est composé linéaire-
ment avec <p, y, ^l soit Acp+ Bf-{-C^ son expression. D'après
Texpression de D sous forme de déterminant, on voit que D se
reproduit multiplié par A(/>5r' — qp')- Mais, dans Tidentité (38),
le terme en 4>' seul reproduit un terme en cp', et ce terme est af-
fecté du coefficient A^ ; on a donc
A«(/>y'-y/)«=A3;
d'où résulte
^ = (pq'-qp'y'
Ainsi, D se reproduit multiplié par (pq' — 7/>')'î c'est la seule
conséquence qui nous importe ici. Mais on verra tout à Theure
aussi quels sont les coefficients B et C.
D'une manière générale, on posera, pour un polynôme P du
degré n en ^i, ^2? ^zy
P _ ' ^P P _ ' ^P p ^ àP
n ozi n OZi n ozi
comme on Ta fait déjà pour/, <p, ^, où n était égal à 2.
CHAPITRE X. — LBS POLYGONES DE PONCELET. ^Oï
Supposons que ce polynôme P soit exprimé, comme l'est D*,
par une fonction de/, <p, <j^, à coefficients constants, homogène et
du degré m, en sorte que l'on ait n = 2m. Formons le détermi-
nant (/i. ^2- Ps)' Soit
on aura manifestement
2m(/,.^;,. P3) = i:2Yc/V?^"'(/i. 'I^i. Ta),
OU bien
Ainsi, le déterminant (/|. ^2» Ps) s'obtient en multipliant par
— D la dérivée partielle de P, prise par rapport à cp considérée
comme une variable.
Appliquons ce résultat à D*, pour lequel on a m = 3, et obser-
vons que (D^)i est égal à DDi ; nous aurons, d'après l'expres-
sion (38) de DS
( E = (/t. ^,. D3) = ?*- lihi/-^ ht^)o
C'est un nouveau combinant, qui se multiplie pdiT (pq' — ÇP^Yj
quand on change /et <j^ en F et W.
Appliquons ce même résultat à E et nous aurons
g = ^^iinij-hhi^).
C'est encore un combinant, qui se reproduit multiplié par
{pq' — Çp'y- On a donc
*-i(H,F-+-HiV) = (/>^'-^/>')M?-l(A./^-/*i'^)],
égalité qui fait connaître explicitement 4>, comme on l'annonçait
tout à l'heure.
Fonctions elliptiques sous forme de combinants.
Imaginons que nous ayons défini l'argument elliptique ;/, non
plus au moyen de la conique/, mais au moyen d'une conique quel-
II. 26
402 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
conque F du faisceau. Soit ainsi
(c^F, -+.c,F,-+.c,F,)v/v'
du =
Celle difTérenlielle esl considérée le long de la conique F = o,
el u a la valeur iniliale zéro en un des points fixes du faisceau,
toujours le même. On aura Tégalité analogue à (48)) savoir :
}û2u= = — - — :
mais, puisque F esl supposé nul, on peut écrire aussi
I *- J(H,VH-n,F)
piu =
4 ^^
Le numérateur étant un combinant, nous pouvons écrire celte
égalité sous la forme
(/>7'
zr^-Fjt p2M = ?-iA,4. — i A,/.
Semblablement, dans Tégalité analogue à (49)? D se reprodui-
sant multiplié par {pq' — gp'Y, on a aussi
t:v — ;;;? ^ 2a = — 2D.
Écrivons Tidentité (38) sous la forme suivante :
D« = ^3 — K, <p» -t- Kî^ — K3 = .f (o),
K, = hji^p + h^h^^^ -t- (/i,/ii — 3/13/10)/'!',
ot posons
les expressions de p2u el p'^u prennent la forme
Tp2W = «p — ïKi, ''Jp'^2U = 4 J'(?),
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 4o3
toutes semblables, dans Taspect, aux expressions (a4) àe pi>
et p'^i^' La lettre ç remplace s. La signification des lettres est, de
part et d'autre, bien difilérente cependant ; les coefficients du po-
Ij^nôme ^ et la quantité t sont ici des quantités variables. Malgré
cette difilérence, toutes les autres fonctions elliptiques se composent
encore ici par des formules toutes pareilles à celles qu'on a trou-
vées dans le premier cas. Prenons, par exemple, p"2u. Dans son
expression (5o), on reconnaît le combinant E (5i), où l'on a fait
F = o. On a donc maintenant
T'p*2tt= 6E.
Mais, d'après la manière même dont on a formé E, on a aussi
Par conséquent,
exactement comme les expressions (2^) de p^f ei p'ç donnent
C'en est assez pour que l'on déduise de là, par analogie avec les
égalités (26, 26), celles-ci :
Soient maintenant, comme plus haut (9),
nous avons pour ces fonctions les expressions suivantes (^2 étant
égal à — p') :
XrJ j -, <JJ
2«^* 2*^»
Par leur moyen, on pourra calculer une quelconque des fonc-
tions (t. I, p. 102)
Y»(2a) = 4/«(2a)^/,(2a) ' ,
4o4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
d'après les formules récurrentes déjà employées dans ce Chapitre.
Toutes ces fonctions nous sont donc dès maintenant connues sous
forme de combinants absolus. Chacune d'elles est, par nos for-
mules, déterminée en tout point du plan , et leur expression est in-
dépendante des deux coniques particulières/^ <!/, qu'on a choisies
dans le faisceau.
Ici se présente tout naturellement la considération du lieu géo-
métrique défini par Téquation ^„(2£/) = o. Nous devons donner
de ce lieu géométrique une définition indépendante des fonctions
elliptiques et mettre en lumière un fait bien remarquable : ce lieu
se décompose en plusieurs lignes distinctes, comme déjà nous le
voyons à regard du lieu ^}^2(2w) = o. Effectivement, t|/a n'étant
autre que p', ce lieu est défini par D = o; il se compose des trois
côtés du triangle conjugué, commun à toutes les coniques du
faisceau.
Représentation elliptique des points d'un plan.
Nous supposons donnés, dans le plan, quatre points fixes ocq,
ai y a2, as, pivots du faisceau, et nous affectons à chacun d'eux,
pour argument, une demi-période, y compris zéro. Soient, pour
fixer les idées, o, C0|, toa, W3 les arguments respectifs de a©) «i,
a2, as, dans cet ordre. L'invariant absolu ou module des fonc-
tions elliptiques doit être d'ailleurs considéré comme variable, en
sorte que, pour chaque point du plan, il y aura un module et un
argument, servant de coordonnées.
Soit z un point du plan. Envisageons la conique / du faisceau
qui passe par ce point. Le rapport anharmonique a des quatre
points a, sur cette conique, définit l'invariant absolu (4) des
fonctions elliptiques. En supprimant la conique, nous avons,
pour a, le rapport anharmonique du faisceau de droites, ayant son
sommet au point z, et passant par les quatre points a.
La fonction pu est alors, pour les divers points de la conique y,
un paramètre correspondant uniformément aux divers points de
cette courbe, et prenant les valeurs oc, e^ , Co, e^ aux quatre points a.
En désignant par y le rapport anharmonique du faisceau de quatre
droites dont a© est le sommet et qui passent par z^ a,, a2, as, on
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCBLET. 4o5
a donc
T
_pu-
pu-
-et
«3 —
«3 —
et
ex
a =
<Î3-
-ei
en même temps que
a =
^3 — «I
Voilà donc les fonctions elliptiques et l'argument définis, pour
chaque point du plan, par les rapports anharmoniques de deux
faisceaux de droites. Il s*agit maintenant de reconnaître la pro-
priété géométrique des points qui répondent à des parties ali-
quotes de périodes.
Joignons le point z au point ao et envisageons la conique ^
du faisceau qui a cette droite clqZ pour tangente. Pour cette couple
de coniques /et ^, l'argument u du point z coïncide avec l'argu-
ment dénommé précédemment U.
Voici donc la propriété géométrique de tout point z dont l'ar-
gument u est une m**-'"* partie de période : si y par z^ on mène
une conique f du faisceau et que, tangentiellement à a© z, on
prenne une autre conique ^ du faisceau, il existe des poly^
gones de m côtés, inscrits dansf et circonscrits à ^.
Pour chaque entier m, il y a un lieu du point z\ c'est ce lieu
qui doit être examiné. Mais il est bon de s'arrêter un instant sur
une conséquence du mode actuel, employé pour représenter les
fonctions elliptiques.
Multiplication des arguments par 2.
Un point z du plan représentant un module et un argument
elliptique, il s'agit de trouver le point y qui représente le même
module et l'argument double.
Pour cet objet, nous avons une construction : considérer les
coniques /et ^, comme on vient de le dire, puis mener du points
à la conique tj^ la seconde tangente, prendre le second point d'in-
tersection de cette tangente avec/: c'est le point y demandé.
C'est cette construction que nous devons réduire en formules.
Pour triangle de référence, nous choisissons le triangle con-
jugué du faisceau; nous affectons aux quatre points a les coor-
4o6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
données :;, = i , Z2 = àzi^ z^=z±i et choisissons les signes plus
pour le poinl ao. En désignant par x les coordonnées courantes,
on a, comme on s'en assurera aisément, les formes suivantes pour
les équations des coniques /et ^,
'^ = (5î— Z3)X\ -+-(^3 —Zi)xl-^'{Zi — Zf)xl t=0.
Le point de contact x de la seconde tangente, menée du point z
à la conique ^^ a pour coordonnées
Xi = ZfZi — ZiZf — -«1^3»
(54) \ Xi = ZiZi—ZiZz — ZfZi,
X^ = ZiZf — Z^Zi — Z^Zi»
Enfin, le second point y où cette tangente coupe la conique /
a les coordonnées
11' . —^ "^ î T ï — ^ î y î — ^ * ^ •
yl — ^J*3 — '*'!'*» *'l^3ï
V. -î ^î -t Z' "^ -*
yî — *'iZ^ — ^t^3 '**i'^if
Z3 = Z}Z\ — ZIZ} — -5Î-5Î.
Nous ne nous arrêterons pas à la démonstration de ces for-
mules, que chacun pourra vérifier sans peine par les procédés de
la Géométrie analytique. On reconnaîtra aussi qu'à chaque point^
correspondent quatre points ^, comme cela doit être, puisqu^en
passant de^ à ;; on divise l'argument par le nombre a.
Les formules (55) donnent
= -; r = r — Ati^f-^ZfZi-i- >m3>«*i,
(^l — Zf)Xi {Zf — Z3)Xi {.Zi—ZijXt
par ou l'on reconnaît que l'équation
(56) Aq = ZiZt-T-ZiZi-^ ZiZi = o
caractérise les points z coïncidant avec leurs correspondants^; ce
sont ceux dont les arguments sont des tiers de périodes.
Remarquons enfin que les trois droites, joignant deux à deux
les points ai, a2, as, et dont les équations sont
'Sî-+--S3=0, -53 H- -51=0, ^i-H^j=0,
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. ^OJ
coupent une conique quelconque du faisceau, chacune en deu)c
de ces points ai, a2, as.
Enfin, nous déduisons des formules (55 ) y i -hya = — 2 5^ s^ , ... ;
ce qui fait retrouver ce résultat déjà connu, que le lieu des quarts
de périodes se compose des trois côtés du triangle de référence.
Multiplication des arguments par un nombre quelconque.
Ces éléments suffisent pour construire les deux fonctions
(57) ^ = YÎ(u)= ^.(,^) > J- = Ï4(u)= ^,^^^^ .
Nous savons que ce sont des fonctions rationnelles de pu et
des invariants. Ce sont donc ici des fonctions rationnelles des
coordonnées z. Composons des fonctions rationnelles de ces
coordonnées, ayant les mêmes racines et les mêmes pôles, avec les
mêmes ordres de multiplicité. Ce seront les fonctions x, y sauf
des facteurs constants, qui se détermineront sans peine. D'après
ces considérations, nous avons
/53\j,_' {zxZi-^- Ztz^-^ z^ZxY sxZtZj
Ces fonctions, en effet, homogènes et du degré zéro, ne dépen-
dent que du seul point z. Elles ont les racines et les pôles de-
mandés, avec les degrés de multiplicité nécessaires; car, on le re-
marquera, la fonction dénominateur
{Zx-^- Zi){Zi-^Zi){z^-\- Zx)
admet chaque demi-période pour racine double. Enfin les valeurs
numériques des fonctions, pour u = o, coïncident de part et
d'autre. Les expressions (Sj) donnent, en effet, pour w == o,
- ?! - A - 1.
tandis que, pour les quantités (58), on trouve, en supposant
5, = ;;2 = -33, c'est-à-dire au point ao, les mêmes valeurs numé-
riques.
4o8 DEUXIÈUB PARTIE. — APPLICATIONS»
Au moyen des deux fonctions x et y, nous savons effectuer la
multiplication de Targument par un nombre entier quelconque.
Lieu des points dont les arguments sont des parties aliqnotes
de périodes.
D'une manière générale, appelons Zm un point dont Targument
est la m*'^'"® partie d'une période. Nous connaissons déjà le Heu
des points ^3, c'est Ao (56), et celui des points 54, c'est l'ensemble
des trois côtés du triangle de référence.
Le lieu des points z^ est formé par Tensemble de trois coni-
ques A|, A2, A3, dont on obtient les équations en égalant à zéro
les trois quantités :r (54). C'est une conséquence immédiate des
propriétés que nous avons reconnues aux lignes polygonales re-
pliées. Mais voici un autre moyen.
Soit l'argument d'un pointée* Les deux entiers/!
et n' ne doivent pas être pairs tous deux, sans quoi il s'agirait
d'un point z^. Considérons le point dont l'argument est nco -4- /l'w';
c'est un des points a/, mais non pas ao, comme on le voit par
l'observation faite sur n et n', La différence entre les arguments
de ce point a< et du point z^ est r • Si donc on mené une
conique ^1, tangente à la droite cLiZa, l'argument correspondant
U est un tiers de période. Le point ^0 ^ donc, par rapport au point
a/, la même propriété que chaque point Z3 par rapport au point a^.
Par le changement du signe des coordonnées, on échange les
quatre points a les uns dans les autres. Ce changement a pour
effet de changer la conique Aq en l'une des coniques A|, A2, Aj.
La proposition est donc prouvée.
On parvient encore au même résultat par cette observation que
l'on a, d'après les formules (55),
yo'2'^yiyi-+-y3yt = AqAj AjAj.
Si, de même, dans A|, A2, A3, on substitue, à la place des z^
les y, exprimés par les formules (55), on obtient les équations de
trois courbes, composant le lieu des points Zi2» Répétant cette
même substitution, on obtient le lieu des points Z24, ....
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELET. 4o9
D'une manière générale, on voit, par les mêmes raisonnements,
que le lieu des points -52/1+1 se compose d'une courbe : en trans-
formant cette courbe par la substitution (55), on obtient trois
nouvelles courbes, lieu des points ^4/14.2, et l'on peut obtenir les
mêmes courbes, en changeant, dans l'équation de la précédente,
les signes des coordonnées. En répétant ensuite la même substitu-
tion (55), on obtient constamment trois courbes, composant le
lieu des points Zg„^^, 5|8„+87 • • ••
Pour les points z^, le lieu se compose de trois lignes droites ;
en répétant la substitution (55), on obtient toujours aussi trois
courbes distinctes, pour le lieu des points dont l'indice est une
puissance de 2.
Revenons maintenant aux combinants rationnels par lesquels
s'expriment ^^^{^u)^ ^1^4(2 w), . ... La fonction i{^;„ (2 1^) a pour racines
toutes les /i^èmc» parties de périodes, n étant un diviseur de 2m. Si
m est impair, le lieu, obtenu en égalant à zéro le combinant cor-
respondant, comprend les lieux des points Zn et ^2/1, en tout
quatre courbes, pour chaque diviseur de n. Il se compose, au
total, de courbes distinctes dont le nombre est égal à quatre fois
celui des diviseurs de m. Soit maintenant m = 2^m', m' étant im-
pair. Outre les courbes analogues, en nombre 4S/i', relatives aux
di\îseurs de m', nous aurons encore d'autres courbes, en nombre
3a, lieux des points dont les indices sont 4^'? 8n', ..., 2''"*"*n',
pour chaque diviseur n\ y compris l'unité. En résumé, si l'on a
m =2^ m' y Fn! étant impair, l'équation ^m{2ti) = o représente
des courbes dont le nombre est 3a-f- (3a -h 4)S/i', n' étant un
diviseur quelconque de m\ l'unité non comprise. Si l'on a m = a**,
le nombre des courbes distinctes est seulement 3 a.
Par exemple, le combinant #, est le produit de quatre facteurs
quadratiques AqAi A2 A3. Le combinant ^2 est le produit de trois
facteurs du quatrième degré: c'est ^i^2y8* Les trois autres courbes
nécessaires pour former le nombre six, exigé par l'énoncé précé-
dent, sont les trois droites 5, ^2^3 = 0, conformément à l'éga-
lité (53).
4 10 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
NouTelle intégration de l'équation d'Eoler.
En définissant la difTérentielle de l'argument elliptique au
moyen de l'égalité
on peut refaire, sous une forme appropriée, les théories qui ont
été exposées dans le Chapitre précédent.
D'après les égalités (29), tout polynôme du second degré en
X peut être remplacé par une fonction linéaire et homogène des
coordonnées Z{, z^^z^ d'un point de la conique/*. Un polynôme
doublement quadratique et symétrique de deux paramètres x^y
peut donc être remplacé par une fonction doublement linéaire et
symétrique des coordonnées ^1, z^y z^ et z^y z,^^ z^ de deux points
pris sur cette conique/. Une telle fonction est la polaire F^ d'une
forme quadratique. Ainsi l'intégrale de l'équation d'Euler peut
être présentée sous la forme F|'= o, ce qui, en termes géomé-
triques, peut s'énoncer ainsi :
Une ligne polygonale étant inscrite dans une conique et cir-
conscrite à une autre conique, il existe une troisième conique
par rapport à laquelle deux sommets consécutifs quelconques
sont conjugués (* ).
C'est sous cette forme qu'il s'agit de mettre effectivement l'in-
tégrale. L'équation d'Euler exprime que la droite zz! est tangente
à une conique fixe, faisant partie du faisceau (/i^). Soit i^ — \f
le premier membre de l'équation de cette conique. La condition
de contact s'exprime par l'égalité
qui se réduit à
(*) C'est sous cette forme mùme que les polygones de Poncelet ont été consi-
dérés par M. Moutard dans le Mémoire inséré au Tome I des Applications d'Ana-
lyse et de Géométrie de Poncelet (p. 535). L'élude de ce Mémoire ne saurait
être trop recommandée. Comme on le dira dans l'historique, à la fin du Tome III,
on trouve dans ce Mémoire les formules de la multiplication de l'argument don-
nées, pour la première fois, sous leur véritable forme.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONGELBT. 4^1
puisque /(;;) ei/{z') sont nuls. On lire de là d'abord l'intégrale
(6o) X = ill^l^pilï:) = const.,
Jz
entièrement équivalente à l'intégrale (34) du Chapitre IX.
Dans rintégrale sous forme entière (Sg), il y a lieu de faire une
transformation toute semblable à celle qu'au Chapitre IX on a
faite pour passer de l'intégrale (33) à l'intégrale (39). Or, suivant
la notation (39) du Chapitre actuel, cette intégrale, étant déve-
loppée, s'écrit ainsi :
i(H)-î^Hi7r-HX«(/r)« = o.
Mais on a, suivant l'égalité (4o),
Ao(H)=2(?/)-^o(,//),
ce qui, en vertu des suppositions y"(2)= o^ f{z')=- o, se réduit à
^o(H)=4?r/r-2^,(/r)«.
Le facteur /l' supprimé, on a donc
C'est l'intégrale cherchée, sous la forme définitive (*).
Si l'on prend le cas particulier où z et z' coïncident, une ra-
cine \ devient infinie*, quant à l'autre, elle se réduit à t^; elle
coïncide avec la variable s (48), envisagée précédemment.
NouTelle expression de pu.
Soit l'argument U défini par l'égalité
(6.) \}= r — <^^'^^>'^'^ — -,
^z' ( Ci/i -h C,/, H- Cs/3 ) ^
(*) Cette forme est inédite; l'auteur eu doit la coDuaissance à une bienveil-
lante communication de M. Gcudelfingeb, professeur à Darmstadt, qui a, le pre-
mier, considéré la différentielle elliptique sous la forme (3a) et trouvé la formule
de duplication {t^Z il\t^)) y o\t Journal fiir die reine undang, Math., t. LXXXIII.
4 12 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
OÙ Ton entend que Tintégrale est prise, le long de la conique/,
depuis le point ;:' jusqu'au point Zy le premier étant envisagé
comme fîxe.
La quantité \ qui devient infinie quand z' coïncide avec z et
non autrement, est nécessairement un binôme du premier degré
en pU. Nous allons trouver ce binôme.
Si Ton envisage les intégrales a, i/ analogues à (6i), mais prises
depuis Tun des points où ^ est nul, Tune jusqu'à z, l'autre jus-
qu'à z', U est égal à w — «/'; Tune des racines X de Téquation (5g)
est ap{u — u')-+- b. L'autre racine est ap{u -+-'/') -h 6; c'est ce
qu'on voit immédiatement, comme au Chapitre IX pour Téquation
analogue, par le changement du signe de ^<^(z'). Si maintenant
on fait coïncider z' avec -3, cette dernière racine devient ap 2 1£ -+- b»
Or nous venons d'observer que, dans ce cas, X coïncide avec 5, et
nous avons déjà trouvé l'expression (47) de s par piu. Nous
pouvons donc conclure maintenant que, l'argument U étant dé-
fini par Végalité (61), on a
„ÎT 1 I. ^ /lo ^^WJûjïTf^
p u = — 7ï /Il -H — j^, y
expression entièrement analogue à celle qu'on a trouvée au Cha-
pitre IX (p. 359).
CBAPITRE XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. 4^3
CHAPITRE XI.
LES COURBES DU PREMIER GENRE; LA CUBIQUE PLANE (•).
Généralités sur le mode de représentation des courbes du premier genre. — Second
mode de représentation. — Propriétés élémentaires des courbes du troisième
degré. — Distinction des divers cas, au point de vue de la réalité. — Rapport
anharmonique des tangentes. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de
première espèce. — Expression elliptique de la première polaire. — Dérivation
par rapport à l'argument. — Expression elliptique de la seconde polaire. —
Les fonctions elliptiques exprimées par des polaires. — Autre démonstration.
— Sur l'expression des covariants par des polaires. — Les fonctions elliptiques
exprimées par des covariants. — Multiplication par 3. — La cubique rapportée
à un triangle d'inflexions. — Expression des fonctions elliptiques et des inva-
riants. — Multiplication de l'argument. — Sur les combinants. — Biquadra-
tiquc gauche. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de première espèce.
— Deux modes de coordonnées elliptiques dans l'espace.
Généralités sur le mode de représentation des courbes
du premier genre.
Soit une courbe plane du troisième degré, que Ton représente
par une équation entre des coordonnées rectilignes x^ y^ dont
Torigine est prise sur la courbe. Si, dans cette équation, on pose
y = \x^ on obtient, par disparition d'un facteur x,
(i) /3(X)57» -+- 2/,(X)a: -t-/i(X) = o.
Chacun des coefficients est un polynôme entier dont le degré
(*) A consulter : les Leçons de Clebsch, pour la théorie des cubiques planes;
pour celle de la biquadratique gauche, un Mémoire de M. Harnack : Ueber die
Darstellung der Baumcurve 4" Ordnung erster Species und ihres Secanten-
Systems durch doppelt periodische Functionen {Math, Annalen, XII, p. 48). —
Comme application des théories de ce Chapitre, nous recommandons particuliè-
rement Tclude d'un beau Mémoire dû à M. Darboux : De Remploi des fonctions
elliptiques dans la théorie du quadrilatère plan {Bulletin des Sciences mathé-
matiqueSf a* série, t. III, p. 109).
4l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
est marqué par son indice. L'expression qu'on en tire pour x con-
tient la seule irrationnalité y/F(X) :
F{X)=/Î(X)-/,(X)/,(X).
Le polynôme F, soumis au radical, est du quatrième degré. Or
on sait que \ et \JY peuvent être, à la fois, exprimés sous forme
de fonctions elliptiques d'un même argument. Il en est donc
ainsi de x et aussi de ^ = \x. Par conséquent, les coordonnées
d'un point variable sur une courbe plane du troisième degré
peuvent être exprimées par des fonctions elliptiques d^un même
argument.
Les racines de F correspondent aux tangentes menées de rori-
gine à la courbe. Si la courbe a un point double, deux racines de-
viennent égales entre elles et le polynôme soumis au radical se
réduit au second degré : les fonctions elliptiques dégénèrent.
On voit donc que ce mode de représentation des coordonnées
par des fonctions elliptiques concerne les cubiques sans point
double ou de sixième classe.
Examinons la proposition réciproque et, généralement, consi-
dérons deux fonctions ellipliqucs (entendues comme au début du
Chapitre IX) ayant, toutes deux, les mêmes pôles, en nombre n.
Soient x^ y ces deux fonctions. Elles sont liées par une équation
algébrique, qui est du degré n par rapport à chacune d'elles sépa-
rément ; mais, comme elles ont les mêmes pôles, l'équation est
aussi du degré n par rapport k x ei y considérés ensemble. Elle
représente donc une courbe de ce degré n. On peut encore dire
que Kx 4- B/ 4- C est une fonction à n pôles, qu'elle a donc n
racines et que, par suite, toute ligne droite coupe la courbe en n
points; ce qui conduit à la même conclusion.
Pour préciser les courbes dont il s'agit, nous allons considérer
aussi leur équation en coordonnées tangentielles. A cet effet,
prenons d'abord des coordonnées homogènes X|, x^^ ^3, au lieu
des coordonnées cartésiennes x^ y. Ces trois coordonnées seront
proportionnelles ou, si Ton veut, égales à trois fonctions ellip-
tiques du même argument, ayant les mêmes pôles, en nombre /i.
Mais maintenant ces pôles sont arbitraires ; on peut les supposer
réunis en un seul, multiple d'ordre n. En altérant l'argument
CHAPITRE XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. 4'^
d^une constante, on peut supposer que ce pôle réponde à e/ = o ;
diaprés quoi, Ton a simplement trois équations de cette forme
(•2) par/ = a/-i- ô/pMH- c/p'u-h . . . -h //p^'»""*^a (« = i,a, 3).
Les coordonnées tangentielles sont proportionnelles aux trois
déterminants binaires formés avec les coordonnées ponctuelles et
leurs dérivées premières, par exemple
Dans ce déterminant, le terme p(«-2)p(/i-i) disparaît. Réduisant
tous les autres termes à la forme linéaire en pu, p'Uy etc (t. I,
p. 2o3), on obtient
(4) p'U = A>t-f-BA:pa-hCAp'M-h... H- L;tp{««-«J M (A: = 1,2, 3),
expression toute semblable à celle des coordonnées ponctuelles,
sauf changement de n en 2/i.
Ainsi, en général, la courbe représentée par V équation (2),
en même temps qu^elle est de degré n, est de la classe in.
D'après la théorie générale des points multiples, on doit con-
clure que cette courbe a des points doubles en nombre \n{n — 3).
Un tel point double, en général, provient de deux valeurs dif-
férentes qui, attribuées à Targument z/, donnent, pour les coor-
données a:, deux systèmes de valeurs proportionnelles. Il faut se
garder de le confondre avec le point singulier qui se présenterait
dans le cas où deux des fonctions ^xi auraient, à la fois, une même
racine u, multiple pour toutes deux. Les circonstances qui se
présentent en un tel cas se comprendront mieux sur le second
mode de représentation que nous allons exposer pour les coor-
données.
Second mode de représentation.
La fonction (2) peut être exprimée par une fraction dont le
dénominateur est {duY et dont le numérateur, sauf un facteur
constant, est le produit de n fonctions ^(2/ — a), où la somme
des racines a est nulle. Le dénominateur étant unique pour les
trois fonctions analogues, dont le rapport seul intervient, on peut
4l6 DEUXIÈME PABTIE. — APPLICATIONS.
omettre ce dénominateur. Dès lors, on peut changer, de nouveau,
Targument u et omettre la condition relative à la somme des ra-
cines a. On aura donc
(5) par/ = 3'(a- a/) S'en -?/)... C(a-X,) (i = i, a, 3),
avec cette condition que la somme ai 4- p/ -f- • • • -H ^« ait une
seule et môme valeur pour les trois coordonnées.
Dans ce nouveau mode de représentation, on voit clairement
qu^on ne doit point supposer Texistence d'une racine commune
aux trois fonctions. Si une telle racine a existait, en effet, il y cor-
respondrait, dans les trois fonctions, le facteur commun (i(^u — a),
qui serait à supprimer du second membre, comme pouvant être
compris dans le facteur p du premier membre.
Supposons maintenant que deux des trois fonctions aient une
racine commune a et que cette racine soit multiple de Tordre u.
pour Tune des fonctions, d'un ordre égal ou supérieur pour
l'autre. II est visible qu'en ce cas cette racine appartient aussi aux
trois déterminants (3), qu'elle est multiple de l'ordre jx — i dans
l'un d'eux et d'ordre égal ou supérieur dans les deux autres. S'il
en est ainsi, les fonctions p'^A, réduites, elles aussi, à la nouvelle
forme (5), contiennent le facteur commun [cJ'(m — ot)]!^"*, qui doit
être supprimé. Ces fondions, au lieu de 2/i facteurs, en con-
tiennent seulement 'in — (|jl — i).
Plus généralement, si deux combinaisons linéaires des quan-
tités ^Xi contiennent ainsi une racine commune et multiple a, la
même conclusion s'applique encore; caries coordonnées tangen-
ticUes ç se transforment par une substitution linéaire en même
temps que les coordonnées ponctuelles x.
Une brandie singulière de la courbe correspond donc à tout
argument qui est racine multiple, à la fois, dans deux combinai-
sons linéaires des trois coordonnées ponctuelles. Soit u. l'ordre de
multiplicité de cette racine dans la combinaison où il est le
moindre ; ce nombre \k est dit l'ordre de multiplicité de la branche
singulière.
Cela posé, la classe de la courbe est in — S([x — i), la som-
mation s' appliquant à toutes les branches singulières. C'est, en
effet, ce qui résulte de notre analyse, puisque les expressions des
CHAPITRE XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. 4^7
quantités Ç^t contiennent, pour chaque branche singulière, un
facteur [^{u — a)]^~S qui doit être supprimé.
Dans la théorie des courbes algébriques, le nombre [x, ordre
d'une branche singulière, a une définition générale qui s'applique
aux branches singulières, indépendamment du mode de représen-
tation précédent, et concerne aussi les courbes qui ne sont pas
susceptibles d'être représentées de la sorte.
Nous venons de trouver que la classe de la courbe («) étant n\
on a
(6) n' — a/i-i-£(|jt — i) = o.
Ce nombre n' — a/i -hS(|jL — i), pour toute courbe algébrique
plane, est toujours pair, au moins égal à — 2; en le dénotant par
2(7? — i), on a la définition du nombre entier positif/?, qui s'ap-
pelle le genre. Les courbes du genre zéro ou unicursales ont
cette propriété que les coordonnées x/sont exprimables en fonc-
tion entière d'un paramètre. Nous voyons que les courbes (2) sont
du premier genre (/? = i). La théorie générale des courbes algé-
briques permet de démontrer que, réciproquement, toute courbe
du premier genre est susceptible de ce mode de représentation.
Nous ne pouvons entrer ici dans le détail de la démonstration. Il
suffira de rappeler son analogie avec ce que nous avons dit précé-
demment sur les courbes du troisième degré. Une courbe du pre-
mier genre étant donnée, il existe un faisceau cp 4- X»]^ = o, com-
posé de courbes qui coupent la proposée en des points dont deux
seulement sont variables, en sorte que l'on peut trouver ces points
par une équation du second degré, analogue à l'équation (i), mais
où les coefficients sont difl*éremment composés par rapport à l'in-
déterminée \. Le polynôme, soumis au radical, est cependant
encore du quatrième degré. On démontre, en effet, que, dans le
faisceau, il y a seulement quatre courbes tangentes à la proposée
en des points différents des points fixes, pivots du faisceau. Quant
aux courbes qui sont tangentes à la proposée en ces points fixes,
elles correspondent à des paramètres A qui sont racines multiples
de F()v) et d'ordre pair de multiplicité. Le polynôme F(X) est
donc le produit d'un carré par un polynôme du quatrième degré,
qui seul reste soumis au radical. Les conclusions subsistent donc
absolument les mêmes que pour les courbes du troisième degré.
n. 27
4 10 DEUXIEME PABTIB. — APPLICATIONS.
Nouvelle intégration de l'équation d'Euler.
En définissant la différentielle de Targument elliptique au
moyen de l'égalité
du = {c\^dzi,z^)
r= y
on peut refaire, sous une forme appropriée, les théories qui ont
été exposées dans le Chapitre précédent.
D'après les égalités (29), tout polynôme du second degré en
X peut être remplacé par une fonction linéaire et homogène des
coordonnées Z|, Z2jZz d'un point de la conique y. Un polynôme
doublement quadratique et symétrique de deux paramètres Xjjr
peut donc être remplacé par une fonction doublement linéaire et
symétrique des coordonnées ^1, G21 z^ et z\y z^^ z^ de deux points
pris sur cette conique/. Une telle fonction est la polaire F|' d'une
forme quadratique. Ainsi l'intégrale de l'équation d'Euler peut
être présentée sous la forme F*'= o, ce qui, en termes géomé-
triques, peut s'énoncer ainsi :
Une ligne polygonale étant inscrite dans une conique et cir-
conscrite à une autre conique, il existe une troisième conique
par rapport à laquelle deux sommets consécutifs quelconques
sont conjugués {*).
C'est sous cette forme qu'il s'agit de mettre effectivement l'in-
tégrale. L'équation d'Euler exprime que la droite zz' est tangente
à une conique fixe, faisant partie du faisceau (/»^). Soit ^ — X/
le premier membre de l'équation de cette conique. La condition
de contact s'exprime par l'égalité
('^r-Vf)«-['K^)-V(^)]['K^')-V(-')]=o,
qui se réduit à
(59) {Vz'-'^/î'y-^(-)H^')=o,
{*) C'est sous cette forme môme que les polygones de Poncelet ont été consi-
dérés par M. Moutard dans le Mémoire inséré au Tome I des Applications d'Ana-
lyse et de Géométrie de Poncelet (p. 535). L'étude de ce Mémoire ne saurait
être trop recommandée. Comme on le dira dans Thislorique, à la fîn du Tome III,
on trouve dans ce Mémoire les formules de la multiplication de l'argument don-
nées, pour la première fois, sous leur véritable forme.
CHAPITRE X. — LES POLYGONES DE PONCELBT. 4ll
puisque /(s) ei/(z') sont nuls. On lire de là d'abord l'intégrale
(e„) X = ii:±4pMï:) = const.,
entièrement équivalente à l'intégrale (34) du Chapitre IX.
Dans l'intégrale sous forme entière (Sq), il y a lieu de faire une
transformation toute semblable à celle qu'au Chapitre IX on a
faite pour passer de l'intégrale (33) à l'intégrale (Sp). Or, suivant
la notation (39) du Chapitre actuel, cette intégrale, étant déve-
loppée, s'écrit ainsi :
Mais on a, suivant l'égalité (4o),
/io(H)=^(?/)-^o(//),
ce qui, en vertu des suppositions /(^)= o,/{z')=- o, se réduit à
^o(H)=4?i7r-2/i,(/r)«.
Le facteur yi' supprimé, on a donc
C'est l'intégrale cherchée, sous la forme définitive (* ).
Si l'on prend le cas particulier où ^ et z^ coïncident, une ra-
cine X devient infinie-, quant à l'autre, elle se réduit à 7^; elle
coïncide avec la variable * (48), envisagée précédemment.
Nouvelle expression de pu.
Soit l'argument U défini par l'égalité
(6.) ^=/' (^i-^^i-^O
( Ci/i -h c,/, -+- Cj/, ) v/if
(*) Cette forme est inédite; Fauteur eu doit la connaissance à une bienyeil-
lante communication de M. Gchdelfingeb, professeur à Darmstadt, qui a, le pre-
mier, considéré la différentielle elliptique sous la forme (3a) et trouvé la formule
de duplication (43,44 )> voir /oarnaZ/arc^ie reine undang. Math,, t. LXXXIII.
4^0 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
est 2(w — //|); Tun des quatre arguments étant i/|, la somme des
trois autres est 2iv — iu^^i^\ Ces trois points sont donc en
ligne droite : les points de contact des trois tangentes menées
d\in point d'' inflexion sont en ligne droite ; cette ligne droite,
pour une raison qu'on verra plus loin, s'appelle axe harmonique
du point d'inflexion considéré. Il y a neuf axes harmoniques, un
pour chaque point d'inflexion.
Un quelconque des points, où la cubique est rencontrée par
Taxe harmonique, a pour argument j(w — u^) -+- zéro ou une demi-
période. Le sextuple de cet argument est une période. On voit
donc qu'un tel point peut être envisagé comme la réunion de six
points d'intersection de la cubique avec une conique : il y a, en
un tel point, contact exceptionnel, du cinquième ordre, entre la
courbe et une conique : les axes harmoniques rencontrent la
courbe en ses points sextactiques , tel est le nom donné par
M. Cajley, dans la théorie générale des courbes, aux points où
il y a contact exceptionnel avec une conique.
Distinction des divers cas au point de vue de la réalité.
Dans l'analyse employée au premier paragraphe, pour une
courbe réelle, le polynôme F a ses coeflicienls réels. Les fonctions
elliptiques ont donc leurs invariants n'cls et deux cas principaux
sont à distinguer, suivant le signe du discriminant.
Les coordonnées homogènes s'expriment linéairement en fonc-
tion de pu et p' u (?.). Si l'on prend pour coordonnées des com-
binaisons linéaires convenablement choisies, ces coordonnées
seront proportionnelles à i , j)^/, j)';/. En termes géométriques,
ceci revient à dire que toute courbe du troisième degré, saFis
point double y est la perspecti^^e réelle de celle qui est repré-
sentée par Véquation
où g'i^ g^ sont des constantes réelles quelconques.
Cette courbe (8) présente deux cas bien distincts.
1° A = 5^2 ~ '^1S\ > o. — Le second membre (8) a trois racines
réelles e^i e^^ e^,
€l> C2> €3,
CBAPITRB XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. 4^3
CHAPITRE XI.
LES COURBES DU PREMIER GENRE; LA CUBIQUE PLANE (•).
Généralités sur le mode de représentation des courbes du premier genre. — Second
mode de représentation. — Propriétés élémentaires des courbes du troisième
degré. — Distinction des divers cas, au point de vue de la réalité. — Rapport
anharmonique des tangentes. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de
première espèce. — Expression elliptique de la première polaire. — Dérivation
par rapport à l'argument. — Expression elliptique de la seconde polaire. —
Les fonctions elliptiques exprimées par des polaires. — Autre démonstration.
— Sur l'expression des covariants par des polaires. — Les fonctions elliptiques
exprimées par des covariants. — Multiplication par 3. — La cubique rapportée
à un triangle d'inflexions. — Expression des fonctions elliptiques et des inva-
riants. — Multiplication de l'argument. — Sur les combinants. — Biquadra-
tique gauche. — Nouvelle forme de l'intégrale elliptique de première espèce.
— Deux modes de coordonnées elliptiques dans l'espace.
Généralités sur le mode de représentation des courbes
du premier genre.
Soit une courbe plane du troisième degré, que Ton représente
par une équation entre des coordonnées rectilignes x, y^ dont
Torigine est prise sur la courbe. Si, dans cette équation, on pose
y = \x, on obtient, par disparition d'un facteur x,
(0 /3(X):r«-t-2/,(X)a:-t-/t(X) = o.
Chacun des coefficients est un polynôme entier dont le degré
(*) A consulter : les Leçons de Clebsch, pour la théorie des cubiques planes;
pour celle de la biquadratique gauche, un Mémoire de M. Harnack : Ueber die
Darstellung der Baumcurve 4" Ordnung erster Species und ihres Secanten-
Systems durch doppelt periodische Functionen {Math. Annalen, XII, p. 48). —
Comme application des théories de ce Chapitre, nous recommandons particuliè-
rement l'étude d'un beau Mémoire dû à M. Darboux : De remploi des fonctions
elliptiques dans la théorie du quadrilatère plan {Bulletin des Sciences mathé-
matiques f 2* série, t. III, p. 109).
4l4 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
est marqué par son indice. L'expression qu'on en tire pour x con-
tient la seule irrationnalité y/F(X) :
F(X)=/Î(X)-/,(X)/,(X).
Le polynôme F, soumis au radical, est du quatrième degré. Or
on sait que \ et ^JY peuvent être, à la fois, exprimés sous forme
de fonctions elliptiques d'un même argument. Il en est donc
ainsi de x et aussi de j^ = \x. Par conséquent, les coordonnées
d*un point variable sur une courbe plane du troisième degré
peuvent être exprimées par des fonctions elliptiques d^un même
argument.
Les racines de F correspondent aux tangentes menées de Pori-
gine à la courbe. Si la courbe a un point double, deux racines de-
viennent égales entre elles et le polynôme soumis au radical se
réduit au second degré : les fonctions elliptiques dégénèrent.
On voit donc que ce mode de représentation des coordonnées
par des fonctions elliptiques concerne les cubiques sans point
double ou de sixième classe.
Examinons la proposition réciproque et, généralement, consi-
dérons deux fonctions elliptiques (entendues comme au début du
Chapitre IX) ayant, toutes deux, les mêmes pôles, en nombre n.
Soient x^y ces deux fonctions. Elles sont liées par une équation
algébrique, qui est du degré n par rapport à chacune d'elles sépa-
rément ; mais, comme elles ont les mêmes pôles, l'équation est
aussi du degré n par rapport k x cl y considérés ensemble. Elle
représente donc une courbe de ce degré n. On peut encore dire
que Ax -+■ By 4- G est une fonction à n pôles, qu'elle a donc n
racines et que, par suite, toute ligne droite coupe la courbe en n
points; ce qui conduit à la même conclusion.
Pour préciser les courbes dont il s'agit, nous allons considérer
aussi leur équation en coordonnées tangentiellcs. A cet effet,
prenons d'abord des coordonnées homogènes x^^ x^-, oc^, au lieu
des coordonnées cartésiennes x^ y. Ces irois coordonnées seront
proportionnelles ou, si l'on veut, égales à trois fonctions ellip-
tiques du même argument, ayant les mêmes pôles, en nombre /i.
Mais maintenant ces pôles sont arbitraires ; on peut les supposer
réunis en un seul, multiple d'ordre n. En altérant l'argument
CHAPITRE XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. ^l5
d'une constante, on peut supposer que ce pôle réponde à w = o ;
d'après quoi, Ton a simplement trois équations de cette forme
(2) pxt= ai-hbipu-hCip'u-h . ..-^ lip^f^-^^u (1 = 1,2, 3).
Les coordonnées tangentielles sont proportionnelles aux trois
déterminants binaires formés avec les coordonnées ponctuelles et
leurs dérivées premières, par exemple
Dans ce déterminant, le terme j)("-2)j)(/i-o disparaît. Réduisant
tous les autres termes à la forme linéaire en pu, p'u^ etc (t. I,
p. 2o3), on obtient
(4) ?'U = Axr H- B^pM -t- Ga-P'm -h . . . -+- L;tP^"*-*^M (^ = I, 2, 3),
expression toute semblable à celle des coordonnées ponctuelles,
sauf changement de n en in.
Ainsi, en général, la courbe représentée par V équation (2),
en même temps qu^elle est de degré /i, est de la classe 2/1.
D'après la théorie générale des points multiples, on doit con-
clure que cette courbe a des points doubles en nombre ^n{n — 3).
Un tel point double, en général, provient de deux valeurs dif-
férentes qui, attribuées à l'argument m, donnent, pour les coor-
données j:, deux systèmes de valeurs proportionnelles. Il faut se
garder de le confondre avec le point singulier qui se présenterait
dans le cas où deux des fonctions pxi auraient, à la fois, une môme
racine e/, multiple pour toutes deux. Les circonstances qui se
présentent en un tel cas se comprendront mieux sur le second
mode de représentation que nous allons exposer pour les coor-
données.
Second mode de représentation.
La fonction (2) peut ôtre exprimée par une fraction dont le
dénominateur est ((^z/)" et dont le numérateur, sauf un facteur
constant, est le produit de n fonctions (^ ( w — a), où la somme
des racines a est nulle. Le dénominateur étant unique pour les
trois fonctions analogues, dont le rapport seul intervient, on peut
4l6 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
omet Ire ce dénominateur. Dès lors, on peut changer, de nouveau,
{^argument u et omettre la condition relative à la somme des ra-
cines a. On aura donc
(5) pir/ = a'(M— a/)a'(M— p/)... (^(w — X/) {t = i,2,3),
avec cette condition que la somme a, 4- Pi -+-••• -h ^' ait une
seule et même valeur pour les trois coordonnées.
Dans ce nouveau mode de représentation, on voit clairement
qu^on ne doit point supposer l'existence d'une racine commune
aux trois fonctions. Si une telle racine a existait, en effet, il y cor-
respondrait, dans les trois fonctions, le facteur commun ^(i/ — a),
qui serait à supprimer du second membre, comme pouvant être
compris dans le fadeur p du premier membre.
Supposons maintenant que deux des trois fonctions aient une
racine commune a et que cette racine soit multiple de Tordre |a
pour Tune des fonctions, d'un ordre égal ou supérieur pour
l'autre. Il est visible qu'en ce cas cette racine appartient aussi aux
trois déterminants (3), qu'elle est multiple de l'ordre \k — i dans
l'un d'eux et d'ordre égal ou supérieur dans les deux autres. S'il
en est ainsi, les fonctions p'^A, réduites, elles aussi, à la nouvelle
forme (5), contiennent le facteur commun \^<i{u — a)]l*~% qui doit
être supprimé. Ces fonctions, au lieu de a/i facteurs, en con-
tiennent seulement in — ([x — i).
Plus généralement, si deux combinaisons linéaires des quan-
tités ^Xi contiennent ainsi une racine commune et multiple a, la
même conclusion s'applique encore ; car les coordonnées tangen-
tielles i se transforment par une substitution linéaire en même
temps que les coordonnées ponctuelles x.
Une branche singulière de la courbe correspond donc à tout
argument qui est racine multiple, à la fois, dans deux combinai-
sons linéaires des trois coordonnées ponctuelles. Soit jx Tordre de
multiplicité de cette racine dans la combinaison où il est le
moindre ; ce nombre (x est dit Tordre de multiplicité de la branche
singulière.
Cela posé, la clause de la courbe est in — S((x — i), la som-
mation s' appliquant à toutes les branches singulières. C'est, en
effet, ce qui résulte de notre analyse, puisque les expressions des
CHAPITRE XI. — LES COURBES DU PREMIER GENRE. ^IJ
quantités ^j^ contiennent, pour chaque branche singulière, un
facteur [^(w — «)]•*"*? q^î doit être supprimé.
Dans la théorie des courbes algébriques, le nombre (x, ordre
d'une branche singulière, m une définition générale qui s'applique
aux branches singulières, indépendamment du mode de représen-
tation précédent, et concerne aussi les courbes qui ne sont pas
susceptibles d'être représentées de la sorte.
Nous venons de trouver que la classe de la courbe (a) étant n\
on a
(6) n' — 2/1 -i- £([x — i) = o.
Ce nombre n' — a/i -f-S((x — i), pour toute courbe algébrique
plane, est toujours pair, au moins égal à — 2; en le dénotant par
2(p — 1), on a la définition du nombre entier positif/?, qui s'ap-
pelle le genre. Les courbes du genre zéro ou unicursales ont
cette propriété que les coordonnées j:/ sont exprimables en fonc-
tion entière d'un paramètre. Nous voyons que les courbes (2) sont
du premier genre (/> = 1). La théorie générale des courbes algé-
briques permet de démontrer que, réciproquement, toute courbe
du premier genre est susceptible de ce mode de représentation.
Nous ne pouvons entrer ici dans le détail de la démonstration. Il
suffira de rappeler son analogie avec ce que nous avons dit précé-
demment sur les courbes du troisième degré. Une courbe du pre-
mier genre étant donnée, il existe un faisceau cp 4- X^ = o, com-
posé de courbes qui coupent la proposée en des points dont deux
seulement sont variables, en sorte que l'on peut trouver ces points
par une équation du second degré, analogue à l'équation (i), mais
où les coefficients sont diff'éremment composés par rapport à l'in-
déterminée \, Le polynôme, soumis au radical, est cependant
encore du quatrième degré. On démontre, en eflet, que, dans le
faisceau, il y a seulement quatre courbes tangentes à la proposée
en des points diff'érents des points fixes, pivots du faisceau. Quant
aux courbes qui sont tangentes à la proposée en ces points fixes,
elles correspondent à des paramètres A qui sont racines multiples
de F().) et d'ordre pair de multiplicité. Le polynôme F(X) est
donc le produit d'un carré par un polynôme du quatrième degré,
qui seul reste soumis au radical. Les conclusions subsistent donc
absolument les mêmes que pour les courbes du troisième degré.
IL 27
4l8 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
En résuméy Tégalilé (6) caractérise entièrement les courbes
susceptibles d'être représentées par les équations (2).
Propriétés élémentaires des courbes du troisième degté.
Les coordonnées d'un point variable sur une courbe du troisième
degré sont exprimables par des fonctions elliptiques d*un même
argument : ces fonctions ont trois pôles, qui leur sont communs.
Telle est la proposition simple et fondamentale d'où l'on peut dé-
duire de nombreuses conséquences.
Soit (V la somme des trois valeurs de l'argument répondant aux
trois pôles, ou somme des infinis; c'est aussi la somme des racines
pour chaque coordonnée et pour chaque combinaison linéaire de
ces trois coordonnées. Donc trois points en ligne droite sont
caractérisés par cette condition que la somme de leurs argu-
ments est constante (égale à tv), quelle que soit la droite qui les
joint.
Plus généralement, une fonction entière et de degré m des
coordonnées devient, sur la courbe, une fonction elliptique où la
somme des infinis est mw\ c'est aussi la somme des racines. Donc
les 3 m points d'intersection de la cubique avec une courbe du
degré m ont, pour leurs arguments, la somme constante niw.
Par exemple, six points sont sur une même conique si la somme
de leurs arguments est liv.
En considérant des points comptant double, on obtient des pro-
positions concernant des contacts avec la cubique : pour qu'une
conique, par exemple, soit tangente à la cubique en trois points
ayant les arguments Wo, W|, u^, il faut que 2(^/0 + "i 4- u^) soit
égal à 2tv, sauf une période. Si cette somme était égale à 2(v, les
trois points seraient en ligne droite ; donc, pour que trois points
soient les points de contact de la cubique avec une conique^ la
condition est Uq -f- W| -+- //2 — <v = une demi-période.
La tangente en un point Ux coupe, de nouveau, la courbe en un
point dont l'argument est ?/o = — lu^ -hsv. Inversement, d'un
point Uqj on peut mener des tangentes à la courbe : pour le point
de contact, l'argument u% doit satisfaire à la condition
Mo -î- 2Ml ^ w,
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 4 '9
d'où les quatre solutions //| = — - — - -+- zéro ou une demi-
période.
riQ un Hp« arp-iimpnfjQ #/. t-^
'X
Prenons un des arguments f/, = -- -h -:r-> aw étant une pé-
riode quelconque. On a, en ce cas,
Mo = — 2 Mj -f- tV = ^ CV ^ W = U\ 'X Ôi ^ Ml.
Le nouveau point, où la tangente coupe la courbe, est le point
de contact lui-même ; c'est le caractère des points d'inflexion.
Il y a neuf arguments distincts, de la forme ^w; il y a donc
neuf po in ts d^ inflexion .
On peut caractériser ces neuf points par leurs arguments,
comme il suit :
m, m' = o, 1,2.
Les points d'inflexion sont, trois par trois, en ligne droite, et il
y a quatre triangles dont chaque côté contient trois d'entre eux :
ce sont les triangles d* inflexions ; leurs côtés sont les droites
d^ inflexion. Voici une règle mnémonique assez curieuse pour
retenir la composition de ces triangles. On considère l'ensemble
(/w, m!) comme composant le double indice d'un terme dans un
déterminant
(7)
Un premier triangle d'inflexion a pour côtés les trois droites
figurées par les lignes horizontales; un second, par les colonnes
verticales; un troisième, par les trois termes qui auraient le signe
plus dans le déterminant; un quatrième, par les trois termes qui
auraient le signe moins.
D'un point d'inflexion on peut mener seulement trois tangentes;
effectivement l'argument ^(fv — W| ) -f- û, qui est celui du point de
contact d'une des quatre tangentes menées du point u^^ coïncide
avec U\ = 3ÇV -h |c5. En général, les points de contact des quatre
tangentes menées d'un point Uq ont des arguments dont la somme
est a(w — Wo), sauf une période. Dans le cas présent, cette somme
00
01
02
10
1 1
12
20
21
22
DEUXIÈME PARTIE.
APPLICATIONS.
est 2{w — ^/,); Tiin des quatre arguments étant i/|, la somme des
trois autres est 2w — 3W| ^ (V. Ces trois points sont donc en
ligne droite : les points de contact des trois tangentes menées
dhin point d"* inflexion sont en ligne droite ; cette ligne droite,
pour une raison qu'on verra plus loin, s'appelle axe harmonique
du point d'inflexion considéré. Il y a neuf axes harmoniques, un
pour chaque point d'inflexion.
Un quelconque des points, où la cubique est rencontrée par
l'axe harmonique, a pour argument ^(çv — Wi ) H- zéro ou une demi-
période. Le sextuple de cet argument est une période. On voit
donc qu'un tel point peut être envisagé comme la réunion de six
points d'intersection de la cubique avec une conique : il y a, en
un tel point, contact exceptionnel, du cinquième ordre, entre la
courbe et une conique : les axes harmoniques rencontrent la
courbe en ses points sextactiques , tel est le nom donné par
M. Cajley, dans la théorie générale des courbes, aux points où
il y a contact exceptionnel avec une conique.
/
Distinction des divers cas au point de vue de la réalité.
Dans l'analyse employée au premier paragraphe, pour une
courbe réelle, le polynôme F a ses coefiicients réels. Les fonctions
elliptiques ont donc leurs invariants réels et deux cas principaux
sont à distinguer, suivant le signe du discriminant.
Les coordonnées homogènes s'expriment linéairement en fonc-
tion de pu et p' u ('i). Si l'on prend pour coordonnées des com-
binaisons linéaires convenablement choisies, ces coordonnées
seront proportionnelles à \ ^pu^ p' u. En termes géométriques,
ceci revient à dire que toute courbe du troisième degré, sans
point double, est la perspective réelle de celle qui est repré-
sentée par Véquation
(8)
î — J /r3
y^= 4^^ — ^2.r — ^3
OÙ g2, gi sont des constantes réelles quelconques.
Cette courbe (8) présente deux cas bien distincts.
1° A = ^j ~ 2ygl > o. — Le second membre (8) a trois racines
réelles Ci, ^2, ea,
€1 >ei>€i.
CHAPITRE XI. — LA CTBIQUE PLANE. ^21
La courbe comprend un ovale symétrique par rapport à l'axe des
Xy ayant pour points extrêmes, sur cet axe, ceux dont les abscisses
sont 62 et e^; et, en outre, une seconde partie, également symé-
trique par rapport à Taxe des x ; les abscisses s'y étendent depuis ^,
jusqu'à l'infini positif. Cette partie de la courbe est parabolique,
mais la tangente, aux points de plus en plus éloignés, tend à
devenir parallèle à l'axe des ^^
Les points de la courbe étant représentés par les égalités
(9) x = pu, y = p'u,
on voit que, sur l'ovale, u — w' est réel (aux périodes près), tandis
que, sur la branche infinie, l'argument u est lui-même réel.
Dans ces égalités (9), l'argument constant w est pris égal à zéro .
Les points de contact des tangentes, menées d'un point dont l'argu-
ment est //, ont pour arguments — ^w, à une demi-période près.
De ces derniers arguments, deux sont réels et deux réels à co' près,
si u est réel; tous, au contraire, sont imaginaires et aucun d'eux
n'a pour partie imaginaire w', si u — co' est réel. Donc d* un point
de l'ovale on ne peut mener aucune tangente réelle; d'un
point de la branche infinie on peut mener quatre tangentes
réelles y dont deux touchent V ovale et deux autres touchent la
branche infinie.
L'argument zéro donne un point d'inflexion réel, à l'infini,
dans la direction de l'axe des y. Il y a, en outre, sur la branche
infinie, deux points d'inflexion réels (symétriques par rapport à
Taxe des^). Leurs arguments sont -^ et ^« Tous les autres sont
imaginaires. Il y a un triangle d'inflexion réel ; chacun de ses côtés
contient un des points d'inflexion réels: ce sont, avec la droite
de l'infini, deux droites se coupant sur l'axe des x. En les trois
points dont les abscisses sont ei, e^^ e^j les tangentes sont paral-
lèles à l'axe des^. L'axe des j? est donc l'axe harmonique du point
d'inflexion à l'infini. Toute parallèle à ces tangentes rencontre la
courbe en deux points symétriques ; c'est la raison du nom d^axe
harmonique : appliquant, en eff'et, cette propriété aux autres
points d'inflexion, ce qui se peut, puisque, évidemment, on peut
échanger entre eux ces trois points par une perspective réelle, on
conclura ainsi : L'axe harmonique de chacun des trois points
422 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
d^ inflexion réels coupe la courbe en trois points réels ; toute
droite passant par un point d^ inflexion rencontre la courbe
en deux points, par rapport auxquels le conjugué harmonique
du point d^inflexion a, pour lieu, Vaxe harmonique.
1^ ^=z g\ — 27^3 <; o. — Le second membre (8) a une seulera-
cine réelle e^, La courbe comprend seulement une branche infinie,
symétrique par rapport à Taxe des x et coupant cet axe au point
d'abscisse e^. Les arguments des points de cette branche sont
réels, à des périodes près. Des quatre tangentes menées d^ un
point réel, deux sont toujours réelles et deux seulement.
Comme dans le cas précédent, il y a trois points dUnflexion
réels (dont l'un à rinfini) ; Taxe des x est Taxe harmonique cor-
respondant à ce dernier. On reconnaît l'existence de la même
propriété que dans le cas précédent, pour justifier le nom à^axe
harmonique. Mais Vaxe harmonique d'un point d' inflexion
réel coupe la courbe en un seul point réel.
On peut faire, en ce cas A <^ o, une distinction nouvelle, fondée
sur la considération des signes de g2 et ^3 (t. I, p. 112). Si g^ est
négatif ou bien si ^2 et g^ sont, tous deux, positifs, ^^ n'a ni maxi-
mum ni minimum. Si, au contraire, on a ^2 !>o> ^3 <I O1 y ^ un
maximum et un minimum. Celle circonstance se traduit par Texis-
tence de deux tangentes réelles parallèles à l'axe des x. Etendant
cette propriété aux autres points d'inllexion, on conclut que, e/a/i5
le cas g2'> o^ gz <.0y on peut mener deux tangentes réelles
par le point de rencontre d\ine tangente d'inflexion réelle
et de Vaxe harmonique correspondant ; dans les autres cas
(A étant toujours négatif), ces tangentes sont imaginaires. Elles
sont, au contraire, réelles dans le cas A>- o.
Rapport anharmonique des tangentes.
Quelle est l'expression géométrique de l'invariant absolu des
fonctions elliptiques? A cette question on peut aisément répondre
par la considération des racines du polynôme F()v); mais nous
suivrons un autre procédé.
Pour faciliter les notations, nous emploierons, dans ce qui suit,
une même lettre à désigner un point, ses coordonnées homogènes
CHAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLANE. ^23
ponctuelles et son argument. Ainsi le point j: a, pour coordonnées,
Xi, X29 ^3, et, pour argument, x. Sans faire aucun choix particu-
lier de coordonnées, nous avons
(10)
pxi= Ui-h bipx -^Cip'x (1 = 1,2, 3).
La seule hypothèse qui particularise ces équations a trait au
choix de l'argument u. La somme des racines est supposée être
une période, ce qui revient à placer l'origine de l'argument u en
un point d'inflexion. C'est uniquement pour simplifier l'écriture
que nous faisons celle supposition; on la fera disparaître à vo-
lonté en mettant u — a, au lieu de u. On aura alors iv = 3a.
Pour ahrégcr, désignons par une lettre G le double du détermi-
nant des coefficients des trois égalités (lo), divisé par p',
C= -^(aibtCi).
Pour trois points x^y, z, la notation (xyz) désignera, suivant
un usage assez répandu, le déterminant
Oi)
{xyz) =
Nous aurons
(xfz) = C
Xi
Xi
^3
7i
yt
y^
'^i
^t.
Zz
I
px
p X
I
?y
v'y
I
pz
p'z
Ce dernier déterminant nous est connu (t. I, p. 219); nous en
concluons
(12) {xyz)=zC
(f{x — y)'^{y — -5) <3'('S — ^) (^{x-^-y -h z)
{^x ^y ^zf
En considérant deux autres points j^, z\ nous obtenons, de la
sorte, l'expression du rapport anharmonique du faisceau de droites
dont X est le sommet :
{xyz){xyz')
{xy'z)(xyz')
^ <^(y — z):f(y'—z')^(x-\-y-^z)<^(X'^y-^z')
<^(y'- -5 ) a'(7 — z')<^{x-^y'-^z) (f{x h- y 4- z')
^ [p(i^-^-g) — p(i^-^-7)][p(¥^-^-s')— p(lar-4-y)]^
[p(ix'hz)-p({x'^y')][p(\x-i-z')'--p(\x-\-y)] '
4^4 DEUXIÈME PARTIE. — ÀPPLIGATIOlfS.
Prenons, pour i', 5, y ^ z\ les quatre points de contact des tan-
gentes menées de x ; alors les quatre arguments ^x +y^ • • • sont
égaux, Tun à zéro, les autres aux demi-périodes; on a donc
^xyz)^xyz') - ^«- e, ^^' ?' ^ - "' ^' ^>'
c'est-à-dire que le rapport anharmonique des quatre tangentes
menées dhin point quelconque de la courbe est constant; il
constitue V invariant absolu des fonctions elliptiques correspon-
dant à la courbe.
Quand g^ est nul, une des racines, par exemple ey, est nulle;
les deux autres sont égales et de signes opposés. Les quatre tan-
gentes forment alors un faisceau harmonique. On dit alors que la
cubique est harmonique ; cette locution s'étend parfois aux fonc-
tions elliptiques correspondantes.
Quand gt est nul, le faisceau est celui qu'on appelle équian-
harmonique, caractérisé par ce fait que les six déterminations du
rapport anharmonique s'y réduisent à deux seulement, savoir les
deux racines cubiques imaginaires de — i . La cubique est alors
dite éq uianharmo nique ; on le dit aussi des fonctions elliptiques
correspondantes.
Nouvelle forme de Tintégrale elliptique de première espèce.
Soit/=: G l'équation de la cubique en coordonnées ponctuelles
iT,, X2'i Xz* ^^^^ /i^/'2j/z on désigne les trois dérivées partielles,
au facteur -^ près,
f ^ L ^L r - L AL f - l AL
Le point x étant supposé sur la courbe, on a
^l-^i/ï -^ dxtfi -h C/X3/3 = o
et, par conséquent,
^î d^% — ^3 flx^ Xi dxi — Xi dxi .r I dx^ — x^ dx\
/i du ~~ f%du /j du
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. ^2^
Il y a place ici pour un raisonnement tout semblable à celui
qu'on a employé au Chapitre X (p. ^qi). Les trois quantités
I / cLrj dxA
sont des fonctions entières de pw et p'u^ ayant le pôle w = o sex-
tuple. Les polynômes /i, du second degré en x, étant divisés par
p^, deviennent des fonctions analogues, quand on y substitue aux
X leurs expressions (lo). Ces dernières fonctions sont d'ailleurs
sans racine commune. Les fonctions numérateurs leur sont donc
proportionnelles. Soit k le facteur constant de proportionnalité.
On en conclut
(i3) k du = -J^'^-p)-—^ .
Voici donc une nouvelle forme de la différentielle elliptique de
première espèce. La différentielle, au second membre, est prise le
long de la cubique /= o ; elle dépend seulement des rapports des
coordonnées variables; elle est indépendante des arbitraires C|,
C2, C3, constantes ou variables, qui figurent là pour la symétrie.
Dans cette formé, il faut noter qu^il n'apparaît explicitement
aucune irrationnalité. L^équation d'Ëuler se partage alors en deux
équations vraiment distinctes. Soit (^ l'argument qui répond à un
second point /, comme // répond à x. On a d'abord l'équation
du -{- dv =, o ^ dont on obtient l'intégrale en écrivant que les
points j: et^ sont en ligne droite avec un point fixe pris sur la
cubique. En second lieu , Péquation du — ûfp = o, toute diffé-
rente, sera intégrée si Ton écrit, par exemple, que les droites,
joignante etj^ à deux points fixes, concourent sur la courbe.
Expression elliptique de la première polaire.
Pour faciliter l'écriture, nous emploierons une notation abrégée
qui représentera les polaires. On écrira [cj:^] pour la polaire qui
figure dans la différentielle (i3)
(i4) [cx^] = Ci/i{x) -h C,/,(J?) -T- Ciji(x).
Cette notation rappelle les degrés de la polaire, soit par rapport
A26
DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
aux lettres c, soit par rapport aux lettres x. Nous aurons aussi a
employer la notation analogue avec trois lettres
[ c^j] = :^ (.
y'-a^.-^y^w.-^y'
.i)[-^]'
qui représente une polaire de la précédente fonction.
On doit observer que [cav>'] est symétrique par rapport aux
coordonnées des trois points c, x^^y. Ces polaires se réduisent au
polynôme / quand les points coïncident entre eux. Elles se rédui-
sent à zéro si les points réunis sont sur la cubique.
Nous allons d'abord chercher l'expression elliptique des po-
laires [cx^], en supposant, comme il sera dorénavant entendu,
que tous les points considérés sont sur la cubique.
Prenons le déterminant (^xyz)y considéré précédemment (la),
et supposons le point z^ sur la courbe, infiniment voisin du point x*
L'arbitraire p étant censée fixée, on devra remplacer Zi par
Xi'\- dxi. Le déterminant devient donc — (yxdx). Au signe près
et sauf changement de la notation, y au lieu de c, c'est le numé-
rateur (i3). Suivant une convention déjà faite et que nous renou-
velons, employons la leUre x, au lieu de w, pour l'argument du
point X ] employons aussi la notation [j 'J^^] pour la polaire et
concluons que le déterminant (xyz), quand on suppose z infini-
ment voisin de x sur la courbe, devient — k[yx']dx. Le second
membre (12) devient
Nous avons donc celte expression de la polaire
(i5)
Il ne faut pas oublier que l'origine des arguments est en un
point d'inflexion, circonstance qu'on écarte, avons-nous dit, en
ajoutant une constante arbitraire à chaque argument; mais il n^y
a aucun inconvénient à sous-entendre cette modification.
II serait facile de trouver autrement cette expression de la po-
laire, en observant que, si l'on y considère les ;' comme coordon-
nées courantes, la polaire, égalée à zéro, fournit l'équation de la
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 4^7
langente au point j;. On comprendra ainsi la signification du fac-
teur ^{ix -hj).
Prenons deux pareiBc^ polaires et, nous servant encore de
Tégalité (i5), concluons la suivante :
(i6) {3ryzY [i{z — x)(^{X'\-y-^z)\^
\ = p(x' — z) ^ p{x -\- y -\- z).
Dérivation par rapport à Targument.
Soient <p et ^ deux fonctions, homogènes et du même degré,
des coordonnées Xi. Leur rapport, considéré le long de la cubique,
est une fonction du seul argument x (et non de p); on veut en
obtenir la dérivée par rapport à cet argument. On y parvient par
une analyse toute semblable à celle qui a été employée au Cha-
pitre X (p. 397). Soient, n étant le degré commun de cp et ^,
j
• •
' * ~ /i dxi ' ^* n àxi
on a
- (4^ </^ — cp d^) = (^i93 — 4'3©î)(:ri dxs — xz dx^) -+-
En prenant, dans l'égalité (i3), C| = ^afa — ^3 'fa» • • • et met-
tant Xj pour l'argument, au lieu de u, on conclut
formule qui donne la dérivée par rapport à V argument x.
Nous allons avoir besoin d'une telle dérivée pour le cas où ^
sera égal à {xyz)'K En ce cas, on a
'i^i = {xyzY-^{ytZz — y^Zi),
Le numérateur (17) devient alors, sauf le facteur {xyzY~\
4aB DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
OU bien
*= (ri?i-i-rj?i^-xi?3)^-i/i-+--ï/i-^-jA)
On a, de cette manière,
(i8) -j- - — î — =nA-
II ne faut pas perdre de vue que, dans Çi,/i, •••, ce sont
les coordonnées x qui figurent. Les facteurs (3</i+...) et
(>•,/<-!-...) sont les polaires [zx^^^ et [^J^*]; les deux autres
sont des polaires analogues, relatives à la fonction ^.
Expression elliptique de la seconde polaire.
Appliquons au premier membre (16) la formule de dériva-
tion (18) et dérivons aussi le second membre par rapport à x;
nous obtenons
(19) p'{jr^z)-p\x-^y-i-z) = 'ik^^-- \^^^^, Jl ^ J .
Pour parvenir à Tcxpression de la seconde polaire [j^^Ks], pre-
nons Téquation semblable où les lettres x^ y^ z sont permutées
circulairement et retranchons membre à membre. Il vient ainsi
Vi-r-z)- j)'( j -- .r) = ik^ !-- ^-^- ^^-U-J—L-^^-^LL L .
Pareille opération étant failc sur Tégalité (i<>), on a aussi
n(jr — w)— i)(v — .r) = ~ A*' Li—l-J L^ — i±^ .■• .
Divisant membre à membre ces deux égalités, nous obtenons
(20) ^ifZi] _ _ 1 j)^(3- — ^) — j)7r-^)
(X75) '2 p{^ — ^) — p{y — ^)
ou bien, d'après la formule d'addition (t. I, p. i38),
\xy^)
CHAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLANE. 4^9
C'est là un résultat sur lequel nous allons revenir un peu plus
loin.
Les fonctions elliptiques exprimées par des polaires.
Suivant le théorème d'addition (t. I, p. 3o), la somme des
fonctions p pour les trois arguments x — Zj y — x, z — y est
égale au carré de la quantité (^o). L'égalité (16) et ses semblables
donnent donc
(22)
(23)
[ 3(2:/^)*
La différentiation dans la formule (22), par rapport à l'un quel-
conque des arguments, donne lieu à des réductions remarquables
et Ton obtient
L'égalité (19) donne ensuite celle-ci
(25) /
J ^[-^'][^y']ly^']-^[^^'][y^'][^y^]-'^\^^][y^']ly^']
[ {xyzY
Dans les formules (23, aS), il faut remarquer que les seconds
membres contiennent les coordonnées du point jk, bien que les
premiers membres soient indépendants de ce point. On peut
fonder sur cette observation, faite a priori^ une démonstration
de ces formules, comme l'a fait M. Georg Pick, qui les a trou-
vées (*).
(') Zur Théorie der elUptischen Functionen, von Georg Pick, in Prag {Math.
Ann., l. XXVIII, p. 309; 1887).
43o DEUXIÈME PARTIE. ~ APPLICATIONS.
Autre démonstration.
Voici une autre manière de parvenir à ces mêmes résultats.
Envisageons, dans la polaire [j'^^], les coordonnées x comme
variables et les coordonnées >' comme étant celles d'un point fixe
sur la courbe : on reconnaît tout de suite que la fonction [^^'X*]* a,
pour racines doubles, les arguments des points de contact des tan-
gentes menées de r et pour racine quadruple Targument de y,
C^est aussi ce qui a lieu pour le polj^nôme du quatrième degré
en Xy qui forme le premier membre de l'équation des quatre tan-
gentes. 11 y a donc identité entre ce premier membre et [>'^*]*»
quand x est sur la courbe. Mais, pour avoir un résultat plus corn-
plet, considérons la fonction
(-if,) \yT^\^-\\ocy^\Rx)^'^{^)
et prenons ses polaires
^, F, (:r) - . . . = \xyz\\yx^\ - \\zy^\f{x) - \xy^\\zx^\.
Les polaires suivantes s'en déduisent par la permutation de x
et z dans la première polaire et dans la fonction.
Si Ton suppose x coïncidant avec y^ on obtient
On voit que ces trois polaires sont identiquement nulles (quel
que soit le point z\ si le point j^ est sur la courbe. Il suffit d'en-
visager la dernière pour conclure que Téqualion F(j?) = o, en ce
cas, représente quatre droites, passant au point j^.
Soient
a = a^Xx -r- ûfjXj-T- 03^-3 =0, b = ^larj ■+- b^Xi-^- b^x^ = o
les équations de deux droites arbitraires, passant en j/*; on a de la
sorte
F(x) = Aoa^-i- 4A,rt'6 -f- 6A,a«^»«-h 4 Ajo^'-i- k^b^=^'{a, b).
CBAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLANE. 43 1
On peut supposer
d'où résulte cette expression du déterminant
(^1 a?j dx^ ) = adô — b da,
La différentielle (i3), où Ton met ^ au lieu de c, devient ainsi
( Vi Xi dxy ) adb — h da
k du =
[yx^] y/^{a,b)
Si Ton y prend le rapport a \ b pour variable, elle est mise
explicitement sous la forme habituelle des différentielles ellip-
tiques de première espèce et telle qu'on l'aurait trouvée par l'ana-
lyse du premier paragraphe. Nous allons maintenant appliquer le
résultat démontré au Chapitre IX (p. SSg) et consistant dans les
deux formules
J, }J^\x) ^* lix-zy
Ici X doit être remplacé par a \ b. Pour mettre les coordonnées en
évidence, écrivons Gx et bx au lieu de a et b. Nous mettrons aussi
az et bz quand les coordonnées d'un point z remplaceront celles
du point X. Ainsi, la différence x — 5 du dénominateur de p\] est
Le dénominateur bxbz disparaîtra, et il est clair qu'on peut opé-
rer directement sur les variables homogènes a, 6, sans se préoccu-
per de ce dénominateur. On voit immédiatement que les polaires
de la forme binaire W{a^b) coïncident avec celles de la forme
ternaire F(j?). La polaire du second ordre W]. n'est autre que
5^FH(jr)4-. . ., calculée plus haut. En conséquence, mettant le
double signe devant le radical et remplaçant W{x)^ ^*(^) P^"^
[^j:2 j2^ [^3-]^, suivant l'égalité (26), on conclut
432 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Pour des raisons immédiatement visibles, cette formule, suivant
qu'on prend le signe plus ou le signe moinSy donne l'une ou l'autre
des deux formules (22, a3).
La transformation, que nous venons d'employer et qui fait passer
si aisément de la différentielle (i3) à la forme usuelle, est due à
M. Aronhold. Cet éminent géomètre s'en est servi, quand ce sujet
de recherches était encore tout nouveau, pour exprimer p(x — z)
par une formule beaucoup plus remarquable que la formule (23)
et qu'on trouvera un peu plus loin (3i).
Sur rexpression des covariants par des polaires.
A regard du seul argument x^ le second membre de l'ëga-
lité (21) contient la plus générale fonction elliptique à deux
pôles. Toute fonction elliptique de x peut être exprimée par une
somme de telles fonctions, multipliées par des facteurs constants.
C'est une conséquence immédiate de la décomposition en éléments
simples. Il en est ainsi, du moins, quand on envisage une fonction
dont les pôles sont simples. Pour ne pas écarter les fonctions à
pôles multiples, il faut joindre à l'élément simple (21) les élé-
ments p{x — 5), p'{x — z), . . . , dont les formules (23, 25) et les
analogues fourniraient les expressions.
Toute fonction rationnelle des coordonnées du point jr, envi-
sagée le long de la cubique, devient une fonction elliptique de
l'argument x. On peut donc exprimer celte fonction par des élé-
ments tels que le premier membre (21) et les seconds mem-
bres (23, 25), etc. La même fonction étant envisagée ensuite pour
un point quelconque, non plus situe sur la cubique, on voit que
la différence entre cette fonction et l'expression qu'on vient d'en
trouver est divisible par le premier membre de Téquation de la
cubique. Le quotient est susceptible d'être transformé de la même
manière. De là se conclut cette proposition : Toute fonction ra-
tionnelle des coordonnées Xy multipliées par des déterminants
{xyz), {xy z')^ . . ., peut être exprimée sous forme entière par
de tels déterminants et des polaires, prises par rapport (i une
cubique.
Nous allons donner des exemples qui vont être utilisés un peu
plus loin.
CHAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLANE. 4^3
Considérons le hessien de f{jc)^ dont l'expression, en détermi-
nant, est la suivante :
H(:r) =
/il f\t fn
/il fti /is
/iz fiz fzi
fiJ— Â
I àif
6 àxiàxj
Multiplions ce déterminant par {xyz). Dans le déterminant
produit, voici les éléments de la première ligne :
^i/ii -^ ^i/iî ^3 -T-/u
y\fn-^ytfn-r-yzf\i= -
2 ^Xi
^\f\\ -^ z% fii-^^zf\z = -
I 'b\zx^]
1 ^X\
Les éléments de la deuxième et de la troisième ligne diffèrent de
ceux-ci par le changement de x^ en x^ ou x^* Le produit
{xyz) H(j?) est ainsi un déterminant dont chaque ligne se com-
pose des dérivées des trois fonctions |/, ^[^^^], ï[^^^]> prises
par rapport k x^^ ou x^^ ou x^.
Multiplions encore par {xyz). Le nouveau déterminant pro-
duit se compose des polaires de ces trois mêmes fonctions, prises
avec les coordonnées x, y ou z. Il vient ainsi
{xyz )^\{{x) =
/
[zx*]
[xyz]
[zx*] [xyz] [xz*]
Le développement du déterminant fournit l'un des exemples
que nous avions en vue :
(a-)
(xyz)^li(x) = 2[jar*][2J7*][ar)^z] — [^a7*]*[j7^']
- [zx^Y[xy^]-h [ixy^][xz^]/- {^y^Yf^
Prenons la polaire -z^ ^ h ... ; son expression, par le second
membre, contient le polynôme /avec les variables x et aussi avec
les variables z. Ce dernier provient de la polaire de [j:^^].
En supposant les points x et z sur la cubique, nous néglige-
rons les termes correspondants, que cette hypothèse fait évanouir.
IL ^ 28
DBUXIÈSIB PARTIE. — APPLICATIONS.
On obtient ainsi
V^oici un autre exemple où le calcul est analogue. Soit
( '^\) )
l{T,y,z) =
/m /h /i3 /i(/)
/m /lî /îJ /s(j)
/iJ /î3 /33 /îCj)
/l(-) /j(-) /3(-) O
OÙ, bien entendu, /h . . . contiennent les coordonnées j?, comme
précédemment. Nous multiplierons, deux fois de suite, ce déter-
minant par [xyz). en écrivant
{xyz) =
Xi Xi x^ o
yi }'t ri o '
J3\ -5* "^H o
0 0 0 1
Le premier produit est liguré par le déterminant
;/,(r) [>'j-«], [jj-«],
;/»(•'') [vxMi [-x«i,
'/j(-^) [vx«), [^r«J,
i k-'J [>--M /^-'
o
le second produit est ensuite
/(r) [.)-x»] [ix*] [rc'J ;
[v-r'l [.rr'J [x,-3l [yi^] \
[zr^\ [ryz] [x=«] f{z) \
I [^>''l /(/) [=7'J o I
En développant et supprimant les termes qui contiennent
/(•^))/0' ),/"(-), c'est-à-dire supposant les trois points sur la
cubique, on obtient
( '50 )
[{ryz)'-{j(T.y,3)
---[ryzY{xy^\[xzi] -[xyz\^[yx^\\zy^][rz'-\-^[xy*][y3*\[5x*])
-[rymxz^\({zx*\{zy^\ r-[yx^][yz^]^{xy^\[xz*])
'\yx*\[zx^\[y=*]{=y^\.
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 435
Les fonctions elliptiques exprimées par des covariants.
Considérons la formule (23). La présence des coordonnées^-,
qui figurent un point arbitraire doit être envisagée comme un
défaut de celte formule, défaut inévitable si Ton veut que le nu-
mérateur soit exprimé par des polaires. Pour faire disparaître ce
point^, le moyen le plus naturel consiste à le supposer Infini-
ment voisin de x (ou de 5), ce qui, d'après Tégalité (i3), amènera
au dénominateur la polaire [22:^] au carré.
Il est aisé de voir que [32:^] est infiniment petit du second
ordre quand les points x el z sont à une distance infiniment pe-
tite du premier ordre, et Ton doit, par là, pressentir que le déno-
minateur se réduira à la première puissance de [s^r^]. Ce calcul
se trouve ici évité par l'emploi de Tégallté (28), qui nous donne
immédiatement (*)
ex \ _L r^f-r— -\ - ^i Hi(:g) -f- g» lUix) -\- gaHsÇar)
Le second membre est dissymétrique par rapport k x et z. Le
fait qu'il représente néanmoins une fonction symétrique des deux
points constitue une identité importante dans la théorie des formes
cubiques, ï identité de Salmon,
En dérivant par rapport à -G, suivant la règle (1 7), on déduit de
la formule (3i) celle-ci :
R désignant le déterminant suivant :
Il — ifxz.f^^x, W^x).
(*) CeUc transformation de la formule (33) apparaîtra directement comme évi-
dente aux personnes qui connaissent le calcul symbolique. On est, en effet, certain
que le numérateur (33), multiplié par la polaire [wX^], doit contenir le facteur
i^xyz)*» L'apparition de ce facteur ne peut avoir lieu que par celle de facteurs tels
que (a^6c,) dans récriture symbolique. Mais il n'y a que trois figures, c'est-
à-dire que le produit est du troisième degré par rapport aux coefficients de la
cubique. C'est donc le carré de ce déterminant qui doit apparaître. Il se trouvera
donc le facteur (a6c)>; eu égard aux degrés en x et z^ on conclut que le numé-
rateur est nécessairement {abcyaiàz'
436 DEUXIÈME PARTIE. ~ APPLICATIONS.
De Tégalîté (3i) on peut déduire une expression assez simple
pour p(x 4-.y -+- ^), comme il suit.
Considérons z comme le troisième point d'intersection de la
cubique avec une droite qui rencontre, en outre,, cette courbe aux
points 1', t. Nous avons alors
-/ = '>yi-^\»-ti (i= 1,2,3),
et le rapport X : jx se détermine par l'équation /( 5 ) ^= o. Cette der-
nière, à cause des hypothèses /(j') =f(^i) = o, se réduit à
en sorte qu'on a, pour les coordonnées de 5,
La substitution de ces expressions dans la formule (3i) fournil
l'égalité cherchée; car, suivant l'hypothèse, l'argument z est égal
à — O'+O- Nous avons donc (en remettant la lettre z au lieu
de t)
(32) ^^p(^+^ + .)_ [yz'^][yT^\-[zy^\[zxt\
Cette manière d'ajouter des arguments entre eux s'applique à
un nombre quelconque d'arguments; clic doit être particulière-
ment remarquée.
En supposant z^=x^ on réduit [^^-] à /{x), qui est nul, et
Ton a
(33) ._,,^,^-,-^.;= L^-L^ [-^j. ^
La formule (Sa) présente le défaut de n'être point, au second
membre, explicitement symétrique. On peut en trouver, à sa
place, une autre, qui soit exempte de ce défaut, et dont le degré
soit le moindre possible. Nous l'indiquons brièvement ; car elle
semble de pure curiosité.
Soit V la seconde polaire de 11,
^'=s(^'ii7;^---j(/'è-*----)"^:
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 437
c'est une fonction symétrique des trois points, dont on obtient,
par l'égalité (27), l'expression suivante, les trois points étant sur
la cubique,
Au mojen de celte relation, des égalités (28), (3o) et de leurs
analogues, obtenues par permutation des lettres, on exprime aisé-
ment le numérateur (22) par les nouvelles combinaisons et Ton
trouve
La somme se compose de trois termes seulement, qu'on obtient
par la permutation circulaire des lettres Xy y^ z.
Multiplication par 3.
En prenant, dans les formules précédentes, les expressions des
fonctions elliptiques pour les trois arguments
a7-h^-T--s, X — y, X — z
)
nous pourrons trouver les fonctions elliptiques de la somme, qui
est 3x. Les formules sont toutes rationnelles; les expressions
de p'ix et p'Zx seront donc rationnelles aussi. Elles contien-
dront, il est vrai, les coordonnées de deux points arbitraires^, >5,
mais ces dernières devront disparaître d'elles-mêmes. Il est donc
certain que les fonctions elliptiques de l'argument Zx devront
s'exprimer rationnellement parles seules coordonnées du point x.
C'est là un fait dont on se rend compte aussi par l'observation
suivante : l'argument x est défini comme ayant son origine en un
point d'inflexion ; de là, dans les fonctions de cet argument lui-
même, une irrationnalilé qui correspond au choix de l'un des
neuf points d'inflexion. Mais ceux-ci répondent aux tiers de pé-
riode : leurs arguments triplés sont des périodes, et les fonctions
elliptiques de l'argument ix sont indépendantes du choix qu'on
a pu faire pour le point d'inflexion, pris comme origine.
Le calcul de p'^x offrirait, par le procédé qu'on vient d'indi-
438 DEIXIÈSIE PARTIE. — APPLICATIONS.
quer, des difficullcs sérieuses quand on voudrait faire disparaître
les points V et z. Cependant il n^est pas impraticable si, prenant
la formule (33), on forme 3^ par Paddition de aœ -^y et x — y.
On verra bientôt comment a été trouvée Texpression de p3x.
Nous allons d'abord en donner une démonstration a posteriori.
Considérons le déterminant suivant, où les variables (non
écrites explicitement) sont les coordonnées du points,
f\l fit /t3 Hj
/l3 ^21 fzZ Hj
H, Ui H3 o
C'est lui qui va être le numérateur dans l'expression de pix.
Multiplions ce déterminant, deux fois de suite, par {xyz)^ en
effectuant ce calcul comme nous l'avons montré précédemment
pour Tanalogue l]{2g). Nous obtenons
(34)
?=^
A
[j^'l
[zx^]
H
[r^']
l^j'J
I ^r- 1
^'iHi . ...
[zx^]
[^V5]
[xz^]
Zi H| -f- . • .
II
jiH, -*-...
JZ^ Il i —H . . .
0
(35) {Tj'z)^^ =
Supposons que z soit le point où la cubique rencontre, de
nouveau, la tangente au point x] on a ainsi, quant aux argu-
ments, 2X'^z = O. La formule (10), où Ton mettrait 5, au Heu
dej^', fait voir que [zx^] est alors nul, comme on le sait aussi par
la théorie des polaires. Mais, en même temps, la formule (3i)
montre que la polaire ^^11^4-... est nulle aussi. Le second
membre de cette formule s'oflre sous la forme -» et c'est sa valeur
o
que nous cherchons précisément, puisque l'hypothèse z -{- 20: = o
amène, au premier membre, pix.
En supposant donc nulles les deux polaires [^J^^] et Zt Hi + ...,
développons le déterminant (35), qui devient très simple, yx étant
nulle aussi :
I « Ir^^]
{xyzY^ = \
i II JiHi-f-..
(36) {xyz)^^^\\\[xyzy\\^'i[yx^][xz^]{y^\i-i-, . :)-[xy^][xz^]\\\.
o II
I^J-J J^'iIIi-^-
[xz^] o
o o
CHAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLANE. 4^9
Changeant, dans l'égalité (28), 5 en ^ et supposant [5;r^] nul,
on a
Semblablement, l'égalité (27) se réduit à
On en conclut
[xyz]^- [xjr^]lxz^]-^^[jrx^][xz^] y^^^'^".
Le dernier membre, comme on voit par l'égalité (aS), est juste-
ment la valeur limite de
quand on suppose [zx^^ nul. C'est aussi, suivant l'égalité (36), la
valeur de {xyzf ^' Voici donc la conclusion :
(37) }i^^^^\\i'
formule qui donne pix par le quotient de la fonction ^ et du
<îarré du hessien.
Soit désigné maintenant par i^ le déterminant
(38) 4. = 2(/,.H,.P3).
D'après la règle de dérivation (17), on déduit de la formule (87)
celle-ci :
Les invariants des fonctions elliptiques étant g2 et ^3, soient
;^^j=C,, z^/r3=C3.
Ces constantes C2 et C3 sont deux invariants de la cubique et
les égalités précédentes fournissent la relation
(4o) ^'=4?^— C,^H*-C3ns
440 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
qui a lieu sur la cubique, c'est-à-dire quand les coordonnées de x
vérifient réqualîony(j:') = o. Cette relation entre des covariants
est analogue à celles dont il a été parlé dans les précédents Cha-
pitres (IX, 5o et X, 38). Par la définition (38) de ^ et cette rela-
tion, comme on l'a montré déjà pour les analogues, on conclut
que la difTérentielle elliptique (i3) acquiert la forme normale
quand on prend pour variable !*-• C'est ainsi, par la découverte
directe de la relation ( 4o), déduite de la théorie des formes cubi-
ques, que la formule (3^) s'est offerte à M. Brioschi.
La cubique rapportée à un triangle d'i
Si Ton prend pour triangle de référence un triangle d'inflexions,
chaque coordonnée, d'après le second mode de représentation (5),
est le produit de trois fonctions c^, ayant pour racines des tiers
de périodes. Multipliant ces fonctions d par des exponentielles
convenables, on les pourra changer en des fonctions 2t^ (t. I,
p. 'ioi). C'est la forme que nous allons employer. Mais, comme
les produits dont il s'agit s'offriront encore, avec d'autres par-
lies aliquotcs de périodes, dans des théories importantes^ nous
allons, des à présent, les considérer avec ce degré de générali-
sation.
Soit p un nombre entier et positif. Considérons le produit
\ P P I \ P P J \ P P ;
On doit se souvenir que les périodes sont i et t.
Par cette définition, on a
V p /
et aussi (t. I, p. r>.54)
\ P P I
ç,i(r)
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 44 1
ce que nous écrirons sous cette forme
(42)
a étant un facteur indépendant de n,
Quand on ajoute à i^ la période i, les fonctions fn{^) se repro-
duisent sans changement. Si Ton ajoute la période t, on voit, par
l'égalité (42), qu'elles se reproduisent multipliées par le facteur
î/irr
-{l-^-i^*'^-^•p-l) , ,,.^
aPe P = aPe- </»-*>"",
qui est indépendant de n. Les diverses fonctions ^fn(^) sont donc
proportionnelles à des fonctions doublement périodiques. Elles
ont, par conséquent, le caractère propre à la représentation (5)
des coordonnées.
Les fonctions ffn sont en nombre égal à p seulement ; si, en
effet, on change n en n-^p, c'est comme si l'on ajoutait à t; la
période i sans changer n. Par là, chaque fonction 3| se reproduit
changée de signe (t. I, p, 2 54); ?//+;» estégal àdzç,,. On obtiendra
les diverses fonctions cp;, en prenant p nombres entiers consé-
cutifs pour n.
Au cas ^ = 3, les trois fonctions <fn ont ensemble pour racines
tous les tiers de périodes, au nombre de neuf. Elles représentent
un triangle d'inflexions.
Suivant que l'on construit d| avec une des quatre périodes
0)' o) (0 -^ eu' eu' — w
•c = — , , > » -
O) b> b> O)
les trois fonctions cp« représentent ensemble un quelconque des
quatre triangles d'inflexions, comme on le reconnaîtra immédiate-
ment par la comparaison de leurs racines avec le tableau (7).
Voici maintenant une proposition qui se rapporte seulement
au cas où p est un nombre impair. On peut, en ce cas, supposer
pour n des valeurs, deux à deux égales et de signes contraires,
dont l'une est zéro. La plus petite est alors — ^(p — 1). On peut
[\l\1 DEUXIÈME PAETIE. — APPLICATIONS.
supposer aussi a = — [^{P — 0* ^' ^^^ alors visible que ^«(o) et
o_n{o) sont composés, sauf le signe, des mêmes facteurs écrits en
ordre inverse, en sorte qu'on a, puisque/) est impair,
Mais, par les relations (4i, 4^), on voit que la somme 23Jj(i'*)
se reproduit, sauf un facteur exponentiel, si Ton ajoute à v des
^i mes parties de période. Cette somme est donc nulle aussi quand
on suppose pour v une quelconque des /?*''™" parties de période;
elle a les mêmes racines que le produit des p fonctions cp/,. Comme,
d'ailleurs, cette somme et ce produit sont, tous deux, homogènes
et du même degré /?, leur quotient est constant, comme étant dou-
blement périodique et n'ayant ni racines ni pôles. Ainsi, quand p
est impair, les fondions 'f//(i') satisfont à V équation
oii A est une constante. En particulier, si /? = 3 et que Ton
mette :r|, x^^ x^ au lieu des fonctions <p, on voit que l'équation
d'une cubique, rapportée à un triangle d^ inflexions, prend la
forme
(43 ) f ~ ^] ^ ^l '^' -^3 "■ OaxiTiXi — o.
(^ette équation ne change point si Ton remplace x^^ Xi, x^ par
.ri, 0^2, 6^^3, 6 étant une racine cubique de l'unité, ou si Ton
permute les indices. Ces changements constituent un groupe com
prenant i8 substitutions. Nous connaissons déjà un sous-groupe,
comprenant 9 substitutions seulement. On l'obtient en joignant
à la première substitution la permutation circulaire des indices;
d'après les relations (4i, /\2), les substitutions de ce sous-groupe
peuvent s'obtenir en ajoutant à l'argument un tiers quelconque
de période : par là, tous les points d'inflexion se permutent les
uns dans les autres. Pour obtenir le groupe complet, il suffit d'ad-
joindre à ces substitutions le changement de r en — r ; de là pro-
viennent 9 substitutions dont chacune conserve un point d'in-
llexion en permutant les autres.
Les points d'inflexion sont sur les cotés du triangle de réfé-
CHAPITRE XI. — LÀ CUBIQUE PLAKB. 443
rence. L'équation (4^) nous donne immédiatement, pour Tun
d'eux, les coordonnées
( 4 î ) Xi = o, ar, = — Xi.
C'est à celui-là que nous allons attribuer l'argument zéro.
Avec la forme (43) de/, la hessienne H a la forme également
réduite
H = — a*(arj -+- J7j -T-arJ)-f- (2a» -t-i)ar,ar,a*|.
Expression des fonctions elliptiques et des invariants.
•
D'après le premier mode de représentation (2), les coordon-
nées Xi sont proportionnelles à trois fonctions linéaires de pu
et j)'w, d'où l'on pourra tirer inversement pu et p' u sous forme
de fractions, du premier degré en J^i, 0:2, ^3.
Nous allons trouver ces expressions par la formule (3i), où
nous supposerons, pour le point z, le point d'inflexion (44)* Nous
prenons donc Zi =0, ^2 = — z^ et, pour faciliter le calcul, nous
intervertissons x et z, employant ainsi la formule
J_ _ XiUi( z) -h xt\U( z) -h XjHzi z)
A-«'^"~ Xifi(z)-r-Xtft(z)-\-Xi/i(z)
Avec l'hypothèse faite sur z, nous avons ainsi
I i 3a^(Xf -¥- Xi) — (2a^ -+-i)xi . i (8rt'-J-i)a:i
7— p M = — — = — CL^ — •
A:* 3 Xf-r-x^ — laxi ^Xi-r-x^ — 2.ax\
Par la règle de dérivation (17), on obtient immédiatement
... 1,1 f8a»-t- i)C:r., — Xf)
k^ 3 Xt-JfX^ — laxx
et, en dérivant encore,
I - 2(8a»-t- i) I (3-1 H- ««iTj -^ a^a:,)* -f-a(i — a»)(jrj -+- Xs)« I
7— p M = — .
Le numérateur peut s'écrire ainsi
2 j [3a*(a:j -{- Xz) -i- {la^ -r- \)xY -r- a{\ — a')(ar, -f-ar, — 2aa:i)* ',,
444 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
en sorte que Ton conclut
U6) C,= ±^,= ji(6p«a-p''a) = |a(a»-i).
Pour trouver le second invariant, on peut prendre un autre point
d^inflexion
j7, =o, a?i:T3 = — 6 (6» = i);
on a, de cette manière, pu = — à^k'^^p' u = ^{8a^-{-i)k^^ — 3,
(
47) C> = ïi^3 = ;fi(4p'«-^«P" — P''") =— ~(8a«^2oa«— ij
L'invariant absolu et irrationnel a se trouve déterminé en fonc-
tion de rinvariant rationnel par Téquation
c| ~ (8a«-+-2oa»--i)* '
qui est du quatrième degré par rapport à a'. Chacune des quatre
racines se rapporte à un des quatre triangles d^inflexion.
On peut encore trouver les expressions (46, 47 ) ^^s invariants
par la considération suivante : supposant j*3 = ^^2 = i ? on
obtient Xt par Tcquation de la cubique qui donne
(48) x^ -^6ax -r- •! = o.
Mettant^' au lieu de jjpw et observant que, d'après (45), p'i/
est nul, on conclut que cette équation doit se transformer en
4r* - ^ly — Gj = o
par la substitution
_ ( la^ -r- i)x -\- 6a*
^ ~ 6{ax — I )
Ce procédé fournit immédiatement l'expression du discrimi-
nant. Le discriminant de l'équation (48) est — 3^. 2*(8flr^ -r- i); le
déterminant de la substitution est — 6(8rt^--i), et l'on en
conclut
CHAPITRE XI. — LA CUBIQUE PLANE. 44^
Multiplication de rargument.
Soit y le point d'argument zéro (yt = o, j'a = i, j'a := — i) ;
on a
[yx^] = x^ -^ laxix^ — x\ — lax^x^ = {xt — Xi)(x^ h- x^ — lax^).
L'égalité (33), comparée avec (3i), donne donc celle-ci :
(p2M — PW) = —
k^ '^ *^ [^Xt — a:,)*(a7j H- arj — laxi)
Comme, d'ailleurs (t. I, p. 96),
p'«M
il en résulte
p2u — pu = — :—-■ >
j_ _ (8a3-Hi)»H
ou encore, à cause de/= o.
I , (Sa^ -\-i)^XiXiX*
Dans la multiplication de l'argument par 2, on peut procéder
autrement. Considérons les deux équations
qui, résolues par rapport aux^, donnent
yi ^ rt ^ r»
xi(x\—xl) xti,xl—xl) Xi{x]—xiy
yi^t^i XiXfXi
La dernière égalité montre que le point j^ est sur la cubique, en
même temps que x. Les deux premières équations font voir que
ce point jK est sur la tangente de la cubique en x^ cette tangente
ayant pour équation
44^ DEUXIÈME PÀRTIF. — ÀPPIJCATIOIVS.
Ainsi j^ est le point où la cubique rencontre la tangente menée au
point X, L'argument de x étant w, celui de y est — 2 w. D'après
Tégalité (45) , le changement de /« en — u correspond à l'échange
des indices 1 et 3, comme on Ta déjà observé plus haut. En
conséquence, la multiplication de V argument par, is^ opère au
moyen des formules
(49) — ^' •^' ^'
\ Xi{x\ — X\) XiKXl^X\) xt{x\ — x\)
c'est-à-dire que, l'argument de x étant w, celui de^ est iu.
On pourra donc obtenir p'iu^ p'^w en mettant, dans les
expressions de pu et p'w, au lieu des x^ les dénominateurs (49)-
Faisons le calcul pour J3'2w; au lieu de X2-\- x^ — aao^i, on a
= (a*3 — Xi)[x^Xi{Xi -Harj) -+- a:} -+- iaxx{x\-^x^x^ h- j-f)].
Remplaçant x\ par son expression tirée de /=o, on obtient
cette nouvelle forme
(^2— x^ )3( j-j H- j-3 — aaa?! »,
d'après laquelle on conclut
I , (8a* -4- i)(rj:ri! -I- Xs-rî — Xix} — rjj??)
,- j) 2 w — — ■ :^- — .
k^ à{x^— x^y{xi-^ x^ — laxi)
Suivant une relation générale [t. I, p. io5, éq. (aS)], on a
'^^u — — j)' x u(p'u )'♦ .
Nous avons donc
I "l^u _ (Sa^ -»- dK J'î.rJ -f- X:iX] — x^x] — J^^arJ^
A*^ p'u 3M .Ts -+- Xi — ÀUXi )'*
Il est aisé de former maintenant les deux fonctions qui servent
de fondement à la multiplication par un nombre quelconque
(dénotées par x et y au t. I, p. 10:^),
V _ 'V'" Y- '^^"
A — -7 -- > 1 — TZ — •
p * M J) • U
CHAPITRE XI. — LA Cl BIQUE PLANE. 4^7
Voici leurs expressions :
_ 9(8a3 -i-i)(j'iar,j'5)5
(5o; .' Y-
_ ■r^\i
(Xj — JT,)
Tandis que Y ne contient pas explicitement la constante ^r, X la
contient, au contraire; mais on peut la faire disparaître en la rem-
plaçant par
a = —
^XiXfX^
d'après l'équation de la cubique. Celte transformation est très
digne d'intérêt, comme on va voir. Elle donne d'abord
3xiXiX3(ia -+- 1) = ~(xi-¥'Xi-^ x^)(xi -h 9Xî-h 6*X3)(xi -+-0*Xî -h 6x3),
0 étant une racine cubique imaginaire de l'unité. On en conclut
lyiXiXtX^yiSa^ -r I) = — n(a:i -h sxj -h s'xs),
le produit II s'appliquant aux neuf facteurs qu'on obtient en pre-
nant, de toutes les manières,
^3=1, £'3 = 1.
D'autre part, la transformation du dénominateur de X s'opère
ainsi :
3arsTs(Xî -4- r j — 2a Xi) = x\-h(Xi -^ .rj)» = U(xi -^ zx^ -+- sxj).
Il en résulte
(5i) X — — — -XiXtU{xi-hzXi^ z'Xi),
avec cette condition que s et s' doivent être toujours différentes
entre elles dans un même facteur, en sorte qu'il y a seulement six
facteurs.
Lia signification géométrique de cette formule est fort simple :
dans chaque triangle d'inflexions, il y a un côté qui passe par le
point d'inflexion choisi pour origine de l'argument. Il reste donc
huit droites d'inflexions qui ne contiennent pas ce point. On ob-
tient leurs équations en égalant à zéro les huit facteurs du numé-
448 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
rateur de X ; deux de ces facteurs sont Xj et x^\ les autres sont
soumis au signe II.
Sur les combinants.
La transformation qu'on vient d'opérer sur X peut être faite
aussi sur les expressions de p w et de p'«, qui ne contiendront plus
a, mais seulement les coordonnées du point x. De cette manière,
tous les points du plan se trouvent représentés par des fonctions
elliptiques. C'est une représentation analogue à celle qui a été
envisagée au Chapitre précédent (p. 4o4)- En un point quel-
conque X passe une cubique appartenant au faisceau (43), où a
est arbitraire. On prend constamment le point (o, i, — i) pour
origine de l'argument sur chaque cubique. Le point x a, dès lors,
sur cette courbe un argument bien déterminé, relativement à des
fonctions elliptiques dont les invariants dépendent de ce point x
lui-même.
Les fonctions fondamentales pour la multiplication de Targu-
ment sont figurées par les égalités (5o) et (5i). Parleur mojeo, on
obtiendra la solution des problèmes où cette multiplication inter-
vient. Que l'on demande, par exemple, le lieu du point dont l'ar-
gument est la m*^'""' partie d'une période. Ce sera, pour m = 2, la
droite X3 = iC,, d'après l'expression de p'u\ pour m = 3, le nu-
mérateur de X devra être égalé à zéro ; ce seront donc huit droites
d'inflexions ; pour m = 4, on égalera à zéro le numérateur de Y;
pour m =^ 5, le numérateur de Y — X (l. I, p. io3); pour m = 6,
celui de Y — X — Y-, etc. C'est surtout quand m est un mul-
tiple de 3 que ce lieu géométrique offre de l'intérêt. Soit m = 3n.
Le point x jouit alors de cette propriété que Ton y peut mener
une courbe, du degré n, et dont tous les points d'intersection avec
la cubique sont réunis au seul point x. Par une analyse semblable
à celle qui a été employée dans le Chapitre X, on reconnaît que le
lieu est alors décomposable, comme on vient de le voir pour le
cas m=: 3. Il se décompose en huit ou neuf courbes, suivant que
n est divisible ou non divisible par 3. Nous renvoyons le lecteur,
pour ces détails, au Mémoire original qui les contient (*).
(*) Becherches sur les courbes planes du troisième degréy par G.-II. Halphen
{Mat/icmatische Annalerif t. \V, p. SSq).
CHAPITRE XI. — BIQUÀDRATIQUB GAUCHE. 4^9
En se plaçant à ce nouveau point de vue et pour s'afTrancliir de
la considération des coordonnées particulières qu'on vient d'em-
ployer, il faudrait mettre les expressions (Sj, Sg) de p3u et
p'iu sous une autre forme et y remplacer les numérateurs <p et '^
par des combinants. On nomme ainsi, dans le sujet actuel, des
covariants qui restent inaltérés quand on remplace /* par une com-
binaison linéaire de / et H. On voit, en effet, par les expressions
réduites de/" etH, que toute cubique du faisceau s'obtient par une
telle combinaison. Or il arrive, en premier lieu, que <]/ est effecti-
vement un combinant; quant à (p, on change cette fonction en un
combinant parla simple addition d'un covariant, multiplié par/.
La relation (4o), qui a lieu en vertu de l'équation /= o, se change
ainsi en une identité, fondamentale dans la théorie des cubiques.
C'est ce que le lecteur pourra trouver dans les Leçons de Glebsch.
Biquadratique gauche.
Les considérations générales, qui se trouvent au début de ce
Chapitre, s'étendent tout naturellement aux courbes de l'espace. Il
ne faut envisager qu'une coordonnée de plus. Les quatre coor-
données homogènes x^y x^i x^, x^ d'un point étant donc prises
proportionnelles à quatre fonctions elliptiques, dont les pôles com«
muns soient en nombre n, on défînit une courbe du degré n. Les
déterminants binaires, formés avec les coordonnées et leurs déri-
vées, ont 2 n pôles ; les déterminants ternaires, formés avec les
mêmes éléments et les dérivées secondes, ont 3/i pôles. Les courbes
dont il s'agit, quand elles n'ont pas de points singuliers (et, en
général, elles n'ont pas même de points doubles), sont ainsi carac-
térisées par ces propriétés : la développable, dont une telle cpurbe
est l'arête de rebroussement, est du degré 2/1 et de la classe 3/i.
La moindre valeur que l'on puisse prendre pour /i, c'est n = 4.
sans quoi la courbe serait plane. Par le premier mode de repré-
sentation (a), on voit, en effet, que, si n était inférieur à 4j les
quatre coordonnées, s'exprimant linéairement par pu qI p'u, se-
raient liées par une relation homogène du premier degré. Ce cas,
n = 4) est le seul dont nous parlerons et fort sommairement, bien
qu'il puisse donner lieu à des développements très variés et très
intéressants.
IL 29
45o DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
Pour la courbe dont nous nous occupons (71 = 4)7 1^^ quatre
coordonnées sont proportionnelles à quatre fonctions linéaires de
pUj p' u^ p^ ^' £q prenant donc des coordonnées convenables, on
aura
(52)
Par les relations
Xx Ti Ti J"4
pu pu pu
on conclut
(33) xix^ = ùxl^ i^SriarjXfc, xl = ^x^ix^ — fftx^) — g'^xl;
par conséquent, la courbe est l'intersection de deux surfaces
du second degré; c'est ce qu'on appelle une biquadratique*
C'est une biquadratique quelconque, malgré la forme particulière
des équations (53), dont la première représente un cône. On sait
bien, en effet, que par une biquadratique quelconque passent
quatre cônes du second degré.
Dans les équations (5a), les fonctions elliptiques, auxquelles les
coordonnées sont proportionnelles, ont un seul pôle, mais qua-
druple, M == o. Comme on l'a vu précédemment, cette particularité
correspond simplement au choix qu'on a fait pour l'origine de
l'argument. On va, dans un instant, voir quel est ce choix. On
trouve immédiatement les propriétés élémentaires suivantes :
quatre points dans un même plan sont caractérisés, sur la bi-
quadratique, par ce fait que la somme de leurs arguments est
une période. Deux points, dont la somme des arguments est
zéro ou une demi-période, sont dans un même plan bitangent
à la courbe, c* est-à-dirc que la corde qui les joint est la géné-
ratrice d'un cône du second degré passant par la courbe. A un
point correspondent, de la sorte, quatre points, qui sont les extré-
mités de cordes analogues ; ce fait correspond à l'existence des
quatre cônes du second degré. Le plan osculateur, en un point
d'argument w, rencontre de nouveau la courbe en un point dont
l'argument est — 3 a .Les seize points, dont les arguments sont
zéro, une demi-période ou un quart de période, sont ceux oii
le plan osculateur a un contact du troisième ordre avec la
CHAPITRE XI. — BIQUADRATIQUE GAUCHB. l\5l
courbe ; le plan est surosculateur ou stationnaire. C'est en pre-
nant un de ces points pour origine de l'argument variable qu'on
réduit à zéro la somme des racines relatives à une coordonnée
quelconque.
L'étude des points où le plan osculateur est stationnaire est
analogue à celle des points d'inflexion des cubiques planes : tout
plan qui contient trois de ces points en contient un quatrième.
Il existe des tétraèdres dont chaque face est constituée par un de
ces plans. Si l'on prend un de ces tétraèdres pour figurer les coor-
données, le second mode de représentation a les propriétés qu'on
a signalées précédemment pour les triangles d'inflexions des cu-
biques.
Considérons une corde fixe G, dont les extrémités aient a pour
somme de leurs arguments. Pour toute corde D, qui rencontre G,
la somme analogue est égale à — a, puisque les quatre extrémités
sont dans un même plan. Les cordes D sont les génératrices d'une
surface du second degré contenant la courbe, et l'on voit que, sur
une même surface du second degré passant par la courbe^ chaque
génératrice rectiligne, parmi celles d*un même système^ ren-
contre la courbe en deux points dont la somme des arguments
est constante. Pour les deux systèmes de génératrices rectili-
gnes, les deux sommes sont égales et de signes opposés. Les sur-
faces du second degré sont ainsi caractérisées par l'argument =i= a.
On a déjà vu que, pour les cônes, cet argument est zéro ou une
demi-période.
On peut envisager, sur une de ces surfaces du second degré,
une ligne polygonale formée successivement de génératrices rec-
tilignes de l'un et l'autre système et inscrite dans la courbe. L'ar-
gument d'un sommet étant u^ on a successivement, pour les autres
sommets, les arguments
a — M, — 2a-hw, 3a — m, — \a->ru, 5a — m, — 6 a -i- m, ....
Une telle ligne ne se fermera jamais si a est quelconque. Au
contraire, elle se ferme toujours, quel que soit m, si a est choisi
convenablement. Ainsi, ces lignes polygonales se ferment toujours
sur des surfaces du second degré particulières ; les quadrilatères
se ferment sur l'une quelconque des six surfaces correspondant
aux quarts de périodes ; les hexagones, sur l'une quelconque des
452 DEC\lkai PAITIF. — APPUCATI05S.
seize surtaces correspondant aux sixièmes de périodes. En géné-
ral, les polygones de 2/1 cotés se ferment sur a(/i^ — 1) surfaces
différentes, quand n est un nombre premier, comme Tindique le
degré de la fonction -^—1 polynôme entier en pa (t. I, p. 99).
Considérons le second mode de représentation (5) et supposons
que Tun des sommets X| = Xs:= Xj :e= o du tétraèdre de référence
soit pris sur la courbe même, en un point d*argument 2. Les trois
fonctions X|, x^, x^ ont alors le facteur commun ^(a — a). Si
Ton fait abstraction de X4, on voit que les trois coordonnées X|,
jTs, X3 sont proportionneUes à trois fonctions elliptiques ayant
seulement trois infinis, d'ailleurs communs. Pour la cubique plane,
perspective de la courbe quand le point de vue est pris sur cette
courbe, nous trouvons ainsi la représentation elliptique ordi-
naire. La proposition relative au rapport anharmonique des tan-
gentes (p. 4^4) conduit à cette nouvelle proposition : le rapport
anharmonique des quatre plans tangents menés à la courbe
par une corde (les plans, menés par la corde et les tangentes en
ses extrémités, n'y comptent point) e^/co/i^^^/i^; cest r invariant
absolu des fonctions elliptiques correspondant à la courbe.
Nouvelle forme de l'int^rale elliptique de première espèce.
Soient y"= o et ^ = o les équations de deux surfaces du second
degré passant par la biquadralique. Pour un point quelconque de
la courbe, on a
Il est convenable ici de prendre, pour les polaires, la notation
suivante, afin de ne pas confondre les polaires relatives aux deux
surfaces :
\ I àf ôf \ i / do ào \
en sorte qucf{xx) représente le polynôme /lui-même.
Soient encore j, ^, ^ des points quelconques de Tespace et
a, b deux plans quelconques
a = ajXt -t- aiXi -r- 0^X3 — a-^x^ = a^,
i/ =i ÙiXi-r- O^Xf -h 6jXj -r- ^v^fc = ^jc»
CHAPITRE XI. — BIQUÀDRATIQUE GAUCHE. l\oi
Si Ton multiplie entre eux les deux déterminants
en tenant compte des égalités (54)) on trouve, pour le produit,
= {adb — bda) [Axy)ts^{xz) - f{xz)o{xy)\\
f{^y) f{xz) o o
o{xy) o{xz) o o
ay az a da
by bz b db \
d^où l'on conclut
(55) ^^ {_y^^.x,d^O ^ adb-bda ^ ^^^^
A^r)'?{^^)—/(xz)o{xy) (fix.o^x.ai.b,,)
Cette égalité montre que les deux difTérentielles sont indépen-
dantes, la première, des points arbitraires y^ Z'^Isl seconde, des
plans arbitraires a, 6. En raisonnant comme on Ta déjà fait plus
haut (p. 4^5), on reconnaît que ce sont bien là deux formes de la
différentielle kdu^ u étant l'argument du point x sur la courbe.
Cette forme nouvelle de la différentielle elliptique comprend, à
la fois, celle qui s'est présentée pour la cubique plane et celle qu'on
a rencontrée au Chapitre X pour la figure composée de deux
coniques.
A l'égard de la cubique plane, considérons la fonction
(56) ^{x) = /{xy) ^{xx) — o{xy )/(xx)y
dont en obtient ainsi la première polaire
i —<^{yz)/(xx) — 'î^{xy)/{xz).
Supposant x en coïncidence avec j^, on en déduit
3^1 Fi(>^) -+-... = o(yz )/{yy)—/(yz ) 9{yy),
ce qui est zéro, quel que soit z^ si^ est sur la courbe. En ce cas,
l'équation F = o représente donc un cône du troisième degré,
cône perspectif de la courbe, le point de vue étant en y. La
fonction F est alors composée avec trois coordonnées homogènes
454 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
seulement, X|, X2, X3 par exemple,
( 58 ) X, = xiyi — x^yi , X, = x^y^ — x^jr^, X, = x^y^ — op^jr^.
Pour une telle foDCtlou, on a, en prenant les dérivées par-
ticllcSy
^^ d\i " dxi' -^^ d\^ " âxt' ^^ dX, *" dar, '
/à à à \
à à \ d
âx^
Si Ton prend maintenant un autre point z et que Ton pose sem-
biablement
il en résultera
(60) Zi ,x, -^ ^* dx, -^- ^» dX,
d d d à
dxi dxf dxi dx4
Si l'on a soin de prendre, au lieu de F(x), son produit par^J,
on a eflectivement ainsi une fonction homogène de X4, X2, X3, à
coefficients indépendants dey. Elle donne lieu à la différentielle
(61) k'du = - — ; ^~-^ — ,
ce qui, d'après les égalités (07, 58, 09, 60), peut s'écrire, ç(xj:)
et/{xx) étant nuls,
•>. , (zx.yt.Xi.dx^)
- fc au — -7. 7 ; — •
3 J{xjr)o{xz) —/{xz ) cp(ay^ )
C'est l'expression (55) déjà trouvée pour la différentielle de
l'argument sur la biquadratique ; il faut avoir soin d'observer que,
dans les formules (55, 61), on doit prendre 2k' = ik. Les for-
mules établies plus haut pour les cubiques s'appliqueront ainsi à
la biquadratique. Nous venons de voir que la polaire [ZX^] se
remplace par
[ZX']= l\/(xy)^(xz)-^/{xz)^(xy)y.
CHAPITRE XI. — BIQUAT)1tATIQUE GAUCHE. 4^5
la seconde polaire se calcule aisément par Tégalité (5^), et l'on
trouve
Mais la substitution de ces expressions dans la formule (a3), par
exemple, offre trop de complications pour qu^on doive s'y arrêter.
La manière la plus générale de réduire la différentielle (55) à la
forme qu'on a trouvée dans le Chapitre X consiste à supposer
que la surface /= o soit un des cônes du second degré passant
par la biquadratique et que le point z soit le sommet de ce cône.
La polaire /{xz) est alors réduite à zéro. On sait que la quantité
4> = o{xz)^ — ^{xx) ^{zz)
est le premier membre de l'équation d'un cône ayant son sommet
au point z. En remplaçant, dans la première expression (55)^ cp (xz)
par y/<>, et observant que / correspond aussi à un cône ayant z
pour sommet, on n'aura seulement que des coordonnées ternaires,
qu'on pourra introduire exj)licitement, comme on vient de le faire
dans le cas précédent. On obtiendra ainsi la transformation de-
mandée.
Deux modes de coordonnées elliptiques dans l'espace.
La biquadratique a pour perspective, d'un point de vue arbi-
traire, une courbe du quatrième degré, à deux points doubles.
Ainsi en un point quelconque de l'espace se croisent deux cordes
de la courbe. Les quatre arguments des extrémités de ces cordes,
arguments dont la somme est constante, constituent un système de
coordonnées propres à représenter le point de croisement. Ce sys-
tème de coordonnées, dont on pourrait, sans doute, tirer des con-
séquences importantes, n'a point été encore étudié.
Un plan quelconque coupe la courbe en quatre points, que l'on
peut, de trois manières différentes, partager en deux couples.
Si l'on a pris l'origine des arguments en un point où le plan
osculateur est stationnaire, la somme des arguments dans un
couple est égale et de signe contraire à la somme analogue dans le
couple conjugué. En faisant abstraction du signe, on a donc trois
456 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIONS.
pareilles sommes, qui peuvent élre envisagées comme étant des
coordonnées du plan. Changeant, par la dualité, les points en
plans et réciproquement, on est ainsi conduit à un système de
coordonnées elliptiques : chaque point de l'espace est déterminé
par trois arguments, dont le signe est indifférent ; la figure à
laquelle se rapportent ces coordonnées, c'est le système des sur-
faces du second degré inscrites dans une même déveioppable,
transformée de la biquadratique. Ce sont là justement les coor-
données connues sous le nom de coordonnées elliptiques^ et dont
il va être question dans le Chapitre suivant.
CHAPITRE XII. — ÉQUATION DE LAMÉ. 4^7
CHAPITRE XII.
ÉQUATION DE LAMÉ («)•
Coordonnées elliptiques. — Équation des potentiels en coordonnées elliptiques.
— Formules diverses. — Les arguments elliptiques, considérés comme des tem-
pératures. — Problème de Lamé. — Fonctions de première sorte. — Fonctions
de deuxième sorte. — Fonctions de troisième sorte. — Existence des fonctions
de Lamé. — Transformation de l'équation de Lamé. — Solutions, sous forme
algébrique. — Solutions, sous forme elliptique. — Intégrales définies. — Solu-
tion] du problème de Lamé. — Remarque sur les cas où, le nombre 2/1 est im-
pair. — Sur la seconde solution de l'équation de Lamé. — Intégrale de Liou-
ville. — Attraction d'un ellipsoïde. — Potentiel d'une surface ellipsoïdale. —
Développement de -• — Nouvelle manière d'envisager l'équation de Lamé. —
Intégrale sous forme de produit. — Produit des deux intégrales. — Solution.
— Discussion. — Calcul de l'élément simple. — Cas exceptionnels de l'élément
simple. — Digression sur l'équation de Riccati. — Forme générale de la soIu>
tion. — Décomposition de l'intégrale en éléments simples. — Recherche directe
de l'intégrale. — Formules pour n = 2. — Formules pour n — S. — Formules
pour n =z l^. — Exemples de calcul pour n — 5.
Coordonnées elliptiques.
La défiai tion des coordonnées elliptiques, que nous allons rap-
peler, est fondée sur la considération d'un système de surfaces du
second degré confocales.
Par Xi, :rj, x^ nous dénotons les coordonnées rectangulaires
(*) A consulter : Lamé, Mémoire sur l'équilibre des températures dans un
ellipsoïde à trois axes inégaux {Journal de Math.y i" série, t. IV, p. ia6). —
LiouviLLE, Lettres sur diverses questions d'Analyse et de Physique mathéma-
tique, concernant Vellipsoïde {ibid., t. XI, p. 217 et a6i). — E. Heine, ffand-
buch der Kugelfunctionen ^ t. I. — Hermite, Sur quelques applications des
fonctions elliptiques. — Brioschi, Théorèmes relatifs à l'équation de Lamé et
Sur une application du théorème d'Abel {Comptes rendus, t. XCII, p. 325, et
t. XCIV, p. 686).
458 DEUXIÈME PARTIE. — APPLICATIOIVS.
d'un point quelconque de l'espace; par p^^ /?,, ^3 les carrés des
axes d'une des surfaces; enfin, par l'équation
1) * ! 2 1 î î = 0
Px—8 Pi— S Pz—S
nous représentons une quelconque des surfaces du système; s est
le paramètre qui caractérise cette surface.
L'équation (i), quand on y considère les x comme donnés et s
comme l'inconnue, a trois racines réelles, X, [x, v, qui sont ainsi
rangées, avec les données, par ordre de grandeur,
C'est ce qu'on voit immédiatement par le signe du premier
membre (i) quand on substitue, à la place de 5, l'infini négatif,
puis des valeurs voisines de/?o /?2, p^^.
Ainsi, par chaque point de l'espace, il passe trois surfaces du
système, savoir: un ellipsoïde (5^^X), un hyperboloïde à une
nappe {s = jjl), un hyperboloïde à deux nappes (5 = v).
Les trois racines X, [jl, v de l'équation (i) sont les coordonnées
elliptiques du point x. En fonction de ces coordonnées, on ex-
prime, comme il suit, les coordonnées rectangulaires :
(3) ,. (p^-^)(p^-i^)(p^-^) u,?r: = i.^.n
Eflcctivcmenl, si l'on pose
(4) (*— /'i)(5--y3î)u— />3) ^-/{s),
on conclut de régalilé (3)
2
y>a— A .ÀM J'ipoi)
ainsi que Tapprend la théorie des fractions rationnelles. On voit
par là que, si les x ont les expressions (3), l'équation (i) admet
la racine s = X. Elle admet aussi, à cause de la symétrie, les ra-
cines jJL et V. Par là se trouve justifiée la triple égalité (3).
Voici maintenant comment on va introduire, à la place de X, |jl, v.
CHAPITRE XII. — ÉQUATION DB LAMÉ. f\Sg
trois arguments elliptiques. Désignant par t un coefficient arbi-
traire d*lioniogénéité, posons
3'c«tfa=/>p-f-/>y— 2/?a (a, p, Y = 1,2, 3),
d^où Ton conclura
Suivant que s est une des racines \y [x ou v, pu est, par rapport
à Ci, e2y ^3, dans un intervalle différent.
Nommons u, v ou w l'argument u, suivant que s est une des ra-
cines Xj [X ou V. Nous avons ainsi, d'après les inégalités (2),
p a > <?, > p i' > c, > p w > «j.
A des périodes près, u et w — w' sont réels, tandis que v — w est
purement imaginaire. Les fonctions elliptiques employées ici sont
à discriminant positif.
La formule (3) se transforme en celle-ci
On peut y extraire la racine carrée, ce qui donne (t. I, p. 194)
1
Le signe choisi en extrayant la racine au second membre est in-
différent : ce second membre, en effet, est une fonction impaire
de chaque argument.
Si Ton augmente un des arguments de la période 20D1X7 ^a se re-
produit sans changement, tandis que x^ et x-^ se reproduisent
changés de signe.
De ces deux circonstances, on conclut que, en faisant varier
chaque argument dans l'étendue d'une demi-période seulement,
on obtiendra tous les points compris dans un des huit trièdres
formés par les axes de coordonnées.
La formule (7) présente cet avantage que, par elle, les coor-
données i/, (>, w conviennent à un seul point, tandis que les coor-
données X, [X, V représentent toujours huit points à la fois.
46o DECUÈME PARTIE. — APPUCATlOlfS.
Équation des potentiels en coordonnées elliptiques.
Soit a une arbitraire : posons
Les X étant remplacés par leurs expressions (3), ou a
(()) *(a)= y—, ç(a) = (a — X)i'a — ti)(a — v),
comme on le voit par la décomposition eu fractions simples. De
Tégalité (8) résultent celles-ci :
).
Reprenons Téquation (i), qui devient une identité si l'on y met.
pour 5, Tune des racines, A par exemple. En diflTérentiant par
rapport à x», on a
d'où résulte
^'^' ■(>j:a "(/>,-- Xj*'( À)' Zà\àxJ ' 4>'(X)'
a
Si Ton prend uncautreracine u, on conclut aussi deTéquation (i)
résultat bien connu et qui exprime Torthogonalité des coordonnées
curvilignes.
Différentions encore, dans Téquation (i), par rapport à x,, il
vient
77=^"^(/>a-X)* c^Xa ' \)xj 2àlpoL-\)^'^d^2d{poi—X)f*^'
_^__, 8j;-Î 4_^Î*'(X) .KV),^'^ _,
CBÀPITRB XII. — ÉQUATION DE LAMÉ. 4^1
Si l^on ajoute, membre à membre, les trois pareilles égalités,
obtenues en changeant Tindice a, on voit, d'après les relations (lo),
disparaître les termes du milieu ^ il reste
y^ôn_ 2/(1)
^àxl /(X)4>'(^)'
a
d'où Ton conclut
a oc
Conformém 
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Open Library
American Libraries
TV News
Understanding 9/11